2024屆甘肅省蘭州市七里河區(qū)蘭州五十五中數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2024屆甘肅省蘭州市七里河區(qū)蘭州五十五中數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，滿足，且，則的形狀為（）A．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．頂角為的等腰三角形 D．頂角為的等腰三角形2．在中，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，且滿足，則的形狀為（）A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等邊三角形3．已知，則的最小值為A．3 B．4 C．5 D．64．在四邊形中，若，且，則四邊形是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形5．在中，已知，，若點(diǎn)在斜邊上，，則的值為（）．A．6 B．12 C．24 D．486．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)a的值為A． B．2或 C．或1 D．7．的斜二測(cè)直觀圖如圖所示，則原的面積為（）A． B．1 C． D．28．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，則的值為（）A． B． C． D．9．如圖，在平行四邊形中，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．10．已知，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是()A．若，，則 B．若，，，則C．若，，則 D．若，，則二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)函數(shù)，則________.12．已知，且這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則_______________.13．如圖，在正方體中，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則直線與平面所成的最大角的余弦值為_(kāi)_______.14．已知四面體的四個(gè)頂點(diǎn)均在球的表面上，為球的直徑，，四面體的體積最大值為_(kāi)___15．_________________；16．己知某產(chǎn)品的銷售額y與廣告費(fèi)用x之間的關(guān)系如表：?jiǎn)挝唬喝f(wàn)元01234單位：萬(wàn)元1015203035若求得其線性回歸方程為，則預(yù)計(jì)當(dāng)廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元時(shí)的銷售額為_(kāi)____三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．近年來(lái),鄭州經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展,躋身新一線城市行列,備受全國(guó)矚目．無(wú)論是市內(nèi)的井字形快速交通網(wǎng),還是輻射全國(guó)的米字形高鐵路網(wǎng),鄭州的交通優(yōu)勢(shì)在同級(jí)別的城市內(nèi)無(wú)能出其右．為了調(diào)查鄭州市民對(duì)出行的滿意程度,研究人員隨機(jī)抽取了1000名市民進(jìn)行調(diào)查,并將滿意程度以分?jǐn)?shù)的形式統(tǒng)計(jì)成如下的頻率分布直方圖,其中．（I）求的值；（Ⅱ）求被調(diào)查的市民的滿意程度的平均數(shù),眾數(shù),中位數(shù)；（Ⅲ）若按照分層抽樣從,中隨機(jī)抽取8人,再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取2人,求至少有1人的分?jǐn)?shù)在的概率．18．某城市的華為手機(jī)專賣(mài)店對(duì)該市市民使用華為手機(jī)的情況進(jìn)行調(diào)查.在使用華為手機(jī)的用戶中，隨機(jī)抽取100名，按年齡(單位:歲）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的頻率分布直方圖如圖：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，分別求出樣本的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)和中位數(shù)的估計(jì)值(均精確到個(gè)位）；（2）在抽取的這100名市民中，按年齡進(jìn)行分層抽樣，抽取20人參加華為手機(jī)宣傳活動(dòng)，再?gòu)倪@20人中年齡在和的人群里，隨機(jī)選取2人各贈(zèng)送一部華為手機(jī)，求這2名市民年齡都在內(nèi)的概率.19．已知向量，滿足：=4，=3，(Ⅰ)求·的值；(Ⅱ)求的值.20．?dāng)?shù)列滿足，.（1）試求出，，；（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明.21．已知函數(shù).求：（1）函數(shù)的最大值、最小值及最小正周期；（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】

先利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系得，結(jié)合正余弦定理得進(jìn)而得B,再利用化簡(jiǎn)得,得A值進(jìn)而得C,則形狀可求【題目詳解】由題即，由正弦定理及余弦定理得即故整理得，故故為頂角為的等腰三角形故選D【題目點(diǎn)撥】本題考查利用正余弦定理判斷三角形形狀，注意內(nèi)角和定理，三角恒等變換的應(yīng)用，是中檔題2、A【解題分析】

由正弦定理進(jìn)行邊化角，再由二倍角公式可得，則或，所以或，即可判斷三角形的形狀.【題目詳解】由正弦定理得，則，因此在中，或，即或.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，判斷三角形形狀，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解題分析】

由，得，則，利用基本不等式，即可求解．【題目詳解】由題意，因?yàn)?，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為5，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，其中解答中熟記基本不等式的使用條件，合理構(gòu)造是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4、A【解題分析】

根據(jù)向量相等可知四邊形為平行四邊形；由數(shù)量積為零可知，從而得到四邊形為矩形.【題目詳解】，可知且四邊形為平行四邊形由可知：四邊形為矩形本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查相等向量、垂直關(guān)系的向量表示，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解題分析】試題分析：因?yàn)?，，，所以＝＝＋＝＝，故選C．考點(diǎn)：1、平面向量的加減運(yùn)算；2、平面向量的數(shù)量積運(yùn)算．6、C【解題分析】

根據(jù)題意，由向量平行的坐標(biāo)表示公式可得，解可得a的值，即可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，向量，，若，則有，解可得或1；故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查向量平行的坐標(biāo)表示方法，熟記平行的坐標(biāo)表示公式得到關(guān)于a的方程是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題7、D【解題分析】

根據(jù)直觀圖可計(jì)算其面積為，原的面積為，由得結(jié)論.【題目詳解】由題意可得，所以由，即.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了斜二側(cè)畫(huà)直觀圖，三角形的面積公式，需要注意的是與原圖與直觀圖的面積之比為，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】，向左平移個(gè)單位得到函數(shù)=，故9、C【解題分析】

根據(jù)向量的定義及運(yùn)算法則一一分析選項(xiàng)正誤即可.【題目詳解】在平行四邊形中,顯然有,,故A,D正確;根據(jù)向量的平行四邊形法則,可知,故B正確;根據(jù)向量的三角形法,,故C錯(cuò)誤;故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量的基本定義和運(yùn)算法則,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】

試題分析：，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，在A中：若，，則，相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤；在B中：若，，，則，相交、平行或異面，故B錯(cuò)誤；在C中：若，，則或，故C誤；在D中：若，，由面面平行的性質(zhì)定理知，，故D正確.考點(diǎn)：空間中直線、平面之間的位置關(guān)系.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

利用反三角函數(shù)的定義，解方程即可．【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，由反三角函數(shù)的定義，解方程，得，所以.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了反三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．12、5【解題分析】

試題分析：由題意得，為等差數(shù)列時(shí)，一定為等差中項(xiàng)，即，為等比數(shù)列時(shí)，-2為等比中項(xiàng)，即，所以.考點(diǎn)：等差，等比數(shù)列的性質(zhì)13、【解題分析】

作的中心，可知平面，所以直線與平面所成角為，當(dāng)在中點(diǎn)時(shí)，最大，求出即可?！绢}目詳解】設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1，連接，由于為正方體，所以為正四面體，棱長(zhǎng)為，為等邊三角形，作的中心，連接，，由于為正四面體，為的中心，所以平面，所以為直線與平面所成角，則當(dāng)在中點(diǎn)時(shí)，最大，當(dāng)在中點(diǎn)時(shí)，由于為正四面體，棱長(zhǎng)為，等邊三角形，為的中心，所以，，所以直線與平面所成的最大角的余弦值為故直線與平面所成的最大角的余弦值為故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查線面所成角，解題的關(guān)鍵是確定當(dāng)在中點(diǎn)時(shí)，最大，考查學(xué)生的空間想象能力以及計(jì)算能力。14、2【解題分析】

為球的直徑，可知與均為直角三角形，求出點(diǎn)到直線的距離為，可知點(diǎn)在球上的運(yùn)動(dòng)軌跡為小圓.【題目詳解】如圖所示，四面體內(nèi)接于球，為球的直徑，，，，過(guò)作于，，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的小圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)面面時(shí)，四面體的體積達(dá)到最大，.【題目點(diǎn)撥】立體幾何中求最值問(wèn)題，核心通過(guò)直觀想象，找到幾何體是如何變化的？本題求解的突破口在于找到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力.15、1【解題分析】

利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可得出答案【題目詳解】【題目點(diǎn)撥】本題考查誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

由已知表格中數(shù)據(jù)求得，，再由回歸直線方程過(guò)樣本中心點(diǎn)求得，得到回歸方程，取即可求得答案．【題目詳解】解：，，，．則，取，得．故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查線性回歸方程的求法，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)(Ⅱ)平均數(shù)74.9,眾數(shù)75.14,中位數(shù)75；(Ш)【解題分析】

（I）根據(jù)頻率之和為列方程，結(jié)合求出的值.（II）利用各組中點(diǎn)值乘以頻率然后相加，求得平均數(shù).利用中位數(shù)是面積之和為的地方，列式求得中位數(shù).以頻率分布直方圖最高一組的中點(diǎn)作為中位數(shù).（III）先計(jì)算出從,中分別抽取人和人，再利用列舉法和古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求的概率.【題目詳解】解：(I)依題意得,所以,又,所以．(Ⅱ)平均數(shù)為中位數(shù)為眾數(shù)為(Ш)依題意,知分?jǐn)?shù)在的市民抽取了2人,記為,分?jǐn)?shù)在的市民抽取了6人,記為1,2,3,4,5,6,所以從這8人中隨機(jī)抽取2人所有的情況為：,共28種,其中滿足條件的為,共13種,設(shè)“至少有1人的分?jǐn)?shù)在”的事件為,則【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查求解頻率分布直方圖上的未知數(shù)，考查利用頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的方法，考查利用古典概型求概率.屬于中檔題.18、（1）見(jiàn)解析（2）【解題分析】分析：（1）直接利用頻率分布直方圖的平均值和中位數(shù)公式求解.(2)利用古典概型求這2名市民年齡都在內(nèi)的概率.詳解：(Ⅰ)平均值的估計(jì)值:中位數(shù)的估計(jì)值：因?yàn)?，所以中位?shù)位于區(qū)間年齡段中，設(shè)中位數(shù)為，所以，.(Ⅱ)用分層抽樣的方法，抽取的20人，應(yīng)有4人位于年齡段內(nèi)，記為，2人位于年齡段內(nèi)，記為.現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人，設(shè)基本事件空間為，則設(shè)2名市民年齡都在為事件A，則,所以.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查頻率分布直方圖，考查平均值和中位數(shù)的計(jì)算和古典概型，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和基本的運(yùn)算能力.(2)先計(jì)算出每個(gè)小矩形的面積，通過(guò)解方程找到左邊面積為0.5的點(diǎn)P，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)就是中位數(shù).一般利用平均數(shù)的公式計(jì)算.其中代表第個(gè)矩形的橫邊的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)，代表第個(gè)矩形的面積.19、(Ⅰ)=2(Ⅱ)【解題分析】

（I）計(jì)算，結(jié)合兩向量的模可得；（II）利用，把求模轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積運(yùn)算．【題目詳解】解：(Ⅰ)由題意得即又因?yàn)樗越獾?2.(Ⅱ)因?yàn)?，所?16+36-4×2=44.又因?yàn)樗?【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量的數(shù)量積，解題關(guān)鍵是掌握性質(zhì)：，即模數(shù)量積的轉(zhuǎn)化．20、（1）,,（2），證明見(jiàn)詳解.【解題分析】

（1）由題意得,在中分別令可求結(jié)果；（2）由數(shù)列前四項(xiàng)可猜想,運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法可證明.【題目詳解】解：（1）,當(dāng)時(shí),,,當(dāng)時(shí),,,