函數(shù)與導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用-2023年高考數(shù)學(xué)母題題源解密（新高考卷）（解析版）

專題06函數(shù)與導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

【母題來源】2022年新高考I卷

【母題題文】已知函數(shù)/Yx)=x3—x+7,則()

A.有兩個極值點(diǎn)

B.77x)有三個零點(diǎn)

C.點(diǎn)々,7)是曲線y=/Yx)的對稱中心

D.直線y=2x是曲線y的切線

【答案】AC

【分析】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與零點(diǎn)以及曲線上一點(diǎn)的切線問題，函數(shù)的對稱性，考查了運(yùn)算能力以

及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

【解答】

解：f(x)=X3—x+J=>f-3x2—7,令廣(x)=0得:x=±y,

f/X)>0=XV—4或X；f'(X)<O=—j<X,

所以f(X)在上單調(diào)遞增，在(J當(dāng)上單調(diào)遞減，在(J+8)上單調(diào)遞增，

所以f(x)有兩個極值點(diǎn)(X=-1為極大值點(diǎn)，X=y為極小值點(diǎn)，，故工正確；

VjVj.__,2/3c7R3n

又z7---->0

-9-'(--3/)-h7=7-F—9>0,

所以f(x)僅有7個零點(diǎn)(如圖所示，，故8錯；

又f(―x)=—x3+x+1=f(―x)+f(x)=2,所以f(x)關(guān)于(0,1)對稱，故C正確;

對于D選項(xiàng)，設(shè)切點(diǎn)P(x@yo),在P處的切線為y_(x，xo+1)=(3x^-V(x-x0)，

即y=(3x*-l)x-2Xg+1,

Oy2_7_0

若y=2x是其切線，則｛°~,方程組無解，所以D錯.

-2x1+1=0

【母題來源】2022年新高考n卷

【母題題文】曲線y=ln/x您過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線方程分別為,.

【答案】y=—；

【分

本題考查函數(shù)切線問題，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，表示出切線方程，帶入坐標(biāo)原點(diǎn)，求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可求出切

線方程，為一般題.

【解答】

解：當(dāng)x>0時，點(diǎn)(X7，lnX7〃X7>°上的切線為y-lnX7=5/x-X7》

若該切線經(jīng)過原點(diǎn)，則lnx7-1=0,解得x=e,

此的切線方程為y=-.

e

X

當(dāng)xv0時，點(diǎn)fx2/lnf—\2))(2v0)上的切線為V—In(—x2)=已@—x2).

若該切線經(jīng)過原點(diǎn)，則Inf-x2)-1=0,解得x=-et

此時切線方程為V=-二.

Je

【命題意圖】

考察導(dǎo)數(shù)的概念，考察導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考察導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)公式，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考察數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯

推導(dǎo)素養(yǎng)，考察分類討論思想，函數(shù)和方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，分析問題與解決問題的能力.

【命題方向】

導(dǎo)數(shù)在高考數(shù)學(xué)中，是作為應(yīng)用工具來考察的。常規(guī)考察，要考察求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義,

涉及到求切線，導(dǎo)數(shù)計(jì)算，和求導(dǎo)法則的應(yīng)用.在應(yīng)用層次上，要考察導(dǎo)數(shù)的極值，單調(diào)性，最值等應(yīng)用,

需要理解導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)之間的關(guān)系.深度考察，則涉及到求函數(shù)零點(diǎn)或者零點(diǎn)個數(shù)，零點(diǎn)范圍，比大小或

者證明不等式，恒成立或者存在型問題求參等等，常常和函數(shù)單調(diào)性，數(shù)列，不等式等等知識有機(jī)結(jié)合進(jìn)

行綜合考察.

【得分要點(diǎn)】

一、導(dǎo)數(shù)求切線思維

1.設(shè)切點(diǎn)：NX。,外)

2、y0=f(X。)

3,y=f'(x)nk=f'(xj.

4.切線方程：y-y0=Ar(x-x0)

5.過(a,b),代入：=k(x-x0)

得b-y。="(a-x0)=>解出X。

以上是“在點(diǎn)”與“過點(diǎn)”的區(qū)別，授課時可參考下圖

二、恒成立求參經(jīng)驗(yàn)思維

一般地，已知函數(shù)y=/(x),xw[db],y=g[x),x&[c,d]

(1)若可,也€上,"],總有/(X1)〈g(X2)成立,故/(?""(土儲儲

⑵若四日刊,3x2e[c,d],有/(%)vg(*2)成立,故“X)111axvgHk；

(3)若圳e[刊,訓(xùn)e[c,d],有〃xjvg?)成立,故〃力向11Vg㈤1n;

(4)若Vx月則,3x2e[c,d],有/(xj=g(w),則/(x)的值域是g(x)值域的子集.

{8}

1.(2022?四川成都?高三階段練習(xí)(文))若函數(shù)〃"=丁-3米+1在區(qū)間(1,+⑹上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)人的取

值范圍是()

A.(-oo,l)B.(-oo,l]C.[->,+<?)D.[l,+oo)

【答案】B

【分析】

利用函數(shù)〃x)在區(qū)間。,+⑼上的導(dǎo)函數(shù)為非負(fù)數(shù)，列不等式，解不等式即可求得左的取值范圍.

【詳解】

由題意得，

f\x)=3X2-3Ar=3(f-左)N0在區(qū)間(1,+co)上恒成立，

即心一在區(qū)間(L+8)上恒成立,

又函數(shù)y=d在(1,+8)上單調(diào)遞增，得一>1.

所以％$1,即實(shí)數(shù)人的取值范圍是(9J.

故選:B

2.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃力的導(dǎo)函數(shù)為尸⑴，且滿足〃x)=2函數(shù))+lnx,則尸⑴=(

A.-eB.-1C.1D.e

【答案】B

【分析】

求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/'(》)=2/'(1)+：,令x=l,即可求解.

【詳解】

由題意，函數(shù)〃x)=2礦⑴+lnx,可得=

所以尸(1)=2尸(1)+1,則/⑴=-1.

故選：B.

3.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=ae'+b(a,6eR)在點(diǎn)(0/(0))處的切線方程為y=3x+2,

則2a+b=()

A.1B.2C.4D.5

【答案】D

【分析】

求導(dǎo)，利用切線方程，得到方程組，求出。=3,b=-l,求出答案.

【詳解】

/\\//(0)=2=。+力，

由〃力3+6,則，力=的所以?，&2

f⑼=3=4,

解得：。=3,b=-l,所以2a+b=5

,故選:D.

4.(2022?全國?模擬預(yù)測(理))已知函數(shù)/(x)=C：+C5+?C江3+!c，+...+：cX+???+，€>"伏，n

35kn

為正奇數(shù)),/'(X)是/(X)的導(dǎo)函數(shù)，則/'⑴+〃0)=()

A.2"B.2"T

C.2"+1D.2"-'+1

【答案】D

【分

依題意求出/(0),再求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的特征求出即可得解；

【詳解】

解：因?yàn)?(X)=c：+C；x+!。c55+…+；C，+…+LC：x",

35kn

所以/(o)=c：=i,

所以/”(x)=C：+C%2+c>4+-+C*?-'+…+C；x"-',

則/'(i)=c；+c：+C+…+c：+…+c：,

其中c：+c：+c：+…+C：+…+C：=2"T,

所以/'⑴=2"L

所以/'⑴+〃0)=2"一+1；

故選：D

5.(2022?福建?莆田八中高三開學(xué)考試)已知函數(shù)y=a-21nx,(1sxwe)的圖象上存在點(diǎn)"，函數(shù)夕=/+1

e

的圖象上存在點(diǎn)N,且M,N關(guān)于x軸對稱，則。的取值范圍是()

A.[l-e2,-2]B.-3-p-,+co

C.-3-4-2D.l-e2,-3-4

_eJLe.

【答案】A

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)y=x2+i與函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對稱，

根據(jù)已知得函數(shù)＞＞=a-2\nx,(-＜x＜e)的圖象與函數(shù)y=-x2-1的圖象有交點(diǎn)，

e

即方'程:〃一21nx=-f一1在xe-,e工有解，

_e_

即4=2111%-工2-1在工€-,e上有解.

_e_

令g(x)=21nx-x2-1,XG-,e,

皿I“、2c2-2x22(l-x2)

則g'(x)=——2x=------=—-----,

XXX

可知g(x)在1,1上單調(diào)遞增，在[l,e]匕單調(diào)遞減，

故當(dāng)X=1時，g(X)mx=g(l)=-2,

由于g(4=-3-Lg(e)=l-e2,且-3-4>1七,

\cyee

0rl^l-e2<a<-2.

故選：A.

6.(2022?全國?模擬預(yù)測(理))若函數(shù)/(x)=lnx,g(x尸!對任意的%＞々＞0,不等式機(jī)＞衛(wèi)然邛乎

3-g(》2)

恒成立，則整數(shù)〃?的最小值為()

A.2B.1C.0D.-1

【答案】A

【分析】

根據(jù)所給不等式轉(zhuǎn)化為x,>x2>0時，加g(xjf/3)>砥(七)-乙/(圣)恒成立，構(gòu)造函數(shù)

h(x)=mg(x)-xf(x)知其單調(diào)遞增，利用導(dǎo)數(shù)恒大于等于0求解即可.

【詳解】

因?yàn)間(x)=；x，單調(diào)遞增，X,>x2>0,所以g(X1)>g(X2)>0,即g(X|)-g(X2)>0.

原不等式恒成立可化為Wg(x,)-/ng(x2)>x,/(x,)-x2/(^)恒成立，

即玉>迎>0時，mg(xl)-xj\xi)>mg(z)-》2/(々)恒成立，

即函數(shù)〃(x)=zng(x)-xf(x)=yJ?-xlnx在(0,+oo)上為增函數(shù)，

所以A'(x)=mx2-lnx-l>0在(0,+<?)上恒成立，

lnx+1人,/、lnx+1..21nx+1

即onmN——,令k(x)=——,n貝il雅'(x)=-----—,

XXX

當(dāng)OvxvN時，％'(x)>0,左(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x>e+時，％'(刈<。，儀外單調(diào)遞減，故當(dāng)》=eT時，函數(shù)

儀x)="丑的最大值為三

x2

即加N5恒成立，由機(jī)eZ知，整數(shù)機(jī)的最小值為2.

故選：A

7.(2022?云南師大附中高三階段練習(xí)(文))設(shè)函數(shù)/(7=1+浸+~+2(0,8町，若/(2+耳+/(2-》)=8,

則下列不等式正確的是()

A.〃e)+/(|)>8B.〃e)+/(2-6)>8

C./(ln7)+/(2+^)>8D./(In5)+/(31n2)<8

【答案】C

【分

可由/(2+x)+/(2-x)=8確定函數(shù)解析式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，每個選項(xiàng)中，可賦值其中一個，進(jìn)而根

據(jù)單調(diào)性比較另外兩個大小即可確定每個選項(xiàng)正誤.

【詳解】

由題(2+x)3+a(2+x)2+6(2+x)+2+(2-?+a(2-x)2+6(2-x)+2=8,

6+。=0,Q=

化筒整理得(6+。*+2(2〃+6+3)=0,于是

2Q+b+3=0b=9.

32

所以f{x)=X-6X+9X+2,進(jìn)而/'(x)=-12x+9=3(x-l)(x-3),

據(jù)此，/(x)在(-e1),(3,+助上單調(diào)遞增，/⑶在(1,3)上單調(diào)遞減，

因?yàn)?(2+x)+"2-x)=8,即/(x)+/(4-x)=8.

對于A,由/(e)+/(4-e)=8,又l<4-e<g<3,所以人…)〉/，

即/(e)+8,故A錯誤；對于B,

/(2--V3)=(2-后-6(2-拘2+9(2-V3)+2=4,

因?yàn)閘<2ve<3,所以/(2)>〃e),而/(2)=2,-6x2?+9x2+2=4,

所以/(e)+/(2-b)<8,故B錯誤;對于C,

/(2+6)=(2+拘3_6(2+揚(yáng)2+9(2+6)+2=4,lfnl<ln7<2,

所以〃ln7)>/(2)=4,所以/(ln7)+/(2+6)>8,故C正確；

對于D,由f(ln5)+f(4-ln5)=8,因?yàn)?<31n2v4-ln5V3,

所以八31n2)>“4-In5),所以/小5)+/(311)2)>8,故D錯誤.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

(1)賦值法是解決一些抽象函數(shù)問題常見的方法之一；

(2)根據(jù)單調(diào)性比較大小是解決抽象函數(shù)及復(fù)雜函數(shù)比大小或解不等式的重要方法.

8.(2021?全國?高考真題(理))設(shè)a=21nl.01,6=In1.02,c=VhO4-l,則()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【分析】

利用對數(shù)的運(yùn)算和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對。力的大小作出判定，對于。與c,6與c的大小關(guān)系，將0.01

換成x,分別構(gòu)造函數(shù)/(x)=21n(l+x)-㈤,g(x)=ln(l+2x)-M+4x+l,利用導(dǎo)數(shù)分析其在0的右

側(cè)包括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合/(0)=0總0)=0即可得出。與c,6與c的大小關(guān)系.

【詳解】

a=21nl.01=lnl.012=ln(l+0.01)2=ln(l+2x0.01+0.012)>lnl.02=ft,

所以，va;

下面比較c與。力的大小關(guān)系.

I----/\792(y/l+4x-1-x)

記/X=21nl+x_^/^^7+],則/0=___r￡==4__、：),

-1+xVT+47(1+X)VT+4^

由,于I+4x-(l+x)~=2x-x2=x(2—x)

所以當(dāng)0<x<2時，1+4x-(l+x)2>0WJl+4x>(l+x),/'(x)>0,

所以/(x)在［0,2］上單調(diào)遞增，

所以/(0.01)>/(0)=0,即21nl.01>VF市-L即"c；

222(Jl+4x-l-2x)

ag(x)=ln(l+2x)-Jl+4x+l，則g(0)=0,g〈x)

l+2xVl+4x-(l+2x)Jl+4x

由于I+4x-(l+2x)2=-4x1在x>0時,l+4x-(l+2x)2<0,

所以g'(x)<0,即函數(shù)g(x)何0,+s)上單調(diào)遞減，所以g(0.01)vg(0)=0,即tal.02<Vt04-L即b<c,

綜上，b<c<a,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查比較大小問題，難度較大，關(guān)鍵難點(diǎn)是將各個值中的共同的量用變量替換，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)

研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計(jì)計(jì)算往往是無法解決的.

9.(2022?黑龍江?哈九中模擬預(yù)測(理))已知函數(shù)〃x)=(x+l)lnx+2(x-l),(4=0)的三個零點(diǎn)分別為

占,x2,x},其中再>為>%,入(再+/)(%2+￡)&+演)的取值范圍為0

A.(-64,-32)B.(-oo,-64)

C.(-<?,-32)D.

【答案】D

【分析】

構(gòu)造g(x)=lnx+@二D,結(jié)合零點(diǎn)個數(shù)及單調(diào)性求出W<-2,求出0<￡<。<1=》2<6<再且七=工，利

x+lx\

用基本不等式得到(占+*2)&+三)仿+再)>8,從而得到答案.

【詳解】

/(x)=(x+l)lnx+A(x-l),令(x+l)lnx+R(x-l)=O,即］nx+生~^=0,(x>0)

X+1

令g(x)=lnx+""”,(x>0),貝l」g(l)=0,

x+l

?i/\12*x?+(2/1+2)x+1

則g(x)二十西(x>0),

x(x+l)2

令〃(力=12+(2久+2)x+l,(x>0),

要想g(x)除1外再有兩個零點(diǎn)，則g(x)在(0,+e)上不單調(diào),

則△=(2乂+2)2-4=4屈+8/1>0,

解得：乂<-2或入>0,

當(dāng)4>0時，8'(%)>0在(0,+8)恒成立,

則g(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，不可能有兩個零點(diǎn)，

當(dāng)2<-2時,設(shè)g'(x)=0,即/z(x)=0的兩根為a,6,且avb,

\ab=1

則有1+6=-2(人+1)>0,故

令g'(x)>0,解得：x<a或》>6,令g<x)<0,解得：a<x<b,

所以g(x)在(0,a),伍,+8)上單調(diào)遞增,在(。,6)上單調(diào)遞減，

因?yàn)樵?gt;工2>%3，所以0<工3<。<1=工2<6<玉，

乂因?yàn)間(')=In—+—~-=-lnx+，)=-g卜)，

X

若g(x)=0,則g(￡|=°，

因?yàn)間(xJ=g(X3)=0,所以W=—,

因?yàn)镽<-2,故八(玉+々)(々+》3)(毛+%))<-16.

檢驗(yàn)：當(dāng)4=_2時，g(x)=lnx+2(xI(x>0),g'(x)」一7《、片?(：112t。，

x+1x(x+1)'x(x+1)

此時g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

乂g⑴=0,即占=9=*3=1.此時為臨界情況，/t(xl+x2)(x2+x3)(x3+xl)=-16;

綜上：入(為+》2)(々+天乂n3+天)的取值范圍為(-8,-16).

故選：D.

【點(diǎn)睛】

利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問題：

(1)確定零點(diǎn)的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識確定

極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象；

(2)方程的有解問題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.可以通過

構(gòu)造函數(shù)的方法，把問題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問題；

(3)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研

究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.

10.(2022?全國?高考真題(理))已知》=不和分別是函數(shù)〃x)=2a'-e*(。>0且awl)的極小值

點(diǎn)和極大值點(diǎn).若則a的取值范圍是____________.

【答案】gl)

【分析】

2

由七，2分別是函數(shù)/(x)=2優(yōu)-ex的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，可得xe(-oo^Ju(x2,+oo)時，/,(x)<0.

XG(X1,X2)時，/'(x)>0,再分。>1和0<a<l兩種情況討論，方程21n”?優(yōu)-2ex=0的兩個根為占不，即函

數(shù)y=lnaW與函數(shù)N=ex的圖象有兩個不同的交點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)g(x)=lna-a，，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象

變換得到g(x)的圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得過原點(diǎn)的切線的斜率，根據(jù)幾何意義可得出答案.

【詳解】

r

解：/*(x)=21na-tz-2exT

因?yàn)檠莩龇謩e是函數(shù)/(x)=2/-ex?的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，

所以函數(shù)/(%)在(-8,占)和(%2，+00)上遞減,在(再,々)上遞增，

所以當(dāng)(》2，+°°)時，/'(x)<o,當(dāng)X?X],X2)時,/'(x)>0,

若。>1時，當(dāng)x<0時，2lnad>0,2ex<0,則此時與前面矛盾，

故。>1不符合題意，

若0<a<1時，則方程2In“?優(yōu)-2ex=0的兩個根為西,馬，

即方程Ina?a、=ex的兩個根為X”％,

即函數(shù)y=Ina?/與函數(shù)V=ex的圖象有兩個不同的交點(diǎn)，

?：0<a<1,.?.函數(shù)y=優(yōu)的圖象是單調(diào)遞減的指數(shù)函數(shù)，

又Inav0,,y=Ina?，的圖象由指數(shù)函數(shù)y=優(yōu)向下關(guān)于x軸作時稱變換，然后將圖象上的每個點(diǎn)的橫坐

標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長或縮短為原來的但4倍得到，如圖所示：

設(shè)過原點(diǎn)且與函數(shù)歹=g（x）的圖象相切的直線的切點(diǎn)為（x0,lna.^?）,

則切線的斜率為g'（x0）=ln2a.1。，

Xa2

故切線方程為y-\naa=lna-a'"(x-x0),

2

則有-lna-a"=-xftlna-a^,解得/=J—.

ina

則切線的斜率為1112a.工=eln”

因?yàn)楹瘮?shù)y=lna-a"與函數(shù)N=ex的圖象有兩個不同的交點(diǎn)，

所以eln%ve,解得,〈”e,

e

又Ovavl,所以上"I,

e

綜上所述，《的范圍為（（』）.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的極值點(diǎn)問題，考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想，有一定的難度.

11.（2019?江蘇?高考真題）在平面直角坐標(biāo)系X/中，點(diǎn)/在曲線尸Inx上，且該曲線在點(diǎn)力處的切線經(jīng)

過點(diǎn)（-e,-l）（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn)/的坐標(biāo)是.

【答案】（e,D.

【分析】

設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，得到切線方程，然后求解方程得到橫坐標(biāo)的值可得切點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】

設(shè)點(diǎn)/優(yōu),%）,則%=lnx（）.又V」，

X

1

當(dāng)x=x0時，y'

X。，

點(diǎn)/在曲線尸Inx上的切線為k兒=’(x-Xo),

即V-ln%=---1,

%

代人點(diǎn)(-e,-l),得-l-lnxo='-l,

X。

即/加仆=e,

考查函數(shù)"(x)=xlnx,當(dāng)xe(O,l)時，H(x)<0,當(dāng)xe(l,+8)時,//(x)>0,

且〃<x)=lnx+l,當(dāng)x>l時，/T(x)>O,"(x)單調(diào)遞增，

注意到"(e)=e,故Xolnx°=e存在唯一的實(shí)數(shù)根x0=e,此時為=1,

故點(diǎn)A的坐標(biāo)為4(e,l).

【點(diǎn)睛】

導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及切線的理解應(yīng)注意的問題：

一是利用公式求導(dǎo)時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆.

二是直線與曲線公共點(diǎn)的個數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個公共點(diǎn)，直線不一定是曲線的切線，

同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點(diǎn).

2x'+3x~+tn0x-I

12.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=/，'--若函數(shù)/(x)的圖象與x軸有且只有兩

mx+5,x>1

個不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

【答案】(-5,0)

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)求得/(x)在區(qū)間［0』上的單調(diào)性和最值，根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合幕函數(shù)、?次函數(shù)的單調(diào)性

判斷零點(diǎn)的分布，進(jìn)而求m的范圍.

【詳解】

當(dāng)0‘xvl時，/'(%)=6x2+6x=6x(x+l),

所以在區(qū)間［0,1］上遞增，

最小值為/(0)="，最大值為/⑴=承+5.

在(1,+8)上，加。0時〃x)為單調(diào)函數(shù)，加=0時〃x)=5無零點(diǎn)，

故要使"X)有兩個不同的零點(diǎn)，

則/(x)在區(qū)間［0,1］和區(qū)間(1,+8)各有一個零點(diǎn),

所以在(1,+?0上f(x)必遞減且/(x)e(7),m+5),

f/H<0

則｛<A,可得-5<m<0.

［，〃+5>0

故答案為：(-5,0)

13.(2022?湖南?長沙一中高三開學(xué)考試)若直線/：y=—+B為曲線/(x)=e*與曲線g(x)=e2-lnx的公切線

(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828...),則實(shí)數(shù)b=.

【答案】?；?e2##-e2或0

【分

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，求導(dǎo)，根據(jù)切線方程的求解，分別得到/(x),g(x)的切線方程，由兩條切線方程相同可聯(lián)立

方程即可求出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，進(jìn)而可求解.

【詳解】

根據(jù)切線方程的求解，聯(lián)立方程即可解得切點(diǎn)，進(jìn)而可求6.

設(shè)/與“X)的切點(diǎn)為伍,打)，則由/'(x)=e、，有/:y=xen+(l-切薩.同理，設(shè)/與g(x)的切點(diǎn)為伍,/),

p2e2

由g'(x)=_，有/：y=—x+e2(l嗎-1).

X工2

e再=—①

故，「由①式兩邊同時取對數(shù)得：芭=2-1眸川除-日-占③，將③代人②中可

x,2

(l-x,)e=e(lnx2-I),?

得：(l-xj(e*-明=0,進(jìn)而解得或

八'H=e［x2=l

則/：y=ex或y=?21一標(biāo).

故6=0或-e?.

故答案為：0或又2

14.(2022?全國?模擬預(yù)測)若不等式Q(x+l)eJx〈0有且僅有一個正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】島馬

【分

tz(x+l)e'-x<0^a(x+l)<^-^-g(x)=a(x+l),h(x)=^,研究兩個函數(shù)圖像并得到點(diǎn)/(l,：),

B(2二］一數(shù)形結(jié)合一Ew”J

\e73e~2e

【詳解】

依題意不等式a(x+l)e'—x<0可化為”(x+l)<W.

e

令g(x)=a(x+l),/z(x)=4.xeR.

e

函數(shù)g(x)="x+l)的圖像恒過定點(diǎn)P(-LO).函數(shù)力(x)=j爪x)=W，

ee

當(dāng)xe(-8,1)時，力(X)單調(diào)遞增;當(dāng)xe(l,+oo)時，/7*(x)<0,人(力單調(diào)遞減.

所以當(dāng)X=1時，=；又4(2)=*記點(diǎn)《.)，42,身，且力(0)=0,

當(dāng)Xf+00時，〃(x)7()+.作出函數(shù)秋X)大致圖像，如圖.

若滿足不等式a(x+l)e'-x<0有且僅有一個正整數(shù)解，則結(jié)合函數(shù)圖像必有Kp

--0--021

又因?yàn)椤╛e-_2.卜e_L,所以

2-(-1)~3e2PA1-(-1)2e

【點(diǎn)睛】

根據(jù)不等式的零點(diǎn)個數(shù)，求解參數(shù)的取值范圍問題，通常會轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點(diǎn)問題，要畫出函數(shù)圖象，數(shù)

形結(jié)合進(jìn)行求解.

15.(2022?河南?模擬預(yù)測(理))已知函數(shù)〃x)=e2，+3*,g(x)=(入+3",若關(guān)于x的方程=g(x)

在區(qū)間(0,+8)上恰有四個不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)R的取值范圍是.

【答案】(e,3)u(3,+8)

【分析】

將問題轉(zhuǎn)化為《+二?3乂=3+/1在區(qū)間(。,+8)上恰有四個不同的實(shí)數(shù)根，進(jìn)而設(shè)f=力(》>0),然后先通過

xee

導(dǎo)數(shù)的方法探討函數(shù)f=a(x>。)的圖象和性質(zhì)，再討論關(guān)的方程：+/SR=3+W的根的分布，最后求得

答案.

【詳解】

問題oe2'+3/U2=a+3）xe*即蘭+土.3/l=3+W在區(qū)間（。,+8）上恰有四個不同的實(shí)數(shù)根.

xeA

設(shè)f=2（x>0）,，=ef（-x+l）,則xe（O,I）時，t'>0,函數(shù)單調(diào)遞增，xe（l,+8）時，/<（）,函數(shù)單調(diào)遞

e

減.

當(dāng)x=0時，f=o；當(dāng)x=l時，rraax=-；當(dāng)xf”時，且f>0.如示意圖:

=3+A即

3為2_（3+川+1=0在（0」]上有2個不等實(shí)根.

設(shè)/'（，）=3獷一（3+八）/+1的兩個零點(diǎn)為右4,易知f也>0t]t2=^->0=>A>0.

JA

(e,3)u(3,+09).

故答案為：（e,3）u（3,+<?）.

【點(diǎn)睛】

本題較難，首先直接處理較為麻煩，因此對原方程進(jìn)行恒等變形，進(jìn)而采用“換元法”降低試題的難度.另外,

我們經(jīng)常采用“數(shù)形結(jié)合法”進(jìn)行輔助解題，這樣更加形象和直觀.

16.（2022?全國?高三專題練習(xí)）對于函數(shù)/（》）=竽，下列說法正確的是（）

A.〃力在x=G處取得極大值?

B./（x）有兩個不同的零點(diǎn)

C./（孫/㈣㈣

D,若在（。,+8）上恒成立，則在>]

【答案】ACD

【分析】

根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定/(X)的單調(diào)性極值及最值情況，就能確定ABC的正誤，對于D,恒成立問題，可通過參變

分離求最值來解決.

【詳解】

【解】A選項(xiàng)，/3=號，定義域?yàn)?0，+。)，，/卜)=匕含.令/'(x)=0,解得x=&,

當(dāng)0<x<五時，/"(x)>0,，函數(shù)〃可在(0,舊上單調(diào)遞增，

當(dāng)x>〃時，f'(x)<0,.?.函數(shù)〃x)在(G+8)上單調(diào)遞減,

函數(shù)在x=區(qū)時取得極大值也是最大值/(五)=?.故A對，

B選項(xiàng)，Q0<x<l時/(x)<0,/(1)=0,/(x)a=/(&)=I>0,當(dāng)x>l時/(力>0.如下圖所示：

二函數(shù)/(x)有且只有唯一一個零點(diǎn)，故B錯,

C選項(xiàng)，:當(dāng)x>五時/(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，.?./(〃)</(右)，

?.?/陰=竽=野=〃2)<〃而，"(孫/(孫/陽,故C對，

D選項(xiàng)，.../(x)<k-g,故%>/(》)+*=@尹，由于函數(shù)在(0,+向上恒成立，

Inx+1

:.k>,設(shè)g(x)=電?，定義域?yàn)?0,+8),則g'(x)=-21『

xmax

設(shè)g'(x)=0,解得工=%,xe(0,-^),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，xe(&+oo),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

,漳山『住卜-制，故"W，故口對.

故選：ACD.

17.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=Y+：T,則下列結(jié)論正確的是()

e

A.函數(shù)/(x)只有一個零點(diǎn)

B.函數(shù)/(x)只有極大值而無極小值

C.當(dāng)-e<k<0吐方程/(x)=左有且只有兩個實(shí)根

D.若當(dāng)x+⑼時，貝h的最大值為2