高中數(shù)人教A版必修5 第一章 解三角形 單元測試卷(I)卷

高中數(shù)人教A版必修5第一章解三角形單元測試卷（I）卷

姓名：班級:成績:

一、單選題（共8題；共40分）

1.（5分）在中，。=3近，b=2下,cosC=g,則的面積為（）.

A.30

B.2百

C.增

D.4

2.（5分）（2020高一下?泰安開學(xué)考）在J.IBC中，內(nèi)角MXC的對邊分別為a64,且

求+“-c2=ab=$,則J.15C的面積為（）

A.T

3

B.2

3

D.4

3.（5分）（2020高二上?來賓期末）在_U5C中，角4的對邊分別為,若0=4,6=5,

c=6,貝ijcosB=（）

1

A."8

1

B.8

9

C."T6

第1頁共20頁

9

D.16

4.（5分）（2018高二下?黑龍江月考）在中，N，=60。，b=l,S皿,貝ij

sin.4-2sin5^smC的值等于（）

訴

A.~T~

B.郭

c.粘

D.2囚

5.（5分）海上有45兩個小島相距l(xiāng)Onmile,從1島望C島和H島，成60°的視角，從H島望

C島和.4島，成75°的視角，則BC間的距離為（）

A1073ninile

10^6

B.I-皿卜

C.5^2muile

D.水ninile

6.（5分）（2016高二上?鄭州期中）在AABC中，角A,B,C的對邊為a,b,c,若a2-b2+c2=6ac,

則角8為（）

T

A.6

T

B.3

C.3耿3

D.6耿6

第2頁共20頁

7.（5分）（2019高一下?黃山期中）JL1BC的內(nèi)角T、月、C的對邊分別為a,b,C,根據(jù)下

列條件解三角形，其中有兩解的是（）

A.a=2,i=4,J=600

B.a=2,c=2,J=600

C.a=4百,b=6,.4=60°

D.a=3,6=4,?<=30。

8.（5分）（2019?海南月考）已知函數(shù)/（X）=4SIW”+COSH3>0）在區(qū)間［事外上恰有一個最大值

點和一個最小值點，則實數(shù)0）的取值范圍是（）

A0）

BY,4）

C.kf）

D.圖力

二、多選題（共4題；共20分）

9.（5分）（2020高二上?中山月考）下列命題中，正確的是（）

A.在J.1BC中，4>R,.'.sin-OsinS

B.在銳角J.18C中，不等式sinJ>cos8恒成立

C.在J.IBC中，若acosJ=6cosS,則J.18C必是等腰直角三角形

D.在J.4BC中，若8=600,b:=ac,貝ijJ.4BC必是等邊三角形

10.（5分）（2020高二上?中山月考）在中，角AC所對的邊分別為a,b,c,下列說法中正

確的是（）

A.若/>8,貝ijsin.i>sinS

第3頁共20頁

B.若sinii=sinlB,則4=8

C.若。2+/〈己，則△JSC為鈍角三角形

1）.若JcosC+ccos5=flsin.i,則△-18C為直角三角形

11.（5分）（2020高二上?石家莊月考）在2ABC中，角J,B,C所對的邊分別為a,b,C,

且。bc=456，則下列結(jié)論正確的是（）

A.siiLlsinB.sinC=456

B.A.-iBC是鈍角三角形

C.A-iBC的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的7倍

8口

D.若c=6,則△JBC外接圓半徑為~

12.（5分）（2020高一下?濟南月考）下列說法正確的有（）

A.在J.18C中，abe-siiLisiaBsinC

B.在J.1BC中，若sin2-i=sinZB,則。=方

C.在L4BC中，若SIILJ>siiiB，則，若刀，貝ijsiihl>sinB都成立

a______b^c

D.在JL1BC中,sin.4—sinjB-^sinC

三、填空題（共4題；共20分）

13.（5分）（2019高一下?馬鞍山期中）在J.18C中，.18=3,*=干,B=60°，則BC=

14.（5分）（2019高三上?臨沂期中）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)學(xué)九章》的“田域類”中寫道：問

沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知為田幾何.意思是已知三角形沙田

的三邊長分別為13,14,15里，求三角形沙田的面積.請問此田面積為_______平方里.

15.（5分）（2018高一上?新余月考）已知在X-iBC中，角4,R,C所對的邊分別為a,b,

c,5cosc=a，點A/在線段AB上，且￡ACM=ZBCAf.若b=6CAf=6,則cosN3c3/=.

a

16.（5分）（2017高三上?太原期末）已知a,b,c分別是AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊，BC邊上的高為？,

第4頁共20頁

則~b的最大值為________.

四、解答題（共6題；共70分）

17.（10分）（2016高一下?沙市期中）在銳角^ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知〃

a=2csinA.

（1）求角C的值；

（2）若c=夕，且S4ABC=~,求a+b的值.

18.（12分）（2020高一下?嘉興期中）已知△.18C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且Jsin2J=asinB.

（1）求A；

（2）若a=4,△JBC的面積為2后，求二ABC的周長.

19.（12分）（2017高二下?原平期末）已知為△-15c的三內(nèi)角，且其對邊分別為=Gj,Z）、

.n3

.1EC、m,J=3c=7fl.

（1）求sinC的值。

（2）若a=7,求△.4BC的面積.

20.（12分）（2020高一下?遼寧期中）已知A.IBC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,

ocos5=（2c-bkos.4,0=3,c=2.

（1）求角A；

（2）求J.4BC的面積.

21.（12分）（2020高一下?南昌期中）已知銳角△.超C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,C,且

2/7sin.l=frcosC+ccos5.

（1）求角A的大?。?/p>

廠coB,cosC

（2）若從=2+\/3,求的最小值.

第5頁共20頁

3

-

5

22.(12分)(2019高二上?上海月考)已知銳角5c中,

(1)求證：tan.1=2tanB；

(2)設(shè).￡8=3,求AB邊上的高.

第6頁共20頁

參考答案

一、單選題（共8題；共40分）

答案：IT、C

考點：正弦定等：同角三角因數(shù)同的基本關(guān)多

【解答】因為C為三角形的內(nèi)角，所以通6=瓦*?=￥1=里，所以三角形的面積

S=-aisinC=-x35/2x25/3xr^=4>/3，版―

解析：223

答案：2-1、D

考點：余弦領(lǐng)；三角形中的幾何計算

解析:

【婚答】由東+6!_二=而得：上轉(zhuǎn)3=4，即：cosC=4

lab2/

vce(o,^r)AC=60*

S」uc=4aAm6(f=4x^xT=4

故智直為：D

［分析］苜先由余弦S5臺已知條件得出cos。='再由角的取值范圉即可求出角C的大小，再把數(shù)值代入到三角形的面積公

式計算出結(jié)果即可.

答案：3-1、D

考點：

第7頁共20頁

【婚答】演"，，ABC中，a=4,b=5,c=6,

則cos51636-259

>4x6=I6

故答案為：D.

解析：【分析】利用已知條件結(jié)合余弦定理,從而求S1角B的余弦值?

答案：4-1、A

考點：余弦定理；舊選理

【婚答】解:由置意,在J.4JC中，

利用二角形的面積公式可卷SUgr=4hcsilkl=4X1XcxSin6cp=Ji1

解得C=4,

又由余弦定理得.2=+,2—2bccoz.4=1+16—2xlx4xJ=13,解得

s~21r^ca“32/39

由正弦SE理信---口~蘇方=----=-r~=~i-.

sin.<-2smo-?-sinCsin.46i

srs"：A.

解析：【分析】先利用三角形的面積公式求出c,再利用余弦定理和回超1進行計尊,即可求出結(jié)果.

答案：5-1、D

考點：解三角形的實際應(yīng)用；正弦定理的應(yīng)用

【婚答】如圖，在:ABC中.C=180°-6(f-7^=45*?

根據(jù)正弦定理得，斗=岑7,BC=J^(nmile).

$mCsin60八I。

故答寶為:D.

解析：【分析】作出三角形，由豉定理求解.

第8頁共20頁

答案：6-1、A

考點：余交定當(dāng)

解析：

【解答】麟：.a2-b2+c2=Gac,

由級定理得:cosB===叵.

lac~

又NB為三角形的內(nèi)角,

則NB溶.

會：A.

【分析】利用余弦定理表示出cosB,把已知的塔式代入得出cosB的值，由/B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可

求出/B的度數(shù).

答案：7-1、口

考點：.卜弦定理

解析：

【解旬對于一4選項，由于651nj=2^>a"沒有兩解對于B選項,a=c,沒有兩解.對于C選項a>b?沒有兩解對于D

選項?&sin_4=2<a<fe，三角形有兩解，

:D.

【分析】利用戾皿1<a<b判斷出有兩解的選項.

答案：8-1、8

考點：兩角和與差的西公式；；三角量K的恒*AM化簡求值

解析：

第9頁共20頁

【解答】出題意，函數(shù)/(x)=^3sincoA+cosw.x=2sm(&>.x+,

令?x+*=r,砌/(x)=2sin/，

在區(qū)間上一號與卜合有一個最大值點和最小值點，

則函數(shù)/{x)=2sinr怡育一個最大值點和一個最小值點在區(qū)間［一詈+*,詈+*］，

(一萼<--4820°

<uf<

則_~/~~3-T.?)1<w<4,

L蹩+髀￥b°<43-

故答案為：B.

［分析］首先利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等交換,把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù),進一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出

結(jié)果.

二、多選題(共4題；共20分)

答案：9-1、A.B.D

考點：舊￡定理；三角形的形狀M斯

解析：

第10頁共20頁

【解答】對于.4，由a>5，可得：，利用正弦定理可得：smJ>su】B，正確；

對于5，在銳角，打。中，A,5G(0,y),

與./.7>J>5-B>0.

sin.4>sin(5~B)=cos5,smJ>cosb,正確；

對于C，在J.4BC中，由flcos.il=6cos5>利用正弦定理可得：sinJcosd=sinffco&5?

，sin2J=sm25，

,A，36(0,*)，

.?.21=IB或2A=%-ZB，

B或X+5=：.

j.￡5C是等腰三角形或直角三角形，因此是假命重,c帝謖.

對于D，由于5=600,b~—ac，由余以定理可得：b~=ac-a~+c--ac,

可得(a—cy~=0>a=c，可得」=c=5=600，SXH?-

故答案為：ABD.

【分析】利用已知條件結(jié)合正蘢I的單調(diào)性,再利用三角形中角的取值范圍,從而推出角A和角B的正弦值的大小關(guān)系；

再利用銃角三角形中角的取值范圍結(jié)合正弦圖的單調(diào)性和余弦函數(shù)的單謁性，從而推出角A的正弦值與角B的余弦值的大

小關(guān)系；再利用正弦定理或余弦i合已知條件,從而判斷出三角形J.15C的形狀?

答案：10-1、A,CD

考點：破函數(shù)的單調(diào)性；兩角和與差的IBg公式；正弦定理；三角形的形狀判斷

解析：

第11頁共20頁

【解答】Aia項，在二ABC中，大邊對大角.由.「方可得a>b.利用正弦定理,可得smJ>sui5；A符合篁意；

B選項，在△.打。中，若sm2J=sm25，則2J=2B或2J+2S=開，所以.{=5或」+8=與；B不符合費意；

C選項,若"+b'<C.則COSC=N+'Y<,所以角c為鈍角,即2ABe為鈍角三角形；C符合題意；

lab

,若hcosC+ccos5=osin.4，則sin5cosc+sinCcos5=sin」,所以sin(B-C)=sin'-4<則sm.1=sinJ,

又j為三角形內(nèi)角,所以suU=1，則.4=與.

故答案為：ACD.

【分析】選項A由三角形中大邊對大角以及正弦定理即可得出正確；選項B由三角形中正弦值的關(guān)系即可得出不正確；選項C出

余弦定理結(jié)合鈍角的余弦值為負(fù)即可得出正確；利用正弦定理以及兩角和差的正弦公式照化簡即可得出smj=1進而即可判

斷正確.

答案：11-1、A,CD

考點：二倍角的余弦公式；正弦定理；余弦定理

解析：

【婚旬解：由a.b.c=4.5:6>可設(shè)a=4x>b=5x>c=6x>(x>0)?

根據(jù)正弦定理可知sin]:sin5.sinC=4:5.6?A描述準(zhǔn)確；

由c為最大邊,可得cosC-a於6-182+254-36X2_1>Q,

cosC-lab_2-4rSr-8>0

即C為銳角,B描述不法確；

.力士rip，25x2+36HT6x：3

coU=-^-=―53^—=4?

oi

cos2J=2cos"-l=2x-jg-l=g=cosC<

由2J，CW(0.外，可得2-1=C?CJg述準(zhǔn)確；

若c=6，可得2R=-i7：=y=y=-=?

△ABC外接圓半徑為更,DJS述準(zhǔn)確.

故答屐為：ACD.

【分析】由正弦定理即可得出選項A正確；結(jié)合余弦定理以及三角形邊與角之間的關(guān)系即可判斷出選項B錯誤;再由余弦的二倍

角公式即可計尊出選項C正確；由正弦定理代入數(shù)值即可計尊出選項D正確；由此得到答案.

第12頁共20頁

答案：12-1、A,C,D

考點：正弦定母：余弦定理

解析：

【婚答】設(shè)」.0的外接國半徑為R，由正弦定理得「2_=「也=學(xué).

sinJsin5smC

對于Ai^，。bc=2J?SIILJ2/?sin522?sinC=sin.Jsia5sinC，Ai^IE確；

對于Dj^項，——=亞坦及退C=2R=—1D選項正確；

sinfi+sinCSHtff^sinCsmJ

對于B選項f由二倍角公式得2sin.4cos.4=2sinBco^B?

則北.正鏟=力.星鏟，即aX〃+c2-"）=Na2+c2-〃）,

^8得3——a2f2+b2c2=0,即（。2—bI\a-+b，-c?）=0,

則"_〃=o或"+/=c2，所以a=b或NC=§,B選項錯謖；

對于CS項，suU>siaB=a>b=/>5（大邊對大角）,C選項正確_

皿:ACD.

【分析】設(shè)JABC的外接國半徑為R.利用年定理可判斷A、D選項的正謖;利用正弦定理與大邊對大角定理可判斷C選項

的正誤；利用正弦定理與余弦定理可判斷B選項的正謖,綜合可得出結(jié)論.

三、填空題（共4題；共20分）

答案：13-1、【第1空】1或

考點：余蘢定理

【第答】BM1,在」is。中，.也=3，ac=fj15=60。，

骸理：JC2=.?+BC2-2AB-5Ccos5，

可得7=32+5C2-2x3x5Ccos6Cf-

依?得5。2-35。+2=0，解得5c=1.，

故簧直為：1或2.

解析：【分析】依38意得，已知三角形的兩邊和一角，求第三邊，用余弦定理，即可求出BC.

答案：14-1、【第1空】84

第13頁共20頁

考點：三角形中的幾何計真

【第答】由意念畫出圖象：

目AB=13里,BC=14￡,AC=15ffi,

在SBC中，由余弦定理得，

COsB==ly+lf-G=5_

-2ARBC_2*184B*

做sinB=正￡而=若,

則該沙田的面積：即-ABC的面積S=1AB-BC?slnB=1xBx14x]==84.

故昭￡為：84.

【分析】將實際問蹙轉(zhuǎn)化為數(shù)字問愚，根據(jù)余弦定理及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系,結(jié)合面積公式即可求出此田的面積.

解析：

效室?一【皿空】1

答案：15T、4

考點：正運定理

解析：

第14頁共20頁

【翳爸】dcosC=a*有定甯5sinBcosC=srnJ=sm（5*C）*則cos5smC=0，

所有5=9（）??

田弘怠.CAf是角平分統(tǒng)，CA/=LC」=6，設(shè)3C=工，則.￡5二，6-X2<

由爺=鐺速正?“,

AC.AMBM-3"一出

3」空，)

由COS/5cM=cos，.心/得，X(i,，勒耳x=?，

I=12

所以COS45CA/=￥?

【分析】由已如利用正弦定理得到5=90，，畫出圉》,設(shè)3C=x，表示AB,BM,AM,由cosN5cM=cos，.4CA/

列式，即可求出結(jié)果.

【第1空】標(biāo)

答案：16-1、

考點：舊￡定理

解析：

【解答】解:由題意知c2=a?+b2-2abcosC,

兩邊同時除以b2，可得：(田)2=()2+1-4迎,

obb

由于a,b,c都為正數(shù)，

可得:ScosC=0W,f取最大值.

O

由于CG(0,n),可雷：C=年,

即當(dāng)BC邊上的高與b重合時取程St大值，此時三角形為直角三角形，c2=a2+(g)2,

1=>[5-

【分析】由已知及余弦定理可求:(i)2=(*)2+i-,進而可求當(dāng)cosC=0M,壬取最大值，求得C為良角,

Dbb。

利用勾股定理即可計算制6.

第15頁共20頁

四、解答題(共6題；共70分)

解：由在a=2csinA及正弦定理,得在sinA=2sinCsinA,

/sinA^O,

.\sinC=亙.

又“ABC是蛻角三角形，

?「_IL

答案：17-1、3

婚:-.C=「，CY-

由面積公式，得1absin告=士B>即ab=6.①

由^,ita2+t)2.2abcos號=7,

即a2+b2-ab=7.②

由②變形得(a+b)2=3ab+7.③

答案：17-2、格①ft入③S(a+b)2=25,故a+b=5

考點：

解析：

【分忻】(1)由Ga=2csinA及［曰選理得05fnA=2$fnC$InA,又sinAR,可sMC=正.又SBC是坑角三角形，即可

求C.(2)由面I脛式，可痛導(dǎo)ab=6,由邠溫理，可痛&2+b2.ab=7,聯(lián)立方程即可解得a+b的值的值.

解：=bsin2J=osniff?

2bslnJcosJ=nsuiff，

由正弦定理：q=士

sinJsmB

得2sm5smJcosJ=smJsinff，

由于smJsmbH0，

.1

?-cosul=-?

*/0<J<^?

答案：18-K-J=3,

第16頁共20頁

解：由余弦定理?用.2=+.2—2ZCC0S.J,

又：。=4?

b'c2-bc=16--①

又△.ABC的面積為＞

』bcsZ=2百，即加'=8--②

由①?S6,+c2=24,

則（b+c『=b2+c2+26c=40,

得6+，=2眄?

答案：］8-2、二△?一C的局長為4+2\/10,

考點：二倍用的西公式；正弦3；余弦定理

解析:

【分析】（1）根據(jù)戾m2J=asuiB，由二倍角正弦公式得到勸smJcosJ=asmB■然后由正弦定理求解：（2）檎S

0=4.利用余弦定理,得到擇二尸+二一加，再根據(jù)△J5c的面積為2拒,得到慶?=&,兩式聯(lián)立求解.

解：_2_____￡_/_3〃，故一班

答案：19-1、sinJsinC7sinC=&

解：。=7,c=3,sinC=%,

4^3

sinS=siri(.4+C)=sin.4cos5+cos.-fcui3=-r-'

12J3

答案：19-2、5=5?CSUIS=~

考點：iB￡定理的應(yīng)用

【分析】（1）由正弦定理，彳唾勉與邊之間的關(guān)J&=島=念,故得31c=羋；

（2）5JOa=7,c=3,.班，圖號班，艇S^由礴。10

解析：sinC="jysmB=-^-S=5orsin5=-5-

第17頁共20頁

癬：由正弦定理可(8siiLdtcosS=2sinCcosul—cos.lsin^?

所以sin.4co&fl+cosJsmB=2smeco&J?即sin(J+5)=2sinCcos.4?

因為C=JT-(4+3)*sin(J+5)=sinC=2smCcos.<?

*.'C€(0,汗),則smC>0,故cos.<=4,

答案：20-1、因為.T€(0.萬)，所以*=號；

解：根室正丸定理有a：=,,所以「csinJG.

sin.1sinCsinC=~"二丁

因為―做C?M)，叫℃獷藐不=庫?

所以aj—人」「班Y?

sin5=siii.4+C)=smJcosC-cosJsmC=-g—

如案20-2所以LBC的$皿1nB=-3小塔=砰.

合茶：NUN、1JOJ

考點：正弦定母：三角巳中的幾何計翼

解析：

【分忻】(1)利用正弦強邊角互化思想以及兩角和的兩公式可求出COS.1的值，結(jié)合角A的取值花圍,可得出用A的值；

(2)由正弦定理可計算出sinC的值，利用兩角和的正弦定理計苒出sin5=siM.+C)的值，然后利用三角形的面積公式可

計算出JL13C的面積

解：因為2asinJ=從osC+ccos5?

得：2sin\l=sinffcosC-t-sinCcos5r

即2sinJJ=sin(5+C)?所以