2024屆遼寧省縣級(jí)重點(diǎn)高中協(xié)作體高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE3遼寧省縣級(jí)重點(diǎn)高中協(xié)作體2024屆高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋?，故選:A.2.設(shè)全集，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由不等式，分解因式可得，解得，由可得，由，則，故A正確，B，C，D均錯(cuò)誤．故選：A.3.“”是“，”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，，則或，解得．而，所以“”是“，”的必要不充分條件．故選：B.4.若關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】不等式在區(qū)間內(nèi)有解，僅需即可，令，因?yàn)榈膶?duì)稱(chēng)軸為，，，所以由一元二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)的得，所以，故選：D5.已知向量，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，，所以，，則，，故．故選：A．6.已知為等比數(shù)列，其公比，前7項(xiàng)的和為1016，則的值為（）A.8 B.10 C.12 D.16【答案】C【解析】依題意，，，解得，因此，所以.故選：C7.現(xiàn)有一個(gè)圓臺(tái)形狀的容器，從內(nèi)部量，其兩個(gè)底面的面積之比為，且軸截面的面積為9平方分米，母線(xiàn)長(zhǎng)為上底面圓的半徑的倍，則這個(gè)圓臺(tái)形容器的容積為（取3）（）A.24升 B.21升 C.30升 D.36升【答案】B【解析】如圖，設(shè)圓臺(tái)上、下底面圓心分別為C，A，半徑分別為，，由題意得，即，因?yàn)閳A臺(tái)的軸截面面積為9．所以，所以，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，所以．因?yàn)槟妇€(xiàn)長(zhǎng)為上底面圓的半徑的倍，所以，即．所以，，所以，設(shè)上底面圓的面積與下底面圓的面積分別為，所以該圓臺(tái)容器的容積，故選：B．8.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，且，所以，令，所以，當(dāng)，單調(diào)遞增；當(dāng)，單調(diào)遞減；所以，所以即，因?yàn)椋遥?，綜上，故選：B.二、選擇題9.關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞減B.函數(shù)的圖像關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)C.函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程為，D.將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，可以得到的圖像【答案】ACD【解析】對(duì)于A(yíng):,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,故A正確;對(duì)于B:令,則,故函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C:令,則,故函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為,故C正確;對(duì)于D:將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得,故D正確.故選:ACD10.對(duì)于數(shù)列，如果為等比數(shù)列，那么就稱(chēng)為“等和比數(shù)列”．已知數(shù)列，且，，設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則下列判斷中正確的有（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】根據(jù)題意知，數(shù)列中，有①，則當(dāng)時(shí)有②，①－②可得．又由，，得，則，，，，則，A正確，B錯(cuò)誤；若，則，，，，則，C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC.11.定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且恒成立，則下列結(jié)論正確的有（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】令，則．∵在上恒成立，∴，故在單調(diào)遞增．由，得，即，故A正確；由，得，即，故B錯(cuò)誤；由，得，即，故C正確；由得，即，故D錯(cuò)誤．故選：AC．12.素描幾何體是素描初學(xué)者學(xué)習(xí)繪畫(huà)的必學(xué)課程，是復(fù)雜形體最基本的組成和表現(xiàn)方式，因此幾何體是美術(shù)入門(mén)最重要的一步．素描幾何體包括：柱體、錐體、球體以及它們的組合體和穿插體．如圖2所示的幾何體可以看作是一個(gè)正四棱柱和一個(gè)正四棱錐組成的幾何體，已知正四棱柱和正四棱錐的高之比為，且底面邊長(zhǎng)均為，若該幾何體的所有頂點(diǎn)都在某個(gè)球的表面上，則（）圖1圖2A.正四棱柱和正四棱錐組成的幾何體的體積為160B.該幾何體外接球的體積為C.正四棱錐的側(cè)棱與其底面所成角的正弦值為D.正四棱錐的側(cè)面與其底面的夾角的正弦值為【答案】AD【解析】設(shè)幾何體外接球的球心為O，正四棱錐為，底面中心為，設(shè)正四棱柱為，其下底面中心為，設(shè)E是的中點(diǎn)，連接，，設(shè)球O的半徑為R，正四棱柱的高為x，則正四棱錐的高為，，所以根據(jù)題意可得，，所以，所以，解得，所以正四棱柱的高為，正四棱錐的高為，球O的半徑為．對(duì)于A(yíng)，組合體的體積為，故A正確；對(duì)于B，球O的體積為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，依題意可知正四棱錐的側(cè)棱與其底面所成角為，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)可知，，則是正四棱錐的側(cè)面與其底面的夾角，所以，故D正確．故選：AD．三、填空題13.已知，則__________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，則.故答案為：．14.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則取最大值時(shí)，______．【答案】15【解析】由題意知，，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，即，因?yàn)?，故，即等差?shù)列為首項(xiàng)為正的遞減數(shù)列，又由，可得，即，故，，即等差數(shù)列前15項(xiàng)為正，從第16項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)，故取最大值時(shí)，．故答案為：15.15.已知點(diǎn)，，均在球的球面上運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足，若三棱錐體積的最大值為6，則球的體積為_(kāi)__________.【答案】【解析】如圖所示，當(dāng)點(diǎn)位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)球半徑為，此時(shí)，故，則球的體積為.故答案為：16.已知函數(shù)，若在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】由，變形得，所以．令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)，當(dāng)，則不等式恒成立，當(dāng)，則，由即，所以在上恒成立，即恒成立．設(shè)，，則．當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減．所以的最大值為，所以，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是故答案為：.四、解答題17.如圖，在中，是邊上的中線(xiàn)．（1）取的中點(diǎn)，試用和表示；（2）若G是上一點(diǎn)，且，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)G，交交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．若，，求的最小值．解：（1）由題意，為的中點(diǎn)，所以，又為的中點(diǎn)，所以．（2）由，，，得，，所以，因?yàn)镋，F(xiàn)，G三點(diǎn)共線(xiàn)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.18.根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，某工藝品廠(chǎng)的日產(chǎn)量最多不超過(guò)20件根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，每日產(chǎn)品廢品率與日產(chǎn)量（件）之間近似地滿(mǎn)足關(guān)系式（日產(chǎn)品廢品率=×100％）．已知每生產(chǎn)一件正品可贏(yíng)利2千元，而生產(chǎn)一件廢品則虧損1千元．（該車(chē)間的日利潤(rùn)日正品贏(yíng)利額日廢品虧損額）（1）將該車(chē)間日利潤(rùn)（千元）表示為日產(chǎn)量（件）的函數(shù)；（2）當(dāng)該車(chē)間的日產(chǎn)量為多少件時(shí)，日利潤(rùn)最大？最大日利潤(rùn)是幾千元？解：（1）由題意可知，（2）當(dāng)時(shí)，，令，解得當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值，又是整數(shù)，，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)由最大值當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取值最大值.19.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，是的中點(diǎn)，，.（1）求證：平面平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.（1）證明：因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，在直角中，，，所以.在矩形中，，，所以.又因?yàn)?，所以在中，，即，而，，平面，所以平面，而平面，所以平面平?（2）解：由（1）知，平面，取中點(diǎn)，連接，易知，，兩兩相互垂直，如圖，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則，所以，所以，所以直線(xiàn)與平面所成角正弦值為.20.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）能否從中選出以為首項(xiàng)，以原次序組成的等比數(shù)列.若能，請(qǐng)找出公比最小的一組，寫(xiě)出此等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求出數(shù)列的前項(xiàng)和；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1），當(dāng)時(shí)，，即，得或（舍去）.當(dāng)時(shí)，由，……①得，……②得：，化簡(jiǎn)得.因?yàn)?，所以，，即?shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以.（2）存在.當(dāng)，時(shí)，會(huì)得到數(shù)列中原次序的一列等比數(shù)列，此時(shí)的公比，是最小的，此時(shí)該等比數(shù)列的項(xiàng)均為偶數(shù)，均在數(shù)列中；下面證明此時(shí)的公比最?。?，假若取，公比為，則為奇數(shù)，不可能在數(shù)列中.所以.又，所以，即的通項(xiàng)公式為：，故.21.如圖，已知三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，．（1）求；（2）是外一點(diǎn)，連接，構(gòu)成平面四邊形，若，求最大值．解：（1）由已知，則，所以，化簡(jiǎn)可得，又在中，，所以，則，即，又，，所以，，所以；（2）由（1）得，設(shè)，則，中，由正弦定理得，即，且，即，在中，由余弦定理得，即，由，所以，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值為，所以的最大值為.22.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，若，是的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．（1）解：，則，的定義域?yàn)椋佼?dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，得（舍去負(fù)值），當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）證明：由題意得，可知，因?yàn)?，是的極值點(diǎn)，所以，是方程的兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根，所以，，則．要證成立，只需證，即證，即證，即證，設(shè)，則，即證．令，則，所以在上單調(diào)遞減，則，所以，故．遼寧省縣級(jí)重點(diǎn)高中協(xié)作體2024屆高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋?，故選:A.2.設(shè)全集，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由不等式，分解因式可得，解得，由可得，由，則，故A正確，B，C，D均錯(cuò)誤．故選：A.3.“”是“，”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，，則或，解得．而，所以“”是“，”的必要不充分條件．故選：B.4.若關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】不等式在區(qū)間內(nèi)有解，僅需即可，令，因?yàn)榈膶?duì)稱(chēng)軸為，，，所以由一元二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)的得，所以，故選：D5.已知向量，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋?，，所以，，則，，故．故選：A．6.已知為等比數(shù)列，其公比，前7項(xiàng)的和為1016，則的值為（）A.8 B.10 C.12 D.16【答案】C【解析】依題意，，，解得，因此，所以.故選：C7.現(xiàn)有一個(gè)圓臺(tái)形狀的容器，從內(nèi)部量，其兩個(gè)底面的面積之比為，且軸截面的面積為9平方分米，母線(xiàn)長(zhǎng)為上底面圓的半徑的倍，則這個(gè)圓臺(tái)形容器的容積為（取3）（）A.24升 B.21升 C.30升 D.36升【答案】B【解析】如圖，設(shè)圓臺(tái)上、下底面圓心分別為C，A，半徑分別為，，由題意得，即，因?yàn)閳A臺(tái)的軸截面面積為9．所以，所以，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，所以．因?yàn)槟妇€(xiàn)長(zhǎng)為上底面圓的半徑的倍，所以，即．所以，，所以，設(shè)上底面圓的面積與下底面圓的面積分別為，所以該圓臺(tái)容器的容積，故選：B．8.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，且，所以，令，所以，當(dāng)，單調(diào)遞增；當(dāng)，單調(diào)遞減；所以，所以即，因?yàn)?，且，所以，綜上，故選：B.二、選擇題9.關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞減B.函數(shù)的圖像關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)C.函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程為，D.將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，可以得到的圖像【答案】ACD【解析】對(duì)于A(yíng):,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,故A正確;對(duì)于B:令,則,故函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C:令,則,故函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為,故C正確;對(duì)于D:將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得,故D正確.故選:ACD10.對(duì)于數(shù)列，如果為等比數(shù)列，那么就稱(chēng)為“等和比數(shù)列”．已知數(shù)列，且，，設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則下列判斷中正確的有（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】根據(jù)題意知，數(shù)列中，有①，則當(dāng)時(shí)有②，①－②可得．又由，，得，則，，，，則，A正確，B錯(cuò)誤；若，則，，，，則，C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC.11.定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且恒成立，則下列結(jié)論正確的有（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】令，則．∵在上恒成立，∴，故在單調(diào)遞增．由，得，即，故A正確；由，得，即，故B錯(cuò)誤；由，得，即，故C正確；由得，即，故D錯(cuò)誤．故選：AC．12.素描幾何體是素描初學(xué)者學(xué)習(xí)繪畫(huà)的必學(xué)課程，是復(fù)雜形體最基本的組成和表現(xiàn)方式，因此幾何體是美術(shù)入門(mén)最重要的一步．素描幾何體包括：柱體、錐體、球體以及它們的組合體和穿插體．如圖2所示的幾何體可以看作是一個(gè)正四棱柱和一個(gè)正四棱錐組成的幾何體，已知正四棱柱和正四棱錐的高之比為，且底面邊長(zhǎng)均為，若該幾何體的所有頂點(diǎn)都在某個(gè)球的表面上，則（）圖1圖2A.正四棱柱和正四棱錐組成的幾何體的體積為160B.該幾何體外接球的體積為C.正四棱錐的側(cè)棱與其底面所成角的正弦值為D.正四棱錐的側(cè)面與其底面的夾角的正弦值為【答案】AD【解析】設(shè)幾何體外接球的球心為O，正四棱錐為，底面中心為，設(shè)正四棱柱為，其下底面中心為，設(shè)E是的中點(diǎn)，連接，，設(shè)球O的半徑為R，正四棱柱的高為x，則正四棱錐的高為，，所以根據(jù)題意可得，，所以，所以，解得，所以正四棱柱的高為，正四棱錐的高為，球O的半徑為．對(duì)于A(yíng)，組合體的體積為，故A正確；對(duì)于B，球O的體積為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，依題意可知正四棱錐的側(cè)棱與其底面所成角為，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)可知，，則是正四棱錐的側(cè)面與其底面的夾角，所以，故D正確．故選：AD．三、填空題13.已知，則__________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，則.故答案為：．14.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則取最大值時(shí)，______．【答案】15【解析】由題意知，，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，即，因?yàn)椋?，即等差?shù)列為首項(xiàng)為正的遞減數(shù)列，又由，可得，即，故，，即等差數(shù)列前15項(xiàng)為正，從第16項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)，故取最大值時(shí)，．故答案為：15.15.已知點(diǎn)，，均在球的球面上運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足，若三棱錐體積的最大值為6，則球的體積為_(kāi)__________.【答案】【解析】如圖所示，當(dāng)點(diǎn)位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)球半徑為，此時(shí)，故，則球的體積為.故答案為：16.已知函數(shù)，若在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】由，變形得，所以．令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)，當(dāng)，則不等式恒成立，當(dāng)，則，由即，所以在上恒成立，即恒成立．設(shè)，，則．當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減．所以的最大值為，所以，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是故答案為：.四、解答題17.如圖，在中，是邊上的中線(xiàn)．（1）取的中點(diǎn)，試用和表示；（2）若G是上一點(diǎn)，且，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)G，交交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．若，，求的最小值．解：（1）由題意，為的中點(diǎn)，所以，又為的中點(diǎn)，所以．（2）由，，，得，，所以，因?yàn)镋，F(xiàn)，G三點(diǎn)共線(xiàn)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.18.根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，某工藝品廠(chǎng)的日產(chǎn)量最多不超過(guò)20件根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，每日產(chǎn)品廢品率與日產(chǎn)量（件）之間近似地滿(mǎn)足關(guān)系式（日產(chǎn)品廢品率=×100％）．已知每生產(chǎn)一件正品可贏(yíng)利2千元，而生產(chǎn)一件廢品則虧損1千元．（該車(chē)間的日利潤(rùn)日正品贏(yíng)利額日廢品虧損額）（1）將該車(chē)間日利潤(rùn)（千元）表示為日產(chǎn)量（件）的函數(shù)；（2）當(dāng)該車(chē)間的日產(chǎn)量為多少件時(shí)，日利潤(rùn)最大？最大日利潤(rùn)是幾千元？解：（1）由題意可知，（2）當(dāng)時(shí)，，令，解得當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值，又是整數(shù)，，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)由最大值當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取值最大值.19.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，是的中點(diǎn)，，.（1）求證：平面平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.（1）證明：因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，在直角中，，，所以.在矩形中，，，所以.又因?yàn)?，所以在中，，即，而，，平面，所以平面，而平面，所以平面平?（2）解：由（1）知，平面，取中點(diǎn)，連接，易知，，兩兩