第62講RepeatedGames(II)以“猜硬幣博弈”為例

Lecture6:RepeatedGames〔II〕──以“猜硬幣博弈〞為例1嚴(yán)格競爭博弈在博弈論中，通常把各博弈方的利益和偏好嚴(yán)格對立，沒有純策略納什均衡的博弈問題稱為“嚴(yán)格競爭博弈〞。例如，猜硬幣博弈。2猜硬幣博弈3猜正面猜反面蓋正面-1,11,-1蓋反面1,-1-1,1猜硬幣方蓋硬幣方無論雙方采用的是哪個策略組合，結(jié)果都是一方贏一方輸，而輸?shù)囊环接挚偸强梢酝ㄟ^單獨改變策略而反輸為贏。兩人零和博弈猜硬幣博弈“猜硬幣博弈〞不存在純策略納什均衡，存在唯一的混合策略納什均衡，即各以0.5的概率隨機選擇正面和反面。4-1,11,-1蓋反面1,-1-1,1蓋正面猜反面猜正面猜硬幣方蓋硬幣方“猜硬幣博弈〞的有限次重復(fù)博弈5“猜硬幣博弈〞的有限次重復(fù)博弈以“猜硬幣博弈〞為原博弈的有限次重復(fù)博弈〔假設(shè)重復(fù)T次〕逆推歸納法6-1,11,-1蓋反面1,-1-1,1蓋正面猜反面猜正面猜硬幣方蓋硬幣方“猜硬幣博弈〞的有限次重復(fù)博弈首先，從最后一次重復(fù)〔即重復(fù)博弈的最后一個階段〕開始討論最后一次重復(fù)博弈是原零和博弈本身，而且不再有任何后續(xù)博弈，因此博弈方之間既沒有任何合作的時機，也沒有合作的必要，采用原博弈的混合策略納什均衡是唯一合理的選擇。7-1,11,-1蓋反面1,-1-1,1蓋正面猜反面猜正面猜硬幣方蓋硬幣方“猜硬幣博弈〞的有限次重復(fù)博弈逆推到倒數(shù)第二階段：有預(yù)見能力的理性博弈方都知道最后一個階段的結(jié)果，因此在該階段也不可能有合作的可能性。8-1,11,-1蓋反面1,-1-1,1蓋正面猜反面猜正面猜硬幣方蓋硬幣方“猜硬幣博弈〞的有限次重復(fù)博弈依此類推得出結(jié)論，在整個零和博弈的有限次重復(fù)博弈中，所有博弈方的唯一選擇就是始終采用原博弈的混合策略納什均衡策略。9-1,11,-1蓋反面1,-1-1,1蓋正面猜反面猜正面猜硬幣方蓋硬幣方“猜硬幣博弈〞的有限次重復(fù)博弈上述結(jié)論可以推廣到嚴(yán)格競爭博弈中在以嚴(yán)格競爭博弈作為原博弈構(gòu)成的有限次重復(fù)博弈中，唯一的子博弈完美納什均衡就是原有博弈方都始終采用原博弈的混合策略納什均衡策略。10“猜硬幣博弈〞的無限次重復(fù)博弈11“猜硬幣博弈〞的無限次重復(fù)博弈以“猜硬幣博弈〞為原博弈的無限次重復(fù)博弈逆推歸納法不再適用。12-1,11,-1蓋反面1,-1-1,1蓋正面猜反面猜正面猜硬幣方蓋硬幣方“猜硬幣博弈〞的無限次重復(fù)博弈【直觀判斷】重復(fù)博弈的無限次增加不會改變原博弈中博弈方之間在利益上的對立關(guān)系，也不會創(chuàng)造出潛在的合作利益，因此在這種博弈的無限次重復(fù)博弈中，博弈方仍然是每次重復(fù)博弈都根據(jù)當(dāng)時的最大利益行為，采用原博弈的混合策略納什均衡。13-1,11,-1蓋反面1,-1-1,1蓋正面猜反面猜正面猜硬幣方蓋硬幣方“猜硬幣博弈〞的無限次重復(fù)博弈嚴(yán)格證明首先，討論無限次重復(fù)博弈的第t階段在第t

階段博弈方面臨的仍然是一個無限次重復(fù)兩人零和博弈，博弈方的利益關(guān)系不會因為第t-1階段或前t-1階段的結(jié)果而有任何改變，仍然是嚴(yán)格對立的，因此博弈方在第t-1階段不會合作。

14“猜硬幣博弈〞的無限次重復(fù)博弈博弈方在第t-2階段也不會合作。〔同樣的道理！〕在第t-2階段博弈方面臨的仍然是一個無限次重復(fù)兩人零和博弈，博弈方的利益關(guān)系不會因為第t-2階段或前t-2階段的結(jié)果而有任何改變，仍然是嚴(yán)格對立的，因此博弈方在第t-2階段不會合作。15“猜硬幣博弈〞的無限次重復(fù)博弈博弈方在第t-3階段也不會合作。同樣的道理！16“猜硬幣博弈〞的無限次重復(fù)博弈最終說明從重復(fù)博弈的第一階段開始就不可能合作！17“猜硬幣博弈〞的無限次重復(fù)博弈結(jié)論：在兩人零和博弈無限次重復(fù)的所有階段都不可能發(fā)生合作，博弈方會一直重復(fù)原博弈的混合策略納什均衡。18“猜硬幣博弈〞的無限次重復(fù)博弈結(jié)論推廣與有限次重復(fù)博弈一樣，上述結(jié)論也可以推廣到更多博弈方、非零和的其他嚴(yán)格競爭博弈的無限次重復(fù)博弈。19嚴(yán)格競爭博弈的重復(fù)博弈零和博弈或其他嚴(yán)格競爭博弈的有限次和無限次重復(fù)博弈，都不可能產(chǎn)生比一次性博弈更理想的結(jié)果，博弈方的唯一選擇是始終采用原博弈的混合