2022北京中考數(shù)學(xué)題型專(zhuān)練：新定義壓軸題

1/632022北京中考數(shù)學(xué)題型專(zhuān)練：新定義壓軸題一、解答題1．在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，對(duì)于點(diǎn)和線段，給出如下定義：若將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以得到的弦（分別是的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則稱(chēng)線段是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”．（1）如圖，點(diǎn)的橫?縱坐標(biāo)都是整數(shù)．在線段中，的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”是______________；（2）是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)，其中．若是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，求的值；（3）在中，．若是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫(xiě)出的最小值和最大值，以及相應(yīng)的長(zhǎng)．2．在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的半徑為1，A，B為⊙O外兩點(diǎn)，AB=1．給出如下定義：平移線段AB，得到⊙O的弦（分別為點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），線段長(zhǎng)度的最小值稱(chēng)為線段AB到⊙O的“平移距離”．（1）如圖，平移線段AB到⊙O的長(zhǎng)度為1的弦和，則這兩條弦的位置關(guān)系是；在點(diǎn)中，連接點(diǎn)A與點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度等于線段AB到⊙O的“平移距離”；（2）若點(diǎn)A，B都在直線上，記線段AB到⊙O的“平移距離”為，求的最小值；（3）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，記線段AB到⊙O的“平移距離”為，直接寫(xiě)出的取值范圍．3．在△ABC中，，分別是兩邊的中點(diǎn)，如果上的所有點(diǎn)都在△ABC的內(nèi)部或邊上，則稱(chēng)為△ABC的中內(nèi)?。?，下圖中是△ABC的一條中內(nèi)?。?）如圖，在Rt△ABC中，分別是的中點(diǎn)．畫(huà)出△ABC的最長(zhǎng)的中內(nèi)弧，并直接寫(xiě)出此時(shí)的長(zhǎng)；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，在△ABC中，分別是的中點(diǎn)．①若，求△ABC的中內(nèi)弧所在圓的圓心的縱坐標(biāo)的取值范圍；②若在△ABC中存在一條中內(nèi)弧，使得所在圓的圓心P在△ABC的內(nèi)部或邊上，直接寫(xiě)出t的取值范圍．

4．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的圖形，，給出如下定義：為圖形上任意一點(diǎn)，為圖形上任意一點(diǎn)，如果，兩點(diǎn)間的距離有最小值，那么稱(chēng)這個(gè)最小值為圖形，間的“閉距離”，記作（，）．已知點(diǎn)（，6），（，），（6，）．（1）求（點(diǎn)，）；（2）記函數(shù)（，）的圖象為圖形，若（，），直接寫(xiě)出的取值范圍；（3）的圓心為（t，0），半徑為1．若（，），直接寫(xiě)出t的取值范圍．5．如圖，平面上存在點(diǎn)P、點(diǎn)M與線段AB．若線段AB上存在一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)M在以PQ為直徑的圓上，則稱(chēng)點(diǎn)M為點(diǎn)P與線段AB的共圓點(diǎn)．已知點(diǎn)P（0，1），點(diǎn)A（﹣2，﹣1），點(diǎn)B（2，﹣1）．（1）在點(diǎn)O（0，0），C（﹣2，1），D（3，0）中，可以成為點(diǎn)P與線段AB的共圓點(diǎn)的是；（2）點(diǎn)K為x軸上一點(diǎn)，若點(diǎn)K為點(diǎn)P與線段AB的共圓點(diǎn)，請(qǐng)求出點(diǎn)K橫坐標(biāo)xK的取值范圍；（3）已知點(diǎn)M（m，﹣1），若直線y＝x+3上存在點(diǎn)P與線段AM的共圓點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出m的取值范圍．6．A，B是⊙C上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P在⊙C的內(nèi)部．若∠APB為直角，則稱(chēng)∠APB為AB關(guān)于⊙C的內(nèi)直角，特別地，當(dāng)圓心C在∠APB邊（含頂點(diǎn)）上時(shí)，稱(chēng)∠APB為AB關(guān)于⊙C的最佳內(nèi)直角．如圖1，∠AMB是AB關(guān)于⊙C的內(nèi)直角，∠ANB是AB關(guān)于⊙C的最佳內(nèi)直角．在平面直角坐標(biāo)系xOy中．（1）如圖2，⊙O的半徑為5，A（0，﹣5），B（4，3）是⊙O上兩點(diǎn)．①已知P1（1，0），P2（0，3），P3（﹣2，1），在∠AP1B，∠AP2B，∠AP3B，中，是AB關(guān)于⊙O的內(nèi)直角的是；②若在直線y=2x+b上存在一點(diǎn)P，使得∠APB是AB關(guān)于⊙O的內(nèi)直角，求b的取值范圍．（2）點(diǎn)E是以T（t，0）為圓心，4為半徑的圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，⊙T與x軸交于點(diǎn)D（點(diǎn)D在點(diǎn)T的右邊）．現(xiàn)有點(diǎn)M（1，0），N（0，n），對(duì)于線段MN上每一點(diǎn)H，都存在點(diǎn)T，使∠DHE是DE關(guān)于⊙T的最佳內(nèi)直角，請(qǐng)直接寫(xiě)出n的最大值，以及n取得最大值時(shí)t的取值范圍．7．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形W1和圖形W2．給出如下定義：在圖形W1上存在兩點(diǎn)A，B（點(diǎn)A，B可以重合），在圖形W2上存在兩點(diǎn)M，N，（點(diǎn)M于點(diǎn)N可以重合）使得AM=2BN，則稱(chēng)圖形W1和圖形W2滿(mǎn)足限距關(guān)系(1)如圖1，點(diǎn)C(1，0)，D(-1，0)，E(0，)，點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P可以與點(diǎn)D，E重合)，連接OP，CP．①線段OP的最小值為_(kāi)______，最大值為_(kāi)______；線段CP的取值范直范圍是_____；②在點(diǎn)O，點(diǎn)C中，點(diǎn)____________與線段DE滿(mǎn)足限距關(guān)系；(2)如圖2，⊙O的半徑為1，直線(b>0)與x軸、y軸分別交于點(diǎn)F，G．若線段FG與⊙O滿(mǎn)足限距關(guān)系，求b的取值范圍；(3)⊙O的半徑為r(r>0)，點(diǎn)H，K是⊙O上的兩個(gè)點(diǎn)，分別以H，K為圓心，1為半徑作圓得到⊙H和K，若對(duì)于任意點(diǎn)H，K，⊙H和⊙K都滿(mǎn)足限距關(guān)系，直接寫(xiě)出r的取值范圍．8．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的線段，給出如下定義：若存在使得，則稱(chēng)為線段的“等冪三角形”，點(diǎn)R稱(chēng)為線段的“等冪點(diǎn)”．（1）已知．①在點(diǎn)中，是線段的“等冪點(diǎn)”的是_____________；②若存在等腰是線段的“等冪三角形”，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)D在直線上，記圖形M為以點(diǎn)為圓心，2為半徑的位于x軸上方的部分，若圖形M上存在點(diǎn)E，使得線段的“等冪三角形”為銳角三角形，直接寫(xiě)出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)的取值范圍．9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知正方形，其中，M，N為該正方形外兩點(diǎn)，．給出如下定義：記線段MN的中點(diǎn)為P，平移線段MN得到線段，使點(diǎn)分別落在正方形的相鄰兩邊上，或線段與正方形的邊重合（分別為點(diǎn)M，N，P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），線段長(zhǎng)度的最小值稱(chēng)為線段MN到正方形的“平移距離”．（1）如下圖，平移線段MN，得到正方形內(nèi)兩條長(zhǎng)度為1的線段，則這兩條線段的位置關(guān)系是_______；若分別為的中點(diǎn)，在點(diǎn)中，連接點(diǎn)P與點(diǎn)_______的線段的長(zhǎng)度等于線段MN到正方形的“平移距離”；（2）如圖，已知點(diǎn)，若M，N都在直線BE上，記線段MN到正方形的“平移距離”為，求的最小值；（3）若線段MN的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為，記線段MN到正方形的“平移距離”為，直接寫(xiě)出的取值范圍．10．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的圖形M和點(diǎn)P，給出如下定義：將圖形M繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖形N，圖形N稱(chēng)為圖形M關(guān)于點(diǎn)P的“垂直圖形”．例如，圖1中點(diǎn)D為點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)P的“垂直圖形”．（1）點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的“垂直圖形”為點(diǎn)B．①若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)______；②若點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)______．（2）．線段關(guān)于點(diǎn)G的“垂直圖形”記為，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．①求點(diǎn)的坐標(biāo)（用含a的式子表示）；②若的半徑為，上任意一點(diǎn)都在內(nèi)部或圓上，直接寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的的長(zhǎng)度的最大值．

11．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于兩個(gè)點(diǎn)，和圖形，如果在圖形上存在點(diǎn)，（，可以重合）使得，那么稱(chēng)點(diǎn)與點(diǎn)是圖形的一對(duì)平衡點(diǎn)．（1）如圖1，已知點(diǎn)，；①設(shè)點(diǎn)與線段上一點(diǎn)的距離為，則的最小值是，最大值是；②在，，這三個(gè)點(diǎn)中，與點(diǎn)是線段的一對(duì)平衡點(diǎn)的是；（2）如圖2，已知的半徑為1，點(diǎn)的坐標(biāo)為．若點(diǎn)在第一象限，且點(diǎn)與點(diǎn)是的一對(duì)平衡點(diǎn)，求的取值范圍；（3）如圖3，已知點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交的正半軸于點(diǎn)．點(diǎn)（其中）是坐標(biāo)平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，是以點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓，若上的任意兩個(gè)點(diǎn)都是的一對(duì)平衡點(diǎn)，直接寫(xiě)出的取值范圍．12．在△ABM中，∠ABM＝90°，以AB為一邊向△ABM的異側(cè)作正方形ABCD，以A為圓心，AM為半徑作⊙A，我們稱(chēng)正方形ABCD為⊙A的“關(guān)于△ABM的友好正方形”，如果正方形ABCD恰好落在⊙A的內(nèi)部（或圓上），我們稱(chēng)正方形ABCD為⊙A的“關(guān)于△ABM的絕對(duì)友好正方形”，例如，圖1中正方形ABCD是⊙A的“關(guān)于△ABM的友好正方形”．（1）圖2中，△ABM中，BA＝BM，∠ABM＝90°，在圖中畫(huà)出⊙A的“關(guān)于△ABM的友好正方形ABCD”．（2）若點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）上，它的橫坐標(biāo)是2，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥y軸于B，若正方形ABCD為⊙A的“關(guān)于△ABO的絕對(duì)友好正方形”，求k的取值范圍．（3）若點(diǎn)A是直線y＝﹣x+2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥y軸于B，若正方形ABCD為⊙A的“關(guān)于△ABO的絕對(duì)友好正方形”，求出點(diǎn)A的橫坐標(biāo)m的取值范圍．13．在△ABC中，以AB邊上的中線CD為直徑作圓，如果與邊AB有交點(diǎn)E（不與點(diǎn)D重合），那么稱(chēng)為△ABC的C﹣中線弧．例如，如圖中是△ABC的C﹣中線弧．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC存在C﹣中線弧，其中點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2t，0）（t＞0）．（1）當(dāng)t＝2時(shí)，①在點(diǎn)C1（﹣3，2），C2（0，2），C3（2，4），C4（4，2）中，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)C是；②若在直線y＝kx（k＞0）上存在點(diǎn)P是△ABC的C﹣中線弧所在圓的圓心，其中CD＝4，求k的取值范圍；（2）若△ABC的C﹣中線弧所在圓的圓心為定點(diǎn)P（2，2），直接寫(xiě)出t的取值范圍．14．在△ABC中，點(diǎn)P是∠BAC的角平分線AD上的一點(diǎn)，若以點(diǎn)P為圓心，PA為半徑的⊙P與△ABC的交點(diǎn)不少于4個(gè)，點(diǎn)P稱(chēng)為△ABC關(guān)于∠BAC的“勁度點(diǎn)”，線段PA的長(zhǎng)度稱(chēng)為△ABC關(guān)于∠BAC的“勁度距離”．（1）如圖，在∠BAC平分線AD上的四個(gè)點(diǎn)、、、中，連接點(diǎn)A和點(diǎn)的線段長(zhǎng)度是△ABC關(guān)于∠BAC的“勁度距離”．（2）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)M（0，t），N（4，0）．①當(dāng)t=時(shí)，求出△MON關(guān)于∠MON的“勁度距離”的最大值．②如果內(nèi)至少有一個(gè)值是△MON關(guān)于∠MON的“勁度距離”，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的取值范圍．15．對(duì)于平面內(nèi)的圖形G1和圖形G2，記平面內(nèi)一點(diǎn)P到圖形G1上各點(diǎn)的最短距離為d1，點(diǎn)P到圖形G2上各點(diǎn)的最短距離為d2，若d1＝d2，就稱(chēng)點(diǎn)P是圖形G1和圖形G2的一個(gè)“等距點(diǎn)”．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（6，0），B（0，）．（1）在C（4，0），D（2，0），E（1，3）三點(diǎn)中，點(diǎn)A和點(diǎn)B的等距點(diǎn)是；（2）已知直線y=2．①若點(diǎn)A和直線y=2的等距點(diǎn)在x軸上，則該等距點(diǎn)的坐標(biāo)為；②若直線y=b上存在點(diǎn)A和直線y＝2的等距點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（3）記直線AB為直線l1，直線l2：，以原點(diǎn)O為圓心作半徑為r的⊙O．若⊙O上有m個(gè)直線l1和直線l2的等距點(diǎn)，以及n個(gè)直線l1和y軸的等距點(diǎn)（m≠0，n≠0），當(dāng)m≠n時(shí)，求r的取值范圍．16．對(duì)于平面內(nèi)的點(diǎn)M，如果點(diǎn)P，點(diǎn)Q與點(diǎn)M所構(gòu)成的是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，則稱(chēng)點(diǎn)P，點(diǎn)Q為點(diǎn)M的一對(duì)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，進(jìn)一步地，在中，若頂點(diǎn)M，P，Q按順時(shí)針排列，則稱(chēng)點(diǎn)P，點(diǎn)Q為點(diǎn)M的一對(duì)“順關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；若頂點(diǎn)M，P，Q按逆時(shí)針排列，則稱(chēng)點(diǎn)P，點(diǎn)Q為點(diǎn)M的一對(duì)“逆關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．已知，（1）在中，點(diǎn)A的一對(duì)關(guān)聯(lián)點(diǎn)是____，它們?yōu)辄c(diǎn)A的一對(duì)___關(guān)聯(lián)點(diǎn)（填“順”或“逆”）；（2）以原點(diǎn)O為圓心作半徑為1的圓，已知直線．①若點(diǎn)P在⊙O上，點(diǎn)Q在直線l上，點(diǎn)P，點(diǎn)Q為點(diǎn)A的一對(duì)關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求b的值；②若在⊙O上存在點(diǎn)R，在直線l上存在兩點(diǎn)和，其中，且點(diǎn)T，點(diǎn)S為點(diǎn)R的一對(duì)順關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求b的取值范圍．17．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意兩點(diǎn)，若（k為常數(shù)且），則稱(chēng)點(diǎn)M為點(diǎn)N的k倍直角點(diǎn)．根據(jù)以上定義，解決下列問(wèn)題：（1）已知點(diǎn)①若點(diǎn)是點(diǎn)A的k倍直角點(diǎn)，則k的值是___________；②在點(diǎn)中是點(diǎn)A的2倍直角點(diǎn)的是_______；③若直線上存在點(diǎn)A的2倍直角點(diǎn)，求b的取值范圍；（2）的圓心T的坐標(biāo)為，半徑為r，若上存在點(diǎn)O的2倍直角點(diǎn)，直接寫(xiě)出r的取值范圍．18．在平面直角坐標(biāo)系中，任意兩點(diǎn)，，定義線段的“直角長(zhǎng)度”為．（1）已知點(diǎn)．①________；②已知點(diǎn)，若，求m的值；（2）在三角形中，若存在兩條邊“直角長(zhǎng)度”之和等于第三條邊的“直角長(zhǎng)度”，則稱(chēng)該三角形為“和距三角形”．已知點(diǎn)．①點(diǎn)．如果為“和距三角形”，求d的取值范圍；②在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C為直線上一點(diǎn)，點(diǎn)K是坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，當(dāng)點(diǎn)C在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)K均滿(mǎn)足使為“和距三角形”，請(qǐng)你直接寫(xiě)出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的取值范圍．19．如圖，直線l和直線l外一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)H任取直線l上點(diǎn)Q，點(diǎn)H關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，標(biāo)點(diǎn)為點(diǎn)P關(guān)于直線l的垂對(duì)點(diǎn)．在平面直角坐標(biāo)系中，（1）已知點(diǎn)，則點(diǎn)中是點(diǎn)P關(guān)于x軸的垂對(duì)點(diǎn)的是_______；（2）已知點(diǎn)，且，直線上存在點(diǎn)M關(guān)于x軸的垂對(duì)點(diǎn)，求m的取值范圍；（3）已知點(diǎn)，若直線上存在兩個(gè)點(diǎn)N關(guān)于x軸的垂對(duì)點(diǎn)，直接寫(xiě)出n的取值范圍，20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于圖形Q和∠P，給出如下定義：若圖形Q上的所有的點(diǎn)都在∠P的內(nèi)部或∠P的邊上，則∠P的最小值稱(chēng)為點(diǎn)P對(duì)圖形Q的可視度．如圖1，∠AOB的度數(shù)為點(diǎn)O對(duì)線段AB的可視度．（1）已知點(diǎn)N（2，0），在點(diǎn)，，中，對(duì)線段ON的可視度為60o的點(diǎn)是______．（2）如圖2，已知點(diǎn)A（-2，2），B（-2，-2），C（2，-2），D（2，2），E（0，4）．①直接寫(xiě)出點(diǎn)E對(duì)四邊形ABCD的可視度為_(kāi)_____°；②已知點(diǎn)F（a，4），若點(diǎn)F對(duì)四邊形ABCD的可視度為45°，求a的值．21．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)A和線段，如果點(diǎn)A，O，M，N按逆時(shí)針?lè)较蚺帕袠?gòu)成菱形，且，則稱(chēng)線段是點(diǎn)A的“相關(guān)線段”．例如，圖1中線段是點(diǎn)A的“-相關(guān)線段”．（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是．①在圖2中畫(huà)出點(diǎn)A的“-相關(guān)線段”，并直接寫(xiě)出點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)；②若點(diǎn)A的“-相關(guān)線段”經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的值；（2）若存在使得點(diǎn)P的“-相關(guān)線段”和“-相關(guān)線段”都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，記，直接寫(xiě)出t的取值范圍．

參考答案1．（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)．【分析】（1）以點(diǎn)A為圓心，分別以為半徑畫(huà)圓，進(jìn)而觀察是否與有交點(diǎn)即可；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得是等邊三角形，且是的弦，進(jìn)而畫(huà)出圖象，則根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解；（3）由是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，則可知都在上，且，然后由題意可根據(jù)圖象來(lái)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）由題意得：通過(guò)觀察圖象可得：線段能繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°得到的“關(guān)聯(lián)線段”，都不能繞點(diǎn)A進(jìn)行旋轉(zhuǎn)得到；故答案為；（2）由題意可得：當(dāng)是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”時(shí)，則有是等邊三角形，且邊長(zhǎng)也為1，當(dāng)點(diǎn)A在y軸的正半軸上時(shí)，如圖所示：設(shè)與y軸的交點(diǎn)為D，連接，易得軸，∴，∴，，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)A在y軸的正半軸上時(shí)，如圖所示：同理可得此時(shí)的，∴；（3）由是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，則可知都在上，且，則有當(dāng)以為圓心，1為半徑作圓，然后以點(diǎn)A為圓心，2為半徑作圓，即可得到點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖所示：由運(yùn)動(dòng)軌跡可得當(dāng)點(diǎn)A也在上時(shí)為最小，最小值為1，此時(shí)為的直徑，∴，∴，∴；由以上情況可知當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，OA的值為最大，最大值為2，如圖所示：連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)P，∴，設(shè)，則有，∴由勾股定理可得：，即，解得：，∴，∴，在中，，∴；綜上所述：當(dāng)時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)．【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的綜合、圓的基本性質(zhì)、三角函數(shù)及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)、三角函數(shù)及等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（1）平行，P3；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)圓的性質(zhì)及“平移距離”的定義填空即可；（2）過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，交弦CD于點(diǎn)F，分別求出OE、OF的長(zhǎng)，由得到的最小值；（3）線段AB的位置變換，可以看作是以點(diǎn)A為圓心，半徑為1的圓，只需在⊙O內(nèi)找到與之平行，且長(zhǎng)度為1的弦即可．平移距離的最大值即點(diǎn)A，B點(diǎn)的位置，由此得出的取值范圍．【詳解】解：（1）平行；P3；（2）如圖，線段AB在直線上，平移之后與圓相交，得到的弦為CD，CD∥AB，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，交弦CD于點(diǎn)F，OF⊥CD，令，直線與x軸交點(diǎn)為（-2，0），直線與x軸夾角為60°，∴．由垂徑定理得：，∴；（3）線段AB的位置變換，可以看作是以點(diǎn)A為圓心，半徑為1的圓，只需在⊙O內(nèi)找到與之平行，且長(zhǎng)度為1的弦即可；點(diǎn)A到O的距離為．如圖，平移距離的最小值即點(diǎn)A到⊙O的最小值：；平移距離的最大值線段是下圖AB的情況，即當(dāng)A1,A2關(guān)于OA對(duì)稱(chēng)，且A1B2⊥A1A2且A1B2=1時(shí).∠B2A2A1=60°，則∠OA2A1=30°,∵OA2=1,∴OM=,A2M=,∴MA=3,AA2=,∴的取值范圍為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)及與一次函數(shù)的綜合運(yùn)用，熟練掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（1）；（2）①P的縱坐標(biāo)或；②.【分析】（1）由三角函數(shù)值及等腰直角三角形性質(zhì)可求得DE=2，最長(zhǎng)中內(nèi)弧即以DE為直徑的半圓，的長(zhǎng)即以DE為直徑的圓周長(zhǎng)的一半；

（2）根據(jù)三角形中內(nèi)弧定義可知，圓心一定在DE的中垂線上，，①當(dāng)時(shí)，要注意圓心P在DE上方的中垂線上均符合要求，在DE下方時(shí)必須AC與半徑PE的夾角∠AEP滿(mǎn)足90°≤∠AEP＜135°；②根據(jù)題意，t的最大值即圓心P在AC上時(shí)求得的t值．【詳解】解：（1）如圖2，以DE為直徑的半圓弧，就是△ABC的最長(zhǎng)的中內(nèi)弧，連接DE，∵∠A=90°，AB=AC=2，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，，∴??；（2）如圖3，由垂徑定理可知，圓心一定在線段DE的垂直平分線上，連接DE，作DE垂直平分線FP，作EG⊥AC交FP于G，①當(dāng)時(shí)，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），，設(shè)由三角形中內(nèi)弧定義可知，圓心線段DE上方射線FP上均可，∴m≥1，∵OA=OC，∠AOC=90°

∴∠ACO=45°，

∵DE∥OC

∴∠AED=∠ACO=45°

作EG⊥AC交直線FP于G，F(xiàn)G=EF=根據(jù)三角形中內(nèi)弧的定義可知，圓心在點(diǎn)G的下方（含點(diǎn)G）直線FP上時(shí)也符合要求；綜上所述，或m≥1．②圖4，設(shè)圓心P在AC上，

∵P在DE中垂線上，

∴P為AE中點(diǎn)，作PM⊥OC于M，則PM=，∵DE∥BC

∴∠ADE=∠AOB=90°，∵PD=PE，

∴∠AED=∠PDE

∵∠AED+∠DAE=∠PDE+∠ADP=90°，

∴∠DAE=∠ADP由三角形中內(nèi)弧定義知，PD≤PM，AE≤3，即，解得：【點(diǎn)睛】此題是一道圓的綜合題，考查了圓的性質(zhì)，弧長(zhǎng)計(jì)算，直角三角形性質(zhì)等，給出了“三角形中內(nèi)弧”新定義，要求學(xué)生能夠正確理解新概念，并應(yīng)用新概念解題．4．（1）2；（2）或；（3）或或．【詳解】分析：（1）畫(huà)出圖形，根據(jù)“閉距離”的概念結(jié)合圖形進(jìn)行求解即可.（2）分和兩種情況，畫(huà)出示意圖，即可解決問(wèn)題.（3）畫(huà)出圖形，直接寫(xiě)出t的取值范圍．詳解：（1）如下圖所示：∵（，），（6，）∴（0，）∴（，）（2）或（3）或或．點(diǎn)睛：屬于新定義問(wèn)題，考查點(diǎn)到直線的距離，圓的切線的性質(zhì)，認(rèn)真分析材料，讀懂“閉距離”的概念是解題的關(guān)鍵.5．（1）C；（2）﹣1﹣≤xk≤1﹣或﹣1≤xk≤1+；（3）m≤3﹣2或m≥3+2．【分析】（1）由題意可知當(dāng)Q與A重合時(shí)，點(diǎn)C在以AP為直徑的圓上，所以可以成為點(diǎn)P與線段AB的共圓點(diǎn)的是C；（2）根據(jù)題意由兩點(diǎn)的距離公式可得AP=BP=2，分別畫(huà)以AP和BP為直徑的圓交x軸于4個(gè)點(diǎn)：K1、K2、K3、K4，結(jié)合圖形2可得4個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得結(jié)論；（3）由題意先根據(jù)直線y=x+3，當(dāng)x=0和y=0計(jì)算與x軸和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，分兩種情況：M在A的左側(cè)和右側(cè)，先計(jì)算圓E與直線y=x+3相切時(shí)m的值，從而根據(jù)圖形可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖1，可以成為點(diǎn)P與線段AB的共圓點(diǎn)的是C，故答案為：C；（2）∵P（0，1），點(diǎn)A（﹣2，﹣1），點(diǎn)B（2，﹣1）．∴AP＝BP＝＝2，如圖2，分別以PA、PB為直徑作圓，交x軸于點(diǎn)K1、K2、K3、K4，∵OP＝OG＝1，OE∥AB，∴PE＝AE＝，∴OE＝AG＝1，∴K1（﹣1﹣，0），k2（1﹣，0），k3（﹣1，0），k4（1+，0），∵點(diǎn)K為點(diǎn)P與線段AB的共圓點(diǎn)，∴﹣1﹣≤xk≤1﹣或﹣1≤xk≤1+；（3）分兩種情況：①如圖3，當(dāng)M在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，Q為線段AM上一動(dòng)點(diǎn)，以PQ為直徑的圓E與直線y＝x+3相切于點(diǎn)F，連接EF，則EF⊥FH，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，當(dāng)y＝0時(shí)，y＝x+3＝0，x＝﹣6，∴ON＝3，OH＝6，∵tan∠EHF＝＝＝，設(shè)EF＝a，則FH＝2a，EH＝a，∴OE＝6﹣a，Rt△OEP中，OP＝1，EP＝a，由勾股定理得：EP2＝OP2+OE2，∴，解得：a＝（舍去）或，∴QG＝2OE＝2（6﹣a）＝﹣3+2，∴m≤3﹣2；②如圖4，當(dāng)M在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，Q為線段AM上一動(dòng)點(diǎn)，以PQ為直徑的圓E與直線y＝x+3相切于點(diǎn)F，連接EF，則EF⊥FH，同理得QG＝3+2，∴m≥3+2，綜上，m的取值范圍是m≤3﹣2或m≥3+2．【點(diǎn)睛】本題屬于圓和一次函數(shù)綜合題，考查一次函數(shù)的應(yīng)用，新定義：M為點(diǎn)P與線段AB的共圓點(diǎn)，圓的切線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用圖象法解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用特殊點(diǎn)解決取值范圍問(wèn)題.6．（1）①∠AP2B，∠AP3B；②﹣5＜b≤5；（2）n的最大值為2；t的取值范圍是﹣﹣1≤t＜5【分析】（1）判斷點(diǎn)P1，P2，P3是否在以AB為直徑的圓弧上即可得出答案；（2）求得直線AB的解析式，當(dāng)直線y=2x+b與弧AB相切時(shí)為臨界情況，證明△OAH∽△BAD，可求出此時(shí)b=5，則答案可求出；（3）可知線段MN上任意一點(diǎn)（不包含點(diǎn)M）都必須在以TD為直徑的圓上，該圓的半徑為2，則當(dāng)點(diǎn)N在該圓的最高點(diǎn)時(shí)，n有最大值2，再分點(diǎn)H不與點(diǎn)M重合，點(diǎn)M與點(diǎn)H重合兩種情況求出臨界位置時(shí)的t值即可得解．【詳解】解：（1）如圖1，，，，，，，不在以為直徑的圓弧上，故不是關(guān)于的內(nèi)直角，，，，，，，，，是關(guān)于的內(nèi)直角，同理可得，，是關(guān)于的內(nèi)直角，故答案為：，；（2）是關(guān)于的內(nèi)直角，，且點(diǎn)在的內(nèi)部，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)形成的圖形為如圖2中的半圓（點(diǎn)，均不能取到），過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，，，，，并可求出直線的解析式為，當(dāng)直線過(guò)直徑時(shí)，，連接，作直線交半圓于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，交軸于點(diǎn)，，，，，是半圓的切線．，，，，，，，，，，，直線的解析式為，直線的解析式為，此時(shí)，的取值范圍是．（3）對(duì)于線段上每一個(gè)點(diǎn)，都存在點(diǎn)，使是關(guān)于的最佳內(nèi)直角，點(diǎn)一定在的邊上，，，線段上任意一點(diǎn)（不包含點(diǎn)都必須在以為直徑的圓上，該圓的半徑為2，當(dāng)點(diǎn)在該圓的最高點(diǎn)時(shí)，有最大值，即的最大值為2．分兩種情況：①若點(diǎn)不與點(diǎn)重合，那么點(diǎn)必須在邊上，此時(shí)，點(diǎn)在以為直徑的圓上，如圖3，當(dāng)與相切時(shí)，，，，，，，，，，，，當(dāng)與重合時(shí)，，此時(shí)的取值范圍是，②若點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，臨界位置有兩個(gè)，一個(gè)是當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，另一個(gè)是當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的取值范圍是，綜合以上可得，的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合的思想，正確理解最佳內(nèi)直角的意義是解本題的關(guān)鍵．7．（1）①，，，②O；（2）；（3）0＜r≤3．【分析】（1）①根據(jù)垂線段最短以及已知條件，確定OP，CP的最大值，最小值即可解決問(wèn)題．②根據(jù)限距關(guān)系的定義判斷即可．（2）直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)F，G（0，b），分三種情形：①線段FG在⊙O內(nèi)部，②線段FG與⊙O有交點(diǎn)，③線段FG與⊙O沒(méi)有交點(diǎn)，分別構(gòu)建不等式求解即可．（3）如圖3中，不妨設(shè)⊙K，⊙H的圓心在x軸上位于y軸的兩側(cè)，根據(jù)⊙H和⊙K都滿(mǎn)足限距關(guān)系，構(gòu)建不等式求解即可．【詳解】（1）①如圖1中，∵D（-1，0），E(0，)，∴OD=1，，∴，∴∠EDO=60°，當(dāng)OP⊥DE時(shí)，，此時(shí)OP的值最小，當(dāng)點(diǎn)P與E重合時(shí)，OP的值最大，最大值為，當(dāng)CP⊥DE時(shí)，CP的值最小，最小值，當(dāng)點(diǎn)P與D或E重合時(shí)，PC的值最大，最大值為2，故答案為：，，.②根據(jù)限距關(guān)系的定義可知，線段DE上存在兩點(diǎn)M，N，滿(mǎn)足OM=2ON，故點(diǎn)O與線段DE滿(mǎn)足限距關(guān)系．故答案為O．（2）直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)F，G（0，b），當(dāng)0＜b＜1時(shí)，線段FG在⊙O內(nèi)部，與⊙O無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)⊙O上的點(diǎn)到線段FG的最小距離為1-b，最大距離為1+b，∵線段FG與⊙O滿(mǎn)足限距關(guān)系，∴1+b≥2（1-b），解得，∴b的取值范圍為．當(dāng)1≤b≤2時(shí)，線段FG與⊙O有公共點(diǎn)，線段FG與⊙O滿(mǎn)足限距關(guān)系，當(dāng)b＞2時(shí)，線段FG在⊙O的外部，與⊙O沒(méi)有公共點(diǎn)，此時(shí)⊙O上的點(diǎn)到線段FG的最小距離為，最大距離為b+1，∵線段FG與⊙O滿(mǎn)足限距關(guān)系，∴，而總成立，∴b＞2時(shí)，線段FG與⊙O滿(mǎn)足限距關(guān)系，綜上所述，b的取值范圍為．（3）如圖3中，不妨設(shè)⊙K，⊙H的圓心在x軸上位于y軸的兩側(cè)，

兩圓的距離的最小值為2r-2，最大值為2r+2，∵⊙H和⊙K都滿(mǎn)足限距關(guān)系，∴2r+2≥2（2r-2），解得r≤3，故r的取值范圍為0＜r≤3．【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，考查了解直角三角形，垂線段最短，直線與圓的位置關(guān)系，限距關(guān)系的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建不等式解決問(wèn)題，屬于中考創(chuàng)新題型．8．（1）①：②或；（2）或【分析】（1）①根據(jù)定義求出三角形面積與OA2進(jìn)行比較即可確定線段的“等冪點(diǎn)”；②如圖，由是線段OA的“等冪三角形”，可得．由點(diǎn)A的坐標(biāo)為，若記中邊上的高為h，可得，求出．由是等腰三角形，點(diǎn)B在線段OA的垂直平分線上即可求點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，6）或（，-6）；（2）設(shè)半圓與x軸交于G，H兩點(diǎn)，過(guò)T作CH的平行線與半圓交于R，作CH的垂線交半圓于Q，直線y=x-3與y軸交于N，設(shè)D（x，x-3），過(guò)D作y軸平行線，與過(guò)C作x軸平行線交于F，求出N(0，-3),H(3，0)，可證△ONH為等腰直角三角形，∠OHN=∠ONH=45°，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)分兩種情況，第一種情況點(diǎn)D在射線CH，去掉線段CH部分運(yùn)動(dòng)，在Rt△TCH中TH=2，TC=CH=TH×sin45°=2，QC=2，又因?yàn)椤鱁CD為銳角三角形，點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E到CD的距離h的范圍是，可求h=2CD=2(x-2)，；第二種情況點(diǎn)D在射線CU上，去掉線段CU部分運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)，求出GU=GH×cos45°=，可得，可求，解不等式即可得．【詳解】（1）①=，P1不是線段OA的“等冪點(diǎn)”．=，P2是線段OA的“等冪點(diǎn)”．=，P3不是線段OA的“等冪點(diǎn)”．=，P4是線段OA的“等冪點(diǎn)”．是線段的“等冪點(diǎn)”的是，故答案為：：②如圖，∵是線段OA的“等冪三角形”，∴．∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，若記中邊上的高為h，則有．解得．∴點(diǎn)B在直線或上．∵是等腰三角形，∴點(diǎn)B在線段OA的垂直平分線上．OA的垂直平分線為x=,與直線或的交點(diǎn)為B1（，6），B2（，-6），綜上所述，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，6）或（，-6），（2）設(shè)半圓與x軸交于G，H兩點(diǎn)，過(guò)T作CH的平行線與半圓交于R，作CH的垂線交半圓于Q，直線y=x-3與y軸交于N，設(shè)D（x，x-3），過(guò)D作y軸平行線，與過(guò)C作x軸平行線交于F，當(dāng)x=0時(shí)，y=-3,N(0，-3),當(dāng)y=0時(shí)，x-3=0，x=3，H(3，0)，∴ON=3=OH，△ONH為等腰直角三角形，∠OHN=∠ONH=45°，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)分兩種情況，第一種情況點(diǎn)D在射線CH，去掉線段CH部分運(yùn)動(dòng)，∵TC⊥NH，∠OHN=45°，∴△TCH為等腰直角三角形，在Rt△TCH中TH=2，TC=CH=TH×sin45°=2，QC=2，又因?yàn)椤鱁CD為銳角三角形，點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E到CD的距離h的范圍是，CD=CF÷cos45°=CF=(x-2)，∵線段的“等冪三角形”，S△CDE==CD2，∴h=2CD=2(x-2)，∴，解得，點(diǎn)D在H右側(cè)，x>3，∴；第二種情況點(diǎn)D在射線CU上，去掉線段CU部分運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)，又因?yàn)椤鱁CD為銳角三角形，GU=GH×cos45°=，∴，∵線段的“等冪三角形”，S△CDE==CD2，∴h=2CD=2(2-x)，則，解得，D的橫坐標(biāo)的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】本題考查新定義問(wèn)題，仔細(xì)閱讀新定義，抓住三角形的高為底的二倍，涉及三角形面積，等腰三角形，等腰直角三角形，線段垂直平分線，一次函數(shù)的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，銳角三角函數(shù)，銳角三角形，列雙邊不等式，解不等式等知識(shí)，難度較大，綜合較強(qiáng)，熟練掌握多方面知識(shí)才是解題關(guān)鍵．9．（1）平行，P1；（2）的最小值為；（3）．【分析】（1）根據(jù)圖形，比較PP1，PP2的長(zhǎng)度即可求解；（2）根據(jù)已知條件求得∠P1BE=45，過(guò)P1作P1Q⊥BE于Q，則△P1QB為等腰直角三角形，利用特殊角三角函數(shù)值即可求解；（3）先找到最值點(diǎn)，再利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可求解．【詳解】（1）解：由圖可得MN∥M1N1，MN∥M2N2，∴M1N1∥M2N2，而PP1<PP2，故線段MN到正方形ABCD的“平移距離”為PP1；故答案為：平行，P1；（2）∵B(0，)，C(，0)，四邊形ABCD為正方形，∴BC=，∠BCA=45，∵E(，0)，∴CE=BC，∴∠1=∠2，則∠1+∠2=∠BCA=45，∴∠1=∠2=22.5，在Rt△BMN中，BP1為斜邊上的中線，則BP1=MN==NP1，∴∠P1BN=∠P1NB，又MN∥BE，∴∠2=∠P1NB，∴∠2=∠P1NB=45，∠P1BE=∠2+∠P1BN=45，過(guò)P1作P1Q⊥BE于Q，則△P1QB為等腰直角三角形，在Rt△P1QB中，P1Q=P1B=，∴的最小值為；（3）解：根據(jù)題意，P1、P2分別是AB、BC的中點(diǎn)，則線段MN到正方形ABCD的“平移距離”最大為PP1，最小為PP2，此時(shí)，P1(，)，P2(，)，∴PP1=，PP2=，∴的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．10．（1）①；②；（2）①；②【分析】（1）①點(diǎn)A在y軸上，則點(diǎn)B在x軸上，且OB=OA=2，從而易得點(diǎn)B的坐標(biāo)；②由OA=OB，過(guò)A、B分別作x軸的垂線于N、M，則可得△ANO≌△OMB，故有AN=OM=2，ON=BM=1，再由點(diǎn)在第二象限，從而可得點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）①分別過(guò)點(diǎn)E、E作x軸的垂線，垂足分別為H、Q，則由，可得,由此可得點(diǎn)的坐標(biāo)；②由①知，點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)相等，表明點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上，當(dāng)點(diǎn)位于第一象限的圓上時(shí)，最大,此時(shí)，從而可得點(diǎn)坐標(biāo)為，這樣可求得的最大值．【詳解】解：（1）①因點(diǎn)A在y軸上，故點(diǎn)B必在x軸正半軸上，又OB=OA=2，所以點(diǎn)A坐標(biāo)為；故答案為：．②如圖，過(guò)A、B分別作x軸的垂線于N、M．則∠ANO=∠OMB=90，∴∠AON+∠A=90°∵∠AOB=90°，∴∠AON+∠BOM=90°，∴∠A=∠BOM，∵OA=OB，∴△ANO≌△OMB，∴AN=OM=2，ON=BM=1，根據(jù)題意，點(diǎn)A必在第二象限，∴A．故答案為：．（2）①如圖，過(guò)點(diǎn)E作軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)Q．由題意可知，．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．②∵EF∥x軸∴軸連接，延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)H，則軸；過(guò)點(diǎn)作x軸的平行線，過(guò)點(diǎn)E作y軸的平行線，兩線交于點(diǎn)D，則，如圖所示；由①知，點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)相等，∴，表明點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上，且位于與圓相交的圓內(nèi)的一條線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)位于第一象限上的圓上時(shí)，即時(shí)，最大，∵△是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，，在中，由勾股定理得：，即的最大值為：．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，對(duì)于新定義這類(lèi)問(wèn)題，關(guān)鍵是弄清楚新定義的含義，抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，本題新定義的實(shí)質(zhì)是旋轉(zhuǎn)，通過(guò)作x軸的垂線，構(gòu)造兩個(gè)全等的直角三角形，問(wèn)題便容易解決．11．（1）①3，；②；（2）；（3）【分析】（1）①觀察圖象d的最小值是OA長(zhǎng),最大值是OB長(zhǎng),由勾股定理得出結(jié)果;②由題意知P1；（2）如圖，可得OE1=3，解得此時(shí)x=，OE2=7，解得x=3，可求出范圍；（3）由點(diǎn)C在以O(shè)為圓心5為半徑的上半圓上運(yùn)動(dòng)，推出以C為圓心2為半徑的圓剛好與弧HK相切，此時(shí)要想弧HK上任意兩點(diǎn)都是圓C的平衡點(diǎn)，需要滿(mǎn)足CK≤6，CH≤6，分兩種情形分別求出b的值即可判斷．【詳解】解：（1）①由題意知：OA＝3，OB＝，則d的最小值是3，最大值是；②根據(jù)平衡點(diǎn)的定義，點(diǎn)P1與點(diǎn)O是線段AB的一對(duì)平衡點(diǎn)，故答案為3，，P1；（2）如圖2中，由題意點(diǎn)D到⊙O的最近距離是4，最遠(yuǎn)距離是6，∵點(diǎn)D與點(diǎn)E是⊙O的一對(duì)平衡點(diǎn)，此時(shí)需要滿(mǎn)足E1到⊙O的最大距離是4，即OE1＝3，可得x＝，同理：當(dāng)E2到⊙的最小距離為是6時(shí)，OE2＝7，此時(shí)x＝，綜上所述，滿(mǎn)足條件的x的值為≤x≤；（3）∵點(diǎn)C在以O(shè)為圓心5為半徑的上半圓上運(yùn)動(dòng)，∴以C為圓心2為半徑的圓剛好與弧HK相切，此時(shí)要想弧HK上任意兩點(diǎn)都是圓C的平衡點(diǎn)需要滿(mǎn)足CK≤6，CH≤6，如圖3-1中，當(dāng)CK=6時(shí)，作CM⊥HK于M．則，解得：（舍去），如圖3-3中，當(dāng)CH=6時(shí)，同法可得a=，b=，在兩者中間時(shí)，a=0，b=5，觀察圖象可知：滿(mǎn)足條件的b的值為．【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，考查了點(diǎn)P與點(diǎn)Q是圖形W的一對(duì)平衡點(diǎn)．兩圓的位置關(guān)系，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)取特殊點(diǎn)特殊位置解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．12．（1）見(jiàn)解析；（2）k≥4；（3）0＜m≤1或m＜0．【分析】（1）BA＝BM，∠ABM＝90°，則圓的半徑AM＝AB＝AC，故點(diǎn)C在圓上，即可求解；（2）分a＝2、a＞2、a＜2三種情況，分別探究即可求解；（3）分m＝1、0＜m＜1、m＝0、m＜0、m＞1五種情況，通過(guò)畫(huà)圖探究即可求解．【詳解】（1）∵BA＝BM，∠ABM＝90°，∴圓的半徑AM＝AB＝AC，故點(diǎn)C在圓上，補(bǔ)全圖形如圖1，（2）設(shè)A（2，a），當(dāng)a＝2時(shí)，正方形ABCD的頂點(diǎn)C恰好落在⊙A上（如圖2）；當(dāng)a＞2時(shí)，正方形ABCD的頂點(diǎn)均落在⊙A內(nèi)部（如圖3）；當(dāng)a＜2時(shí)，正方形ABCD的頂點(diǎn)C落在⊙A外部（如圖4）；∵反比例函數(shù)過(guò)點(diǎn)，∴當(dāng)a≥2時(shí)，則k≥4，∴k的取值范圍為：k≥4；（3）當(dāng)m＝1時(shí)，正方形ABCD的頂點(diǎn)C恰好落在⊙A上（如圖5）；當(dāng)0＜m＜1時(shí)，正方形ABCD均落在⊙A內(nèi)部（如圖6）；當(dāng)m＝0時(shí)，△ABO不存在；當(dāng)m＜0時(shí)，正方形ABCD均落在⊙A內(nèi)部（如圖7）；當(dāng)m＞1時(shí)，正方形ABCD的頂點(diǎn)C落在⊙A外部（如圖8），（當(dāng)m＝2時(shí)△ABO不存在）；綜上分析，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)m的取值范圍為：0＜m≤1或m＜0．【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)、一次函數(shù)、圓的基本知識(shí)，本題的關(guān)鍵是弄懂題意、正確畫(huà)圖，題目的綜合強(qiáng)較強(qiáng)，難度較大．13．（1）①C2，C4；②且k≠1；（2）且t≠2．【分析】（1）①先確定出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的范圍即可得出結(jié)論；②先確定出分界點(diǎn)點(diǎn)P，P'的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；（2）表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再分點(diǎn)E在線段AD和BD上，求出AE，利用0≤AE≤2t，且AE≠t，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）當(dāng)t＝2時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴D（2，0），①如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，則∠CED＝90°，∴CE⊥AB，即點(diǎn)C和點(diǎn)E的橫坐標(biāo)相同，∵點(diǎn)E是以CD為直徑與邊AB的交點(diǎn)，∴0≤AE≤4，∵點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，∴AE≠2，∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)大于等于0小于等于4，且不等于2，即點(diǎn)E的橫坐標(biāo)大于等于0小于等于4，且不等于2，∵點(diǎn)C1（﹣3，2），C2（0，2），C3（2，4），C4（4，2），∴只有點(diǎn)C2，C4的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足條件，故答案為C2，C4；②∵△ABC的中線CD＝4，∴點(diǎn)C在以點(diǎn)D為圓心4為直徑的弧上，由①知，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)大于等于0小于等于4，且不等于2，∴點(diǎn)C在如圖2所示的上（點(diǎn)H（2，4）除外），∵點(diǎn)P是以CD為直徑的圓的圓心，∴點(diǎn)P在如圖2所示的上（點(diǎn)G（2，2）除外），在Rt△OAM中，AD＝2，MD＝4，根據(jù)勾股定理得，AO＝2，∴C（0，2），同理：C'（4，2），∵點(diǎn)P是DC的中點(diǎn)，∴P（1，），同理：點(diǎn)P'（3，），當(dāng)直線y＝kx過(guò)點(diǎn)P（1，）時(shí)，得k=，當(dāng)直線y＝kx過(guò)點(diǎn)P'（3，）時(shí)，得，當(dāng)直線y＝kx過(guò)點(diǎn)G（2，2）時(shí)，得k＝1，結(jié)合圖形，可得k的取值范圍是且k≠1；（2）同（1）①知，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)大于等于0小于等于2t，且不等于t，∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，且B（2t，0），∴D（t，0），當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時(shí)，AE＝t﹣2（t﹣2）＝﹣t+4≥0，∴t≤4，當(dāng)點(diǎn)E在線段BE上時(shí)，AE＝2（2﹣t）+t≤2t，∴t≥，∴且t≠2．【點(diǎn)睛】圓的綜合題，考查了垂徑定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，解題關(guān)鍵是判斷出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)大于等于0小于等于2t，且不等于t．14．（1）；（2）①；②或．【分析】（1）以AP為半徑，以點(diǎn)P為圓心作圓，觀察圖形，結(jié)合題意即可解答；（2）①作∠MON的角平分線OE，ON的垂直平分線PF，OE和PF相交于點(diǎn)P，此時(shí)⊙P過(guò)點(diǎn)N，線段OP的長(zhǎng)度是△MON關(guān)于∠MON的“勁度距離”最大值．由此求解即可；②由題意可知圓心都在直線y=x上，再分當(dāng)t>0和t<0時(shí)兩種情況求t的取值范圍即可．【詳解】（1）以AP為半徑，以點(diǎn)P為圓心作圓，則符合要求．故答案為：；（2）①作∠MON的角平分線OE，ON的垂直平分線PF，OE和PF相交于點(diǎn)P，此時(shí)⊙P過(guò)點(diǎn)N，線段OP的長(zhǎng)度是△MON關(guān)于∠MON的“勁度距離”最大值．易知，OE的函數(shù)表達(dá)式為y=x，PF的函數(shù)表達(dá)式為x=2，從而可得其交點(diǎn)坐標(biāo)為P（2，2）．∴=OP=；②由題意可知，圓心都在直線y=x上，①當(dāng)t>0時(shí)，當(dāng)d最大為時(shí)，圓P經(jīng)過(guò)點(diǎn)N，此時(shí)和①一樣，點(diǎn)M在（0，5）處，即t=5；當(dāng)d最小為時(shí)，圓P經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)（，），再由OP=可得，解得t=2；∴當(dāng)t>0時(shí)，t的取值范圍為．②同理，當(dāng)t<0時(shí)，t的取值范圍為．綜上所述t的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】本題時(shí)一次函數(shù)和圓的綜合題，正確理解題意是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．15．（1）D（2，0）；（2）①（4，0）或（8，0）；②b≤1；（3）r=或r≥3．【分析】（1）由兩點(diǎn)距離公式分別求出AC、BC、DA、BD、AE、BE的長(zhǎng)，即可求解；（2）①設(shè)等距點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，0），由題意可得2=|x-6|，即可求解；②根據(jù)題意，列出方程，由根的判別式可求解；（3）利用數(shù)形結(jié)合，即可求解．【詳解】解：（1）∵A（6，0），B（0，2）、C（4，0），D（2，0），E（1，3），∴AC=2，BC=2；DA=4，BD=4；AE=，BE=，∵AD=BD，故點(diǎn)D是點(diǎn)A和點(diǎn)B的等距點(diǎn)，故答案為：D；（2）①設(shè)等距點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，0），∴2=|x-6|，∴x=4或8，∴等距點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0）或（8，0），故答案為：（4，0）或（8，0）；②如圖，設(shè)直線y=b上的點(diǎn)M為點(diǎn)A和直線y=2的等距點(diǎn)，連接MA，過(guò)點(diǎn)M作直線y=2的垂線，垂足為點(diǎn)N．∵點(diǎn)M為點(diǎn)A和直線y=2的等距點(diǎn)，∴MN2=MA2．∵點(diǎn)M在直線y=b上，故可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，b），則(2-b)2=b2+(6-x)2，∴x2-12x+4b+32=0，∵方程有實(shí)根，∴△=(-12)2-4(4b+32)≥0，∴b≤1；（3）如圖2，由題意知，直線l1和直線l2的等距點(diǎn)在直線l3：y=-x+上，而直線l1和y軸的等距點(diǎn)在直線l4：y=-x+2或l5：y=x+2上．∴r=或r≥3．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)距離公式，圓的有關(guān)知識(shí)，理解新定義，利用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．16．（1）C，D，逆（或D，C，順）；（2）①，或；②．【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，分別求出AO、AB、AC、AD、OD的長(zhǎng)，根據(jù)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”及“順關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的定義即可得答案；（2）①根據(jù)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的定義可得，可得∠QPA=60°，根據(jù)⊙O半徑及點(diǎn)A坐標(biāo)可得OA=OP=AP，可得△OAP是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形點(diǎn)性質(zhì)可得∠OAP=∠POA=60°，，，可得Q1（0，0），根據(jù)∠QPA=∠POA=60°，可得PQ//OA，即可得出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，即可得Q2、Q3坐標(biāo)，把Q1、Q2、Q3坐標(biāo)代入直線l解析式求出b值即可；②作于點(diǎn)H，則，根據(jù)圓的性質(zhì)分別求出b的最大值和最小值即可得答案．【詳解】（1）∵，，∴AO=1，AB=，AC=1，AD=1，OD=，∴△ACD是等邊三角形，∴C、D是點(diǎn)A的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，∵點(diǎn)A、C、D按順時(shí)針排列，∴C、D是點(diǎn)A的“順關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，故答案為：C，D，順（或D，C，逆）（2）①如圖．∵點(diǎn)P，點(diǎn)Q為點(diǎn)A的一對(duì)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，∴為等邊三角形，，∴∠QPA=60°，∵以原點(diǎn)O為圓心作半徑為1的圓，點(diǎn)P在⊙O上，OA=1，∴OA=OP=AP，∴△OAP是等邊三角形，∴∠OAP=∠POA=60°，，，∴Q1（0，0），∵點(diǎn)Q在直線l上，∴b1=0，∵∠QPA=∠POA=60°，∴PQ//OA，∴點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為+1=，∵，∴點(diǎn)Q縱坐標(biāo)為，∴，當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，解得：．綜上所述，，或．②如圖．∵點(diǎn)T，點(diǎn)S為點(diǎn)R的一對(duì)順關(guān)聯(lián)點(diǎn)，∴為正三角形，，軸，點(diǎn)T和點(diǎn)S在直線上．作于點(diǎn)H，則，當(dāng)b取最大值時(shí)，，，此時(shí)．當(dāng)b取最小值時(shí)，，，此時(shí)．綜上所述，b的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形點(diǎn)判定與性質(zhì)、圓點(diǎn)性質(zhì)及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)特征，正確理解“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”點(diǎn)概念是解題關(guān)鍵．17．（1）①；②D、O；③b的取值范圍為：；（2）的取值范圍為．【分析】（1）①根據(jù)k倍直角點(diǎn)的定義計(jì)算即可求解；②根據(jù)“2倍直角點(diǎn)”的定義分別計(jì)算，即可判斷；③根據(jù)“2倍直角點(diǎn)”的定義得到如圖所示有正方形的邊界即為點(diǎn)A的2倍直角點(diǎn)存在的區(qū)域，列式計(jì)算，即可求解；（2）若上存在點(diǎn)O的2倍直角點(diǎn)，即與如圖的正方形有交點(diǎn)(正方形的邊界為點(diǎn)O的2倍直角點(diǎn)存在的區(qū)域)，根據(jù)切線的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值即可求解．【詳解】（1）①根據(jù)k倍直角點(diǎn)的定義得：，故答案為：；②點(diǎn)C(2，3)，，點(diǎn)D(?1，1)，，點(diǎn)E(0，?2)，，點(diǎn)O(0，0)，，∴是點(diǎn)A的2倍直角點(diǎn)的是D(?1，1)，O(0，0)，故答案為：D、O；③如圖，正方形的邊界即為點(diǎn)A的2倍直角點(diǎn)存在的區(qū)域，若直線與其有交點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)(-1，1)時(shí)，b值最小，即，解得：，當(dāng)過(guò)點(diǎn)(3，1)時(shí)，b值最大，即，解得：，∴b的取值范圍為：；（2）若上存在點(diǎn)O的2倍直角點(diǎn)，即與如圖的正方形有交點(diǎn)(正方形的邊界為點(diǎn)O的2倍直角點(diǎn)存在的區(qū)域)，由圖可知，當(dāng)⊙T與正方形有交點(diǎn)為H(0，0)時(shí)，⊙T的半徑最大，即；當(dāng)⊙T與直線MN相切時(shí)，⊙T的半徑最小，過(guò)T作TQ⊥MN于Q，即，根據(jù)正方形的性質(zhì)知∠MNO=，∴,∵，∴，∴的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題屬于新定義與一次函數(shù)相結(jié)合的綜合壓軸題，考查了正方形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，切線的性質(zhì)等知識(shí)，讀懂定義，緊扣定義解題，熟練掌握“k倍直角點(diǎn)”的定義是解答此題的關(guān)鍵．18．（1）①5；②或7；（2）①且；②＜或【分析】（1）①根據(jù)題意把，代入計(jì)算即可；②把，代入公式，求得，去絕對(duì)值求得m的值即可；（2）①據(jù)題意，銳角三角形不可能為“和距三角形”，結(jié)合圖像求出d的取值范圍；②結(jié)合圖形畫(huà)出所有可能情況即可求出的取值范圍．【詳解】解：（1）①∵∴；故答案為：5②知點(diǎn)，若，∴∴，或∴或7；（2）①當(dāng)＞時(shí)，不存在“和距三角形”，∴當(dāng)時(shí)，構(gòu)成直角三角形如圖，符合要求，當(dāng)時(shí)，構(gòu)成鈍角三角形如圖，符合要求，∴且②據(jù)題意，點(diǎn)K的軌跡是以點(diǎn)C為圓心，半徑為1的圓，且銳角三角形不可能為“和距三角形”，如圖：∴綜上所述：＜或【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，類(lèi)比法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，圓的切線等，解