函數(shù)及其表示

函數(shù)的概念（1）1.2.1一、回顧初中學(xué)習(xí)的函數(shù)概念設(shè)在一個(gè)變化過程中，有兩個(gè)變量x與y，如果對于x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與它對應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)，x叫做自變量．請你舉出這樣的例子二、下面先看幾個(gè)實(shí)例：問題：（1）寫出時(shí)間t的變化范圍的集合A.A={t|1979≤t≤2001}（2）寫出臭氧層空洞面積S的變化范圍的集合B.B={S|0≤S≤26}由問題的實(shí)際意義可知，對于數(shù)集A中的每一個(gè)時(shí)間t，按照圖中曲線，在數(shù)集B中都有唯一確定的臭氧層空洞面積S和它對應(yīng).

國際上常用恩格爾系數(shù)反映一個(gè)國家人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高。表1-1中恩格爾系數(shù)隨時(shí)間（年）變化的情況表明，“八五”計(jì)劃以來，我國城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量發(fā)生了顯著變化。時(shí)間（年）19911992199319941995199619971998199920002001城鎮(zhèn)居民家庭恩格爾系數(shù)（%）53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9表1-1問題：（1）寫出時(shí)間t的變化范圍的集合A.A={t|1991≤t≤2001}（2）寫出恩格爾系數(shù)的變化范圍的集合B.B={53.8,52.9,50.1,49.9,48.6,46.4,44.5,41.9,39.2,37.9}由問題的實(shí)際意義可知，對于數(shù)集A中的每一個(gè)時(shí)間t,按照表中數(shù)據(jù)，在數(shù)集B中都有唯一確定的恩格爾系數(shù)和它對應(yīng).其中x叫做自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域；與x的值對應(yīng)的y值叫作函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫作函數(shù)的值域.值域是集合B的子集.新課1、函數(shù)定義設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x),x∈A2．對概念的理解（1）定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系是決定函數(shù)的三要素，這是一個(gè)整體.一般來說值域由定義域和對應(yīng)關(guān)系所確定，因?yàn)閷τ诙x域中的數(shù)x，按照確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和x對應(yīng).（2）記住y=f(x)的內(nèi)涵.例如對于f(x)=x2，對應(yīng)關(guān)系f就是“取平方”，而對于

，對應(yīng)關(guān)系f就是“開平方”，f就是函數(shù)符號，對于具體的函數(shù)它有具體的涵義.函數(shù)符號還可以記作y=g(x),y=u(x)等．3．用函數(shù)定義理解初中學(xué)習(xí)過的函數(shù)問：我們已經(jīng)學(xué)過了那些函數(shù)？答：一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù).請?zhí)顚懴卤恚汉瘮?shù)一次函數(shù)二次函數(shù)反比函數(shù)a>0a<0對應(yīng)關(guān)系定義域值域4．請具體寫出一個(gè)一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，并作出圖象.課堂例題課堂總結(jié)1．用集合與對應(yīng)的語言定義的函數(shù).2．如何求簡單函數(shù)定義域和函數(shù)值.求定義域時(shí)通常要注意以下幾點(diǎn)：（1）開偶次方根需非負(fù)；（2）分母不等于零；（3）具體函數(shù)的定義域要求.課后作業(yè)課本第24頁習(xí)題1.2A組第1題（1）（2）（3）（4）.課本第44頁復(fù)習(xí)參考題A組第6題.函數(shù)的概念（2）1.2.1復(fù)習(xí)導(dǎo)入問：什么是函數(shù)？設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù),記作y=f(x),x∈A其中x叫做自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域；與x的值對應(yīng)的y值叫作函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫作函數(shù)的值域.初中各類函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系、定義域、值域分別是什么？函數(shù)對應(yīng)關(guān)系定義域值域正比例函數(shù)反比例函數(shù)一次函數(shù)二次函數(shù)RRRRR新課一、求函數(shù)的值域例1.求下列函數(shù)的值域：二、區(qū)間的概念研究函數(shù)時(shí)常會用到區(qū)間的概念.設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且a<b.我們規(guī)定：（1）滿足不等式a≤x≤b的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為[a,b]；（2）滿足不等式a<x<b的實(shí)數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，表示為(a,b)；（3）滿足不等式a≤x<b或a<x≤b的實(shí)數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為[a,b)，(a,b].這里的實(shí)數(shù)a,b都叫做相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn).實(shí)數(shù)集R可用區(qū)間表示為(-∞,+∞)，我們把滿足x≥a，x>a,x≤b，x<b的實(shí)數(shù)x的集合分別表示為[a,+∞)，(a,+∞)，(-∞,b]，(-∞,b)?！?/p>

”

讀作“無窮大”，“”讀作“負(fù)無窮大”，“+”

讀作“正無窮大”.集合表示區(qū)間表示數(shù)軸表示{x|a＜x＜b}(a,b){x|a≤x≤b}[a,b]{x|a≤x＜b}[a,b){x|a＜x≤b}(a,b]{x|x＜a}(-∞,a){x|x≤a}(－∞,a]{x|x＞b}(b,+∞){x|x≥b}[b,+∞){x|x∈R}(－∞,+∞)。。ab..ab.。ab。a。b.a.b數(shù)軸上所有的點(diǎn)ba。.例1.求下列函數(shù)的值域（用區(qū)間表示）：課堂例題思考：區(qū)間可以表示數(shù)集，數(shù)集一定可以用區(qū)間表示嗎?提示：區(qū)間可以表示數(shù)集，但只能表示一些連續(xù)的實(shí)數(shù)集的子集，一些孤立的數(shù)集不一定可以用區(qū)間表示，如集合{1,2,3}不能用區(qū)間表示.練習(xí)：把下列數(shù)集用區(qū)間表示：(1){x|x≥-2}.(2){x|x＜0}.(3){x|-1＜x＜1或2≤x＜6}.y=x與是同一函數(shù)嗎？探究點(diǎn)2相等函數(shù)思考1：思考2：

如何判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)?兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)，應(yīng)該滿足它們的定義域、值域和對應(yīng)法則都相同．由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，這兩個(gè)函數(shù)就相等.從本例我們還可以看出，相同的對應(yīng)關(guān)系，其表達(dá)形式可以不同.我們還可以用列出表格的方式進(jìn)行判斷函數(shù)定義域?qū)?yīng)法則值域課堂練習(xí)1.判斷下列各組中的函數(shù)是否相等，并說明理由：（1）表示炮彈飛行高度h與時(shí)間t關(guān)系的函數(shù)h=-130t-5t2和二次函數(shù)y=130x-5x2；（2）f(x)=1和g(x)=x0.2.課本24頁第2題1.下列圖象中不能作為函數(shù)的是().A.B.C.D.2.與y=x是相等函數(shù)的是()A.y=|x| B.y=C.y= D.y=t3.試用區(qū)間表示下列實(shí)數(shù)集

（1）{x|2≤x<3}（2）{x|x≥15}（3）{x|x≤0}∩{x|-3≤x<8}（4）{x|x<-10}∪{x|3<x<6}作業(yè)：P-24

3、5、6課堂小結(jié)1．函數(shù)的值域由定義域和對應(yīng)關(guān)系確定.2．如果兩個(gè)函數(shù)的定義域、對應(yīng)關(guān)系都相同，則它們是同一個(gè)函數(shù).課后作業(yè)函數(shù)的表示法（1）1.2.2復(fù)習(xí)導(dǎo)入問：我們在引入函數(shù)的定義時(shí)學(xué)過函數(shù)的哪些表示法？答：解析法、圖象法和列表法.問：什么是解析法、圖象法和列表法？答：解析法，就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法；圖象法，就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法；列表法，就是列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法.問：解析法、圖象法和列表法的優(yōu)點(diǎn)有哪些？復(fù)習(xí)導(dǎo)入解析法有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：一是簡明、全面地概括了變量間的關(guān)系；二是可以通過解析式求出任意一個(gè)自變量的值所對應(yīng)的函數(shù)值.這是中學(xué)階段所研究的主要的函數(shù)表示形式.圖象法的優(yōu)點(diǎn)是直觀形象地表示自變量的變化，相應(yīng)的函數(shù)值變化的趨勢，有利于我們通過圖象來研究函數(shù)的某些性質(zhì).圖象法在生產(chǎn)和生活中有許多應(yīng)用，如企業(yè)生產(chǎn)圖、股市走勢圖等.列表法的優(yōu)點(diǎn)是不需要計(jì)算就可以直接看出與自變量的值相對應(yīng)的函數(shù)值.列表法在實(shí)際生產(chǎn)和生活中也有廣泛的應(yīng)用，如銀行利率表、列車時(shí)刻表等.課堂例題例1.某種筆記本的單價(jià)是5元，買x(x∈{1,2,3,4,5})個(gè)筆記本需要y元.試用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù)y=f(x).解：函數(shù)的定義域是數(shù)集{1,2,3,4,5}.用解析法可將函數(shù)y=f(x)表示為y=5x，x∈{1,2,3,4,5}.用列表法可將函數(shù)y=f(x)表示為筆記本數(shù)x12345錢數(shù)y510152025用圖象法可將函數(shù)y=f(x)表示為：0例2.某兒童服裝商店一年內(nèi)銷售額(萬元)與一年內(nèi)12個(gè)月份的關(guān)系用一條折線連接起來如圖2-2-1．請用列表法表示圖中的函數(shù)關(guān)系．課堂例題解：在圖象上找出月份與銷售額的對應(yīng)點(diǎn)，用列表法表示為x(月)123456789101112y(萬元)406030204050302550604040

思考：所有的函數(shù)都能用解析式表示嗎？

課堂例題例3.下表是某校高一（1）班三名同學(xué)在高一學(xué)年六次數(shù)學(xué)測試的成績及班級平均分表.請你對這三位同學(xué)在高一學(xué)年度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況做一個(gè)分析.分析：從表中可以知道每位同學(xué)在每次測試中的成績，但不太容易分析每位同學(xué)的成績變化情況.如果將“成績”與“測試時(shí)間”之間的關(guān)系用函數(shù)圖象表示出來，那么就能比較直觀地看到成績變化的情況.解：從圖中可以看到:王偉同學(xué)的數(shù)學(xué)成績始終高于班級平均水平，學(xué)習(xí)情況比較穩(wěn)定而且成績優(yōu)秀.張城同學(xué)的數(shù)學(xué)成績不穩(wěn)定，總是在班級平均水平上下波動(dòng)，而且波動(dòng)幅度較大.趙磊同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績低于班級平均水平，但他的成績曲線呈上升趨勢，表明他的數(shù)學(xué)成績在穩(wěn)步提高.課堂練習(xí)1.如圖，把截面半徑為25cm的圓形木頭鋸成矩形木料，如果矩形的一邊長為xcm，面積為ycm2，把y表示為x的函數(shù).25cmx課堂練習(xí)2.下圖中哪幾個(gè)圖象與下述三件事分別吻合得最好？請你為剩下的那個(gè)圖象寫出一件事.（1）我離開家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了，于是返回家里找到了作業(yè)本再上學(xué)；（2）我騎著車一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時(shí)間；（3）我出發(fā)后，心情輕松，緩緩行進(jìn)，后來為了趕時(shí)間開始加速.時(shí)間離開家的距離（A）時(shí)間離開家的距離（B）時(shí)間離開家的距離（C）時(shí)間離開家的距離（D）0000課后作業(yè)1．課本第24頁習(xí)題1.2A組7、8、9題.B組第3題.1.2.2函數(shù)的表示法（2）復(fù)習(xí)導(dǎo)入問：函數(shù)有哪三種表示法？答：解析法、圖象法和列表法.復(fù)習(xí)導(dǎo)入新課

一、分段函數(shù)用解析法表示函數(shù)時(shí)，常常遇到這樣的情形，一個(gè)函數(shù)在整個(gè)定義域上不能建立統(tǒng)一的函數(shù)解析式，自變量在不同的取值范圍內(nèi)，對應(yīng)著不同的函數(shù)解析式，這樣的一類函數(shù)我們把它稱為“分段函數(shù)”（segment-function）．課堂例題例1.畫出函數(shù)y=|x|的圖象.所以，函數(shù)y=f(x)的圖象如下：-3-2-1123xy12345O例2.某市“招手即?！惫财嚨钠眱r(jià)按下列規(guī)則指定：(1)5公里以內(nèi)（含5公里），票價(jià)2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票價(jià)增加1元（不足5公里的按5公里計(jì)算）.如果某條線路的總里程為20公里，請根據(jù)題意，寫出票價(jià)與里程之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)的圖象.課堂例題課堂練習(xí)畫出函數(shù)y=|x+1|的圖象。由于這個(gè)函數(shù)的自變量x取x<-1與x≥-1的解析式不同，所以要分段討論．其圖象是圖2－２－３．

函數(shù)是“兩個(gè)數(shù)集間的一種確定的對應(yīng)關(guān)系”.當(dāng)我們將數(shù)集擴(kuò)展到任意的集合時(shí)，就可以得到映射的概念.

例如，歐洲的國家構(gòu)成集合A，歐洲各國的首都構(gòu)成集合B，對應(yīng)關(guān)系f：國家a對應(yīng)它的首都b.

這樣，對于集合A中的任意一個(gè)國家，按照對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的首都與之對應(yīng).我們將對應(yīng)f:A→B稱為映射.新課

二、映射

一般地，我們有：設(shè)A，B是兩個(gè)非空集合，如果按某一個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有惟一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)映射,記f:A→B

其中x叫做原象，與x對應(yīng)的y叫做象．