河北衡水2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)一模試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知/(x)=Acos?x+e)[A>0,/>0,閘的部分圖象如圖所示，則/(x)的表達(dá)式是()

A.2cos—x+—B.2cosx+一

(24jI4)

C.2cos2x----D.2cos—x----

I4j124；

2.已知等差數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和為S“，且為=-3,i=24,若q+%=。且貝IIi的取

值集合是()

A.{1,2,3}B.{6,7,8}C.{1,2,3,4,5}D.{6,7,8,9,10}

3.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓G：(x—機(jī)『+(y—加―6)2=2與圓。2：(x+lp+(y—=1交于A，B兩

點(diǎn)，若|Q4|=|。四,則實(shí)數(shù)〃?的值為()

A.1B.2C.-1D.-2

4.已知函數(shù)/(元)=25皿5+0)+/23>0),/(—+%)=f(--x),且/(二)=5,貝！|。=()

A.3B.3或7C.5D.5或8

5.已知實(shí)數(shù)。=3M3,h=3+31n3,c=(ln3)3,則a*,c的大小關(guān)系是()

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

6.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是R上的單調(diào)函數(shù)的是()

A./(x)=ln(|x|+l)B.f(x)=x~'

2\(x<0)

/、x2+2x,(x>0)“、/、

C.2/、D./(x)=h,(x=0)

')-X2+2X,(X<0)')、)

-g〉。)

7.若單位向量Z夾角為60。，Z=成兄,且同=百，則實(shí)數(shù)4=()

A.-1B.2C.0或一1D.2或一1

8./+。2=1是asine+/?cos6Wl恒成立的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

9.已知函數(shù)/(X+1)是偶函數(shù)，當(dāng)xe(l,+s)時(shí)，函數(shù)”X)單調(diào)遞減，設(shè)。=，一；｝b=f(3),c=〃O),

則a、b、c的大小關(guān)系為()

A.b<a<cB.c<b<dC.b<c<aD.a<b<c

10.如圖，△48。中/4=248=60°,點(diǎn)。在8C上，ZBAD=3O°,將△AB。沿AO旋轉(zhuǎn)得到三棱錐,

分別記B'A,與平面4OC所成角為a,夕，則a,夕的大小關(guān)系是()

A.a</3<2aB.2a<J3<3a

C.J3<2a,2a<〃<3a兩種情況都存在D.存在某一位置使得尸>3a

11.在鈍角AABC中，角A氏C所對(duì)的邊分別為。,4c,3為鈍角，若acosA=Z?sinA,則sinA+sinC的最大值

為（

12.在三棱錐P—48C中，ABLBP,AC1PC,ABA.AC,P8=PC=2后，點(diǎn)P到底面4BC的距離為2,

則三棱錐P-A8C外接球的表面積為（）

A.3%B.c.12%D.24萬(wàn)

2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

.TC71

13.已知3cos2a=4sin（a）,aG（—,兀）,貝（Jsin2a=____.

44

14.若（V-2x-3）"的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為256,則〃=,含X?項(xiàng)的系數(shù)是（用數(shù)字作答）.

15.有編號(hào)分別為1,2,3,4,5的5個(gè)紅球和5個(gè)黑球，從中隨機(jī)取出4個(gè)，則取出球的編號(hào)互不相同的概率為

16.已知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S“，且滿足4+34+…+3"-）“=〃，則S4=

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）如圖，在三棱柱ABC-qgG中，平面ABC,AB±AC,且AB=AC=45=2.

（1）求棱A4與BC所成的角的大?。?/p>

（2）在棱上確定一點(diǎn)尸，使二面角P-A3-4的平面角的余弦值為竽.

aAZ

18.（12分）已知數(shù)列｛4｝,｛4｝,數(shù)列｛c，J滿足％〃為湛數(shù)，〃eN*.

（1）若a,=〃,2=2”,求數(shù)列｛c,J的前2〃項(xiàng)和Q；

（2）若數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，且對(duì)任意〃eN*,c“+|>q,恒成立.

①當(dāng)數(shù)列也｝為等差數(shù)列時(shí)，求證：數(shù)列｛%｝,也｝的公差相等;

②數(shù)列色｝能否為等比數(shù)列？若能，請(qǐng)寫(xiě)出所有滿足條件的數(shù)列也｝;若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=|x+a|+|2x-l|(aGR).

(1)a=-l時(shí)，求不等式/,(X)22解集；

(2)若/(x)W2x的解集包含于1,3,求〃的取值范圍.

20.(12分)購(gòu)買(mǎi)一輛某品牌新能源汽車(chē)，在行駛?cè)旰?，政府將給予適當(dāng)金額的購(gòu)車(chē)補(bǔ)貼.某調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)擬購(gòu)買(mǎi)

該品牌汽車(chē)的消費(fèi)者，就購(gòu)車(chē)補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值進(jìn)行了抽樣調(diào)查，其樣本頻率分布直方圖如圖所示

(1)估計(jì)擬購(gòu)買(mǎi)該品牌汽車(chē)的消費(fèi)群體對(duì)購(gòu)車(chē)補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值的方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作

代表)；

(2)將頻率視為概率，從擬購(gòu)買(mǎi)該品牌汽車(chē)的消費(fèi)群體中隨機(jī)抽取4人，記對(duì)購(gòu)車(chē)補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值高于3萬(wàn)元

的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)統(tǒng)計(jì)最近5個(gè)月該品牌汽車(chē)的市場(chǎng)銷(xiāo)售量，得其頻數(shù)分布表如下：

月份2018.112018.122019.012019.022019.03

銷(xiāo)售量(萬(wàn)

0.50.61.01.41.7

輛)

試預(yù)計(jì)該品牌汽車(chē)在2019年4月份的銷(xiāo)售量約為多少萬(wàn)輛？

附：對(duì)于一組樣本數(shù)據(jù)(為，x),(%,%)，…，(玉，%)，其回歸直線$=立+4的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別

.￡（王一?。?一了）

為5=旦七------------=4---------，a=y-bx.

i=li=\

x-cos0x，—

21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將曲線G：〈,八(。為參數(shù))通過(guò)伸縮變換,，得到曲線。2,

[y=sm〃[y=y

x=2+，cosa

設(shè)直線/：<廠a為參數(shù))與曲線c,相交于不同兩點(diǎn)A,B.

y=V3+fsina

TT

(1)若<z=一，求線段A3的中點(diǎn)M的坐標(biāo)；

3

(2)設(shè)點(diǎn)尸(2,6)，^\PA\-\PB\=\OPf,求直線/的斜率.

22.(10分)已知拋物線「：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為凡尸是拋物線「上一點(diǎn)，且在第一象限，滿足麗=(2,2^)

(1)求拋物線「的方程；

(2)已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,-2)的直線交拋物線「于M,N兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)8(3,-6)和M的直線與拋物線r交于

另一點(diǎn)3問(wèn)直線NZ,是否恒過(guò)定點(diǎn)，如果過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)，否則說(shuō)明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.D

【解析】

由圖象求出A以及函數(shù)y=/(x)的最小正周期T的值，利用周期公式可求得切的值，然后將點(diǎn)看,2的坐標(biāo)代入函

數(shù)y=/(x)的解析式，結(jié)合。的取值范圍求出。的值，由此可得出函數(shù)y=/(x)的解析式.

【詳解】

由圖象可得A=2,函數(shù)y=/(x)的最小正周期為—,0=蕭=|.

將點(diǎn)停代入函數(shù)>="“)的解析式得/閨=2?！?序2+司=2,得cos"71=l,

717171713兀z?！肛?/p>

一<夕<一，---<(0-\---<---,則/"I----—09：.(P=-------9

2244444

3x71

因此，/(x)=2cos

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用圖象求三角函數(shù)解析式，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.

2.C

【解析】

首先求出等差數(shù)列的首先和公差，然后寫(xiě)出數(shù)列即可觀察到滿足+勺=0的i的取值集合.

【詳解】

設(shè)公差為d,由題知%=-3=>q+3d=-3,

Sl2=24=>12q+12；1d=24,

解得q=-9,d=2,

所以數(shù)列為-9,-7,-5,-3,-1,1,3,5,7,9,11,

故ie{1,2,3,4,5}.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解，屬于基礎(chǔ)題.

3.D

【解析】

由卜|0回可得，O在AB的中垂線上，結(jié)合圓的性質(zhì)可知O在兩個(gè)圓心的連線上，從而可求.

【詳解】

因?yàn)閨。4|=|0邳，所以。在AB的中垂線上，即。在兩個(gè)圓心的連線上，。(0,0),G(〃zm+6),。2(-1,2)三點(diǎn)

共線，所以如2=-2,得〃?=-2,故選D.

m

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓的性質(zhì)應(yīng)用，幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)化是求解的捷徑.

4.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸x=9以及函數(shù)值，可得結(jié)果.

O

【詳解】

函數(shù)/(x)=2sin(ox+o)+Z?(69>()),

若/心+x)=/(1—X),則/(X)的圖象關(guān)于x=J對(duì)稱，

888

冗

又/(一)=5,所以2+〃=5或-2+6=5,

8

所以》的值是7或3.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是三角函數(shù)的概念及性質(zhì)和函數(shù)的對(duì)稱性問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題

5.B

【解析】

4

根據(jù)l<ln3<],利用指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

【詳解】

4

解：***1<ln3v—,

3

,-4(4?64

=3+31n3>6,3<a<33<6,C<^J=27<3,

c<a<b.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.C

【解析】

對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證即得答案.

【詳解】

對(duì)于A，/(—x)=lnQ—M+l)=ln(國(guó)+l)=f(x),.?./(X)是偶函數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于/(x)=x-'=l,定義域?yàn)閧斗吐0},在R上不是單調(diào)函數(shù)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)x>()時(shí)，-x<0,/(-x)=-(一N)-+2(-%)=-%2—2X=-(X2+2x)=-/(x)；

當(dāng)尤<0時(shí)，—x>0,.\/(—%)=(―x)-+2(-x)=%2-2x=—x2+2%j=—/(x)；

又x=0時(shí)，/(-0)=-/(0)=0.

綜上，對(duì)XGR,都有力=—“X),二/a)是奇函數(shù).

又xNO時(shí)，/（力=/+2%=（》+1）2—1是開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸X=-1,二/。）在［0,a）上單調(diào)遞增，

??"（X）是奇函數(shù)，.?J（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于O,“X）在（一j0）上單調(diào)遞增，在（0,+e）上單調(diào)遞增，但/（-1）=3>/（1）=-（，.../（X）在R上不是單

調(diào)函數(shù)，故選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

7.D

【解析】

利用向量模的運(yùn)算列方程，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算，求得實(shí)數(shù)X的值.

【詳解】

22

由于14="^，所以”~=3，即（力0一e?）=3?A-e2+e,-A.—2A-cos60+1=3?即分一>1—2=0,

解得/I=2或幾=—1.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查向量模的運(yùn)算，考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

8.A

【解析】

a=cosa

設(shè)｛=asin6+〃cos6=sinBcosa+cosesina=sin（6+a）K1成立；反之，a=/?=0滿足

b-s\na

asine+ZjcosOWl,但/+從71,故選A.

9.A

【解析】

根據(jù)/（x+1）圖象關(guān)于y軸對(duì)稱可知/（x）關(guān)于X=1對(duì)稱，從而得到“X）在（F,l）上單調(diào)遞增且〃3）=/（-1）；

再根據(jù)自變量的大小關(guān)系得到函數(shù)值的大小關(guān)系.

【詳解】

Q/（x+l）為偶函數(shù).?./（x+1）圖象關(guān)于丁軸對(duì)稱

二/（力圖象關(guān)于％=1對(duì)稱

,.?xe（l,+8）時(shí)，〃x）單調(diào)遞減.”€（3,1）時(shí)，/（X）單調(diào)遞增

又/⑶=/（T）且T<—；<。???即"<"c

本題正確選項(xiàng)：A

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)奇偶性、對(duì)稱性和單調(diào)性比較函數(shù)值的大小關(guān)系問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠通過(guò)奇偶性和對(duì)稱性得到函數(shù)的

單調(diào)性，通過(guò)自變量的大小關(guān)系求得結(jié)果.

10.A

【解析】

根據(jù)題意作出垂線段，表示出所要求得a、A角，分別表示出其正弦值進(jìn)行比較大小，從而判斷出角的大小，即可得

答案.

【詳解】

E

由題可得過(guò)點(diǎn)B作BE_LAD交4D于點(diǎn)E,過(guò)？作CD的垂線，垂足為。，則易得a=N8AO,B=4BDO.

設(shè)0)=1,則有BD=AZ>=2，DE=1,BE=6，

,可得A8'=A3=26，BD=BD=2.

?.?sina=空,sin4=也,

ABrDBf

sin/?=A/3sina>sina,.*./?>?

???OB'e[0,yf3],sinaG[0,^1；

sin2a=2sinacosa=2sina\ji-sin2a，

2\J\-sin2aw[百,2],二?sin2a..Gsina=sin/?,

/.2a..J3.

綜上可得，a<2a.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間直線與平面所成的角的大小關(guān)系，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水

平.

11.B

【解析】

首先由正弦定理將邊化角可得cosA=sin3,即可得到A=8-5，再求出現(xiàn)仁,胡，最后根據(jù)

sin+sinC=sinB-yJ+sinn-B-^-B求出sinA+sinC的最大值；

【詳解】

解：因?yàn)閍cosA=》sinA,

所以sinAcosA=sin3sinA

因?yàn)閟inAH0

所以cosA=sin3

-：B>-

2

(V2〕

,/.COSBG----,0

I2J

=-2cos2B-cosB+1

=-2c°s*4

岑。)9

COSB=——G時(shí)(sinA+sinC)

4\/max8

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理的應(yīng)用，余弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

12.C

【解析】

首先根據(jù)垂直關(guān)系可確定OP=Q4=QB=OC,由此可知。為三棱錐外接球的球心，在AE48中，可以算出AP的

一個(gè)表達(dá)式，在AQ4G中，可以計(jì)算出A0的一個(gè)表達(dá)式，根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系可構(gòu)造等式求得半徑，進(jìn)而求出球的表面積.

【詳解】

取AP中點(diǎn)。，由AB上BP,ACLPC可知：OP=OA=OB=OC,

O為三棱錐P—ABC外接球球心，

過(guò)P作平面ABC,交平面ABC于“，連接交BC于G,連接OG,HB,HC,

?;PB=PC,=..AB=4C,..G為8C的中點(diǎn)

由球的性質(zhì)可知：。6，平面43。，；.03%￥/,且OG=，PH=1.

2

設(shè)=

QPB=2亞.，.?.4O=[PA=；&+8,

AG=,BC=^x，..在AOAG中，AG2+OG2=OA2,

22

即率x+1=(；6+8),解得：》=2,

二三棱錐P-ABC的外接球的半徑為：=="+(2⑸=6,

三棱錐P-ABC外接球的表面積為S=4萬(wàn)店=12萬(wàn).

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查三棱錐外接球的表面積的求解問(wèn)題，求解幾何體外接球相關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠利用球的性質(zhì)確定外接球球心

的位置.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

1

13.——

9

【解析】

先利用倍角公式及差角公式把已知條件化簡(jiǎn)可得sina+cosa=之也，平方可得sin2a.

3

【詳解】

,:3cos2a=4sin(三一a),:.3(cosa+sina)(cosa-sina)=2>/^(cosa-sina)，

4

則sina+cosa=2"，平方可得sin2a=-1.

39

故答案為：一

9

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角恒等變換，倍角公式的合理選擇是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

14.4108

【解析】

???(/—2x—3)”的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為256,r.4"=256,...〃=4，

(爐—2x—3)”=(X2-2X-3)4=(X-3)4(x+，二/項(xiàng)的系數(shù)是C；(-3)2+C^x(-3)4+C；x(-3)3xCj=108,

故答案為(1)4,(2)108.

15.A

21

【解析】

試題分析：從編號(hào)分別為1,1.3,4,5的5個(gè)紅球和5個(gè)黑球，從中隨機(jī)取出4個(gè)，有C[=210種不同的結(jié)果，

由于是隨機(jī)取出的，所以每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的；設(shè)事件A為“取出球的編號(hào)互不相同”，

QAQ

則事件A包含了?C；?C；?C；?C；=8()個(gè)基本事件，所以P(A)=5歷=5.

考點(diǎn)：1.計(jì)數(shù)原理；L古典概型.

27

【解析】

對(duì)題目所給等式進(jìn)行賦值，由此求得?！暗谋磉_(dá)式，判斷出數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，由此求得54的值.

【詳解】

解：4+3a2+…+3"?Q”=〃，可得〃=1時(shí)，4=1,

〃之2時(shí),4+3a2+???+3"~=〃-1,又%+3。)+...+3"?,

/1、〃T1

兩式相減可得3"&=1,即％=1,上式對(duì)〃=1也成立，可得數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為1,公比為4的等比數(shù)列，可

1-J_

得

3

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查已知S“求勺，考查等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)y(2)p(l,3,2)

【解析】

試題分析：(1)因?yàn)锳B_LAC,AiB_L平面ABC,所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AC、AB所在直線分別為x軸和y

軸，以過(guò)A,且平行于BAi的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由AB=AC=A|B=2求出所要用到的點(diǎn)的坐標(biāo)，求出棱

AAi與BC上的兩個(gè)向量，由向量的夾角求棱AAi與BC所成的角的大??；

(2)設(shè)棱BiG上的一點(diǎn)P,由向量共線得到P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出兩個(gè)平面PAB與平面ABAi的一個(gè)法向量，把二

面角P-AB-Ai的平面角的余弦值為2且，轉(zhuǎn)化為它們法向量所成角的余弦值，由此確定出P點(diǎn)的坐標(biāo).

5

試題解析：

解(1)如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

C,

則C（2,0,0）,5（0,2,0）,A（0,2,2）,4（0,4,2）,

豆=（0,2,2）,覺(jué)=南=（2,-2,0）.

cosAABC-的__4_1

償'J畫(huà)國(guó)一-2,

故AA與棱BC所成的角是

（2）P為棱用G中點(diǎn)，

設(shè)開(kāi)=2函=(2/1,—2/1,0),貝!]P(24,4—24,2),

設(shè)平面PAB的法向量為I=(x,y,z),AP=(22,4-22,2),

勺-AP=0x+3y+2z=0z=-Ax

則〈=>V

nt-AB=02y=0y=0

故)=(l,0,T)

勺?叼_12V5

而平面ABA的法向量是％=（1,0,0）,則cos1同

卜1國(guó)ji+無(wú)r

解得4=（,即p為棱用G中點(diǎn)，其坐標(biāo)為p（l,3,2）.

點(diǎn)睛：本題主要考查線面垂直的判定與性質(zhì)，以及利用空間向量求二面角.空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是:

（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面

的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理

結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

4'田4

18.（1）《“=今-+〃2_:（2）①見(jiàn)解析②數(shù)列也,｝不能為等比數(shù)列，見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，奇數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)為等比數(shù)列，選用分組求和的方法進(jìn)行求解;

(2)①設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,數(shù)列｛2｝的公差為4,當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，得出424；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，得出

從而可證數(shù)列｛q｝,也,｝的公差相等；

②利用反證法，先假設(shè)也｝可以為等比數(shù)列，結(jié)合題意得出矛盾，進(jìn)而得出數(shù)列也｝不能為等比數(shù)列.

【詳解】

(1)因?yàn)樯?〃，bn=T,所以?！?2-4=2,戈2=4且。=4=1,。2=3=4

由題意可知，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，

數(shù)列｛G“｝是首項(xiàng)和公比均為4的等比數(shù)列，

n(n-l)4(1-4")4n+14

所以7；“=〃+二——-x2+—----乙=——+n22——；

21-433

(2)①證明：設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,數(shù)列也｝的公差為4，

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，c,=?！?4+(〃-l)d,c“+I=bn+i=々+nd、

u-d-bi

若4<d,則當(dāng)〃,一x:---1時(shí)，，用一或=(4-。)力+4-4<0,

4—4

即%+i<%,與題意不符，所以42d，

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，%=b?=4+(〃-1)4,cn+]=an+]=ax+nd,

b,-d,-ci,

若4>d,則當(dāng)〃〉一-~時(shí)，=(1-4)〃+%+4-々<0,

d

即%+i<%,與題意不符，所以

綜上，4=1,原命題得證；

②假設(shè)｛4｝可以為等比數(shù)列，設(shè)公比為g,

因?yàn)閝,+i>c“，所以c,+2>c,,+i>c,,所以4什2一。"=2">0，容=/〉1，

,,4d

因?yàn)楫?dāng)〃"嗎嘛"時(shí)’

\bn+2~bn\=\bn\（才-1）=臥/廠5-1）>4d，

所以當(dāng)"為偶數(shù)，且見(jiàn)t<勿<?！?|時(shí)，2+2任(。,用，。"+3)，

即當(dāng)n為偶數(shù)，且c,i<c,<c,川時(shí)，cn+l<c“+2<cn+3不成立，與題意矛盾，

所以數(shù)列也｝不能為等比數(shù)列.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查數(shù)列的求和及數(shù)列的綜合，數(shù)列求和時(shí)一般是結(jié)合通項(xiàng)公式的特征選取合適的求和方法，數(shù)列綜合題要

回歸基本量，充分挖掘題目已知信息，細(xì)思細(xì)算，本題綜合性較強(qiáng)，難度較大，側(cè)重考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心

素養(yǎng).

「4、「3一

19.(1)(-OO,OJU-,+ooI(2)-2,--

【解析】

(1)代入。=一1可得I工一11+12x—1但2對(duì)x分類(lèi)討論即可得不等式的解集；

(2)根據(jù)不等式在1,3上恒成立去絕對(duì)值化簡(jiǎn)可得|x+a|Wl再去絕對(duì)值即可得關(guān)于。的不等式組解不等式組即可

求得。的取值范圍

【詳解】

(1)當(dāng)。=一1時(shí)，不等式/(x)N2可化為|x-l|+|2x—1色2,

①當(dāng)時(shí)，不等式為1一%+1—2x22,解得xWO；

2

②當(dāng)，<x<l時(shí)，不等式為l—x+2x—1之2,無(wú)解；

2

4

③當(dāng)了之1時(shí)，不等式為x—l+2x—122,解得xN1,

綜上，原不等式的解集為(-8,0]Ug，+8).

(2)因?yàn)榈慕饧趃,3,

則不等式可化為11+。1+2]一142工,

即|工+。區(qū)1.解得一〃一1<%<—。+1,

一a—12—3

由題意知2,解得—2<。(一一，

2

—。+1<3

3

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是-2,--.

【點(diǎn)睛】

本題考查了絕對(duì)值不等式的解法分類(lèi)討論解絕對(duì)值不等式的應(yīng)用,含參數(shù)不等式的解法.難度一般.

20.(1)1.7；(2)EX—2.4,見(jiàn)解析；(2)2.

【解析】

(1)平均數(shù)的估計(jì)值為每個(gè)小矩形組中值乘以小矩形面積的和；

(2)易得X?8(4,0.6),由二項(xiàng)分布列的期望公式計(jì)算；

(3)利用所給公式計(jì)算出回歸直線$=派+4即可解決.

【詳解】

(1)由頻率分布直方圖可知，消費(fèi)群體對(duì)購(gòu)車(chē)補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值的平均數(shù)的估計(jì)值為

1.5x0.1+2.5x0.3+3.5x0.3+4.5x0.15+5.5x0.1+6.5x0.05=3.5,所以方差的估計(jì)

值為52=(1.5一3.5>xoi+Q.5_3.5)2x0.3+(3.5-3.5)2x0.3+(4.5-3.5)2x0.15

+(5.5-3.5>*oi+(6.5—3.5)2x005=17;

(2)由頻率分布直方圖可知，消費(fèi)群體對(duì)購(gòu)車(chē)補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值高于3萬(wàn)元的

頻率為p=0.3+0.15+0.1+0.05=0.6,則乂~8(4,0.6),所以X的分布列為

P(X=k)=0.6"0.4"*,Z=0,1,2,3,4,數(shù)學(xué)期望=4x0.6=2.4；

(3)將2018年11月至2019年3月的月份數(shù)依次編號(hào)為1,2,3,4,5,

記受=迫=1,2,3,4,5),y=0.5,y2=0.6,y3=1.0,y4=1.4,y5^l.l,由散點(diǎn)圖可知，

5組樣本數(shù)據(jù)呈線性相關(guān)關(guān)系，因?yàn)樘?3，5=1.04,%=0.5+1.2+3+5.6+8.5=18.8,

/=1

21A(X\HCUCCnt118.8—5x3x1.04

=1+4+9+16+25=55,則。=——=0.32,a=].04_().32x3=0.08，

Zi55-5x9

所以回歸直線方程為y=0.32x+0.08，當(dāng)x=6時(shí)，>=0.32x6+0.08=2,預(yù)計(jì)該品

牌汽車(chē)在2019年4月份的銷(xiāo)售量約為2萬(wàn)輛.

【點(diǎn)睛】

本題考查平均數(shù)、方差的估計(jì)值、二項(xiàng)分布列及其期望、線性回歸直線方程及其應(yīng)用，是一個(gè)概率與統(tǒng)計(jì)的綜合題,

本題是一道中檔題.

2L⑴*普）；⑵容

【解析】

（1）由/參數(shù)方程與橢圓方程聯(lián)立可得4、8兩點(diǎn)參數(shù)和，再利用M點(diǎn)的參數(shù)為A、8兩點(diǎn)參數(shù)和的一半即可求M

的坐標(biāo)；

（2）利用直線參數(shù)方程的幾何意義得到4Hp四，再利用|PAH~B|=|OP「=7計(jì)算即可，但要注意判別式還要大

于0.

【詳解】

x=2cos0,v2-

（1）由已知，曲線C）的參數(shù)方程為.八（。為參數(shù)），其普通方程為士+丁=1,

y=sinJ，4

-1

x=2+y

TTZv-

當(dāng)時(shí)，將廠。為參數(shù)）代入工+V=1得13/+561+48=0,設(shè)

3卜用爭(zhēng)，4

直線/上A、8兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為4,中點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為％,則/。='0=一||，

所以”的坐標(biāo)為（1|,-坐）；

x=2+/coscc2

(2)將廠.代入L+y?=1得(cos2a+4sin2a)/+(8>/^sina+4cosa)f+12=0,

y=V3+^sina4'

12

則1PAl.|PB|=Itxt21=——z-------T—,因?yàn)閨0尸1=7即IZQ^a+si/a)=7(cos%+4sin2a),

cosher+4sin?11

所以5cos2a=16sin2a,故tan2a=,由A=(8Gsina+4cosa)?-48(cos2a+4sin?a)

16

=32(2^3sinacosa-cos2a)>()得tana>