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18.2勾股定理的逆定理?yè)?jù)說(shuō),幾千年前的古埃及人就已經(jīng)知道,在一根繩子上連續(xù)打上等距離的13個(gè)結(jié),然后,用釘子將第1個(gè)與第13個(gè)結(jié)釘在一起,拉緊繩子,再在第4個(gè)和第8個(gè)結(jié)處各釘上一個(gè)釘子,如圖.這樣圍成的三角形中,最長(zhǎng)邊所對(duì)的角就是直角.知道為什么嗎?這節(jié)課我們一起來(lái)探討這個(gè)問題,相信同學(xué)們會(huì)感興趣的.做一做下列的五組數(shù)分別是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c:①3,4,5;②6,8,10;
③5,12,13;④7,24,25;
⑤
8,15,17(1)這三組數(shù)都滿足a2+b2=c2嗎?(2)分別以每組數(shù)為三邊作出三角形,用量角器量一量,它們都是直角三角形嗎?做一做用圓規(guī)、直尺作△ABC,使AB=5cm,AC=4cm,BC=3cm,如圖,量一量∠C,它是90°嗎?ABC543∠C是直角嗎?再畫一個(gè)△ABC,使它的三邊長(zhǎng)分別是5cm、12cm、13cm,這個(gè)三角形有什么特征?為什么用上面的三條線段圍成的三角形,就一定是直角三角形呢?它們的三邊有怎樣的關(guān)系?猜想:如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足下面的關(guān)系a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形嗎?
ABCbca圖1已知:在△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,且a2+b2=c2,如圖1.求證:∠C=90°.證明:作△A′B′C′,使∠C′=90°,
A′C′=b,B′C′=a,如圖2,那么A′B′2=a2+b2.(勾股定理)又∵a2+b2=c2,(已知)∴A′B′2=c2,A′B′=c.(A′B′>0)在△ABC和△A′B′C′中,∵BC=a=B′C′,CA=b=C′A′,AB=c=A′B′,∴△ABC≌△A′B′C′.(SSS)ABCbca圖1A′B′C′ba圖2∴∠C=∠C′=90°,∴△ABC是直角三角形.歸納總結(jié):通過(guò)上面的證明可以得到如下定理.勾股定理的逆定理:如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形.例1根據(jù)下列三角形的三邊a、b、c的值,判斷三角形是不是直角三角形.如果是,指出哪條邊所對(duì)的角是直角?(1)a=7,b=24,c=25;(2)a=7,b=8,c=11.解(1)∵最大邊是c=25,c2=625,a2+b2=72+242=625,∴a2+b2=c2.∴△ABC是直角三角形,最大邊c所對(duì)的角是直角.
第(2)題由同學(xué)們仿照上面自己解答.例2已知:在△ABC中,三條邊長(zhǎng)分別為a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1).求證:△ABC為直角三角形.分析:在a、b、c三邊中,哪一條邊是最大的邊?需要得出什么,才能證明△ABC為直角三角形?請(qǐng)同學(xué)們自己完成證明過(guò)程.能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)度的三個(gè)正整數(shù),稱為勾股數(shù).思考:除3、4、5外,再寫出3組勾股數(shù).想想看,可以怎樣找?3、4、55、12、137、24、259、40、4111、60、6112、35、3716、63、6520、21、2928、45、5313、84、8533、56、6536、77、8520、99、1018、15、17常見勾股數(shù)隨堂練習(xí)
1.下列幾組數(shù)是勾股數(shù)的為().
A.9,12,19
B.1.5,2,2.5
C.7,25,24
D.12,18,22
2.一艘帆船在海上航行,由于風(fēng)向的原因,帆船先向正東方向航行9千米,然后向正北方向航行40千米,這時(shí)它離開出發(fā)點(diǎn)_________千米.
1.判斷下列三個(gè)邊長(zhǎng)組成的三角形是不是直角三角形?(1)a=2,b=3,c=4.(2)a=9,b=7,c=12.(3)a=25,b=20,c=15.
2.在△ABC中,三邊長(zhǎng)a、b、c滿足(a+c)(a-c)=b2,則△ABC是什么三角形?
3.給你一根帶有刻度的皮尺,你如何用它來(lái)判斷課桌面的
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