隨機事件的運算 高一上學期數(shù)學北師大版（2019）必修第一冊

新授課7.1.4隨機事件的運算 1.通過具體的實例理解交事件(或積事件)、并事件(或和事件)、互斥事件和對立事件的概念. 2.能結合實例進行隨機事件的交、并運算.

問題1:在試驗E“拋擲一枚骰子,觀察骰子擲出的點數(shù)”中,它的樣本空間Ω={1,2,3,4,5,6}.設事件A表示“擲出的點數(shù)為偶數(shù)”,事件B表示“擲出的點數(shù)大于4”,事件C表示“擲出的點數(shù)為6”,則C與事件A,B有何關系？知識點1:交事件和并事件在試驗中,事件A,B都發(fā)生,則擲出的點數(shù)既是偶數(shù)又大于4,因此事件C發(fā)生；反之,若在一次試驗中事件C發(fā)生,因為6是偶數(shù)又大于4,所以事件A,B都發(fā)生.

思考:根據(jù)前面的知識知道可以用集合來表示隨機事件,試從集合運算的角度分析事件C與事件A,B有何關系.A={2,4,6},B={5,6},C={6}.A∩B={6}=C 由事件A與B都發(fā)生所構成的事件,稱為事件A與B的交事件(或積事件),記作A∩B(或AB).事件A∩B是由事件A和B所共有的樣本點構成的集合. 事件A與B的交事件可用Venn圖(如下圖)表示:概念生成ABA∩B

問題2:在試驗E“拋擲一枚骰子,觀察骰子擲出的點數(shù)”中,設事件A表示“擲出的點:數(shù)為偶數(shù)”,事件B表示“擲出的點數(shù)大于4”,事件C表示“擲出的點數(shù)為2,4,5,6其中之一”,則事件C與事件A,B有何關系？

若事件A,B至少有一個發(fā)生,則擲出的點數(shù)要么是偶數(shù),要么大于4,因此事件C發(fā)生； 反之,若事件C發(fā)生,則事件A,B至少有一個發(fā)生.思考:試從集合運算的角度分析事件C與事件A,B的關系.A={2,4,6},B={5,6},C={2,4,5,6}A∪B={2,4,5,6}=CA∪BBA

一般地,由事件A,B至少有一個發(fā)生(即A發(fā)生,或B發(fā)生,或A,B都發(fā)生)所構成的事件,稱為事件A,B的并事件(或和事件),記作A∪B(或A+B),事件A,B的并事件是由事件A或B所包含的樣本點構成的集合.

事件A,B的并事件可用Venn圖表示:概念生成

問題3:在試驗E“拋擲一枚骰子,觀察骰子擲出的點數(shù)”中,設事件A表示“擲出的點數(shù)為偶數(shù)”,事件B表示“擲出的點數(shù)為5”.則事件A與B能否同時發(fā)生？知識點2:互斥事件和對立事件 若事件A發(fā)生,則擲出的點數(shù)必為2,4,6之ー,事件B不發(fā)生；反之,若事件B發(fā)生,則擲出的點數(shù)為5,事件A不發(fā)生. 因此,事件A,B不能同時發(fā)生.事件A,B不能同時發(fā)生,則它們沒有公共的樣本點,即它們的交集是空集.A={2,4,6},B={5}A∩B=

事件A與B不能同時發(fā)生.思考:你能從集合運算的角度分析事件A,B的關系嗎? 一般地,不能同時發(fā)生的兩個事件A與B(A∩B=

)稱為互斥事件.即A,B同時發(fā)生這一事件是不可能事件. 互斥事件可用Venn圖表示:概念生成ABΩ

思考:拋擲一枚骰子,A=“擲出的點數(shù)為偶數(shù)”={2,4,6},B=“擲出的點數(shù)為奇數(shù)”={1,3,5},求A∩B,A∪B,此時A,B是什么關系?A∩B=

,此時A,B必有一個發(fā)生,但不可能同時發(fā)生,因此它們是互斥事件.A∪B={1,2,3,4,5,6}=Ω概念生成

A

Ω給定事件A,A不發(fā)生記為事件B.每次試驗要么A發(fā)生,要么A不發(fā)生(即B發(fā)生),故事件A與B不可能同時發(fā)生,即A∪B=Ω,A∩B=

1.互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系:對立一定互斥,但互斥未必對立.互斥對立①A發(fā)生,B不發(fā)生②B發(fā)生,A不發(fā)生③A,B都不發(fā)生①A發(fā)生,B不發(fā)生②B發(fā)生,A不發(fā)生事件A,B在不同關系下可能出現(xiàn)的情形:歸納總結ABΩA

Ω互斥對立2.隨機事件的運算含義.事件的關系或運算含義符號表示交事件(積事件)并事件(和事件)互斥事件對立事件A與B至少一個發(fā)生A∪B或A＋BA與B同時發(fā)生A∩B或ABA與B不能同時發(fā)生A∩B＝

A與B有且僅有一個發(fā)生A∩B＝

,A∪B＝ΩABA∩BA∪BBAABΩA

Ω

例1.把標號為1,2,3,4的四張卡片分發(fā)給甲、乙、丙、丁四個人,每人1張,事件A表示隨機事件“甲分得1號卡片”,事件B表示隨機事件“乙分得1號卡片”. (1)A∩B,A∪B分別指什么事件？ (2)事件A與B是否為互斥事件？若是互斥事件,則是否互為對立事件？若不是對立事件,請分別說出事件A、B的對立事件.

解:(1)根據(jù)題意,A,B不可能同時發(fā)生,所以A∩B是不可能事件；A∪B表示“甲分得1號卡片或乙分得1號卡片”.

例2.在試驗E5“連續(xù)拋擲一枚骰子2次,觀察每次擲出的點數(shù)”中,事件A表示隨機事件“第一次擲出的點數(shù)為1”,事件Aj表示隨機事件“第一次擲出的點數(shù)為1,第二次擲出的點數(shù)為j”,事件B表示隨機事件“2次擲出的點數(shù)之和為6”,事件C表示隨機事件“第二次擲出的點數(shù)比第一次的大3”(1)試用樣本點表示事件A∩B與A∪B;(2)試判斷事件A與B,A與C,B與C是否為互斥事件；(3)試用事件Aj表示隨機事件A.解:試驗E5的樣本空間為:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)Ω5=(1)由題意知:事件A=事件B=所以A∩B=A∪B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)},{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.{(1,5)},{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.

(2)事件C表示“第二次擲出的點數(shù)比第一次的大3”,所以C={(1,4),(2,5),(3,6)}. 因為A∩B={(1,5)}≠

,A∩C={(1,4)}≠

,B∩C=

,所以事件A與B,A與C不是互斥事件,B與C是互斥事件. (3)事件Aj表示“第一次擲出的點數(shù)為1,第二次擲出的點數(shù)為j,所以 A1={(1,1)},A2={(1,2)},A3={(1,3)},A4={(1,4)},A5={(1,5)},A6={(1,6)} 所以A=A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.

練一練解:用H代表“出現(xiàn)正面”，用T代表“出現(xiàn)反面”．Ω＝{HHH，HHT，HTT，HTH，THH，THT，TTH，TTT}，事件A＝{HHH，HHT，HTT，HTH}，事件B＝{HHH，TTT}，事件C＝{HHH，HHT，HTT，HTH，THH，THT，TTH}．(1)A∪B＝{HHH，HHT，HTT，HTH