高中數學壓軸題復習-與數學文化相關的數學考題（剖析版）

【方法綜述】關注學生數學文化的意識的養(yǎng)成，努力推進數學文化的教育，已經成為當今數學教師與改革的一個重要特征，在新課改的數學命題中，數學文化已經得到足夠的重視，但并沒由得到應有的落實，造成數學文化教學的缺失的根本原因在于教師自身數學文化素養(yǎng)的缺乏，令人欣喜的是在近幾年的高考試題中已經開始有意識的進行嘗試和引導，在眾多的經典試題中，湖北卷的數學文化題更超凡脫俗和出類拔萃，因此，我們特別策劃了此專題，將數學文化與數學知識相結合，選取典型樣題深度解讀，希望能夠給予廣大師生的復習備考以專業(yè)的幫助與指導.【解答策略】類型一、取材數學游戲游戲可以讓數學更加好玩，在游戲中運用數學知識，或蘊含著數學原理的智力游戲可籠統地稱為數學游戲，把數學游戲改編為高考試題，既不失數學型，又能增加了考題的趣味性，充分體現了素質教育與大眾數學的理念.例1、五位同學圍成一圈依次循環(huán)報數，規(guī)定：①第一位同學首次報出的數為1，第二位同學首次報出的數也為1，之后每位同學所報出的數都是前兩位同學所報出的數之和；②若報出的數是3的倍數，則報該數的同學需拍手一次.已知甲同學第一個報數，當五位同學依次循環(huán)報到第100個數時，甲同學拍手的總次數為.【答案】【解析】由題意可知：將每位同學所報的數排列起來，即是“斐波那契數列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，44，233，377，610，987，……該數列的一個規(guī)律是，第4，8，12，16，……4n項是3的倍數；甲同學報數的序數是1，6，11，16，……，5m-4；甲同學報的數為3的倍數，依次為第15，35，55，75，95位數，共5個，所以，甲同學拍手的總次數是5次.【指點迷津】以數學游戲為素材的命制高考題目，創(chuàng)造了既寬松又競爭的環(huán)境，拉近了考生與數學的心理距離，但要注意游戲素材的選擇應與考生的實際生活密切相關，便于考生更好地理解游戲.例如：2012年高考湖北卷第13題“回文數”，考查排列、組合和歸納推理等知識.本題以此為背景，以簡單的游戲為分析計算對象，考查學生的閱讀理解能力和合情推理能力.【舉一反三】回文數是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數.如22，,11,3443,94249等.顯然2位回文數有9個：11,22,33…，99.3位回文數有90個：101,111,121，…，191,202，…，999.則（Ⅰ）4位回文數有______個；（Ⅱ）2n＋1（n∈N+）位回文數有______個.【答案】位回文數與位回文數個數相等，均為個.類型二、取材數學名著如數學家的傳記、數學演講報告、數學講義等，這些都是命制考題好的素材，從中選取一段有關的數學素材，突出索要考查的數學知識，在引導中學數學教學知能并重的同時，有意識地培養(yǎng)學生的數學素養(yǎng).例2、我國古代數學著作《九章算術》有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何？”意思是：“現有一根金杖，長5尺，一頭粗，一頭細，在粗的一端截下1尺，重4斤；在細的一端截下1尺，重2斤；問依次每一尺各重多少斤？”設該金杖由粗到細是均勻變化的，其重量為，現將該金杖截成長度相等的10段，記第段的重量為，且，若，則（）A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】【指點迷津】本題主要考查閱讀能力、等差數列的通項公式、等差數列的前項和公式以及轉化與劃歸思想，屬于中檔題.等差數列基本量的運算是等差數列的一類基本題型，數列中的五個基本量，一般可以“知二求三”，通過列方程組所求問題可以迎刃而解，解決此類問題的關鍵是熟練掌握等差數列的有關性質和公式，并靈活應用，在運算過程中，還應善于運用整體代換思想簡化運算過程.學*科網【舉一反三】【遼寧省丹東市2019屆高三測試（一)】我國明代偉大數學家程大位在《算法統綜》中常以詩歌的形式呈現數學問題，其中有一首“竹筒容米”問題：“家有九節(jié)竹一莖，為因盛米不均平，下頭三節(jié)三升九，上梢四節(jié)貯三升，唯有中間兩節(jié)竹，要將米數次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明”意思是：九節(jié)竹的盛米容積成等差數列，其中的“三升九”指3.9升，則九節(jié)竹的中間一節(jié)的盛米容積為（）A．0.9升 B．1升 C．1.1升 D．2.1升【答案】B【解析】依題意得，故，即，解得，故升.故選B.類型三、取材數學名題數學名題具有非凡的魅力，它常常蘊涵深刻的數學內容、經典的數學方法或與一些數學大師相關聯，數學名題能持續(xù)地是命制試題的重點取材之一.例3、【江西省南昌市2019屆高三第一次?！课覈纤螖祵W家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數學史上的一個偉大成就.在“楊輝三角”中，第行的所有數字之和為，若去除所有為1的項，依次構成數列，則此數列的前55項和為()A．4072 B．2026 C．4096 D．2048【答案】A【解析】解：由題意可知：每一行數字和為首項為1，公比為2的等比數列，則楊輝三角形的前n項和為Sn2n﹣1，若去除所有的為1的項，則剩下的每一行的個數為1，2，3，4，……，可以看成構成一個首項為1，公差為1的等差數列，則Tn，可得當n＝10，所有項的個數和為55，則楊輝三角形的前12項的和為S12＝212﹣1，則此數列前55項的和為S12﹣23＝4072，故選：A．【指點迷津】利用n次二項式系數對應楊輝三角形的第n+1行，然后令x＝1得到對應項的系數和，結合等比數列和等差數列的公式進行轉化求解即可．【舉一反三】【廣西桂林市，賀州市，崇左市2019年高三3月調研】2018年9月24日，英國數學家M.F阿帝亞爵在“海德堡論壇”展示了他“證明”黎曼猜想的過程，引起數學界震動，黎曼猜想來源于一些特殊數列求和.記無窮數列的各項的和，那么下列結論正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由時，，可得，時，，可得,排除，由，可排除,故選C.類型四、取材數學推理數學猜想是推動數學發(fā)展的強大動力之一，是數學發(fā)展中最活躍、最主動、最積極的因素，也是人類理性中最富有創(chuàng)造性的部分，數學猜想一旦被證明，就將轉化為定理，從而豐富數學理論，即使被否定或不能被證實，也常常能給數學帶來不可預期的成果，數學猜想是命制考題的好素材，它包含豐富的數學知識和思想方法.例4、古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種性狀來研究數，例如：他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數能夠表示成三角形，將其稱為三角形數;類似地，稱圖2中的1，4，9，16…這樣的數成為正方形數.下列數中及時三角形數又是正方形數的是A.289B.1024C【答案】C【指點迷津】合情推理主要包括歸納推理和類比推理.數學研究中，在得到一個新結論前，合情推理能幫助猜測和發(fā)現結論，在證明一個數學結論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向.合情推理僅是“合乎情理”的推理，它得到的結論不一定正確.而演繹推理得到的結論一定正確(前提和推理形式都正確的前提下).【舉一反三】【湖北省恩施州2019屆高三2月檢測】朱世杰是歷史上最偉大的數學家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數”五問中有如下問題：今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉多七人.”其大意為“官府陸續(xù)派遣1864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從第二天開始每天派出的人數比前一天多7人.”在該問題中的1864人全部派遣到位需要的天數為（）A．9 B．16 C．18 D．20【答案】B【解析】根據題意設每天派出的人數組成數列，分析可得數列是首項，公差的等差數列，該問題中的1864人全部派遣到位的天數為，則，依次將選項中的值代入檢驗得，滿足方程，故選B.類型五、取材數學圖形例5、一幅圖勝過一千字，“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休”，圖形不僅包含大量信息，而且形象直觀，生動絢麗，還能展示數學之美，圖形是數學總要的組成部分，高考試題中自然少不了這樣的試題，同時能較好的體現數學文化，甚至富有詩意的數學圖形.【貴州省凱里市第一中學2019屆高三下學期模擬考試《黃金卷二》】如圖，是我國古代數學家趙爽的弦圖，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如果大正方形的面積為，小正方形的面積為，直角三角形較小的銳角為，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】大正方形的面積為，小正方形的面積為，大正方形的邊長為，小正方形邊長為.設四個全等的直角三角形的長直角邊為，則短直角邊為由勾股定理得，解得為直角三角形較小的銳角，所以所以【舉一反三】1.中國古代數學名著《九章算術》中記載了公元前344年商鞅督造的一種標準量器——商鞅銅方升，其三視圖如圖所示（單位：寸），若取，立方寸=升，則商鞅銅方升的容積約為（）A．升 B．升 C．升 D．升【答案】B【解析】由三視圖得，商鞅銅方升由一圓柱和一長方體組合而成，（如圖所示）故其體積（立方寸），（升），故選:B2.【黑龍江省哈爾濱市第六中學2019屆高三二模】牛頓迭代法亦稱切線法，它是求函數零點近似解的另一種方法，若定義是函數零點近似解的初始值，過點的切線為，切線與軸交點的橫坐標，即為函數零點近似解的下一個初始值，以此類推，滿足精度的初始值即為函數零點的近似解，設函數，滿足應用上述方法，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，切線斜率，切線方程，令，得，切線斜率，切線方程，令，得，切線斜率，切線方程，令，得，故選D項類型六、取材數學文化與現代科學：數學文化與現代科學泛指最近一段時間國內外發(fā)生的數學方面的大事，被廣大媒體和公眾共同關注，具有方向性和短暫性和聚焦性等特點，命題專家從一段時事材料中甄選一個角度，簡明扼要的交代時事背景，抽象出數學模型，突出索要考查的數學問題，類似于文科綜合卷中的時事材料，既能達到一般試題的考查效果，又能融入肥厚的數學文化，平添點滴生活氣息.例6、【福建省2019屆高考適應（三)】習總書記在十九大報告中指出：必須樹立和踐行綠水青山就是金山銀山的理念.某市為貫徹落實十九大精神，開展植樹造林活動，擬測量某座山的高.如圖，勘探隊員在山腳A測得山頂B的仰角為，他沿著傾斜角為的斜坡向上走了40米后到達C，在C處測得山頂B的仰角為，則山高約為______米.（結果精確到個位，在同一鉛垂面）.參考數據：.【答案】【解析】過C做CM⊥BD于M,CN⊥AD于N,設BM=h,則CM=,解得h=20(),∴BD=h+20【指點迷津】1.命題者抓住“嫦娥奔月”這個古老而又現代的浪漫話題，以探測衛(wèi)星軌道為背景，抽象出共一條對稱軸、一個焦點和一個頂點的兩個橢圓的幾何性質，并以加減乘除的方式構造兩個等式和兩個不等式，考查橢圓的幾何性質，可謂匠心獨運.2.注意到橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ共一個頂點P和一個焦點F，題目所給四個式子涉及長半軸長和半焦距，從焦距入手，這是求解的關鍵，本題對考生的數學能力進行了比較全面的考查，是一道名副其實的小中見大、常中見新、蘊文化于現代科學技術應用之中的好題.【舉一反三】【河北省滄州市2019年高考模擬】中國最早的天文學和數學著作《周髀算經》里提到了七衡，即七個等距的同心圓.七衡的直徑和周長都是等差數列，最里面的一圓叫內一衡，外面的圓依次叫次二衡，次三衡，….設內一衡直徑為，衡間距為，則次二衡直徑為，次三衡直徑為，…，執(zhí)行如下程序框圖，則輸出的中最大的一個數為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知題中所給的程序框圖功能為計算并輸出的值，由等差數列通項公式有：，且易知恒成立，則：，當且僅當，即時等號成立.綜上可得，輸出的中最大的一個數為.本題選擇D選項.【強化訓練】一、選擇題1．【河南省八市重點高中2019屆高三第二次測評】《九章算術》中有一題：今有牛、馬、羊食人苗苗主責之粟五斗羊主曰：“我羊食半馬”馬主曰：“我馬食半?！苯裼斨瑔柛鞒鰩缀纹湟馑际牵航裼信?、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償五斗粟羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半”若按此比例償還，牛、馬、羊的主人各應賠償多少？設牛、馬、羊的主人分別應償還x斗、y斗、z斗，則下列判斷正確的是（）A．且 B．且C．且 D．且【答案】B【解析】由題意可知x，y，z依次成公比為的等比數列，則，解得，由等比數列的性質可得．故選：B．2．【安徽省合肥一中、馬鞍山二中等六校教育研究會2019屆高三第二次聯考】《算法統宗》是中國古代數學名著，由明代數學家程大位編著，它對我國民間普及珠算和數學知識起到了很大的作用，是東方古代數學的名著．在這部著作中，許多數學問題都是以歌訣形式呈現的，“九兒問甲歌”就是其中一首：一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七，借問長兒多少歲，各兒歲數要詳推．在這個問題中，記這位公公的第個兒子的年齡為，則()A．23B．32C．35D．38【答案】C【解析】由題意可得兒子的歲數成等差數列，設公差為，其中公差，，即，解得，故選C.3．【陜西省寶雞中學2019屆高三一?！课覈糯鷶祵W著作算法統宗中有這樣一個問題意為：“有一個人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地“那么，此人第4天和第5天共走路程是A．24里B．36里C．48里D．60里【答案】B【解析】記每天走的路程里數為，可知是公比的等比數列，由，得，解得：，．所以此人第4天和第5天共走了里，故選B．4．【河北省滄州市2019年高考模擬】中國最早的天文學和數學著作《周髀算經》里提到了七衡，即七個等距的同心圓.七衡的直徑和周長都是等差數列，最里面的一圓叫內一衡，外面的圓依次叫次二衡，次三衡，….設內一衡直徑為，衡間距為，則次二衡直徑為，次三衡直徑為，…，執(zhí)行如下程序框圖，則輸出的中最大的一個數為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知題中所給的程序框圖功能為計算并輸出的值，由等差數列通項公式有：，且易知恒成立，則：，當且僅當，即時等號成立.綜上可得，輸出的中最大的一個數為.本題選擇D選項.5．【安徽省合肥市2019屆高三第二次檢測】“垛積術”（隙積術）是由北宋科學家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)，南宋數學家楊輝、元代數學家朱世杰豐富和發(fā)展的一類數列求和方法，有茭草垛、方垛、芻童垛、三角垛等等.某倉庫中部分貨物堆放成如圖所示的“菱草垛”：自上而下，第一層1件，以后每一層比上一層多1件，最后一層是件.已知第一層貨物單價1萬元，從第二層起，貨物的單價是上一層單價的.若這堆貨物總價是萬元，則的值為（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解析】由題意，第一層貨物總價為1萬元，第二層貨物總價為萬元，第三層貨物總價為萬元，…，第層貨物總價為萬元，設這堆貨物總價為萬元,則，，兩式相減得，則,解得，故選D.6．【安徽省黃山市2019屆高三第二次檢測】在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑中，平面，，且，為AD的中點，則異面直線與夾角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設是中點，連接，由于分別是中點，是三角形的中位線，故，所以是兩條異面直線所成的角.根據鱉臑的幾何性質可知.故，在三角形中，由余弦定理得，故選C.7．【遼寧省沈陽市郊聯體2019屆高三一?！课覈媳背瘯r的數學著作《張邱建算經》有一道題為：“今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中間四人未到者，亦依次更給，問各得金幾何？”則在該問題中，中等級中的五等人與六等人所得黃金數（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設為第等人的得金數，則為等差數列，由題設可知，，故，而，故選C．8.【北師大實驗中學2019屆高三二?！恐袊未臄祵W家秦九韶曾提出“三斜求積術”，即假設在平面內有一個三角形，邊長分別為，三角形的面積可由公式求得，其中為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫-秦九韶公式，現有一個三角形的邊長滿足，則此三角形面積的最大值為()A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，p＝10，S8，∴此三角形面積的最大值為8．故選：C．9．【東北三省三校（哈爾濱師大附中、東北師大附中、遼寧省實驗中學)2019屆高三第二次模擬】趙爽是我國古代數學家、天文學家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的），類比“趙爽弦圖”，可類似地構造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，設，則（）A． B．C． D．【答案】D【解析】設，因此，又由題意可得，所以，因此；延長交于，記，，則，所以；又由題意易知，則，在三角形中，由正弦定理可得，即，因此，，所以，因為，所以，即，整理得，所以.故選D10．【山東省濟南市2019屆高三3月模擬】我國南北朝時期的數學家祖暅提出了計算體積的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異.”意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.已知曲線，直線為曲線在點處的切線.如圖所示，陰影部分為曲線、直線以及軸所圍成的平面圖形，記該平面圖形繞軸旋轉一周所得的幾何體為.給出以下四個幾何體：①②③④圖①是底面直徑和高均為的圓錐；圖②是將底面直徑和高均為的圓柱挖掉一個與圓柱同底等高的倒置圓錐得到的幾何體；圖③是底面邊長和高均為的正四棱錐；圖④是將上底面直徑為，下底面直徑為，高為的圓臺挖掉一個底面直徑為，高為的倒置圓錐得到的幾何體.根據祖暅原理，以上四個幾何體中與的體積相等的是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】A【解析】幾何體是由陰影旋轉得到，所以橫截面為環(huán)形，且等高的時候，拋物線對應的點的橫坐標為，切線對應的橫坐標為，切線為，即，橫截面面積圖①中的圓錐高為1，底面半徑為，可以看成由直線繞軸旋轉得到橫截面的面積為.所以幾何體和①中的圓錐在所有等高處的水平截面的面積相等，所以二者體積相等，故選A項.11．【山西省呂梁市2019年高考模擬】孔明鎖，也叫魯班鎖，起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的榫卵結構，它是用6根木條制作的一件可拼可拆的、廣泛流傳于中國民間的智力玩具．如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是其中3根木條的三視圖，記這3根木條的體積分別為，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：由題意可知幾何體是正四棱柱去掉部分棱柱的幾何體，由題意可知V1＝32﹣8＝24；V2＝32﹣10＝22；V3＝32﹣6＝26，這3根木條的體積分別為V1，V2，V3，滿足V2＜V1＜V3．故選：C．二、填空題12.【福建省2019屆高三模擬】我國古代數學家祖暅提出原理：“冪勢既同，則積不容異”.其中“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高.該原理的意思是：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被任一平行于這兩個平行平面的平面所截，若所截的兩個截面的面積恒相等，則這兩個幾何體的體積相等.如圖，在空間直角坐標系中的平面內，若函數的圖象與軸圍成一個封閉的區(qū)域，將區(qū)域沿軸的正方向平移8個單位長度，得到幾何體如圖一，現有一個與之等高的圓柱如圖二，其底面積與區(qū)域的面積相等，則此圓柱的體積為__________．【答案】【解析】【分析】利用四分之一圓的面積和直角三角形面積公式求得陰影部分的面積，進而求得圓柱的體積.【詳解】表示的是四分之一的圓的面積，且圓的半徑是，所以區(qū)域的面積為，所以圓柱的體積.13．【浙江省杭州地區(qū)(含周邊)重點中學2019屆高三第一學期期中】九章算術中有一題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬，”馬主曰：“我馬食半?！保裼斨瑔柛鞒鰩缀危科湟猓航裼信！ⅠR、羊吃了別人的禾苗，苗主人要求賠償五斗粟，羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例償還，問羊的主人應賠償______斗粟，在這個問題中牛主人比羊主人多賠償______斗粟．【答案】【解析】