正弦交流電路

第4章正弦交流電路4.2正弦量的相量表示法4.4電阻、電感與電容元件串聯(lián)的交流電路4.1正弦電壓與電流4.3單一參數(shù)的交流電路4.5阻抗的串聯(lián)與并聯(lián)4.8功率因數(shù)的提高4.7交流電路的頻率特性4.6*復(fù)雜正弦交流電路的分析與計算4.9非正弦周期電壓和電流

4.1

正弦電壓與電流正弦交流電的優(yōu)越性：

便于傳輸；易于變換；便于運算；有利于電器設(shè)備的運行;…直流電流和電壓正弦電流和電壓正弦電壓與電流統(tǒng)稱正弦量。

正弦電壓和電流是按照正弦規(guī)律周期變化的。4.1

正弦電壓與電流設(shè)正弦交流電流角頻率：決定正弦量變化快慢幅值：決定正弦量的大小幅值、角頻率(頻率)

、初相位成為正弦量的三要素。初相位：決定正弦量起始狀態(tài)ImTiO4.1.1頻率與周期周期T：正弦量變化一周所需的時間(s)。角頻率：(rad/s)頻率f：(Hz)*無線通信頻率：

高達(dá)300GHz。*電網(wǎng)頻率：我國50Hz，美國

、日本60Hz。*高頻爐頻率：200~300kHz(中頻爐500~8000Hz)。*收音機中頻段頻率：530~1600

kHz。*移動通信頻率：900~1800MHz。4.1.2幅值與有效值有效值：與交流熱效應(yīng)相等的直流定義為交流電的有效值。幅值：Im、Um、Em則有交流直流幅值大寫,下標(biāo)加m同理有效值

必須大寫

給出了觀察正弦波的起點或參考點。

:4.1.3初相位

相位：注意：交流電壓表、電流表測量數(shù)據(jù)為有效值。交流設(shè)備銘牌標(biāo)注的電壓、電流均為有效值。初相位：

表示正弦量在t=0時的相角。

反映正弦量變化的進(jìn)程。iO正弦量所取計時起點不同，其初始值(t=0時的值)就不同，到達(dá)幅值或某一特定值的時間就不同。如：圖中電壓超前電流

角

兩同頻率的正弦量之間的初相位之差。相位差

：iu

2

1或稱i滯后u

角

相位差=初相位之差。電流超前電壓電壓與電流同相

電流超前電壓

電壓與電流反相(2)不同頻率的正弦量比較無意義。

(1)兩同頻率的正弦量之間的相位差為常數(shù)，與計時起點的選擇無關(guān)。注意:4.2正弦量的相量表示法瞬時值表達(dá)式前兩種不便于運算，重點介紹相量表示法。波形圖

1.正弦量的表示方法重點必須小寫ωt

O+1+j

Oψψωωt2ωt1ωt1ωt2(b)正弦交流電(a)旋轉(zhuǎn)矢量正弦交流電與相量的關(guān)系+j+1

Oψ正弦交流電可以用一個固定矢量表示Im最大值相量

I有效值相量

Im

I相量:表示正弦量的復(fù)數(shù)稱相量。復(fù)數(shù)的模即為正弦量的幅值(或有效值)

復(fù)數(shù)的輻角即為正弦量的初相位由上可知：復(fù)數(shù)由模和輻角兩個特征來確定，而正弦量由幅值、頻率、初相位三個特征來確定。在分析線性電路時，正弦鼓勵和響應(yīng)均為同頻率的正弦量，頻率是的，可以不考慮。因此，一個正弦量由幅值(或有效值)和初相位就可確定。比照復(fù)數(shù)和正弦量，正弦量可用復(fù)數(shù)表示。2.正弦量的相量表示復(fù)數(shù)表示形式設(shè)A為復(fù)數(shù):(1)代數(shù)式A=a+jb復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)的輻角實質(zhì)：用復(fù)數(shù)表示正弦量。式中，(2)三角式(3)指數(shù)式

(4)極坐標(biāo)式加、減運算時用代數(shù)式乘、除運算時用指數(shù)式*有關(guān)相量的運算？電壓的幅值相量(1)相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。注意:(2)只有正弦量才能用相量表示。相量的模=正弦量的最大值

相量輻角=正弦量的初相位或設(shè)正弦量電壓的有效值相量用相量表示:相量的模=正弦量的有效值

相量輻角=正弦量的初相位=正弦量是時間的函數(shù)，而相量僅僅是表示正弦量的復(fù)數(shù)，兩者不能劃等號！(4)正弦量表示符號的說明(3)相量的兩種表示形式

相量圖:

把相量表示在復(fù)平面的圖形可不畫坐標(biāo)軸相量式:瞬時值小寫〔u,i〕有效值大寫〔U,I〕最大值大寫+下標(biāo)〔Um,Im〕只有同頻率的正弦量才能畫在同一相量圖上。相量

大寫+“.”（Um,Im

最大值相量）（U,I

有效值相量）··(5)“j〞的數(shù)學(xué)意義和物理意義設(shè)相量旋轉(zhuǎn)因子：相量乘以，將逆時針旋轉(zhuǎn)，得到。°90相量乘以，將順時針旋轉(zhuǎn)，得到?！?0？正誤判斷1.：？有效值？3.已知：復(fù)數(shù)瞬時值j45

？最大值？？

負(fù)號2.已知：4.已知：?選定參考方向下正弦量的波形圖如下圖,試寫出正弦量的表達(dá)式。解：例1: 同頻率的正弦量的解析式分別為i=10sin(ωt+30°)A,,寫出流和電壓的相量,并繪出相量圖。例2:解:

(1)相量式(2)相量圖例3:有效值I=16.8A求：解:1.電壓與電流的關(guān)系設(shè)(2)大小關(guān)系：(3)相位關(guān)系：u、i

相位相同。根據(jù)歐姆定律(1)頻率相同。相位差：相量圖4.3單一參數(shù)的交流電路相量式：4.3.1電阻元件的交流電路2.功率關(guān)系(1)瞬時功率

p：瞬時電壓與瞬時電流的乘積。小寫結(jié)論:

≥

（耗能元件）,且隨時間變化。pωtpO瞬時功率在一個周期內(nèi)的平均值。大寫(2)平均功率(有功功率)P單位:W(瓦)P注意：通常銘牌數(shù)據(jù)或測量的功率均指有功功率。一只額定電壓為220V,功率為100W的電烙鐵,誤接在380V的交流電源上,問此時它接受的功率為多少？是否平安？假設(shè)接到110V的交流電源上,功率又為多少？例：此時不平安,電烙鐵將被燒壞。此時電烙鐵達(dá)不到正常的使用溫度。解:由電烙鐵的額定值可得當(dāng)接到110V的交流電源上,此時電烙鐵的功率為當(dāng)電源電壓為380V時,電烙鐵的功率為4.3.2電感元件的交流電路根本關(guān)系式(1)

頻率相同。(2)

U=IL。

(3)

電壓超前電流90。相位差1.電壓與電流的關(guān)系設(shè)90°那么感抗所以電感L具有通直阻交的作用。直流：f=0,XL=0，電感L視為短路定義：交流：fXLXL與f的關(guān)系OfXL(

)相量式電感電路相量形式的歐姆定律。相量圖超前2.功率關(guān)系(1)瞬時功率(2)平均功率L是非耗能元件單位：var(3)無功功率Q用以衡量電感電路中能量交換的規(guī)模。儲能分析：瞬時功率

放能儲能放能電感L是儲能元件。結(jié)論：純電感不消耗能量，只和電源進(jìn)行能量交換〔能量的吞吐)?？赡娴哪芰哭D(zhuǎn)換過程例:把一個0.1H的電感接到f=50Hz,U=10V的正弦電源上，求I，如保持U不變，而電源f=5000Hz,這時I為多少？解：(1)當(dāng)f=50Hz時〔2〕當(dāng)f=5000Hz時所以電感元件具有通低頻阻高頻的特性。4.3.3電容元件的交流電路

基本關(guān)系式1.電流與電壓的關(guān)系(1)

頻率相同。(3)電流超前電壓90。相位差則設(shè)(2)

I=UC或那么定義：所以電容C具有隔直通交的作用。XC直流：XC，電容C視為開路交流：f容抗(

)OfXC相量式電容電路中相量形式的歐姆定律。相量圖超前XC與f的關(guān)系2.功率關(guān)系(1)瞬時功率(2)平均功率Ｐ由C是非耗能元件(3)無功功率Q單位：var瞬時功率

所以電容C是儲能元件。結(jié)論：純電容不消耗能量，只和電源進(jìn)行能量交換〔能量的吞吐)。例：以下圖中電容C=23.5F，接在電源電壓U=220V、頻率為50Hz、初相位為零的交流電源上，求電路中的電流i、P及Q。該電容的額定電壓最少應(yīng)為多少伏？額定電壓≥

311V解：容抗單一參數(shù)交流電路主要結(jié)論列表1.電流、電壓的關(guān)系U=UR+UL

+UC?直流電路兩電阻串聯(lián)時4.4電阻、電感與電容元件串聯(lián)的交流電路

RLC串聯(lián)交流電路中，設(shè)為什么總電壓小于各分壓的代數(shù)和？1.電流、電壓的關(guān)系如用相量表示電壓與電流關(guān)系,可把電路模型改畫為相量模型。4.4電阻、電感與電容元件串聯(lián)的交流電路則(1)相量式總電壓與總電流的相量關(guān)系式設(shè)（參考相量）令則Z的模表示u、i的大小關(guān)系，輻角〔阻抗角〕為u、i的相位差。Z

是一個復(fù)數(shù)，不是相量，上面不能加點。阻抗復(fù)數(shù)形式的歐姆定律注意根據(jù)電路參數(shù)與電路性質(zhì)的關(guān)系：阻抗模：阻抗角：當(dāng)XL>XC時，

>0，u超前i

─呈感性當(dāng)XL<XC時，

<0，u滯后i

—呈容性當(dāng)XL=XC時，

=0，u、

i同相

—呈電阻性

由電路參數(shù)決定。(2)相量圖(

>0感性)XL

>

XC參考相量由電壓三角形可得:電壓三角形(

<0容性)XL

<

XC由相量圖可求得(2)相量圖由阻抗三角形得電壓三角形阻抗三角形2.功率關(guān)系儲能元件上的瞬時功率耗能元件上的瞬時功率在每一瞬間,電源提供的功率一局部被耗能元件消耗掉,一局部與儲能元件進(jìn)行能量交換。(1)瞬時功率設(shè)(2)平均功率P(有功功率)單位:W總電壓總電流u與i的夾角cos

稱為功率因數(shù)，用來衡量對電源的利用程度。(3)無功功率Q單位：var總電壓總電流u與i的夾角根據(jù)電壓三角形可得電阻消耗的電能根據(jù)電壓三角形可得：電感和電容與電源之間的能量互換(4)視在功率S電路中總電壓與總電流有效值的乘積。單位：V·A注：SN＝UNIN

稱為發(fā)電機、變壓器等供電設(shè)備的容量，可用來衡量發(fā)電機、變壓器可能提供的最大有功功率。

P、Q、S都不是正弦量，不能用相量表示。阻抗三角形、電壓三角形、功率三角形。SQP將電壓三角形的有效值同除I得到阻抗三角形。將電壓三角形的有效值同乘I得到功率三角形。R例1：求:(1)電流的有效值I與瞬時值i;(2)各局部電壓的有效值與瞬時值；(3)作相量圖；(4)有功功率P、無功功率Q。在RLC串聯(lián)交流電路中，解：(1)(2)方法1：方法1：通過計算可看出而是(3)相量圖(4)或(4)(電容性)方法2：復(fù)數(shù)運算解：例2：在RC串聯(lián)交流電路中，輸入電壓(1)求輸出電壓U2，并討論輸入和輸出電壓之間的大小和相位關(guān)系；(2)當(dāng)將電容C改為時,求(1)中各項；(3)當(dāng)將頻率改為4000Hz時,再求(1)中各項。方法1(1)大小和相位關(guān)系比超前方法2：復(fù)數(shù)運算解：設(shè)方法3：相量圖設(shè)(2)〔3〕大小和相位關(guān)系比超前從本例中可了解兩個實際問題：(1)串聯(lián)電容C可起到隔直通交的作用(只要選擇合適的C，使

)。(2)RC串聯(lián)電路也是一種移相電路,改變C、R或f都可到達(dá)移相的目的。正誤判斷？？？？在RLC串聯(lián)電路中

？？？？

？？？？？

？設(shè)4.5阻抗的串聯(lián)與并聯(lián)4.5.1阻抗的串聯(lián)分壓公式：對于阻抗模一般注意：通式:解：同理有兩個阻抗求:,并作相量圖。它們串聯(lián)接在的電源上。例:或利用分壓公式相量圖注意：以下各圖中給定的電路電壓、阻抗是否正確？思考U=14V?U=70V?U=70V兩個阻抗串聯(lián)時,在什么情況下成立?4.5.2阻抗并聯(lián)分流公式：通式對于阻抗模，一般注意：解:同理例:有兩個阻抗,,它們并聯(lián)接在的電源上。求:和并作相量圖。相量圖或注意：以下各圖中給定的電路電流、阻抗是否正確？兩個阻抗并聯(lián),在什么情況下成立?I=8A?I=8A?I=8A思考正弦交流電路的分析和計算若正弦量用相量表示，電路參數(shù)用復(fù)數(shù)阻抗（

)表示，則直流電路中介紹的基本定律、定理及各種分析方法在正弦交流電路中都能使用。相量形式的基爾霍夫定律相量(復(fù)數(shù))形式的歐姆定律

電阻電路純電感電路純電容電路一般電路有功功率P有功功率等于電路中各電阻有功功率之和，或各支路有功功率之和。無功功率等于電路中各電感、電容無功功率之和，或各支路無功功率之和。無功功率Q或或一般正弦交流電路的解題步驟1.根據(jù)原電路圖畫出相量模型圖(電路結(jié)構(gòu)不變)。2.根據(jù)相量模型列出相量方程式或畫相量圖。3.用相量法或相量圖求解。4.將結(jié)果變換成要求的形式。例1：電源電壓和電路參數(shù)，電路結(jié)構(gòu)為串并聯(lián)。求電流的瞬時值表達(dá)式。一般用相量式計算:分析題目：已知解：用相量式計算解：求各表讀數(shù)(1)相量法計算分析方法:(1)用相量法計算;(2)相量圖求解。試求:各表讀數(shù)及參數(shù)R、L和C。例2:圖示電路中，(2)相量圖根據(jù)相量圖可得求參數(shù)R、L、C方法1：方法2：45

即

XC=20

例3：以下圖電路中I1=10A、UAB=100V，求：總電壓表和總電流表

的讀數(shù)。解題方法有兩種：(1)用相量(復(fù)數(shù))計算;(2)利用相量圖分析求解。分析：電容支路的電流、電壓和局部參數(shù),求總電流和電壓。解法1:

用相量計算即為參考相量，設(shè)則所以A讀數(shù)為10AV讀數(shù)為141V所以解法2:利用相量圖分析求解畫相量圖如下：設(shè)為參考相量由相量圖可求得I=10A求：A、V的讀數(shù)。：I1=10A、UAB=100V，超前UL=IXL

=100VV

=141V由相量圖可求得：I1=10A、UAB=100V，設(shè)為參考相量求：A、V的讀數(shù)。V讀數(shù)為141V所以解:例4:已知I=1845A，求:UAB。··VA=20I1=92.8120V

··=4.64120AI2=·30+j8———×1845A30=17.430AVB=j6I2=104.4120V

··=–

11.6

120V=11.6

–

60VI1=·30+j8———×1845Aj8·UAB=VA–

VB=(92.8120–

104.4120)V··4.8功率因數(shù)的提高1.功率因數(shù)X

的意義：電壓與電流的相位差，阻抗的輻角時,電路中發(fā)生能量互換,出現(xiàn)無功當(dāng)功率這樣引起兩個問題。對電源利用程度的衡量。(1)電源設(shè)備的容量不能充分利用若用戶，則電源可發(fā)出的有功功率為若用戶，則電源可發(fā)出的有功功率為而需提供的無功功率為:所以提高可使發(fā)電設(shè)備的容量得以充分利用。無需提供無功功率。(2)增加線路和發(fā)電機繞組的功率損耗(費電)可見提高電網(wǎng)的功率因數(shù)對國民經(jīng)濟的開展有重要的意義。設(shè)輸電線和發(fā)電機繞組的電阻為。要求(Ｐ、Ｕ定值)時所以提高可減小線路和發(fā)電機繞組的損耗。2.功率因數(shù)cos

低的原因日常生活中多為感性負(fù)載，如電動機、日光燈，其等效電路及相量關(guān)系如以下圖。(導(dǎo)線截面積)相量圖感性等效電路40W、220V白熾燈

例:40W、220V日光燈

供電局一般要求用戶的，否則受處罰。常用電路的功率因數(shù)(2)提高功率因數(shù)的措施3.功率因數(shù)的提高

必須保證原負(fù)載的工作狀態(tài)不變。即：加至原負(fù)載上的電壓和負(fù)載的有功功率不變。

在感性負(fù)載兩端并電容(1)提高功率因數(shù)的原那么I結(jié)論并聯(lián)電容C后(2)原感性支路的工作狀態(tài)不變。(3)

電路總的有功功率不變。因為電路中電阻沒有變，所以消耗的功率也不變。(1)電路的總電流，電路總功率因數(shù)I感性支路的功率因數(shù)不變。感性支路的電流

I1不變。4.并聯(lián)電容值的計算相量圖:由相量圖可得即思考題:1.電感性負(fù)載采用串聯(lián)電容的方法是否可提高功率因數(shù)？為什么?2.原負(fù)載所需的無功功率是否有變化？為什么?3.電源提供的無功功率是否有變化？為什么?解：例1:一感性負(fù)載,其功率P=10kW,，接在電壓U=220V,?=50Hz的電源上。(1)如將功率因數(shù)提高到,需要并多大的電容C？求并C前后的線路的電流。(2)如將從0.95提高到1，試問還需并多大的電容C？(1)求并C前后的線路電流并C前:可見cos1時再繼續(xù)提高，那么所需電容值很大(不經(jīng)濟)，所以一般不必提高到1。并C后:(2)從0.95提高到1時所需增加的電容值解：(1)電源提供的電流為電源的額定電流為(1)該電源供出的電流是否超過其額定電流？例2:已知電源UN=220V,?=50Hz，SN=10kV·A，向PN=6kW,UN=220V，的感性負(fù)載供電，(2)如并聯(lián)電容將提高到0.9，電源是否還有富裕的容量？例2:該電源供出的電流超過其額定電流。（2）如將提高到0.9，電源提供的電流為該電源還有富裕的容量，即還有能力再帶負(fù)載。所以提高電網(wǎng)功率因數(shù)后，將提高電源的利用率。4.7交流電路的頻率特性前面幾節(jié)討論電壓與電流都是時間的函數(shù),在時間領(lǐng)域內(nèi)對電路進(jìn)行分析,稱為時域分析。本節(jié)主要討論電壓與電流是頻率的函數(shù)，在頻率領(lǐng)域內(nèi)對電路進(jìn)行分析,稱為頻域分析。相頻特性:電壓或電流的相位與頻率的關(guān)系。幅頻特性:電壓或電流的大小與頻率的關(guān)系。當(dāng)電源電壓或電流〔鼓勵〕的頻率改變時，容抗和感抗隨之改變，從而使電路中產(chǎn)生的電壓和電流〔響應(yīng)〕的大小和相位也隨之改變。頻率特性或頻率響應(yīng)：研究響應(yīng)與頻率的關(guān)系。4.7.2諧振電路在同時含有L和C的交流電路中，如果總電壓和總電流同相，稱電路處于諧振狀態(tài)。此時電路與電源之間不再有能量的交換，電路呈電阻性。串聯(lián)諧振：L

與C

串聯(lián)時u、i同相并聯(lián)諧振：L

與C

并聯(lián)時u、i同相研究諧振的目的,一方面在生產(chǎn)上充分利用諧振的特點(如在無線電工程、電子測量技術(shù)等許多電路中應(yīng)用)。另一方面又要預(yù)防它所產(chǎn)生的危害。諧振的概念：或同相，由定義，諧振時：即諧振條件諧振時的角頻率串聯(lián)諧振電路(1)諧振條件1.串聯(lián)諧振(2)諧振頻率根據(jù)諧振條件：或電路發(fā)生諧振的方法：①電源頻率f一定，調(diào)參數(shù)L、C，使f0=f，(2)諧振頻率②電路參數(shù)L、C一定，調(diào)電源頻率f，使f=f0。(3)諧振特怔①

阻抗最小可得諧振頻率為或當(dāng)電源電壓一定時②電流最大電路呈電阻性，能量全部被電阻消耗，和相互補償。即電源與電路之間不發(fā)生能量互換。③

同相④電壓關(guān)系電阻電壓：UR=I0R=U大小相等、相位相差180

電容、電感電壓：UC、UL將大于電源電壓U當(dāng)時有

由于,可能會擊穿線圈或電容的絕緣,因此在電力系統(tǒng)中一般應(yīng)避免發(fā)生串聯(lián)諧振,但在無線電工程上,又可利用這一特點達(dá)到選擇信號的目的。令表征串聯(lián)諧振電路的諧振質(zhì)量。品質(zhì)因數(shù)Q所以串聯(lián)諧振又稱為電壓諧振。注意諧振時相互抵消，但其本身不為零，而是電源電壓的Q倍。與相量圖：如Q=100,U=220V,則在諧振時所以電力系統(tǒng)應(yīng)防止發(fā)生串聯(lián)諧振。O(4)諧振曲線①串聯(lián)電路的阻抗頻率特性

阻抗隨頻率變化的關(guān)系。容性感性2)諧振曲線電流隨頻率變化的關(guān)系曲線。Q值越大，曲線越鋒利，選擇性越好。分析：諧振電流電路具有選擇最接近諧振頻率附近的電流的能力——稱為選擇性。R

Q大Q小通頻帶：諧振頻率。上限截止頻率。下限截止頻率。通頻帶寬度越小(Q值越大)，選擇性越好，抗干擾能力越強。當(dāng)電流下降到0.707I0時所對應(yīng)的上下限頻率之差，稱通頻帶。即??=?2－?1。Q大Q小(5)串聯(lián)諧振應(yīng)用舉例接收機的輸入電路：接收天線：組成諧振電路為來自3個不同電臺(不同頻率)的電動勢信號。調(diào)C,對所需信號頻率產(chǎn)生串聯(lián)諧振等效電路最大則例1：將一線圈(L=4mH,R=50Ω)與電容器

(C=160pF)串聯(lián)，接在U=25V的電源上。

(1)當(dāng)f0

=200kHz時發(fā)生諧振，求電流與電容器上的電壓。

(2)當(dāng)頻率增加10%時，求電流與電容器上的電壓。解：(1)當(dāng)f0

=200kHz電路發(fā)生諧振時例1：將一線圈(L=4mH,R=50Ω)與電容器

(C=160pF)串聯(lián)，接在U=25V的電源上。

(1)f0

=200kHz時發(fā)生諧振，求電流與電容器上的電壓。

(2)當(dāng)頻率增加10%時，求電流與電容器上的電壓。解：(2)當(dāng)頻率增加10%時可見,偏離諧振頻率10%時，I和UC就大大減小。例2：某收音機的輸入電路如下圖。線圈L的電感L=0.3mH，電阻R=16?。今欲收聽640kHz某電臺的播送，應(yīng)將可變電容器調(diào)到多少皮法？如果調(diào)諧回路中感應(yīng)出電壓U=2μV，試求這時回路中的該信號的電流多大，并在