2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)名師押題信息卷（4）（答案版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試名師押題信息卷（4）數(shù)學(xué)本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合A=，B=，則（

）A．AB= B．AB C．AB D．AB=R【答案】A【分析】解一元二次不等式求集合B，應(yīng)用集合的交、并運算，即可確定、，進而判斷選項的正誤.【詳解】由題意，，而，∴，.故選：A2．設(shè)i為虛數(shù)單位，且，則的虛部為（

）A． B．2 C．2i D．【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)的乘法運算化簡，再由復(fù)數(shù)相等求出，即可求出的虛部.【詳解】由可得：，則，所以的虛部為2.故選：B.3．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】可觀察兩個式子整體特征，一個為單倍角，一個為二倍角，則考慮先對整體求二倍角，再根據(jù)誘導(dǎo)公式進行合理轉(zhuǎn)化即可【詳解】，即，，而，則，故故選：D【點睛】本題考查三角恒等變換及誘導(dǎo)公式的使用，熟悉單倍角與二倍角公式轉(zhuǎn)化，熟練運用誘導(dǎo)公式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題4．在中，，，D是AC邊的中點，點E滿足，則（

）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，用向量分別表示，再利用向量數(shù)量積的運算律求解作答.【詳解】在中，，，，如圖，則，又，則，所以.故選：A5．在數(shù)學(xué)和許多分支中都能見到很多以瑞士數(shù)學(xué)家歐拉命名的常數(shù)，公式和定理，若正整數(shù)只有1為公約數(shù)，則稱互質(zhì)，對于正整數(shù)是小于或等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的數(shù)的個數(shù)，函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如：，.記為數(shù)列的前項和，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意分析可得，結(jié)合等比數(shù)列求和公式運算求解.【詳解】由題意可知：若正整數(shù)與不互質(zhì)，則為3的倍數(shù)，共有個，故，∵，即數(shù)列是以首項，公比的等比數(shù)列，故.故選：D.6．已知拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為l，過拋物線上一點P作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為Q，若，則（

）．A． B．2 C． D．【答案】C【分析】由題知，進而結(jié)合得，再在中，由正弦定理求解即可.【詳解】解：因為，所以．因為，所以．因為，所以，所以，在中，由正弦定理，即故選：C7．閱讀下段文字：“已知為無理數(shù)，若為有理數(shù)，則存在無理數(shù)，使得為有理數(shù)；若為無理數(shù)，則取無理數(shù)，，此時為有理數(shù)．”依據(jù)這段文字可以證明的結(jié)論是（

）A．是有理數(shù) B．是無理數(shù)C．存在無理數(shù)a，b，使得為有理數(shù) D．對任意無理數(shù)a，b，都有為無理數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)給定的條件，提取文字信息即可判斷作答.【詳解】這段文字中，沒有證明是有理數(shù)條件，也沒有證明是無理數(shù)的條件，AB錯誤；這段文字的兩句話中，都說明了結(jié)論“存在無理數(shù)a，b，使得為有理數(shù)”，因此這段文字可以證明此結(jié)論，C正確；這段文字中只提及存在無理數(shù)a，b，不涉及對任意無理數(shù)a，b，都成立的問題，D錯誤.故選：C8．設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)進行構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，推出a與1的大小關(guān)系，同理判斷b與1的關(guān)系，判斷的大小范圍時采用分析的方法，結(jié)合的特點，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可判斷其范圍.【詳解】設(shè)函數(shù),求導(dǎo)得：,∴在上單調(diào)遞減，所以，A錯誤；設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，故，僅當(dāng)時取等號，即，則時，，即，所以，D錯誤；由，下面證明，，即證,令，即證：，即，構(gòu)造函數(shù)，即證，由，所以在上單調(diào)遞減，則，即證，令，，即在上單調(diào)遞減，故，即成立，故成立，所以，故選：B【點睛】難點點睛：本題比較大小，要明確數(shù)的結(jié)構(gòu)特點，確定其中的變量，進而構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，利用單調(diào)性進行大小比較，難點是本題解答時要選擇恰當(dāng)?shù)淖兞?，連續(xù)構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，進行解答.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如圖所示的扇形圖．則下面結(jié)論中正確的是（

）A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半【答案】BCD【分析】首先設(shè)出新農(nóng)村建設(shè)前的經(jīng)濟收入為，根據(jù)題意，得到新農(nóng)村建設(shè)后的經(jīng)濟收入為，之后從圖中各項收入所占的比例，得到其對應(yīng)的收入是多少，從而可以比較其大小，并且得到其相應(yīng)的關(guān)系，從而得出正確的選項.【詳解】設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前農(nóng)村的經(jīng)濟收入為，則新農(nóng)村建設(shè)后農(nóng)村的經(jīng)濟收入為，對A，新農(nóng)村建設(shè)前的種植收入為，新農(nóng)村建設(shè)后的種植收入為，種植收入增加，故A錯誤；對B，新農(nóng)村建設(shè)前的其他收入為，新農(nóng)村建設(shè)后的其他收入為，增加了一倍以上，故B正確；對C，新農(nóng)村建設(shè)前的養(yǎng)殖收入為，新農(nóng)村建設(shè)后的養(yǎng)殖收入為，增加了一倍，故C正確；對D，新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和為，超過了經(jīng)濟收入的一半，故D正確.故選：BCD.10．已知為坐標(biāo)原點，橢圓：的左、右焦點分別為、，橢圓的上頂點和右頂點分別為A、B，點P、Q都在上，且，則下列說法正確的是（

）A．周長的最小值為14B．四邊形可能是矩形C．直線，的斜率之積為定值D．的面積最大值為【答案】ACD【分析】對四個選項一一判斷：對于A：利用橢圓的對稱性，判斷出PQ為橢圓的短軸時，周長最小.即可判斷；對于B：判斷出，從而四邊形不可能是矩形.即可判斷；對于C：設(shè)，直接計算出.即可判斷；對于D.由的面積為.即可判斷.【詳解】由，可知P，Q關(guān)于原點對稱.對于A.根據(jù)橢圓的對稱性，，當(dāng)PQ為橢圓的短軸時，有最小值6，所以周長的最小值為14.故A正確；對于B.因為，所以，則，故橢圓上不存在點，使得，又四邊形是平行四邊形，所以四邊形不可能是矩形.故B不正確.對于C.由題意得，設(shè)，則，所以.故C正確；對于D.設(shè)的面積為，所以當(dāng)PQ為橢圓的短軸時，最大，所以.故D正確.故選：ACD.11．已知函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于點對稱 B．為的一個周期C．的值域為 D．在上單調(diào)遞減【答案】ACD【分析】化簡可得.求出的表達式，即可得出A項；求出的表達式，即可得出B項；由幾何意義，根據(jù)圖象，即可得出C項；求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)的解集，即可得出D項.【詳解】由已知可得.對于A項，因為，所以點是的對稱中心，故A項正確；對于B項，，故不是的周期，故B項錯誤；對于C項，設(shè)，則的大小等于點與點連線的斜率.又點在圓上，如圖，為圓的兩條切線，且，.由圖象可知，當(dāng)與重合時，斜率最大，此時；當(dāng)與重合時，斜率最小，此時，所以的取值范圍為，即的值域為，故C項正確；對于D項，由已知可得，令，得，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象可知，，故在上單調(diào)遞減，故D項正確.故選：ACD.12．已知當(dāng)時，，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)給定的不等式，賦值變形判斷A；賦值求和判斷CD；變形不等式右邊，借助二項式定理及組合數(shù)的性質(zhì)推理判斷D作答.【詳解】因為，令，，則，令，，則，A正確；因為，則，，…，，以上各式相加有，B錯誤；由得，，即，于是，，，…，，以上各式相加有，即，C正確；由得，，因此，設(shè)，，則，所以，D正確．故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點睛：由給定信息判斷命題的正確性問題，從給定的信息出發(fā)結(jié)合命題，對變量適當(dāng)賦值，再綜合利用相關(guān)數(shù)學(xué)知識及方法是解決問題的關(guān)鍵.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．的展開式中剔除常數(shù)項后的各項系數(shù)和為_________．【答案】【分析】令可得展開式各項系數(shù)和，再由求出展開式中常數(shù)項，即可得解.【詳解】解：因為，其中展開式的通項為，所以展開式中常數(shù)項為，令，可得展開式中各項系數(shù)和為，所以展開式中剔除常數(shù)項后的各項系數(shù)和為.故答案為：14．寫出過點且與圓相切的一條直線的方程___________.【答案】或【分析】考慮直線斜率存在和不存在兩種情況，根據(jù)點到直線的距離等于半徑解得答案.【詳解】圓，圓心，半徑，當(dāng)直線斜率不存在時，驗證知滿足條件；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，即，圓心到直線的距離為，解得，故直線方程為，即.綜上所述：直線方程為或.故答案為：或15．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圓”等，“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動，類似今日的踢足球活動.如圖所示，已知某“鞠”的表面上有四個點，，，，滿足，，則該“鞠”的表面積為____________.【答案】【分析】由題意畫出圖形，可得，均為等邊三角形，設(shè)球心為O，的中心為，取中點，連接AF，CF，OB，，AO，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解棱錐外接球的半徑，再由球的表面積公式求解.【詳解】由已知得，均為等邊三角形，如圖所示，設(shè)球心為O，的中心為，取中點，連接AF，CF，OB，，AO，則，，而，平面，∴平面，可求得而，，則，在平面中，過點作的垂線，與的延長線交于點，由平面，平面，得，又，，平面，故平面，過點O作于點G，則四邊形是矩形，而，設(shè)球的半徑為R，，則由，，得，

，解得，，故三棱錐外接球的表面積為.故答案為：【點睛】方法點睛：對于三棱錐外接球的三種模型第一種模型為常見墻角模型，此時將三棱錐看作長方體中的一個部分，將長方體進行補全之后就可以找到外接球半徑與長方體三邊之間的關(guān)系.第二種模型為對邊相等的三棱錐外接球，方法同樣將其補形為長方體，我們可以通過畫出一個長方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對邊，然后通過每一組在直角三角形中的滿足勾股定理的形式而列出方程，然后再將三組方程相加之后就可以得到長方體三邊的平方的關(guān)系，繼而可以求出外接球的半徑.第三種模型為確定球心來構(gòu)造直角三角形，這種模型最關(guān)鍵的就是利用底面三角形的外心來確定球心，然后來構(gòu)造直角三角形將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，在直角三角形當(dāng)中來求出球的半徑.16．在同一平面直角坐標(biāo)系中，P，Q分別是函數(shù)和圖象上的動點，若對任意，有恒成立，則實數(shù)m的最大值為______．【答案】【分析】利用同構(gòu)思想構(gòu)造，得到其單調(diào)性，得到，再構(gòu)造，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性及其最小值，設(shè)設(shè)，利用基本不等式得到，求出答案.【詳解】，令，，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故在處取得極小值，也是最小值，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，令，，則，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也時最小值，最小值為，設(shè)，由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)，，時，等號成立，故，則．故答案為：【點睛】導(dǎo)函數(shù)求解取值范圍時，當(dāng)函數(shù)中同時出現(xiàn)與，通常使用同構(gòu)來進行求解，本題變形得到，從而構(gòu)造進行求解.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知數(shù)列的前項和滿足，且.(1)求，，；(2)若不超過240，求的最大值.【答案】(1)，，(2)15【分析】（1）直接由求出，，；（2）先作差得到，分類討論：當(dāng)為偶數(shù)時和為奇數(shù)時，分別求出，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，（2）∵，①∴當(dāng)時，，又，則，當(dāng)時，②，①-②可得：，當(dāng)為偶數(shù)時，∴.當(dāng)為奇數(shù)時，∴由，得，的最大取值為15.18．的內(nèi)角的對邊分別為，，且______．(1)求的面積；(2)若，求．在①，②這兩個條件中任選一個，補充在橫線中，并解答．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①則根據(jù)余弦定理得，且，于是利用平方公式得，即可得的值，再根據(jù)面積公式即可得的面積；若選②根據(jù)向量數(shù)量積定義得，且，于是利用平方公式得，即可得的值，再根據(jù)面積公式即可得的面積；（2）由正弦定理得即可求得的值.【詳解】（1）若選①，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；若選②，則，又，則，又，得，則；（2）由正弦定理得：，則，則，．19．如圖一，是等邊三角形，為邊上的高線，分別是邊上的點，；如圖二，將沿翻折，使點到點的位置，.(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平面得到，根據(jù)勾股定理得到，得到線面垂直.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，計算各點坐標(biāo)，得到平面和平面的一個法向量，根據(jù)向量的夾角公式計算得到答案.【詳解】（1）因為為等邊三角形，，，為邊上的高線，故，又，平面，所以平面.因為平面，所以.在中，，所以，故，而平面，平面，故平面（2）分別以方向為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，則.設(shè)平面的法向量，平面的法向量，則，且，取，，得到平面的一個法向量，平面的一個法向量，設(shè)二面角大小為，則，所以.20．某醫(yī)藥企業(yè)使用新技術(shù)對某款血夜試劑進行試生產(chǎn).(1)在試產(chǎn)初期，該款血液試劑的I批次生產(chǎn)有四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道是檢測評估工序，包括智能自動檢測與人工抽檢.已知該款血夜試劑在生產(chǎn)中，前三道工序的次品率分別為.①求批次I的血液試劑經(jīng)過前三道工序后的次品率；②第四道工序中智能自動檢測為次品的血液試劑會被自動淘汰，合格的血液試劑進入流水線并由工人進行抽查檢驗.已知批次I的血液試劑智能自動檢測顯示合格率為，求工人在流水線進行人工抽檢時，抽檢一個血液試劑恰為合格品的概率（百分號前保留兩位小數(shù)）；(2)已知某批次血液試劑的次品率為，設(shè)100個血液試劑中恰有1個為不合格品的概率為，求的最大值點.【答案】(1)①②(2)【分析】（1）①根據(jù)已知條件，結(jié)合相互獨立事件的概率公式，以及對立事件概率和為1，即可求解；②根據(jù)已知條件，結(jié)合條件概率公式，即可求解；（2）求出100個血液試劑中恰有1個為不合格品的概率為，然后利用導(dǎo)數(shù)求解的最大值點，即可求出.【詳解】（1）①批次Ⅰ的血夜試劑經(jīng)過前三道工序后的次品率為②設(shè)批次Ⅰ的血夜試劑智能自動檢測合格為事件A，人工抽檢合格為事件B，由已知得則工人在流水線進行人工抽檢時，.（2）100個血液試劑中恰有1個不合格的概率因此，令，得，當(dāng)時，；當(dāng)時.所以的最大值為.21．已知橢圓的離心率為，短軸長為.(1)求的方程；(2)過的右焦點的直線交于，兩點，若點滿足，過點作的垂線與軸和軸分別交于，兩點.記，△（為坐標(biāo)原點）的面積分別為?，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由短軸長可求出，由離心率的值可求出，即可求出橢圓方程；（2）由題意可知直線的斜率存在且不為0，將直線和橢圓方程聯(lián)立，進而求出點的坐標(biāo)，由直線的方程可求出點,的坐標(biāo)，求出，△的面積的表達式，再由三角形相似，可得對應(yīng)邊的比，進而求出面積比，最后由函數(shù)的單調(diào)性求出范圍.【詳解】（1）由題意可得，解得，，解得，，所以橢圓的方程為：；（2）由（1）得右焦點，，由題意可得直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，，，因為點滿足，所以為的中點，聯(lián)立，整理可得：，因為在橢圓內(nèi)部，顯然，，，所以的中點的縱坐標(biāo)為，代入直線的方程為，即，，即直線的方程為，令，解得，即，令，解得，即，，，，由題意可得△△，所以，設(shè)，則，而，所以，設(shè)，令，，函數(shù)