4.3 對(duì)數(shù)運(yùn)算（精講）-2022版高中數(shù)學(xué)新同步精講精煉（必修第一冊(cè)）（教師版含解析）

4.3對(duì)數(shù)的運(yùn)算思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖常見(jiàn)考法常見(jiàn)考法考點(diǎn)一指數(shù)對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)化【例1】(2020·上海高一課時(shí)練習(xí))將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化.(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1).(2).(3).(4).【解析】因?yàn)橛煽傻?，所?1)由可得；(2)由可得；由可得，所以(3)由可得；(4)由可得.指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化.指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化.由指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式時(shí)，以指數(shù)式的底數(shù)為底數(shù)，指數(shù)運(yùn)算的結(jié)果為真數(shù)的對(duì)數(shù)，其結(jié)果為指數(shù)式的指數(shù)；由對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式時(shí)，以對(duì)數(shù)的底數(shù)為底數(shù)，對(duì)數(shù)運(yùn)算的結(jié)果為指數(shù)的指數(shù)，其結(jié)果為對(duì)數(shù)式的真數(shù).【舉一反三】1．(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化不正確的一組是()A．與 B．與C．與 D．與【答案】C【解析】，故正確；，故正確；，，故不正確；，故正確．故選：C．2．(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))將下列指數(shù)式寫(xiě)成對(duì)數(shù)式：(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【解析】(1)因?yàn)?，所?(2)因?yàn)椋?(3)因?yàn)椋?(4)因?yàn)?，所?3．(2020·上海高一課時(shí)練習(xí))將下列對(duì)數(shù)式改為指數(shù)式：(1)，指數(shù)式為_(kāi)_________；(2)，指數(shù)式為_(kāi)_________；(3)，指數(shù)式為_(kāi)_________；(4)，指數(shù)式為_(kāi)___________.【答案】【解析】由于，所以：(1)，指數(shù)式為；(2)，指數(shù)式為；(3)，指數(shù)式為；(4)，指數(shù)式為故答案為：；；；.考點(diǎn)二對(duì)數(shù)式求值【例2】(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))求下列各式中x的值：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)；(2)；(3)2；(4)【解析】(1)因?yàn)樗?(2)因?yàn)?所以.又所以(3)因?yàn)樗杂谑?4)因?yàn)樗杂谑恰九e一反三】1．(2019·福建省仙游縣楓亭中學(xué)高一期中)下列四個(gè)等式:①;②;③若,則;④若,則.其中正確的是()A．①③ B．②④ C．①② D．③④【答案】C【解析】①;②;③若,則;④若,則.故選：C2．(2019·安徽金安·六安一中高一月考)已知log7[log3(log2x)]＝0，那么＝()A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴．∴．故選D．3．(2020·寧縣第二中學(xué)高一月考)方程的解__________【答案】【解析】∵，∴，∴經(jīng)檢驗(yàn)滿足故答案為：.考點(diǎn)三對(duì)數(shù)式化簡(jiǎn)【例3】(1)(2020·湖北黃岡·高一月考)計(jì)算：_______.(2)(2020·山西應(yīng)縣一中高二期中(文))計(jì)算：__________．(3)的值等于______．【答案】(1)2(2)4(3)【解析】(1)原式.故答案為：2.(2)原式故答案為4(3)=．故答案為:．【舉一反三】1．(2020·四川達(dá)州·高三其他(文))計(jì)算______．【答案】0【解析】由題意.故答案為：.2．(2020·石嘴山市第三中學(xué)高二期末(理))______.【答案】【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及換底公式化簡(jiǎn)可得，故答案為：.log2eq\r(\f(7,48))＋log212－eq\f(1,2)log242；【答案】－eq\f(1,2)【解析】原式＝log2eq\f(\r(7)×12,\r(48)×\r(42))＝log22＝－eq\f(1,2).4.(lg2)3＋3lg2·lg5＋(lg5)3.【答案】1【解析】原式＝(lg2＋lg5)[(lg2)2－lg2·lg5＋(lg5)2]＋3lg2·lg5＝(lg2)2＋2lg2·lg5＋(lg5)2＝(lg2＋lg5)2＝1.考點(diǎn)四換底公式【例4】(2020·浙江高一課時(shí)練習(xí))若，且，則為()A．0 B．1 C．1或2 D．0或2【答案】D【解析】令，則，，，依換底公式得或.當(dāng)時(shí)，且，故；當(dāng)時(shí)，.故選：D【舉一反三】1．(2020·上海高一課時(shí)練習(xí))_________.【答案】3【解析】原式.故答案為：.2．(2018·江蘇省連云港市錦屏高級(jí)中學(xué)高一期中)設(shè)，，則等于()A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)的換底公式得，，故選D．3．(2020·浙江高一課時(shí)練習(xí))計(jì)算：(1).(2).【答案】(1)4；(2).【解析】(1).(2).考點(diǎn)五指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算的綜合【例5】(2020年廣東湛江)(1)已知，試用表示.(2)若26a＝33b＝62c，求證：eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\f(3,c).【答案】(1).(2)見(jiàn)解析【解析】(1).∵∴.則.(2)證明設(shè)26a＝33b＝62c＝k(k＞0)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6a＝log2k，,3b＝log3k，,2c＝log6k，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＝\f(6,log2k)＝6logk2，,\f(1,b)＝\f(3,log3k)＝3logk3，,\f(1,c)＝\f(2,log6k)＝2logk6.))∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝6·logk2＋2×3logk3＝logk(26×36)＝6logk6＝3×2logk6＝eq\f(3,c)，即eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\f(3,c).【舉一反三】1．(2019·浙江南湖·嘉興一中高一月考)若實(shí)數(shù)a，b滿足，則()A． B． C． D．1【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，．故選：D．2．(2020·浙江高二月考)若，，則__