2024屆福建省部分重點高中數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2024屆福建省部分重點高中數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A．27 B．36 C．45 D．542．已知角的終邊經(jīng)過點（3，-4），則的值為（）A． B． C． D．3．若，且，則的值為A． B． C． D．4．已知向量，則與的夾角為（）A． B． C． D．5．若函數(shù)在處取最小值，則等于（）A．3 B． C． D．46．如果角的終邊經(jīng)過點，那么的值是（）A． B． C． D．7．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．8．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S9＝S4，則S13＝（）A．13 B．7 C．0 D．19．已知，向量，則向量()A． B． C． D．10．函數(shù)的圖象如圖所示，為了得到的圖象，則只要將的圖象（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)，的圖象與直線y=k有且僅有兩個不同的交點，則k的取值范圍是_____.12．已知為鈍角，且，則__________.13．設(shè)無窮等比數(shù)列的公比為，若，則__________________．14．在等比數(shù)列中，，公比，若，則達(dá)到最大時n的值為____________．15．兩個實習(xí)生加工一個零件，產(chǎn)品為一等品的概率分別為和，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為__________.16．設(shè)數(shù)列滿足，，且，用表示不超過的最大整數(shù)，如，，則的值用表示為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．平面四邊形中,.(1)若,求;(2)設(shè),若,求面積的最大值.18．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）若點分別在上，且平面，試確定點的位置19．已知數(shù)列滿足且，設(shè)，.（1）求；（2）求的通項公式；（3）求.20．在中,角所對的邊分別為,且.(1)求;(2)若,求的周長.21．如圖，在四棱錐中，平面，底面是棱長為的菱形，，，是的中點．（1）求證：//平面；（2）求直線與平面所成角的正切值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行化簡，由此求得的值.【題目詳解】依題意，所以，故選B.【題目點撥】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列前項和公式，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解題分析】

先求出的值，即得解.【題目詳解】由題得，，所以.故選A【題目點撥】本題主要考查三角函數(shù)的坐標(biāo)定義，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】

利用誘導(dǎo)公式求得sinα的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosα，再利用二倍角公式，求得sin2α的值．【題目詳解】解：，且，，則，故選A．【題目點撥】本題主要考查利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式進(jìn)行化簡三角函數(shù)式，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解題分析】

先求出的模長，然后由可求出答案.【題目詳解】由題意，，，所以與的夾角為.故選D.【題目點撥】本題考查了兩個向量的夾角的求法，考查了向量的模長的計算，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解題分析】

將函數(shù)的解析式配湊為，再利用基本不等式求出該函數(shù)的最小值，利用等號成立得出相應(yīng)的值，可得出的值.【題目詳解】當(dāng)時，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，因此，，故選A.【題目點撥】本題考查基本不等式等號成立的條件，利用基本不等式要對代數(shù)式進(jìn)行配湊，注意“一正、二定、三相等”這三個條件的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.6、D【解題分析】

根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義直接求解.【題目詳解】因為角的終邊經(jīng)過點,所以,故選:D.【題目點撥】本題考查任意角的三角函數(shù)求值,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】

先化簡集合,再利用交集運算法則求.【題目詳解】,,,故選:D.【題目點撥】本題考查集合的運算,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】

由題意，利用等差數(shù)列前n項和公式求出a1＝﹣6d，由此能求出S13的值．【題目詳解】∵等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S9＝S4，∴4a1，解得a1＝﹣6d，∴S1378d﹣78d＝1．故選：C．【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．9、A【解題分析】

由向量減法法則計算．【題目詳解】．故選A．【題目點撥】本題考查向量的減法法則，屬于基礎(chǔ)題．10、D【解題分析】

先根據(jù)圖象確定A的值，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)結(jié)果的點求出求與的值，確定函數(shù)的解析式，然后根據(jù)誘導(dǎo)公式將函數(shù)化為余弦函數(shù)，再平移即可得到結(jié)果．【題目詳解】由題意，函數(shù)的部分圖象，可得，即，所以，再根據(jù)五點法作圖，可得，求得，故．函數(shù)的圖象向左平移個單位，可得的圖象，則只要將的圖象向右平移個單位長度可得的圖象，故選：D．【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的圖象變換的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的圖象變換是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

作出其圖像，可只有兩個交點時k的范圍為.故答案為12、.【解題分析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.【題目詳解】由為鈍角，且，所以，所以.故答案為：【題目點撥】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，同時考查了象限角的三角函數(shù)的符號，屬于基礎(chǔ)題.13、【解題分析】

由可知,算出用表示的極限,再利用性質(zhì)計算得出即可.【題目詳解】顯然公比不為1,所以公比為的等比數(shù)列求和公式,且,故.此時當(dāng)時,求和極限為,所以,故,所以,故,又,故.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查等比數(shù)列求和公式,當(dāng)時.14、7【解題分析】

利用，得的值【題目詳解】因為，，所以為7.故答案為：7【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的項的性質(zhì)及單調(diào)性，找到與1的分界是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題15、【解題分析】

利用相互獨立事件概率乘法公式直接求解．【題目詳解】解：兩個實習(xí)生加工一個零件，產(chǎn)品為一等品的概率分別為和，這兩個零件中恰有一個一等品的概率為：．故答案為：．【題目點撥】本題考查概率的求法，考查相互獨立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

由題設(shè)可得知該函數(shù)的最小正周期是，令，則由等差數(shù)列的定義可知數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，即，由此可得，將以上個等式兩邊相加可得，即，所以，故，應(yīng)填答案．點睛：解答本題的關(guān)鍵是借助題設(shè)中提供的數(shù)列遞推關(guān)系式，先求出數(shù)列的通項公式，然后再運用列項相消法求出，最后借助題設(shè)中提供的新信息，求出使得問題獲解．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

(1)法一：在中，利用余弦定理即可得到的長度；法二：在中，由正弦定理可求得，再利用正弦定理即可得到的長度；（2）在中，使用正弦定理可知是等邊三角形或直角三角形，分兩種情況分別找出面積表達(dá)式計算最大值即可.【題目詳解】（1）法一：中，由余弦定理得，即，解得或舍去，所以.法二：中，由正弦定理得，即.解得，故，.由正弦定理得，即，解得.（2）中，由正弦定理及，可得，即或，即或.是等邊三角形或直角三角形.中，設(shè)，由正弦定理得.若是等邊三角形，則.∵當(dāng)時，面積的最大值為；若是直角三角形，則.當(dāng)時，面積的最大值為；綜上所述，面積的最大值為.【題目點撥】本題主要考查正弦定理，余弦定理，面積公式，三角函數(shù)最值的相關(guān)應(yīng)用，綜合性強，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力，分析三角形的形狀并討論是解決本題的關(guān)鍵.18、（1）；（2）M為AB的中點，N為PC的中點【解題分析】

（1）由題意知，AB，AD，AP兩兩垂直．以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面PCD的一個法向量為，由空間向量的線面角公式求解即可；（2）設(shè)，利用平面PCD，所以∥，得到的方程，求解即可確定M,N的位置【題目詳解】（1）由題意知，AB，AD，AP兩兩垂直．以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則從而設(shè)平面PCD的法向量則即不妨取則．所以平面PCD的一個法向量為．設(shè)直線PB與平面PCD所成角為所以即直線PB與平面PCD所成角的正弦值為．（2）設(shè)則設(shè)則而所以．由（1）知，平面PCD的一個法向量為，因為平面PCD，所以∥．所以解得，．所以M為AB的中點，N為PC的中點．【題目點撥】本題考查空間向量的應(yīng)用，求線面角，探索性問題求點位置，熟練掌握空間向量的運算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題19、（1），，，；（1），；（3）.【解題分析】

（1）依次代入計算，可求得；（1）歸納出，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；（3）用裂項相消法求和，然后求極限．【題目詳解】（1）∵且，∴，即，，，，，，，，，∴；（1）由（1）歸納：，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：1°n=1，n=1時，由（1）知成立，1°假設(shè)n=k（k>1）時，結(jié)論成立，即bk=1k1，則n=k+1時，ak=bk-k=1k1-k，，ak+1=(1k+1)(k+1)，∴bk+1=ak+1+(k+1)=(1k+1)(k+1)+(k+1)=1(k+1)1，∴n=k+1時結(jié)論成立，∴對所有正整數(shù)n，bn=1n1．（3）由（1）知n1時，，∴，．【題目點撥】本題考查用歸納法求數(shù)列的通項公式，考查用裂項相消法求數(shù)列的和，考查數(shù)列的極限．在求數(shù)列通項公式時，可以根據(jù)已知的遞推關(guān)系求出數(shù)列的前幾項，然后歸納出通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明，這對學(xué)生的歸納推理能力有一定的要求，這也就是我們平常所學(xué)的從特殊到一般的推理方法．20、（1）；（2）【解題分析】

分析：（1）利用正弦定理，求得，即可求出A，根據(jù)已知條件算出，再由大邊對大角，即可求出C；（2）易得，根據(jù)兩角和正弦公式求出，再由正弦定理求出和，即可得到答案.詳解：解：(1)由正弦定理得,又,所以，從而,因為,所以.又因為，，所以.(2)由(1)得由正弦定理得，可得,.所以的周長為.點睛：本題主要考查正弦定理在解三角形中的應(yīng)用.正弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下四種：（1）已知兩邊和一邊的對角，求另一邊的對角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）已知兩角與一個角的對邊，求另一個角的對邊；（3）證明化簡過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.21、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）連接交于點，則為的中點，由中位線的性質(zhì)得出，再利用直線與平面平行的判定定理得出平面；（2）取的中點，連接，由中位線的