小學(xué)數(shù)學(xué)難題解法大全-第三部分-常用解題方法(二-一)一般解題方法

小學(xué)數(shù)學(xué)難題解法大全第三局部常用解題方法〔二之一〕一般解題方法〔一〕一般解題方法【圖示法】解答競賽題時，盡管題目內(nèi)容復(fù)雜多變，或者條件十分抽象，但可以用圖形〔線段圖、直觀圖、示意圖〕把題中的條件和問題形象、具體地表示出來，以幫助我們揭示數(shù)量關(guān)系，正確地找到解答方法。這種解題方法就是圖示法。的服裝3套，那么剩下16.1米。這段布料全長多少米？分析：根據(jù)題意先畫圖觀察〔如圖3.1〕?？芍鹤?套服裝所用布料占這段布料的：做3套服裝所用布料占這段布料的：剩下的布料16.1米的對應(yīng)分率是：由此可求出這段布料全長多少米。答：這段布料全長24.5米。例2把一個長方體的高減少4厘米，就得到一個底面不變的正方體，它的外表積比原來減少了112平方厘米。這個正方體的體積是多少？分析：這是一道比擬抽象的圖形的求積題，需要有一定的空間想象能力。通過畫圖〔如圖3．2〕，可以幫助理解兩個關(guān)鍵問題。一是把長方體的高減少4厘米后，得到一個底面不變的正方體，這個正方體的六個面都是正方形。二是長方體變成正方體后，它的外表積減少的局部是以4厘米為高的這個長方體的側(cè)面積〔而不含陰影局部的面積〕。根據(jù)條件，可知將這個側(cè)面積展開是一個寬4厘米、面積為112平方厘米的長方形，由此可求出它的長，也就是得到的正方形的一個面的周長。112÷4＝28〔厘米〕那么正方體的棱長為：28÷4＝7〔厘米〕由此可求出正方體的體積。解：〔112÷4÷4〕3＝7×7×7＝343〔立方厘米〕答：這個正方體的體積是343立方厘米。例3在邊長是6米的正方形花圃四周由里向外鋪上三圈水泥磚，形成一個大的正方形，這種水泥磚每塊是邊長30厘米的正方形，共需要這種水泥磚多少塊？〔中南地區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題〕分析：此題是一道空心方陣問題。根據(jù)方陣?yán)锿庀噜弮蓪用窟厰?shù)相差2的特點，可求出方陣最里層每邊有方磚是600÷30＋2＝22〔塊〕，因為是3層，所以最外層每邊有方磚是22＋2×〔3－1〕＝26塊。由題意畫一個空心方陣圖〔如圖3．3〕，陰影局部表示方磚數(shù)，把這個圖的陰影局部劃分成相等的四個小塊，只需求出一小塊里面有多少塊磚，便可求出一共有多少塊磚。解：〔26－3〕×3×4＝276〔塊〕答：共需方磚276塊。例4一組割草人去兩塊草地割草，他們的工效都相等。大的一塊草地比小的一塊大一倍。上午全組人都在大的一塊草地割草，下午一半人留在大草地上，到黃昏時把草割完。另一半人就到小草地上去割，到黃昏時還剩下一塊，這一塊假設(shè)由一個人去割，正好一天可以割完。問全組共有多少名割草人？分析：這是一道俄國名題，乍看起來數(shù)量關(guān)系比擬復(fù)雜，假設(shè)根據(jù)題意先畫一個圖，題意就一目了然了。先畫一個長方形表示大的一塊草地，連著這個長方形再畫一個面積是它的一半的小長方形，表示小的一片草地，如圖3．4所示。答：全組共有8名割草人。例5AB兩站從6：00—19：00，每隔10分鐘有一輛公共汽車同時相對開出。從A站到B站與從B站到A站運行的時間均為50分鐘?，F(xiàn)有一輛汽車上午9點出發(fā)從B站開往A站，問這輛汽車在運行途中遇到多少輛從A站開往B站的汽車？〔“運行途中〞是指出站后至進(jìn)站前所經(jīng)過的路段?！撤治雠c解答：考慮問題時應(yīng)想到這輛從B站開往A站的車，在出發(fā)前A站已每隔10分鐘向B站發(fā)車，那么這輛車在運行途中會遇到多少輛從A站開往B站的車呢？可用圖示法解答。分別從AB兩站畫兩條平行的時間軸，每兩點之間的線段表示一個時間段〔10分鐘〕。汽車9點從B站開出，9點50分到達(dá)A站，在B軸上用“0〞表示發(fā)車時間，A軸上用5表示到達(dá)時間，AB兩站相對開出的車輛用斜線表示。這樣一來，就把所求的問題轉(zhuǎn)化成“0—5〞連線與多少條斜線相交的問題。如圖3.5所示。由圖可知，這輛汽車在運行途中，遇到了9輛從A站開往B站的汽車。注：這類問題經(jīng)常被稱為“柳卡問題〞，這是因為法國數(shù)學(xué)家柳卡〔也譯作“劉卡〞〕在一次國際會議期間最先提出這類問題。在匈牙利，它那么被稱為“郵車相遇問題〞，因為匈牙利著名作家卡爾曼·米克沙特所著的名著《奇婚配》中，有一個類似的郵車相遇算題。解這類問題的圖，稱之為“時間一路程圖〞，或稱之為“運行圖〞。【列表法】解題時把題中的條件進(jìn)行分類整理，用表格的形式進(jìn)行有序排列，使條件與條件之間，條件與問題之間的關(guān)系條理化、明朗化，有利于探求解題的思路，從而到達(dá)解決問題的目的。這種方法就是列表法。例1一個圓的周長是1.26米，兩只螞蟻從一條直徑的兩端同時出發(fā)沿圓周相向爬行，這兩只螞蟻每秒分別爬行5.5厘米和3.5厘米。它們每爬行1秒、3秒、5秒……〔連續(xù)奇數(shù)〕，就調(diào)頭爬行。那么，它們相遇時，已爬行的時間是______秒。〔1992年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題〕分析：兩只螞蟻是在邊進(jìn)邊退中相向爬行，要求出它們相遇的時間，就有一定困難。圓的周長是1.26米〔126厘米〕，半圓的弧長那么是63厘米，兩只螞蟻共同爬行63厘米所用的時間就是它們相遇的時間。兩只螞蟻每秒鐘一共爬行了5.5＋3.5＝9〔厘米〕假定兩只螞蟻第1秒鐘都往上半圓相向爬行，那么它們共同爬行了9厘米。這時，它們調(diào)頭向下爬行3秒鐘，共爬行了9×3＝27〔厘米〕相對它們出發(fā)時的地點下降了27－9＝18〔厘米〕這時，它們又調(diào)頭問上爬行5秒鐘，共行9×5＝45〔厘米〕，相對出發(fā)時的地點向上爬行了45－18＝27〔厘米〕依此類推，列出下表：從上表可以看出，在螞蟻連續(xù)向上爬行了13秒鐘的時候，正好相遇。這時螞蟻一共爬行了1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝49〔秒〕答：它們相遇時，已爬行的時間是49秒。分析：根據(jù)工作效率＝工作量÷時間，列下表：解：從上表可知師傅與徒弟兩人工作效率的比為：答：師傅與徒弟兩人工作效率的比是5∶3。例3長方形ABCD周長為16米，在它的每條邊上各畫一個以該邊為長的正方形〔如圖3.6〕。這四個正方形的面積的和是68平方米，求長方形ABCD的面積。〔第四屆“華羅庚金杯〞少年數(shù)學(xué)邀請賽復(fù)賽試題〕分析：要求長方形ABCD的面積，必須知道長方形的長與寬各是多少，假設(shè)用算術(shù)方法或列方程解答都比擬難，改用列表法解答那么比擬容易。由“長方形ABCD的周長是16米〞，“四個正方形的面積的和為68平方米〞這兩個條件，以及長方形對邊相等的性質(zhì)，可以推出長＋寬＝8〔米〕長2＋寬2＝68÷2＝34〔平方米〕根據(jù)推論列表如下：解：分析上表，符合條件的長應(yīng)該是5米，寬應(yīng)該是3米，那么長方形ABCD的面積為5×3＝15〔平方米〕答：長方形ABCD的面積是15平方米。例4有假設(shè)干只重量相同的箱子共重10噸，且每只箱子的重量不少于1噸。用載重3噸的汽車一次將箱子運走，至少需要__輛車子?！?993年全國小學(xué)生數(shù)學(xué)競賽決賽試題〕分析：由“每只箱子的重量不少于1噸〞，每輛汽車“載重3噸〞的條件，可知每一箱子的重量的取值范圍是1≤3。由于箱子的只數(shù)只能是自然數(shù)，根據(jù)“假設(shè)干只重量相同的箱子共重10噸〞的條件，可知箱子的只數(shù)是10、9、8、7、6、5、和4這七種情況。要注意的是，假設(shè)每只箱子的重量是1噸，那么共有10只箱子，用3輛汽車每車裝3只箱子，就還剩下1只箱子沒有運走，故至少要4輛汽車才能一次運完。根據(jù)條件和問題，列表解答如下：從上表可知至少要6輛車才能一次將箱子運走。答：至少需要6輛汽車。【假設(shè)法】一些題目含有兩個或者兩個以上的未知數(shù)量，其數(shù)量關(guān)系比擬隱蔽，很難找到解題途徑。為了使復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得單一，使隱蔽的關(guān)系變得明朗，我們可以用“假設(shè)〞，改變某些條件，或者將某個條件設(shè)為。對因假設(shè)而產(chǎn)生的差異進(jìn)行分析推斷，并加以調(diào)整，從而使問題獲得解決。這種解題方法，就是假設(shè)法?！凹僭O(shè)〞是一種重要的數(shù)學(xué)思想。列方程解應(yīng)用題，把未知數(shù)設(shè)為X；有關(guān)倍數(shù)應(yīng)用題，常常假定一個數(shù)量為“1倍〞或“1〞份；解答分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，把一個數(shù)量假定為單位“1〞。這些都是假設(shè)法的廣泛應(yīng)用。我國古代的“雞兔同籠〞、“百僧分饃〞等問題，都是用假設(shè)法解答的典型應(yīng)用題。例1在一個停車場上，現(xiàn)有的車輛數(shù)是24輛。其中汽車是4個輪子，摩托車是3個輪子，這些車共有86個輪子。那么，三輪摩托車有__輛?！?992年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題〕分析：假設(shè)這24輛全是汽車，那么有輪子：4×24＝96〔個〕比實際的86個多了：96－86＝10〔個〕可以推斷汽車不可能為24輛，對假設(shè)要作調(diào)整。由于每輛汽車比摩托車多1個輪子，多出的10個輪子就是多將10輛摩托車假定為汽車造成的。因此，摩托車為10÷1＝10〔輛〕解：〔4×24－86〕÷〔4－3〕＝10÷1＝10〔輛〕………………摩托車輛數(shù)24－10＝14〔輛〕…汽車輛數(shù)答：有三輪摩托車10輛。此題也可以假設(shè)這24輛全是摩托車，那么汽車為〔86－24×3〕÷〔4－1〕＝14〔輛〕，摩托車那么為24－14＝10〔輛〕。例2某車站售出汽車月票假設(shè)干張。每張學(xué)生票6元，每張成人票14元；售出的學(xué)生票比成人票多700張，售出的成人票比學(xué)生票多收6200元。問售出的成人票與學(xué)生票各多少張？分析：假設(shè)再售出成人票700張，那么學(xué)生票的張數(shù)就與成人票的張數(shù)同樣多，那么成人票又要多收：700×14＝9800〔元〕成人票比學(xué)生票一共多收：6200＋9800＝16000〔元〕而每張成人票比學(xué)生票要多收14－6＝8〔元〕，16000元里面包含了多少個8元，就是學(xué)生票的張數(shù)：16000÷8＝2000〔張〕解：〔6200＋700×14〕÷〔14－6〕＝16000÷8＝2000〔張〕……學(xué)生票數(shù)2000－700＝1300〔張〕……成人票數(shù)答：售出學(xué)生票2000張，成人票1300張。分析：題中兩個分率的單位“1〞〔或標(biāo)準(zhǔn)量〕不統(tǒng)一，解此題的關(guān)鍵是假設(shè)哪一個量為單位“1〞?？梢约僭O(shè)文藝書的本數(shù)為單位“1〞，也可以假設(shè)科技書的本數(shù)為單位“1〞，還可以假設(shè)兩種圖書的總數(shù)為單位“1〞，甚至可以假設(shè)兩種圖書相等的局部為單位“1〞。現(xiàn)在假設(shè)科技書的本數(shù)為單位“1〞。用分?jǐn)?shù)除法求得文藝書的本數(shù)是科技書的幾分之幾；還可以根據(jù)比例的根本性質(zhì)求得文藝書的本數(shù)是科技書的幾分之幾：這樣就找到了文藝書比科技書多120本的對應(yīng)分率是：＝240〔本〕……………科技書本數(shù)120＋240＝360〔本〕…文藝書本數(shù)240＋360＝600〔本〕…圖書總數(shù)答：共購進(jìn)圖書600本。例4某工廠的27位師傅共帶徒弟40名。每位師傅可以帶一名徒弟、兩名徒弟或三名徒弟。如果帶一名徒弟的師傅的人數(shù)是其他師傅的人數(shù)的兩倍，那么帶兩名徒弟的師傅有______位?！?993年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題初賽民族卷〕分析：由帶一名徒弟的師傅人數(shù)是其他師傅的人數(shù)的兩倍，可知帶兩名徒弟與帶三名徒弟的師傅總?cè)藬?shù)是：27÷〔1＋2〕＝9〔名〕9名師傅共帶徒弟的人數(shù)是：40－1×〔27－9〕＝22〔名〕假設(shè)9名師傅每人都帶3名徒弟，那么有徒弟的人數(shù)是：3×9＝27〔名〕比實際的22名多了：27－22＝5〔名〕可知9名師傅不可能都帶三名徒弟，多出的5名徒弟就是多將5名師傅都假設(shè)成帶了三名徒弟的緣故，其中必有5名師傅是帶兩名徒弟的。解：〔3×9－22〕÷〔3－2〕＝5〔名〕答：帶兩名徒弟的師傅有5位。例5甲、乙兩地相距480千米。一輛汽車從甲地開往乙地，前3小時行了全程的37.5％，照這樣計算，還要幾小時到達(dá)乙地？分析：如果把汽車行完全程所需的時間假設(shè)為單位“1〞，那么行完全程所需的時間為：3÷37.5％＝8〔小時〕那么，還要幾小時到達(dá)乙地，那么為：8－3＝5〔小時〕像這樣巧用假設(shè)，使問題解答得十分簡捷。解：3÷37.5％－3＝5〔小時〕答：還要5小時到達(dá)乙地。例6甲、乙兩個小朋友各有糖假設(shè)干粒。如果乙給甲16粒，甲的糖就是乙的2倍；如果甲給乙9粒，乙的糖就是甲的3倍。求甲、乙兩人原有糖各是多少粒？分析：這道題的數(shù)量關(guān)系十分隱蔽，很難發(fā)現(xiàn)數(shù)量間的聯(lián)系。解題的關(guān)鍵是通過假設(shè)找到甲、乙兩人糖數(shù)間的倍數(shù)關(guān)系。為了弄清誰是誰的幾倍，必須先設(shè)甲〔或乙〕原有的糖數(shù)為“1倍〞?，F(xiàn)在以甲原有的糖數(shù)為“1〞倍。假設(shè)乙不給甲16粒，仍要使乙的糖數(shù)假設(shè)甲不給乙9粒，仍要使乙的糖數(shù)是甲的3倍，那么乙的糖數(shù)應(yīng)增加9×〔1＋3〕粒。通過分析，可知乙的糖數(shù)先后變化之差為：由此可以求出甲原有糖的粒數(shù)?！?4＋16〕÷2＋16＝36〔?！场掖穑杭自刑?4粒，乙原有糖36粒。分析：這道題要求的數(shù)量有兩種，兩廠上交稅金所取分率的單位“1〞又各不相同，很難找到“量〞與“率〞的對應(yīng)關(guān)系，如果使用“假設(shè)〞便能順利地解決這個問題。比實際上交的稅金少了：42－32＝10〔萬元〕＝63〔萬元〕…………甲廠上交稅金112－63＝49〔萬元〕……………乙廠上交稅金答：甲廠上交稅金63萬元，乙廠上交稅金49萬元。例8一個人從縣城騎車去鄉(xiāng)辦廠。他從縣城騎車出發(fā)，用30分鐘行完了一半路程。這時，他加快了速度，每分鐘比原來多行50米，又騎了20分鐘后，他從路旁的里程標(biāo)志牌上知道，必須再騎2千米才能趕到鄉(xiāng)辦廠。求縣城到鄉(xiāng)辦廠之間的路程。〔《小學(xué)生數(shù)學(xué)報》第五屆小學(xué)生數(shù)學(xué)邀請賽決賽試題〕分析：此題“用30分鐘行完了一半路程〞，但未給出每分鐘行多少米，后來“每分鐘比原來多行50米〞，究竟后來一分鐘的速度是多少，也不可知。所以按條件無法直接求得縣城到鄉(xiāng)辦廠之間的路程。我們可以用假設(shè)法使問題得到解決。把全路程看作“1〞，假設(shè)后20分鐘仍按原速行進(jìn)，即每分鐘不多走50米，那么此人行了30＋20＝50〔分鐘〕后，還離鄉(xiāng)辦廠的路程為：50×20＋2000＝3000〔米〕按照這個假設(shè)推出行完全程所需的時間為：30×2＝60〔分鐘〕根據(jù)速度一定，行走的時間與路程成正比例，可知50分鐘所行路程為全所以全程為：＝18000〔米〕答：縣城到鄉(xiāng)辦廠之間的路程是18000米?！巨D(zhuǎn)化法】有些問題直接運用所給的條件，很難找到解決問題的線索。這就需要溝通知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，改變思考方式，恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化題中的數(shù)量關(guān)系，把隱含的情節(jié)和條件轉(zhuǎn)化為明顯，把難求的問題轉(zhuǎn)化為熟悉而容易解決的問題。這種思考問題的方法，就是轉(zhuǎn)化法。分析：題中三個分率的單位“1〞都不相同，一般要通過轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一單位“1〞。最簡單的方法是把全路程看作單位“1〞，把第二和第三小時所行的路程都轉(zhuǎn)化為全程的幾分之幾。第二小時行的路程是全程的：第三小時行的路程是全程的：30千米的對應(yīng)分率是：由此可以求得A、B兩城相距的路程為：＝240〔千米〕答：A、B兩城相距240千米。分析：這道題只從分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的關(guān)系去尋求解題的方法，就十分困難。桃樹棵樹與李樹棵樹的比，這道題就變成了容易解答的按比例分配的問題。根據(jù)條件用下面的等式來表示桃樹和李樹的數(shù)量關(guān)系。根據(jù)比例的根本性質(zhì)：兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積?？梢缘玫剑捍穑禾覙溆?20棵，李樹有64棵。女生少______人?！?993年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競賽決賽民族試題〕分析：這是一道較復(fù)雜的和倍問題，我們可以通過轉(zhuǎn)化把數(shù)量關(guān)系變得簡單。男生比女生少多少人？〞＝225〔人〕………男生人數(shù)465－225＝240〔人〕……………女生人數(shù)240－225＝15〔人〕…男生比女生少的人數(shù)答：男生比女生少15人。例4甲、乙、丙三人共同加工一批零件，甲比乙多加工零件20只，丙加加工零件______，乙加工零件______，丙加工零件______。〔1993年全國小學(xué)數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題〕分析：根據(jù)條件把乙加工零件的數(shù)量看作單位“1〞。由“丙加工零件個等量關(guān)系表示為通過對上面兩式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可知甲加工零件數(shù)相當(dāng)于乙加工零件數(shù)的得乙加工零件的只數(shù)。解：把乙加工的零件數(shù)看作是單位“1〞＝40〔只〕……………乙加工零件數(shù)40＋20＝60〔只〕…甲加工零件數(shù)答：甲、乙、丙三人加工的零件數(shù)分別為40只、60只、32只。例5鞋店從批發(fā)部以25元的單價購進(jìn)皮鞋假設(shè)干雙。按40元一雙的零售價賣出，賣出一半又15雙時，已將本錢收回。問購進(jìn)皮鞋多少雙？分析：假設(shè)按40元一雙的零售價賣出一半所收回的錢，那么比本錢差40×15＝600〔元〕而按40元一雙的零售價賣出一半收回的錢，就等于以20元一雙的售價賣出全部皮鞋所收回的錢，按本錢計算每雙皮鞋要虧損25－20＝5〔元〕所以，題目可以轉(zhuǎn)化為“鞋店從批發(fā)部以25元的單價購進(jìn)皮鞋假設(shè)干雙，假設(shè)按20元一雙的零售價賣出，那么要虧損600元。問購進(jìn)皮鞋多少雙？〞這樣，我們就能從虧損總額和每雙的虧損額的對應(yīng)關(guān)系中，求得購進(jìn)皮鞋的總數(shù)。解：40×15÷〔25－20〕＝120〔雙〕答：購進(jìn)皮鞋120雙?！脖本┦械诰艑眯W(xué)生“迎春杯〞數(shù)學(xué)競賽決賽試題〕分析：根據(jù)分?jǐn)?shù)除法與分?jǐn)?shù)乘法的關(guān)系和積的變化規(guī)律，將題中某些條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，此題就能簡算。＝100〔1993年全國小學(xué)數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題〕分析：觀察所給數(shù)據(jù)的特點，根據(jù)帶分?jǐn)?shù)加法的計算法那么，把每個帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)局部和分?jǐn)?shù)局部拆開，將此題重新組合成為以下算式：再觀察分母的特點，每個分?jǐn)?shù)的分母都可以分解為兩個連續(xù)的自然數(shù)相乘。計算時我們先把每個分?jǐn)?shù)的分母寫成兩個自然數(shù)相乘的形式，再把每個分?jǐn)?shù)拆成兩個分?jǐn)?shù)相減的形式。這樣在計算過程中，加、減可以抵消，使計算變得十分簡便，這就是拆項相消法。例8一個四邊形的兩條邊的長度和三個角，如圖3．7左所示，那么這個四邊形的面積是______?！?994年小學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題〕分析：運用條件不能直接求得這個四邊形的面積。如果將四邊形的兩條邊延長〔圖3．7右〕，便得到兩個三角形，即△ABC和△ADE。由∠B為直角，∠C＝45°可知△ABC為等腰直角三角形；由∠E是直角，∠A＝∠C，可知△ADE也是等腰直角三角形。要求的四邊形的面積就轉(zhuǎn)化為求△ABC與△ADE面積之差。解：7×7÷2－3×3÷2＝24.5－4.5＝20答：這個四邊形的面積是20?！緦?yīng)法】一些應(yīng)用題的數(shù)量之間存在著對應(yīng)關(guān)系。如平均數(shù)問題中，總數(shù)對應(yīng)著總份數(shù)；正、反比例中，兩種相關(guān)聯(lián)的量與兩組數(shù)值相對應(yīng)；分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，一個量對應(yīng)著一個分率，即量、率對應(yīng)。許多應(yīng)用題，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，條件變化紛繁，但是找準(zhǔn)數(shù)量間的對應(yīng)關(guān)系后，就能實現(xiàn)由未知向轉(zhuǎn)化。這種運用對應(yīng)關(guān)系解題的方法，就是對應(yīng)法。例1學(xué)校乒乓球隊12人合影留念。普通彩照洗2張的價格是16元，加洗一張0.8元。如果一人得一張照片，平均每人出多少錢？分析：12個人一人要得一張照片，共需12張。12張表示總份數(shù)，與之相對應(yīng)的是12張照片的總價。題中“普通彩照洗2張的價格是16元〞，這16元中已經(jīng)包含了2張照片的錢數(shù)，只需再加上加洗10張的錢，便是12張照片的總價，用付出錢的總數(shù)除以相對應(yīng)的照片的張數(shù)，就得到平均每人應(yīng)付的錢數(shù)。解：[16＋0.8×〔12－2〕]÷12＝24÷12＝2〔元〕答：平均每人應(yīng)付2元。例2水果店把一批桃子放在甲、乙兩個筐里。其中甲筐的重量占總數(shù)的55％，如果從甲筐取出6千克放入乙筐，這時兩個筐里的桃子各占總數(shù)的50％。這批桃子共重多少千克？分析：甲筐桃子的重量由原來占總數(shù)的55％變成50％，是因為取出了6千克放入乙筐，兩個百分率相差5％，正好與6千克相對應(yīng)，運用這個量、率的對應(yīng)關(guān)系，即可求得這批桃子的重量。解：6÷〔55％－50％〕＝6÷5％＝120〔千克〕答：桃子共重120千克?！沧ⅲ阂部梢杂脠D解法〕例3解放軍修一段防洪堤，原方案5月份〔31天〕修1240米，前6天分析：這題按一般解法，步驟較多，運用對應(yīng)關(guān)系解就簡單得多。如果我們把實際完成全工程的時間看作單位“1〞，題中“6天就完成了全工程間，求提前幾天完成全工程，就只需兩步計算。＝31—24＝7〔天〕答：可以提前7天完成。分析：解答此題的關(guān)鍵是要找出實際數(shù)量的對應(yīng)分率。把圖書的總數(shù)看見線段圖〔圖3．8〕：答：這批圖書共有200本。例5有一塊菜地和一塊麥地。菜地的一半和麥地的三分之一放在一起是13公畝。麥地的一半和菜地的三分之一放在一起是12公畝。那么，菜地是幾公畝？〔1986年“華羅庚金杯〞少年數(shù)學(xué)邀請賽初賽試題〕分析：此題有多種解法，用對應(yīng)法解，關(guān)鍵是找出13公畝、12公畝的對應(yīng)分率，下面把條件排列出來分析30÷2＝15〔公畝〕答：菜地是18公畝。例6買來蘋果假設(shè)干個，4人平均分余2個，5人平均分余3個，6人平均分余4個。一共有多少個蘋果？分析：用對應(yīng)法解此題，以蘋果的總數(shù)為被除數(shù)，列下表分析除數(shù)與余數(shù)的對應(yīng)關(guān)系。從上表中看出除數(shù)與余數(shù)的差是常數(shù)2，那么被除數(shù)加上2的和能分別被4、5、6整除，所以，要求的被除數(shù)是4、5、6最小公倍數(shù)與2的差。解：求4、5、6的最小公倍數(shù)2×2×5×3＝6060—2＝58〔個〕答：有蘋果58個。例7張大伯帶假設(shè)干元錢去買菜。如果買2.5千克鮮魚，還剩0.8元，如果買4千克鮮魚，那么差8.8元。問鮮魚每千克多少元？張大伯帶了多少錢？分析：排列條件：根據(jù)上面兩次買魚的數(shù)量之差與總價之差的對應(yīng)關(guān)系，可以求得鮮魚的單價，然后再求張大伯帶了多少錢。解：〔0.8＋8.8〕÷〔4—2．.〕＝9.6÷1.5＝6.4〔元〕6.4×2.5＋0.88＝16.8〔元〕答：每千克鮮魚6.4元，張大伯帶了16.8元?！敬鷵Q法】在解題時，常常遇到有的題目中有兩上或兩個以上的未知數(shù)量，這些數(shù)量之間具有相等的關(guān)系，我們可以用一個未知數(shù)量代替其它的未知數(shù)量，使未知條件轉(zhuǎn)化為條件，從而找到解題的方法。這就是代換法。例1甲、乙二人合做一批零件。甲做了8小時，乙做了6小時，一共做了360個零件。甲2小時的工作量等于乙3小時的工作量。兩人每小時各做多少個零件？分析：因為“甲2小時的工作量等于乙3小時的工作量。〞為了使未知量變得單一，可以把甲的工作量換成乙的工作量，也可以把乙的工作量換成甲的工作量。根據(jù)題意可知甲8小時的工作量，乙要3×〔8÷2〕＝12〔小時〕完成；乙6小時的工作量，甲要2×〔6÷3〕＝4〔小時〕完成。即甲8小時的工作量＝乙12小時的工作量乙6小時的工作量＝甲4小時的工作量如果以乙代換甲，那么如果以甲代換乙，那么以乙代換甲為例，題意那么簡化為“某人18小時共做360個零件，平均每小時做多少個零件？〞解：360÷[6＋3×〔8÷2〕]＝360÷18＝20〔個〕……乙每小時做零件個數(shù)20×3÷2＝30〔個〕……甲每小時做零件個數(shù)答：甲、乙兩人每小時做零件的個數(shù)分別為20個、30個。例2一列客車與一列貨車同時從A、B兩站相向開出，6小時相遇。相遇后客車4小時到達(dá)B站。貨車還要幾小時到達(dá)A站？分析：“相遇后客車4小時到達(dá)B站〞這個條件隱含著一個等量關(guān)系。如圖:由上圖可知客車4小時走的路程＝貨車6小時走的路程換，便能求得貨車還要幾小時到達(dá)A站。解：6×〔6÷4〕＝9〔小時〕答:貨車還需要9小時到達(dá)A站。例3甲、乙、丙三人共為抗洪救災(zāi)捐款1000元。乙捐的錢比甲的2倍多30元，丙捐的錢比甲、乙之和少20元。三人各捐多少元？分析：排列條件①甲＋乙＋丙＝1000②乙＝2甲＋30③丙＝甲＋乙－20此題包含了三個未知量，上面的三個式子中每一個式子都含有兩個以上的未知量，如果設(shè)法把某一個式子中不同的未知量都用同一個量代替，問題就容易解決了。根據(jù)②式、③式進(jìn)行等量代換，式①那么變?yōu)椋?甲＝1000—60＋20甲＝160以甲＝160代入②式、③式，即可求得乙、丙兩個未知量。解：把甲捐款數(shù)看作1份〔1000—60＋20〕÷〔1＋2＋1＋2〕＝960÷6＝16O〔元〕………甲捐款數(shù)160×2＋30＝350〔元〕…………乙捐款數(shù)160＋350—20＝490〔元〕………丙捐款數(shù)答：甲、乙、丙三人捐款的錢數(shù)分別為160元、350元、490元。例4〔如圖3．10〕ABCD是一個長方形。三角形ADE比三角形CEF的面積小10平方米。問CF的長是多少厘米？〔北京市第三屆小學(xué)生“迎春杯〞數(shù)學(xué)競賽試題〕分析：要求CF的長，一般須知道三角形CEF的面積和它的高CE的長，而這兩個條件都是未知的，按這個思路無從下手。但根據(jù)圖形的組合關(guān)系和條件，可以用等量代換的方法求解。為了便于看清楚圖形的組合關(guān)系，把這個圖形分成甲〔三角形ADE〕、乙〔梯形ABCE〕、丙〔三角形CEF〕三個局部。三角形ABF的高〔即長方形的長〕是10厘米，如果能求得三角形ABF的面積，便可求得BF的長。因此，求得三角形ABF的面積是解題的關(guān)鍵。長方形ABCD的面積為6×10＝60〔平方厘米〕所以甲＋乙＝60丙＝甲＋10用甲＋10代換丙，得乙＋丙＝乙＋甲＋10所以乙＋丙＝60＋10＝70因此，得三角形ABF的面積為70平方厘米。從而推算出CF的長。解：CF＝〔10×6＋10〕×2÷10—6＝14—6＝8〔厘米〕答：CF的長是8厘米。例5甲、乙兩班的人數(shù)相等，各有一些同學(xué)參加課外天文小組。甲班參數(shù)的幾分之幾？〔“華羅庚金杯〞少年數(shù)學(xué)邀請賽復(fù)賽試題〕分析：由于甲、乙兩班人數(shù)相等，如果把甲班人數(shù)看作1份，那么乙班沒有參加的人數(shù)就相當(dāng)于3份。如果把乙班人數(shù)看作1份，那么甲班沒有參加的人數(shù)就是4份。為了表達(dá)的簡便，用字母表示下面各數(shù)量：A表示甲班參加天文小組的人數(shù)；根據(jù)題意，圖示如下〔如圖3．11〕：此題是要求甲班沒有參加的人數(shù)〔用“甲未〞表示〕與乙班未參加人數(shù)〔用“乙未〞表示〕的關(guān)系。因此，要設(shè)法運用代換方法，把其它的量轉(zhuǎn)化為“甲未〞和“乙未〞表示。觀察上圖可知A＝A′，B＝B′，A＋B′＝B＋A′所以3B′＝2A′解：從上面這個等量關(guān)系式可知：例61991×—1992×分析：根據(jù)數(shù)的組成，可以將一個數(shù)分解為因數(shù)相乘的形式×100010001×100010001通過等量代換，進(jìn)行簡便運算原式＝1991×1992×100010001—1992×1991×100010001＝0【消去法】在一些應(yīng)用題中，有時會出現(xiàn)兩個或兩個以上并列的未知數(shù)。我們可以根據(jù)所給數(shù)據(jù)的特點，先消去一個或幾個未知數(shù)，使數(shù)量關(guān)系化繁為簡。在求得一個未知數(shù)后，再求其它的未知數(shù)。這種解題方法就是消去法。例1買3個菜碗8個飯碗共付19.2元，買同樣的3個菜碗5個飯碗共付14.7元。一個菜碗與一個飯碗的單價各是多少元？分析：排列條件兩次買菜碗的個數(shù)相等，付出的錢數(shù)是同樣多。①－②得到兩次買碗付款的差額是4.5元，這4.5元正好是3個飯碗的價錢，由此求得1個飯碗的單價是4.5÷3＝1.5〔元〕解：〔19.2—14.7〕÷〔8—5〕＝4.5÷3＝1.5〔元〕…………飯碗的單價〔19.2—1.5×8〕÷3＝7.2÷3＝2.4〔元〕…………菜碗的單價答：一個飯碗1.5元，一個菜碗2.4元。例2頭牛4匹馬每天吃草93千克，5頭牛6匹馬每天吃草147千克。一頭牛與一匹馬每天各吃草多少千克？分析：排列條件題中牛和馬兩次的數(shù)量各不相同，不能像例1那樣直接消去一個未知數(shù)。要設(shè)法使它們之間有兩個相同的數(shù)量。根據(jù)加數(shù)擴大幾倍，和也擴大相同倍數(shù)的道理，將原數(shù)量進(jìn)行轉(zhuǎn)化，設(shè)法消去一個未知數(shù)。消去馬的匹數(shù)后，得到一頭牛每天吃草15千克。解：〔147×2—93×3〕÷〔5×2—3×3〕＝15÷1＝15〔千克〕………一頭牛每天吃草量〔93—15×3〕÷4＝48÷4＝12〔千克〕答：一頭牛與一匹馬每天吃草量分別是15千克和12千克。例3為抗洪救災(zāi)捐款，甲、乙兩人共捐192元，乙、丙兩人共捐176元，甲、丙兩人共捐184元。三人各捐款多少元？分析：排列條件此題有三個未知數(shù)，先設(shè)法消去兩個未知數(shù)。通過先消去乙、丙兩個未知數(shù)，可知甲捐款為200÷2＝100〔元〕。解：〔192＋184—176〕÷2＝200÷2＝100〔元〕………………甲192—100＝92〔元〕………乙184—100＝80〔元〕…………丙答：甲、乙、丙三人捐款分別是100元、92元、84元。①與②中男工與男工，女工與女工的分率都不同，要設(shè)法變換條件，使兩式中表示男工人數(shù)的分率或表示女工人數(shù)的分率相同，才便于消去一個例5某文具店中的鉛筆、彩色筆、圓珠筆用三種方式搭配裝在文具盒內(nèi)出售，文具盒內(nèi)裝有4支鉛筆售4元；在同一種文具盒內(nèi)裝4支彩色筆和2支圓珠筆售8元；仍在這種文具盒內(nèi)裝4支彩色筆和2支圓珠筆，再加2支鉛筆售9元，如果在這個文具盒內(nèi)裝3支鉛筆、2支彩色筆和1支圓珠筆，那么售價應(yīng)該是______?！?993年上海市第六屆小學(xué)五年級數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽試題〕。分析：題目中有四個未知數(shù)，為了表述的簡便，我們用a、b、c、d四個字母分別表示文具盒、鉛筆、彩色筆、圓珠筆的單價，題中的條件就可以用以下三個關(guān)系式來表示：a＋4b＝4〔元〕a＋4c＋2d＝8〔元〕a＋4c＋2d＋2b＝9〔元〕分析：排列條件用③－②9元比8元多1元，是因為多賣出2支鉛筆，那么鉛筆的單價為1÷2＝0.5〔元〕從①中減去4支鉛筆的錢，得文具盒的單價為4—0.5×4＝2〔元〕從②中減去文具盒的錢，得4支彩色筆和2支圓珠筆的錢，假設(shè)再除以2，那么正好是題中要求的2支彩色筆和1支圓珠筆的錢?！?—2〕÷2＝3〔元〕通過消元，求得文具盒和鉛筆的單價，以及2支彩色筆和1支圓珠筆的錢。那么，求文具盒內(nèi)裝3支鉛筆、2支彩筆和1支圓珠筆的售價就迎刃而解了。解：〔9—8〕÷2＝0.5〔元〕……鉛筆單價4—0.5×4＝2〔元〕……文具盒單價〔8—2〕÷2＋0.5×3＋2＝3＋1，5＋2＝6.5〔元〕答：售價應(yīng)該是6.5元?！緩?fù)原法】我們常常遇到這樣的數(shù)學(xué)問題，其解法是從問題本身或某個算式的結(jié)果出發(fā)，一步一步倒著推理，使其逐步靠攏條件，直至問題的解決。這種解答問題的方法就是復(fù)原法〔也稱逆推法〕。它是數(shù)學(xué)上一種重要的思考方法，也是解容許用題常用的方法。這種方法形象地講就是：怎樣來的就怎樣回去。例1某數(shù)減去2，乘以6，再加上5得29，求這數(shù)。分析：最后一步運算是“加上5得29〞，由逆運算減法可求得這一步運算前的結(jié)果是29—5＝24。24又是第二步運算“乘以6〞得到的，由逆運算除法可求得被乘數(shù)，因此未乘以6之前的數(shù)是24÷6＝4。4又是第一步運算“減去2〞的結(jié)果，所以原數(shù)是4＋2＝6。即所求的數(shù)是6解：〔29—5〕÷6＋2＝6答：這數(shù)是6。例2甲、乙、丙三個港口各停小船假設(shè)干只。第一次從甲港分別開出和乙港、丙港同樣多的船只到乙港和丙港。第二次又從乙港分別開出和甲港、丙港同樣多的船只到甲港和丙港。第三次又從丙港開出和甲港、乙港同樣多的船只分別到甲港和乙港。經(jīng)如上的移動后，三港停泊的船只都是16只，問：甲、乙、丙三港最初各有小船幾只？解：從第三次移動開始向前倒推。第三次移動后，甲、乙、丙三港各停泊船只16只第三次移動前，三港各有船只數(shù)目甲港16÷2＝8〔只〕乙港16÷2＝8〔只〕丙港16＋8＋8＝32〔只〕故第二次移動后，甲、乙、丙三港停船數(shù)依次為8只、8只、32只。第二次移動前，三港各有船只數(shù)目甲港8÷2＝4〔只〕丙港32÷2＝16〔只〕乙港8＋4＋16＝28〔只〕所以，每一次移動后，甲、乙、丙三港有船數(shù)目依次為4只、28只、16只。第一次移動前，三港各有船只數(shù)目乙港28÷2＝14〔只〕丙港16÷2＝8〔只〕甲港4＋14＋8＝26〔只〕所以開始時，甲、乙、丙三港各有船只分別為26只、14只、8只。上述倒推過程可以列成下表：答：最初甲港有船26只，乙港有船14只，丙港有船8只。例35個空瓶可以換1瓶汽水，某班同學(xué)喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下來的空瓶換來的，那么他們至少要買汽水______瓶?！?4年小學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克決賽題〕分析：此題用復(fù)原法考慮，思路如下：從最合理的兌換應(yīng)是最后剩5個空瓶換回1瓶汽水，所以計算喝汽水的瓶數(shù)就有1〔瓶〕①這瓶汽水由5個空瓶換來，那么無疑喝汽水瓶數(shù)又有1×5＝5〔瓶〕②這5瓶汽水又由5×5個空瓶換來，故喝汽水的瓶數(shù)又有5×5＝25〔瓶〕③這25瓶汽水又由25×5個空瓶換來，故喝汽水的瓶數(shù)又有25×5＝125〔瓶〕④至此，將以上①、②、③、④項數(shù)累加，結(jié)果為：1＋1×5＋5×5＋25×5＝156〔瓶〕汽水，其中25×5＝125瓶是買的，這125瓶經(jīng)幾次兌換后可剩一個空瓶。題目所給條件是同學(xué)喝了161瓶汽水，但156瓶比161瓶少了5瓶，要滿足要求，必須再買4瓶喝了，連同原剩的1個空瓶再換回1瓶即5瓶，所以他們至少要買125＋4＝129〔瓶〕分析：此題先運用最后剩下的數(shù)量與第三次取出的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)行逆推，便能順利地獲得解答?！?〕將第二次取出大米后的剩余量看作“1〞，那么第二次取出后余下大米的數(shù)量為：〔2〕將第一次取出后的剩余量看作“1〞，那么第一次取出后余下大米的數(shù)量為：〔3〕把倉庫原有大米的數(shù)量看作“1〞，那么倉庫原有大米的數(shù)量為：＝120〔噸〕答：這個倉庫原有大米120噸。例5雷鋒小學(xué)六年級成立了三個課外興趣小組。書法組的人數(shù)占參加總?cè)藬?shù)的30％，參加航模組和舞蹈組人數(shù)的比是3∶2，參加舞蹈組的有28人。求參加興趣小組的共有多少人？分析：從“參加舞蹈組的有28人〞進(jìn)行逆推。因為“參加航模組和舞蹈組人數(shù)的比是3∶2〞，28人相當(dāng)于2份，可求出1份的人數(shù)是28÷2＝14〔人〕，航模組人數(shù)占3份，那么可求出航模組人數(shù)為：28÷2×3＝42〔人〕由此可以求出兩組人數(shù)之和為：28＋42＝70〔人〕由“書法組人數(shù)占總?cè)藬?shù)的30％〞可知舞蹈組和航模組人數(shù)之和占總?cè)藬?shù)的1—30％＝70％。70÷70％就得出參加興趣小組的總?cè)藬?shù)。解：〔28＋28÷2×3〕÷〔1—30％〕＝70÷70％＝100〔人〕答：參加興趣小組的共有100人?！菊摇岸è暦ā磕承╊}目中的數(shù)量關(guān)系先后變化繁多，很難辨清其內(nèi)在聯(lián)系。但是，萬變不離其宗，我們要以不變應(yīng)萬變，在多種數(shù)量的變化中，找出起關(guān)鍵作用的不變量，利用不變量搭橋過渡以求出未知量。這種解題方法就是變中找定法。題中的不變量是兩個車間人數(shù)的總量，解題的關(guān)鍵是抓住總量不變，把表示局部量之間關(guān)系的分率，轉(zhuǎn)化為局部量占總量的幾分之幾。把兩個車間的總?cè)藬?shù)看作單位“1〞。答：乙車間原有108人。例2甲、乙、丙三人共得獎金假設(shè)干元。甲得的獎金是乙、丙兩人所得獎元。問甲、乙二人各得獎金多少元？分析：此題的定量是三人獎金的總數(shù)，從求出甲、乙兩人所得的獎金各占總數(shù)的幾分之幾入手，先求出獎金總數(shù)，進(jìn)而求出甲、乙二人各得獎金多少元？答：甲得獎金3200元，乙得獎金2400元。例3有兩條紙帶，一條長21厘米，一條長13厘米，把兩條紙帶都剪下下的一段有多長？〔“華羅庚金杯〞少年數(shù)學(xué)邀請賽復(fù)賽試題〕分析：“把兩條紙帶都剪下同樣長的一段〞這說明長、短兩條紙帶剩下局部的差與兩條紙帶原來的差相等，即它們的差是不變量，這就是說長紙帶仍比短紙帶長21－13＝8〔厘米〕的一段有多長。21－20.8＝0.2〔厘米〕答：剪下的一段長0.2厘米例4老師與學(xué)生今年年齡之和是58歲，七年后老師的年齡是學(xué)生的2倍。老師與學(xué)生今年各是多少歲？〔廣東省“育苗杯〞小學(xué)五年級數(shù)學(xué)通訊賽復(fù)賽試題〕分析：老師與學(xué)生的年齡同時增加，且每年共增加2歲，這是一個定量。七年后老師與學(xué)生年齡之和那么為58＋2×7＝72〔歲〕，用和倍問題的解法求出七年后學(xué)生的年齡，然后再求出老師與學(xué)生今年各是多少歲。解：〔58＋2×7〕÷〔2＋1〕＝72÷3＝24〔歲〕…七年后學(xué)生的年齡24－7＝17〔歲〕……………學(xué)生今年的年齡58－17＝41〔歲〕，…………老師今年的年齡答：老師與學(xué)生今年分別為41歲、17歲。分析：由于下午又運來一批面粉，使得面粉的數(shù)量發(fā)生了變化，大米和后不同，如果從統(tǒng)一單位“1〞入手，那么給解題帶來很大的困難。假設(shè)仔細(xì)分析題目的條件，就能發(fā)現(xiàn)盡管一些條件在變化，但其中一個隱含的局部量沒有變，那就是大米的數(shù)量是個定量，以這個定量為突破口，問題就容易解決了。根據(jù)題意，可知大米的袋數(shù)為：由此推得現(xiàn)在大米和面粉總數(shù)為：比原來增加了100－84＝16〔袋〕，即為下午運來的面粉數(shù)。答：下午運來面粉16袋。例6在6千克含鹽15％的鹽水中加水，使鹽水中含鹽9％，需要加水多少千克？分析：此題的定量是鹽的數(shù)量。根據(jù)題意，鹽的數(shù)量為6×15％＝0.9〔千克〕運用0.9千克與9％相對應(yīng)的關(guān)系，求出加水后的鹽水為0.9÷9％＝10〔千克〕因為鹽的數(shù)量先后未變，而鹽水由6千克增加到10千克，所以增加的數(shù)量就是需要加水的數(shù)量。解：6×15％÷9％－6＝10－6＝4〔千克〕答：需要加水4千克。【附錄：統(tǒng)籌法】統(tǒng)籌法是有關(guān)求最大值與最小值的實際應(yīng)用。我們在制定某項工作方案或去完成某件工作時，必須考慮怎樣提高效率，加快工作進(jìn)程的問題。統(tǒng)籌法就是研究怎樣選擇最合理、最節(jié)省的最優(yōu)方案去完成任務(wù)的方法。例1五所學(xué)校A、B、C、D、E之間有公路相通，圖上標(biāo)出每段公路的千米數(shù)，想借一個學(xué)校召開一次學(xué)生代表會議，應(yīng)出席會議的A校有代表6人，B校有代表4人，C校有代表8人，D校有代表7人，E校有代表10人，為使參加會議的代表所走路程的總和為最小，你認(rèn)為會議應(yīng)借在______校召開最合理。〔1993年上海市第六屆小學(xué)五年級數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽試題〕分析：估計假設(shè)會議在A?；駿校召開，參加會議的代表所走路程的總和會很大，于是不選擇A校和E作為會議地點。其他各?？蛇M(jìn)行計算比擬。解：將A校和E校排除。如果選擇B校，代表所走路程總和為2×6＋2×7＋3×8＋10×〔3＋2〕＝100〔千米〕選擇C校，代表所走的路程總和是〔2＋3〕×6＋3×4＋〔2＋3〕×7＋2×10＝97〔千米〕選擇D校，代表所走路程總和是〔2＋2〕×6＋2×4＋〔2＋3〕×8＋4×10＝112〔千米〕進(jìn)行比擬，選擇會議召開地點答：會議在C校召開最合理。例2有兩個面粉廠供給三個居民區(qū)的面粉，甲廠月產(chǎn)60噸，乙廠月產(chǎn)100噸，第一居民區(qū)每月需要面粉45噸，第二居民區(qū)每月需要面粉75噸，第三居民區(qū)每月需要面粉40噸，甲廠與三區(qū)供給站的距離分別是10千米、5千米、6千米，乙廠與三區(qū)供給站的距離分別是4千米、8千米、5千米。問應(yīng)如何分配面粉，才能使總運費最少？分析：要使總的運費最省，就要使總的“噸、千米〞盡可能小，我們可以用代數(shù)法求最小值。解：設(shè)甲廠運往第一、二、三居民區(qū)的面粉分別為x噸、y噸、z噸，那么乙廠運往三個居民區(qū)面粉分別為〔45－x〕噸、〔75－y〕噸、〔40－z〕噸。列出總噸、千米的表達(dá)式10x＋5y＋6z＋4〔45－x〕＋8〔75－y〕＋5〔40－z〕＝6x－3y＋z＋980因為x＋y＋z＝60，所以z＝60－x－y，將它代入總噸、千米的表達(dá)式得6x－3y＋z＋980＝6x－3y＋60－x－y＋980＝5x－4y＋1040為了使總噸千米的值盡可能小，就要使這個表達(dá)式的值盡可能小，從上式看，也就是要x的值盡量小，y的值盡量大。于是取x＝0y＝60，從而z＝0答：甲廠供給第二居民區(qū)60噸，其余由乙廠供給，即乙廠供給第一居民區(qū)45噸，供給第二居民區(qū)15噸，供給第三居民區(qū)40噸。這樣分配，總運費最少。例3某人從住地外出有兩種方案，一種是騎自行車去，另一種是乘公共汽車去。顯然公共汽車的速度比自行車的速度快，但乘公共汽車有一個等候時間〔候車時間可看作是固定不變的〕、在任何情況下，他總是采用花時間最少的最正確方案。下表表示他到達(dá)A、B、C三地采用最正確方案所需要的時間。為了到達(dá)離住地8千米的地方，他需要花多少分鐘？并簡述理由?！驳诙眯W(xué)《祖沖之杯》數(shù)學(xué)邀請賽試題〕分析與解：必須求出自行車、汽車速度及候車時間，才能選擇從住地到8千米的地方采取的最正確方案。從題目給出的條件進(jìn)行分析：從住地到B地比從住地到A地多1千米路程，多用了15.5－12＝3.5〔分鐘〕，從住地到乙地比到B地也多1千米路程，卻多用了18－15.5＝2.5〔分鐘〕，可知到A、B、C三地采用了兩種不同方案。需時間還少，這是不可能的?？蓴喽ǖ紹地是乘公共汽車去的。是不可能的。所以到C地是乘公共汽車去的。由于去B、C兩地都乘公共汽車，公共汽車的速度是每分鐘〔4－3〕÷下面考慮到達(dá)離住地8千米的地方，選擇何種方案。騎自行車去所需時間是乘公共汽車去所需時間是答：到達(dá)離住地8千米的地方應(yīng)采用乘公共汽車去的方案，其所需時間是28分鐘?！敬鷶?shù)方法】對于較復(fù)雜的應(yīng)用題，可以用代數(shù)法解答。用代數(shù)法解題，把未知數(shù)當(dāng)作數(shù)，根據(jù)題目中數(shù)量間的相等關(guān)系列出方程，通過解方程，求得問題的答案。題目越復(fù)雜，便更能顯示方程解法的優(yōu)越性。列方程解題的關(guān)鍵是分析數(shù)量間的等量關(guān)系，根據(jù)實際情況直接或間接設(shè)未知數(shù)，列出方程，由于等量關(guān)系的不同，可以列出不同的方程。例1一個四位數(shù)，左邊第一位數(shù)字是7，如果把這個數(shù)字調(diào)到最后一位，那么這個數(shù)就要減少864，求這個四位數(shù)。7000＋x－〔10x＋7〕＝8647000＋x－10x－7＝8649x＝7000－7－8649x＝6129x＝681檢驗：把x＝681代入原方程左邊＝7000＋681－〔681×10＋7〕＝864，右邊＝864左邊＝右邊所以x＝681是原方程的解答：這個四位數(shù)是7681。例2現(xiàn)有四個數(shù)，任取其中三個數(shù)相加，得其和分別為22、24、27和20。求這四個數(shù)各是多少？〔希臘數(shù)學(xué)家丟番圖趣題〕分析：題目要求這四個數(shù)字各是多少，如果設(shè)其中某一個數(shù)為x，那么其他三個數(shù)很難用x的式子表示。丟番圖作法很巧妙，間接設(shè)未知數(shù)，設(shè)四個數(shù)的和為x，那么這四個數(shù)分別為：x－22，x－24，x－27，x－20解：設(shè)四個數(shù)的和為x。依題意列方程得〔x－22〕＋〔x－24〕＋〔x－27〕＋〔x－20〕＝x4x－93＝x3x＝93x＝31x－22＝31－22＝9x－24＝31－24＝7x－27＝31－27＝4x－20＝31－20＝11答：這四個數(shù)分別是9、7、4、11。例3畫展9點開門，但早有人排隊等候入場，從第一個觀眾來到時起，每分鐘來的人數(shù)一樣多。如果開3個入場口，9點9分不再有人排隊，如果開5個入場口，9點5分不再有人排隊。那么，第一個觀眾到達(dá)的時間是8點______分。分析：假設(shè)第一個觀眾到達(dá)時比9點開門提前x分鐘，把每分鐘來的人數(shù)看作“1〞。假設(shè)按第一種方法入場，那么9點以前等待的人數(shù)與9點后9分鐘內(nèi)陸續(xù)到來的人數(shù)總共有1×〔x＋9〕人，這些人在9分鐘以內(nèi)入場，以后陸續(xù)來由于兩種方法入場的每個入場口每分鐘入場的人數(shù)相等，可列方程得27x－25x＝225－1352x＝90x＝459點－45分＝8點15分答：第一個觀眾到達(dá)的時間是8點15分。例4一個長方形長與寬的比是7∶3，如果長減少8厘米，寬增加6厘米，那么面積增加96平方厘米，求原來長方形的長與寬各是多少？作“1份〞，其等量關(guān)系是變化后的長方形面積－原長方形面積＝96平方厘米6x＝96＋48x＝24…寬答：原長方形的寬為24厘米，長為56厘米?！颈壤椒ā勘群捅壤菑臄?shù)量間的倍數(shù)關(guān)系和相依變化的角度來分析研究數(shù)量關(guān)系的。如果用比例方法去分析應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系，尋求解題途徑，往往能十分巧妙地解答一些難題。常見的比例應(yīng)用題有按比例分配，正比例、反比例、復(fù)比例、混合比例、連鎖比例等。例1甲、乙、丙三人進(jìn)行200米賽跑，當(dāng)甲到達(dá)終點時，乙離終點還有20米，丙離終點還有25米，如果甲、乙、丙賽跑的速度都不變，那么，當(dāng)乙到達(dá)終點時，丙離終點還有______米?！?993年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題初賽A卷6題〕分析：乙的路程＝乙的速度×乙跑的時間丙的路程＝丙的速度×丙跑的時間因為，乙和丙賽跑的速度不變，所用的時間相同，那么可知，在相同的時間內(nèi)，乙、丙賽跑的速度不變，乙的路程與丙的路程成正比例。題目的本質(zhì)是：乙、丙賽跑速度不變，在相同的時間里，乙跑了〔200－20〕米，丙跑了〔200－25〕米，問乙跑了200米時，丙跑了多少米？解：設(shè)乙到達(dá)終點時，丙跑了x米。列出對應(yīng)值表列出比例式例2某人早上7時20分從甲地到乙地去開會。假設(shè)每分鐘走50米，那么要相距多少米？分析：速度、時間、路程的關(guān)系如下：解：設(shè)某人出發(fā)時離開會的時間是x分鐘60x－50x＝250＋150x＝407時20分＋40分＝8時………………開會的時刻50×40＋50×3＝2150〔米〕…………兩地相距路程答：8時開始開會，甲乙兩地相距2150米。例3一掛鐘一晝夜快18分鐘，假設(shè)在正午對準(zhǔn)，到第二天走到凌晨4點12分時，求這時正確的時刻。分析：正確的時鐘走24小時，而快的時鐘那么走了24小時18分。從正午對準(zhǔn)到第二天凌晨4點12分，快的時鐘走了16小時12分。在相同的時間里，快的時鐘走過的時間與正確的時鐘走過的時間成正比例。解：設(shè)正確的時鐘走了x小時24小時18分∶16時12分＝24∶x16時－12時＝4時答：正確的時刻是凌晨4時。例4某人步行速度與他騎自行車速度之比是2∶5。在同一時間里他騎自行車走的路程與某汽車走的路程的比為3∶7。這輛汽車12小時走的路程，又恰好等于一列火車5小時走的路程?，F(xiàn)在這列火車每小時走84千米，問那位步行人每小時走多少千米？分析：根據(jù)題目要求，可將所有的比化為在相同時間條件下的路程之比。這是一個連鎖比例的問題。解：在相同時間條件下人步行路程與騎自行車所行路程比為2∶5騎自行車的路程與汽車所行路程比為3∶7汽車所行路程與火車所行路程比為5∶12火車1小時走84千米，設(shè)人步行1小時行x千米，依據(jù)連鎖關(guān)系，將條件和問題作如下排列：在這種連鎖排列中，左邊各數(shù)的乘積，等于右邊各數(shù)的乘積。即2×3×5×84＝5×7×12×x答：那位人步行每小時走6千米。例55臺抽水機3小時能抽水600立方米。6臺這樣的抽水機4小時能抽水多少立方米？分析：這是一道復(fù)比例應(yīng)用題，復(fù)比例就是由兩種以上的量組成的比例。工效×臺數(shù)×?xí)r間＝抽水量在工效一定的條件下，三個量：臺數(shù)、抽水時間、抽水量，每一個量都隨著其他量的變化而變化。當(dāng)抽水機臺數(shù)一定時，抽水量與抽水時間成正比例關(guān)系。當(dāng)抽水時間一定時，抽水量與抽水機臺數(shù)成正比例關(guān)系。當(dāng)抽水機臺數(shù)與抽水時間都變化時，抽水量就與這兩個量成復(fù)比例關(guān)系。一個量如果在其他量不變的條件下，分別和另外兩個量成比例〔正比例或反比例〕關(guān)系。那么它就和這兩個量成復(fù)比例關(guān)系，它的任意兩個數(shù)值之比就等于另外兩個量對應(yīng)數(shù)值之比〔正比或反比〕的復(fù)比。解答復(fù)比例應(yīng)用題，與解答單比例應(yīng)用題一樣，先設(shè)題目中的未知數(shù)為x，再將題目中的條件和問題，列成表格，并根據(jù)正反比例關(guān)系，畫好同向或反向箭頭。解題的關(guān)鍵是判斷準(zhǔn)各種數(shù)量與含x的量成何種比例關(guān)系。成正比例關(guān)系的兩個量畫同向箭頭。成反比例的兩個量畫反向箭頭。判斷準(zhǔn)了，箭頭才能畫準(zhǔn)。題中幾個量的關(guān)系如下：解：設(shè)6臺抽水機4小時抽水x立方米，按上表的箭頭方向，得復(fù)比例式于是，由復(fù)比例根本性質(zhì)〔復(fù)比例的根本性質(zhì)是內(nèi)項的乘積等于外項的乘積〕5×3×x＝6×4×600答：6臺抽水機4小時可抽水960立方米。例6耕一塊地，4臺拖拉機每天工作9小時，10天可以耕完。如果每天耕地10小時，要在6天內(nèi)完成，需要幾臺拖拉機。分析：完成的天數(shù)，每天工作的時數(shù)，臺數(shù)的關(guān)系如下：在耕地面積一定的條件下，如果每天工作的時數(shù)不變，那么臺數(shù)與天數(shù)成反比例；如果天數(shù)不變，那么臺數(shù)與每天工作的時數(shù)也成反比例解：設(shè)需要拖拉機x臺，得復(fù)比例式答：需要拖拉機6臺。例7一等酒每千克10.8元，二等酒每千克7元，要混合成平均價是每千克9.1元的酒，求兩種酒應(yīng)按怎樣的比混合？分析：假設(shè)按平均價每千克9.1元，那么一等酒每千克損失1.7元，二等酒每千克得利2.1元。把一等酒21千克作新價賣，共損失1.7×21＝35.7〔元〕把二等酒17千克作新價賣，共得到2.1×17＝35.7〔元〕所以將一等酒21千克和二等酒17千克混合，照新價出賣，恰好無損益。由此可知兩種物品混合數(shù)量的比，等于每種物品與平均價的差的反比。我們把這種混合物中各種物品數(shù)量之比叫做混合比。解：列表計算如下：2.1∶1.7＝21∶17答：一等酒與二等酒的千克數(shù)應(yīng)按21∶17混合?！靖戒洠哼壿嬐评怼扛傎愒囶}中，經(jīng)常有要求判斷比賽名次，區(qū)分事情真假……的問題。它們極少數(shù)量關(guān)系，更多的是對事情作些描述。解答這類判斷題，可在理解、掌握題意的根底上，對題目中的條件進(jìn)行有根有據(jù)的分析、比擬、綜合，發(fā)現(xiàn)題中暗示的話語，找出其中內(nèi)在的聯(lián)系，運用邏輯推理的方法，一步一步有條不紊地推導(dǎo)出正確的結(jié)論。這便是運用邏輯推理解題的方法。例1趁老師不在的時候，有一名同學(xué)把拾到的手表放在老師的辦公桌上。大家都知道，這是冬冬、丹丹和菲菲三個人中的一個人做的好事。老師找他們?nèi)藖韱枺骸斑@是誰做的好事呢？〞冬冬說：“是丹丹干的。〞丹丹說：“不是我干的。〞菲菲也說：“不是我干的。〞如果他們?nèi)酥?，有兩人說的是假話，只有一個人說的是真話，你能判斷出好事是誰干的嗎？分析與解答：根據(jù)題意，答案只有三種可能。如果好事是冬冬干的，那么冬冬說的是假話，丹丹和菲菲說的都是真話。這樣，便與兩人說假話，一人說真話的前提條件相矛盾?？芍檬虏皇嵌傻?。假設(shè)好事是丹丹干的，那么冬冬和菲菲說的也都是真話。這樣，也與兩人說假話，一人說真話的前提條件相矛盾?？芍@事不是丹丹干的。假設(shè)是菲菲干的，那么冬冬和菲菲說的是假話，丹丹說的是真話。這與前提條件完全符合。所以可知，這塊手表是菲菲拾到后，放在老師辦公桌上的。解決這道題目的關(guān)鍵，是根據(jù)條件中“有兩人說的是假話，只有一人說的是真話〞，對每一個人逐個檢驗。具體的解題方法是：先作出假設(shè)，然后根據(jù)條件作出正確的推理。假設(shè)推出的結(jié)論與條件矛盾，那么說明此假設(shè)不合理，因此可得到與假設(shè)相反的結(jié)果。如果從假設(shè)出發(fā)，推出的結(jié)論與條件沒有矛盾，那么說明此假設(shè)是合理的。這樣的方法，也是我們解決一些問題時常常用到的方法，可以將它稱之為“假設(shè)推理〞方法。例2有三個顏色分別是紅、黃、藍(lán)的盒子，每只盒子外面各有一句話〔如下列圖所示〕，這三句話中只有一句是真的。你能判斷出寶石放在哪個盒子里嗎？分析與解答：在仔細(xì)審讀題目中，可敏銳地發(fā)現(xiàn)，這三句話中的第一、三句，是相互矛盾的。由于相互矛盾的兩句話，必有一真和一假，而題目又告訴我們，三句話中只有一句話是真的。因此可知，第二句話“寶石不在此〞，必定是假話。于是，可以直接判斷出寶石在紅色盒子里面。解答這道題目的關(guān)鍵，是從審題中敏銳地發(fā)現(xiàn)相互矛盾的關(guān)鍵詞句。然后，根據(jù)關(guān)鍵詞句直接分析、推理，便可直接地得出結(jié)論。這樣的解法，可以稱之為邏輯推理中的“直接推理〞方法。例3有甲、乙、丙三個運發(fā)動，穿的運動衫上的號碼分別是1、2、3號。在下面的三種說法中，只有一種是正確的。第一種說法：甲穿的是1號。第二種說法：乙穿的不是1號。第三種說法：丙穿的不是3號。問：甲乙丙三個運發(fā)動各穿的是幾號運動衫？分析與解答：根據(jù)三種說法只有一種正確，那么，可能的情況便只有以下三種：〔1〕一種對，二種錯，三種錯；〔2〕一種錯，二種對，三種錯；〔3〕一種錯，二種錯，三種對。下面，就這三種可能的情況，逐個地進(jìn)行分析推理。當(dāng)為第〔1〕種情況〔一對、二錯、三錯〕時，便有甲為1號是正確的，“乙不是1號〞是不對的，即乙也是1號。這會出現(xiàn)甲、乙都穿1號的情況，它與條件是矛盾的，故這種可能的情況應(yīng)予排除。當(dāng)為第〔2〕種情況〔一錯、二對、三錯〕時，便有甲不是1號，應(yīng)是2號或3號；乙也不是1號，應(yīng)是2號或3號；“丙不是3號〞是錯的，丙應(yīng)是3號。這時便出現(xiàn)了甲、乙、丙三人都不穿1號運動衫的情況，這又與條件相矛盾。所以，這種可能的情況，也應(yīng)予以排除。當(dāng)為第〔3〕種情況〔一錯、二錯、三對〕時，便有甲不是1號，應(yīng)是2號或3號；“乙不是1號〞不對，乙是1號；“丙不是3號〞正確，應(yīng)是1號或2號，由乙為1號可知，丙為2號；于是，甲穿的便是3號。從而得到甲3號、乙1號、丙2號，且完全符合題目中的條件。所以，這就是問題的解答。這樣的題目，看來比擬復(fù)雜，但可能出現(xiàn)的情況是有限的的。解題時，可以用“窮舉〞方法，舉出所有可能的情況，然后逐個地進(jìn)行邏輯推理，把與條件相矛盾的情況排除掉，而與條件相符合的情況，便是問題的答案。這樣的邏輯推理解題方法，可以稱之為“窮舉推理〞方法。例4學(xué)校舉行數(shù)學(xué)比賽，甲、乙、丙、丁、戊五位老師，對一貫刻苦學(xué)習(xí)的A、B、C、D、E五位同學(xué)，事先就作了如下的估計：老師甲：B第三名，C第五名。老師乙：E第四名，D第五名。老師丙：A第一名，E第四名。老師丁：C第一名，B第二名。老師戊：A第三名，D第四名。比賽結(jié)束后，這五名學(xué)生果然是前五名，且每一個名次，都有老師猜中了。試求各人的名次。分析與解答：先可將甲、乙、丙、丁、戊五位老師的估計，列成如下的表格：因為每個名次都有老師猜中，猜想第二名的只有學(xué)生B，所以第二名必定是學(xué)生B。由此推出，B不是第三名，A是第三名；進(jìn)而推出，A不是第一名，C是第一名；再進(jìn)一步推出，C不是第五名，D是第五名；最后推出，D不是第四名，E是第四名。所以可知，A、B、C、D、E五位同學(xué)的名次，依次為三、二、一、五、四名。例5在一次國際交往活動中，甲、乙、丙、丁四位朋友進(jìn)行交談，使用了中、英、法、日四種語言，并知道有如下的情況：〔1〕甲、乙、丙都會講兩種語言，而丁只會講一種語言；〔2〕有一種語言，四人中有三人會講；〔3〕甲會講日語，丁不會講日語，乙不會講英語；〔4〕甲與丙、丙與丁不能直接交談，乙與丙可以直接交談；〔5〕沒有人既會講日語，又會講法語。問：甲乙丙丁四人各會講什么語言？分析與解答：題目像例4一樣，也可以采用列表方式作推理、分析。此題只有第〔3〕個條件為直接條件，第〔5〕個條件較為明白，其余各條都未直接告訴各人與各語種的對應(yīng)關(guān)系，需要認(rèn)真分析、對照，才可逐步填出下表。填表步驟和方法可以是：〔1〕對照第〔3〕條，可在“甲日〞格內(nèi)記√，在“丁日〞格內(nèi)記×，“乙英〞格內(nèi)也記×?！?〕由甲與丙不能直接交談，可知丙不會講日語，又由無人同時會講日、法語，可知甲不會講法語。故應(yīng)在“丙日〞、“甲法〞兩格里面都記×。〔3〕由甲與丙、丙與丁不能直接交談，以及乙不會英語，甲不會法語，可知“三人會講〞的同一種語言，不可能是英、法、日語，而只可能是中文。又由于丁只會講一種語言，且丙與丁不能直接交談，可知甲、乙、丁都會講中文，而丙不講中文。于是，可在中文相應(yīng)的格內(nèi)，分別記上√和×?！?〕由甲乙丙三人都會講兩種語言，而丁只會講一種語言，從而可在丁的英、法格內(nèi)記×，在“丙英〞、“丙法〞內(nèi)記上√。由乙丙可直接交談，便又可在“乙法〞格內(nèi)記√?！?〕最后，在“甲英〞、“乙日〞格內(nèi)記×。到此為止，表已全部填好。統(tǒng)觀全表，便知：甲會講中文和日語；乙會講中文和法語；丙會講英語和法語；丁只會講中文。顯然，例4、例5是具有復(fù)雜對應(yīng)關(guān)系的推理判斷題。解這種題目，我們可以用列表〔或畫對應(yīng)線條等〕方法，來幫助我們理清頭緒，從而較快地找到題目的答案。這樣的邏輯推理解法，可以稱之為“用圖表幫助推導(dǎo)〞的方法。【抽屜原理的應(yīng)用】把3只蘋果放進(jìn)2個抽屜里面去，只有下面兩種放法，一是一個抽屜里放2個，另一個抽屜放1個，二是3個蘋果放在一個抽屜里。不管怎樣放，都可以得出結(jié)淪：必有一個抽屜里放有2個或2個以上的蘋果。如果把4只蘋果放到3個抽屜里去，那么必有一個抽屜要放2只或2只以上的蘋果。由上面的實例，概括出第一類抽屜原理：有m件物體，放進(jìn)n個抽屜里去，如果物體比抽屜多〔即m＞n)，那么，必有一個抽屜要放進(jìn)兩件或兩件以上的物體。假設(shè)保持抽屜數(shù)不變，而增加蘋果總數(shù)，那么放入抽屜中的蘋果“最少數(shù)〞會發(fā)生什么變化呢？請看下面兩例：1．19個蘋果放進(jìn)6個抽屜，不管怎么放置，至少有一個抽屜放有4個或4個以上的蘋果。2．37個蘋果放進(jìn)6個抽屜，不管怎么放置，至少有一個抽屜放有7個或7個以上的蘋果。從以上兩例可以發(fā)現(xiàn)，抽屜數(shù)都是6個，而抽屜內(nèi)的蘋果數(shù)隨著蘋果總數(shù)的增加而增加。變化的規(guī)律是怎樣的，以上面第1例來說明。19個蘋果要放進(jìn)6個抽屜，可以先將19個蘋果盡量平均分配到6個抽屜中，即：19÷6＝3〔個〕……………l個還剩1個蘋果，不管將它放進(jìn)哪個抽屜，那么至少有一個抽屜要放4個或4個以上的蘋果。在這道題中,4是最小數(shù)?，F(xiàn)在我們可以得出求最小數(shù)的規(guī)律是：蘋果總數(shù)＝抽屜數(shù)×商數(shù)＋余數(shù)如果余數(shù)不得0，那么最小數(shù)為：最小數(shù)＝商數(shù)＋l如果余數(shù)為0，那么最小數(shù)等于商數(shù)由以上分析，概括出第二類抽屜原理：有多于M×N件物體，要放進(jìn)幾個抽屜中去，那么，不管怎樣放置，必有一個抽屜最少放進(jìn)M＋l個物體。當(dāng)物體總數(shù)恰好是M×N件時，把它放進(jìn)N個抽屜，那么不管怎樣放置，必有一個抽屜內(nèi)最少放進(jìn)M個物體。運用抽屜原理，可以進(jìn)行推理和判斷，解決許多奇妙而有趣的問題。解題的關(guān)鍵是制造“抽屜〞，并確定放進(jìn)抽屜的“物體〞。解題的一般步驟是：1．制造抽屜，并指出放入抽屜的物體。通俗地說就是把誰當(dāng)作抽屜，把誰當(dāng)作物體。2．通過計算，找到把物體放入抽屜的方法。再推理判斷，作出結(jié)論。例1任意3個小朋友中，必有兩個小朋友的性別相同，為什么？分析與證明：人的性別只有男性和女性兩種，把兩種性別當(dāng)作兩個“抽屜〞，把3個小朋友當(dāng)作三個“蘋果〞，“蘋果〞數(shù)3比抽屜數(shù)2大，根據(jù)抽屜原理，必有一個“抽屜〞里有兩個或兩個以上的“蘋果〞，這就能證明任意3個小朋友中，必有兩人性別相同。例2任意13個同學(xué)中，至少有2人出生的月份相同。請說明理由。分析與證明：一年有12個月，把12個月當(dāng)12個“抽屜〞，把13個同學(xué)的出生月份當(dāng)作13個“蘋果〞。因為同學(xué)人數(shù)多于月份數(shù)。根據(jù)抽屜原理，至少有一個抽屜內(nèi)有兩個或兩個以上的“蘋果〞，這就證明至少有兩個同學(xué)出生的月份相同。例3幼兒園買來四種玩具，每位小朋友可以任選其中兩件〔不同種玩具〕，假設(shè)有7位小朋友來挑選，至少有兩位小朋友所選的玩具完全相同，這是為什么？分析與證明：設(shè)四種玩具為A、B、C、D，按挑選規(guī)那么，每兩種不同種玩具配成一組，有下面六種不同的配法：{A、B}，{A、C}，{A、D}，{B、C}，{B、D}，{C、D}．把六種不同配法當(dāng)作6個“抽屜〞，7位小朋友當(dāng)作7個“蘋果〞，小朋友的人數(shù)超過玩具配法的種數(shù)。根據(jù)抽屜原理，至少有一個“抽屜〞里有兩個或兩個以上的“蘋果〞，所以至少有兩個小朋友挑選的玩具完全相同。例4某小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克班有學(xué)生38人，他們來自7所小學(xué)，證明必有一所小學(xué)在這個班的人數(shù)要超過5人。分析與證明：將7所小學(xué)當(dāng)作7個“抽屜〞，將38名學(xué)生當(dāng)作38個“蘋果〞，因為：38＝7×5＋33≠0根據(jù)抽屜原理，最小數(shù)＝商數(shù)＋1，商是5，最小數(shù)＝5＋l＝6，所以必有一所小學(xué)在這個班的人數(shù)要超過5人。例5取來6張白紙，在它的一面分別涂上黃、綠兩種顏色。證明：不管怎樣涂法，至少有三張紙涂的顏色相同。分析與證明：把6張白紙當(dāng)作6個“蘋果〞，把黃、綠兩種顏色當(dāng)作兩個“抽屜〞，那么6＝2×3＋0根據(jù)抽屜原理，6÷2＝3，余數(shù)為0，那么最小數(shù)＝商數(shù)所以至少有3張紙涂的顏色相同。例5小學(xué)生夏令營組織1994名同學(xué)游覽故宮、天壇、北海三個地方，規(guī)定每個同學(xué)至少去一個地方，問至少有多少同學(xué)游覽了完全相同的地方？分析與解：同學(xué)們游覽故宮，天壇和北海，有的只游了一個地方，有的游了兩個地方，還有的游了三個地方，首先把游覽的情況排列如下〔即先制造抽屜〕：，，，，，，。從以上的排列可以看出首先要制造7個“抽屜〞，把1994名同學(xué)當(dāng)作“蘋果〞，那么1994＝7×284＋6因為6≠0，根據(jù)第二類抽屜原理，至少有284＋1＝285〔名〕同學(xué)游覽了完全相同的地方。例6證明在任何6個人中，總有3個人相互認(rèn)識或者互不認(rèn)識?！残傺览麛?shù)學(xué)競賽題〕分析與證明：把6個人看作六個點〔其中沒有三點共線〕，如果兩個人互相認(rèn)識，就在兩點間用紅線連接；如果兩個人互不認(rèn)識，就在兩點間用藍(lán)線連接?！灿锰摼€表示藍(lán)色，用實線表示紅色?！骋驗橛?個點，從每一個點都要引出5條線段，這5條線段的顏色只有紅色或藍(lán)色兩種〔如圖3．14〕，把這兩種顏色當(dāng)作兩個“抽屜〞，5條線段當(dāng)作5個“蘋果〞，由抽屜原理可知，至少有三條線段同色。不妨設(shè)這三條線段為紅色，即圖中的A1；A2，A1；A3，A1A4?？紤]三角形A2A3A4的三邊著色只有下面兩種可能；①A2A3，A3A4，A4A2三條線段至少有一條是紅色的，那么三邊同紅色的三角形已存在，即表示有3個人互相認(rèn)識。②假設(shè)A2A3，A3A4，A4A2三條線段都不是紅色，那么，三角形A2A3A4三條邊都是藍(lán)色，表示有三個人互不認(rèn)識。不管是①、②中哪種情況，都能證明題目的結(jié)論成立。例7學(xué)校買來歷史、文藝、科普三種圖書假設(shè)干本，每個學(xué)生任意借兩本，那么至少________個學(xué)生中一定有兩人所借圖書的種類完全相同?！病缎W(xué)生數(shù)學(xué)報》第五屆小學(xué)生數(shù)學(xué)邀請賽決賽試題〕分析與解：按題意先制造下面6個“抽屜〞：，，，，，。把借書的同學(xué)看作“蘋果〞，根據(jù)抽屜原理可知至少1×6＋l＝7〔個〕學(xué)生中一定有2人所借圖書的種類相同。例8一個袋里放了三種不同顏色的球20個，其中白球8個,紅球7個，綠球5個，如果閉上眼睛取出盡量多的球，使袋里至少還有4個同色球，以及至少有3個另一種顏色的球，那么最多只能取出_______個球?！?993年上海市第六屆小學(xué)五年級數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽試題〕分析與解：為保證袋里至少還有4個同色球，以及至少還有3個另一種顏色的同色球，我們先求袋里至少應(yīng)留下多少個球才能滿足要求。從最不利的情況出發(fā)，假設(shè)袋里有數(shù)目最多的8個白色球，將余下的兩種顏色當(dāng)作兩個抽屜，要使有一個抽屜至少有3個球，那么必須要有球2×2＋l＝5〔個〕因此袋里最少要留下球8＋5＝13〔個〕所以，要保證袋里至少還有4個同色球以及至少有3個另一種顏色的球最多只能取出20－13＝7〔個〕答：最多只能取出7個球?！救莩庠淼膽?yīng)用】通常用集合的有關(guān)根本概念來表述容斥原理。把一群具有某種相同性質(zhì)的對象放在一起，就說它們組成了一個“集合〞。由所有屬于集合A或者屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A、B的并集〔就是A與B的和〕〔圖3．15〕記作“A∪B〞。A、B兩個集合的公共元素，也就是那些既屬于A，又屬于B的元素，它們組成的集合，叫做A、B的交集，記作“A∩B〞〔圖3．16〕容斥原理一設(shè)具有性質(zhì)A的物體有