自動(dòng)控制-03b二階系統(tǒng)計(jì)算舉例

四、二階系統(tǒng)計(jì)算舉例

例1．二階系統(tǒng)如圖所示，已知。當(dāng)時(shí)，求過(guò)渡過(guò)程特征量和的數(shù)值。╳R（s）C（s）ε（s）+-圖3.3-11二階系統(tǒng)的方塊圖解：直接利用二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)特征值的計(jì)算公式

注：說(shuō)明過(guò)渡過(guò)程只存在一次超調(diào)。振蕩在一個(gè)周期內(nèi)可結(jié)束。==

例2．設(shè)一個(gè)帶速度反饋的隨動(dòng)系統(tǒng)，其方塊圖如圖所示。要求系統(tǒng)的性能指標(biāo)為。試確定系統(tǒng)的K值和KA值，并計(jì)算過(guò)渡過(guò)程的特征值及N的值。+-╳R（s）C（s）ε（s）圖3.3-12控制系統(tǒng)的方塊圖解：思路

1.由的值求出阻尼比的值。

2.根據(jù)和的值求得無(wú)阻尼自振頻率的值。

3.將系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)形式，求得K值和KA值。4.利用公式求得過(guò)渡過(guò)程的特征值及N的值。

例3．如圖所示是一個(gè)機(jī)械平移系統(tǒng)，當(dāng)有3N的力（階躍輸入）作用于系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)中的質(zhì)點(diǎn)M作如圖所示的運(yùn)動(dòng)，試根據(jù)這個(gè)過(guò)渡過(guò)程曲線，確定M、粘性摩擦力f和彈簧剛度K的數(shù)值。圖3.3-13機(jī)械平移系統(tǒng)解：根據(jù)牛頓第二定律，求得系統(tǒng)的微分方程為：

在零初始條件下對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

用終值定理求的穩(wěn)態(tài)值（）

由圖可知，所以

又由于：化成標(biāo)準(zhǔn)形式：

根據(jù)特征值的計(jì)算公式：由

由

從而求得

單位速度函數(shù)為，則有，其對(duì)應(yīng)的輸出信號(hào)的拉氏變換式為：

1）

欠阻尼（）時(shí)的過(guò)渡函數(shù)由

五、單位速度函數(shù)作用下二階系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程→

其中

(2)臨界阻尼（）時(shí)的過(guò)渡過(guò)程

→

(3)過(guò)阻尼（）時(shí)的過(guò)渡過(guò)程（）

★二階系統(tǒng)反應(yīng)單位速度函數(shù)的過(guò)渡過(guò)程也可以通過(guò)對(duì)反應(yīng)階躍函數(shù)的過(guò)渡過(guò)程求積分得到，積分常數(shù)可根據(jù)t=0時(shí)過(guò)渡過(guò)程c（t）的初始條件來(lái)確定。

單位速度函數(shù)作用下，二階系統(tǒng)工作在欠阻尼狀態(tài)時(shí)的偏差信號(hào)為：

單位速度函數(shù)作用下，二階系統(tǒng)工作在過(guò)阻尼狀態(tài)時(shí)的偏差信號(hào)為：

兩者的穩(wěn)態(tài)誤差相同所以我們又得到減小穩(wěn)態(tài)誤差的方法：增大或減小，但減少會(huì)使超調(diào)量增大，因此需折中考慮，確定一個(gè)合理的設(shè)計(jì)方案。圖3.3-16示出了不同放大倍數(shù)的系統(tǒng)在速度函數(shù)作用下的過(guò)渡過(guò)程曲線.圖3.3-16二階系統(tǒng)反應(yīng)速度函數(shù)的過(guò)渡過(guò)程曲線例:已知單位反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)的輸入量為單位階躍函數(shù),試計(jì)算放大器增益KA=200時(shí),系統(tǒng)輸出響應(yīng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。當(dāng)KA增大到1500時(shí)或減小到KA=13.5,這時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)如何?解:系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:則根據(jù)欠阻尼二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的計(jì)算公式,可以求得:由此可見(jiàn),KA越大,ξ越小,wn越大,tp越小,б%越大,而調(diào)節(jié)時(shí)間ts無(wú)多大變化。系統(tǒng)工作在過(guò)阻尼狀態(tài),峰值時(shí)間,超調(diào)量和振蕩次數(shù)不存在。KA增大，tp減小，tr減小，可以提高響應(yīng)的快速性，但超調(diào)量也隨之增加，僅靠調(diào)節(jié)放大器的增益，即比例調(diào)節(jié)，難以兼顧系統(tǒng)的快速性和平穩(wěn)性，為了改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，可采用比例－微分控制或速度反饋控制，即對(duì)系統(tǒng)加入校正環(huán)節(jié)。例.下圖表示引入了一個(gè)比例微分控制的二階系統(tǒng),系統(tǒng)輸出量同時(shí)受偏差信號(hào)

和偏差信號(hào)微分的雙重控制。試分析比例微分校正對(duì)系統(tǒng)性能的影響。系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù):等效阻尼比：增大了系統(tǒng)的阻尼比,可以使系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程的超調(diào)量下降,調(diào)節(jié)時(shí)間縮短,然而開(kāi)環(huán)增益k保持不變,它的引入并不影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度,同時(shí)也不改變系統(tǒng)的無(wú)阻尼振蕩頻率wn。而且,比例微分控制使系統(tǒng)增加了一個(gè)閉環(huán)零點(diǎn)s=-1/Td,前面給出的計(jì)算動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的公式不再適用。由于穩(wěn)態(tài)誤差與開(kāi)環(huán)增益成反比,因此適當(dāng)選擇開(kāi)環(huán)增益和微分器的時(shí)間常數(shù)Td,即可減小穩(wěn)態(tài)誤差,又可獲得良好的動(dòng)態(tài)性能。例3.圖:

是采用了速度反饋控制的二階系統(tǒng)。試分析速度反饋校正對(duì)系統(tǒng)性能的影響。解:系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為式中kt為速度反饋系數(shù).

為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益。

(不引入速度反饋開(kāi)環(huán)增益)k有所減小,增大了穩(wěn)態(tài)誤差,因此降低了系統(tǒng)的精度。閉環(huán)傳遞函數(shù)

顯然，所以速度反饋同樣可以增大系統(tǒng)的阻尼比,而不改變無(wú)阻尼振蕩頻率ωn,因此,速度反饋可以改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。等效阻尼比：在應(yīng)用速度反饋校正時(shí),應(yīng)適當(dāng)增大原系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益,以補(bǔ)償速度反饋引起的開(kāi)環(huán)增益減小,同時(shí)適當(dāng)選擇速度反饋系數(shù)kt,使阻尼比ξt增至適當(dāng)數(shù)值,以減小系統(tǒng)的超調(diào)量,提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度,使系統(tǒng)滿足各項(xiàng)性能指標(biāo)的要求。六、二階系統(tǒng)的脈沖過(guò)渡函數(shù)

當(dāng)二階系統(tǒng)的輸入信號(hào)為理想單位脈沖函數(shù)時(shí)，其響應(yīng)過(guò)程稱(chēng)為二階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，記為。理想單位脈沖函數(shù)，則有

則：

根據(jù)對(duì)上式取拉氏反變換得：

1.欠阻尼（）時(shí)的脈沖過(guò)渡函數(shù)

2.無(wú)阻尼（）時(shí)的脈沖過(guò)渡函數(shù)

3.臨界阻尼（）時(shí)的脈沖過(guò)渡函數(shù)

4.過(guò)阻尼（）時(shí)的脈沖過(guò)渡函數(shù)

由于單位脈沖函數(shù)是單位階躍函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，所以脈沖過(guò)渡函數(shù)除了可以從C（s）取拉氏反變換外，也可以通過(guò)對(duì)單位階躍函數(shù)作用下的過(guò)渡過(guò)程求關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)而得到。各阻尼情況下的脈沖過(guò)渡函數(shù)曲線

見(jiàn)圖3.2-14。

圖3.3-14二階系統(tǒng)的脈沖過(guò)渡函數(shù)★如果系統(tǒng)脈沖過(guò)渡函數(shù)不改變符號(hào)，系統(tǒng)將處于臨界阻尼狀態(tài)或過(guò)阻尼狀態(tài)。這時(shí)，相應(yīng)的反應(yīng)階躍函數(shù)的過(guò)渡過(guò)程不具有超調(diào)現(xiàn)象，而是單調(diào)地趨于某一常值。在某些情況下，實(shí)際初始條件不一定為零，設(shè)二階系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式具有如下形式：

考慮初始條件，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換得：

→

七、初始條件不為零時(shí)二階系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程令，將上式寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式得：

其中

對(duì)上式取拉氏反變換得：前面已討論過(guò)，只討論，當(dāng)

時(shí)得：

其中

當(dāng)

時(shí)：

●

與的振蕩特性相似。C2(t)補(bǔ)充具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)的分析

具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為增加了零點(diǎn)

也可以寫(xiě)成如下形式和零、極點(diǎn)的關(guān)系為具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)（當(dāng)時(shí)）在單位階躍信號(hào)作用下的輸出響應(yīng)為：

式中

（1）

（2）

分別求，的拉氏反變換得

式中，為典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，為附加零點(diǎn)引起的分量。

由式（1）、（2）可知

所以

其中，為典型二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。因此

例3-15原控制系統(tǒng)如圖3-23(a)所示，引入速度反饋后的控制系統(tǒng)如圖3-23(b)所示，已知在圖3-23(b)中，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量δ

p%=16.4%，峰值時(shí)間tp=1.14s，試確定參數(shù)K和Kt，并計(jì)算系統(tǒng)在(a)和(b)的單位階躍響應(yīng)h(t)。圖3-23例3-15圖解

對(duì)于系統(tǒng)(b)，其閉環(huán)傳