江蘇省鹽城市高級(jí)實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023屆高三三模數(shù)學(xué)試題（含答案與解析）

鹽城市高級(jí)實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023屆高三年級(jí)第三次模擬考試

數(shù)學(xué)試卷

（試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘）

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先用黑色字跡的簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷及答題卡的指定

位置，然后將條形碼準(zhǔn)確粘貼在答題卡的“貼條形碼區(qū)”內(nèi)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫，字體

工整，筆跡清晰。

3.按照題號(hào)順序在答題卡相應(yīng)區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效。

4.在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1集合4={印唱》<3},8={小=7^},則A八（）

A.{x|0<x<3}B.

C.{x[0<x44}D.1x|0<x<2|

2.命題“任意xw[l,2],f-aWO”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）

A.a>4B.a<4C.a>5D.a<5

3.江南周莊、同里、用直、西塘、號(hào)鎮(zhèn)、南溫古鎮(zhèn)，并稱為江南六大古鎮(zhèn)”，是中國(guó)江南水鄉(xiāng)風(fēng)貌最具

代表的城鎮(zhèn)，它們以其深邃的歷史文化底蘊(yùn)，清麗婉約的水鄉(xiāng)古鎮(zhèn)風(fēng)貌、古樸的吳依軟語(yǔ)民俗風(fēng)情，在世

界上獨(dú)樹(shù)一幟，馳名中外.這六大古鎮(zhèn)中，其中在蘇州境內(nèi)的有3處，某家庭計(jì)劃今年暑假?gòu)倪@6個(gè)古鎮(zhèn)

中挑選2個(gè)去旅游，則至少選一個(gè)蘇州古鎮(zhèn)的概率為（）

21-34

A.-B.-C.-D.一

5245

4.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服號(hào)影算法''在《大衍歷》中建立了辱影長(zhǎng)/與太陽(yáng)天頂距。（0°<。<90。）

的對(duì)應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上最早的一整正切函數(shù)表.根據(jù)三角學(xué)知識(shí)可知，唇影長(zhǎng)度/等于表高力與太

陽(yáng)天頂距。正切值的乘積，即/=〃lan6,對(duì)同一“表高”兩次測(cè)量，第一次和第二次太陽(yáng)天頂距分別為a、

B,若第一次的“辱影長(zhǎng)”是“表高”的3倍，且tan（a-〃）=；,則第二次“辱影長(zhǎng)”是“表高”的（）倍.

5.在,ABC中，角A&C所對(duì)的邊分別為久友c,角A的角平分線交8。于點(diǎn)。，若

asinA=/?sin8+（c-b）sinC,且人。=6，b=3c,則。的值為（）

A.-B.生巨C.3D.2百

23

6.將正整數(shù)〃分解為兩個(gè)正整數(shù)占、J的積，即〃=仁?右，當(dāng)左、魚(yú)兩數(shù)差的絕對(duì)值最小時(shí)，我們稱其

為最優(yōu)分解.如20=1x20=2x10=4x5,其中4x5即為20的最優(yōu)分解，當(dāng)仁、網(wǎng)是"的最優(yōu)分解

時(shí)，定義/（〃）=|匕一與|,則數(shù)列｛/（5"）｝的前2023項(xiàng)的和為（）

A.51012B.5|0|2-1C.52023D.52023-1

7.已知直線4:x+my-3機(jī)-1=0與4：“優(yōu)-，一3機(jī)+1=0相交于點(diǎn)〃，線段是圓

c：（x+i『+（y+i）2=4的一條動(dòng)弦，且|A3|=2G，則的最小值為()

A.6-472B.3-A/2C.5+右D.J5-1

1n

8.設(shè)實(shí)數(shù)r>0,若不等式e2"-2+比無(wú)NO對(duì)x>o恒成立,則的取值范圍為（）

t

-1

A.—,+ooB.一，+8

2ee

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.關(guān)于復(fù)數(shù)4、z2,下列說(shuō)法正確的是（）

A.|馬司=匕|憶|B.若㈤=%|,z：=z；

C.若|Z|+Z2|=|ZI一Z2|,則馬/2=0D.zi+z2=z]+z2

10.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將“底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱”稱為“塹堵現(xiàn)有

一如圖所示的“暫堵”ABC-A4G，其中若BB]=AB=2,BC=1,則（）

A.該“塹堵”的體積為2

B.該“塹堵”外接球的表面積為9兀

C.若點(diǎn)P在該“塹堵”上運(yùn)動(dòng)，貝”PAI的最大值為2友

D.該“塹堵”上，AG與平面BBC。所成角的正切值為苧

11.讓?巴普蒂斯?約瑟夫?傅里葉，法國(guó)歐塞爾人，著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家.他發(fā)現(xiàn)任何周期函數(shù)都可以用

正弦函數(shù)或余弦函數(shù)構(gòu)成的無(wú)窮級(jí)數(shù)來(lái)表示，如定義在R上的函數(shù)

/八（/-?、）=-71一一4COSX+cos3無(wú)+L+c—os^（2--n---l+）Lx,當(dāng)xe[o,7i]r時(shí)，n有/（x）=x、,則（）.

2713

A.函數(shù)/（x）最小正周期為兀

B.點(diǎn)匕,?是函數(shù)“X）圖象的對(duì)稱中心

12.畫(huà)法幾何的創(chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以

橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.已知橢圓C:5+V=1.后，工分別為橢圓的

左、右焦點(diǎn)，直線/的方程為x+啦y-3=0,M為橢圓C的蒙日?qǐng)A上一動(dòng)點(diǎn)，分別與橢圓相切

于A5兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）

A.橢圓C的蒙日?qǐng)A方程為/+：/=3

B.記點(diǎn)A到直線/的距離為d,則d-|A鳥(niǎo)|的最小值為學(xué)

C.一矩形四條邊與橢圓C相切，則此矩形面積最大值6

D./QB的面積的最小值為最大值為也

32

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N（3,/）,且P（g<5）=6P（J<l）,則P（l<』<3）=.

/、5

14.--1的展開(kāi)式中x的系數(shù)為

27

22

15.雙曲線C:""=13>0力>0）的左、右焦點(diǎn)分別為6,巴，P為右支上一點(diǎn)，且|P用=3附|,

___9一

的內(nèi)切圓圓心為/,與百鳥(niǎo)切于點(diǎn)A,直線P/交X軸于點(diǎn)。，若￡Q=wA6,則雙曲線的離心

率為?

16.柏拉圖多面體并不是由柏拉圖所發(fā)明，但卻是由柏拉圖及其追隨者對(duì)它們所作的研究而得名，由于它

們具有高度的對(duì)稱性及次序感，因而通常被稱為正多面體.柏拉圖視“四古典元素”中的火元素為正四面

體，空氣為正八面體，水為正二十面體，土為正六面體.如圖，在一個(gè)棱長(zhǎng)為4dm的正八面體（正八面體

是每個(gè)面都是正三角形的八面體）內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切圓柱（圓柱的底面與構(gòu)成正八面體的兩個(gè)正四棱錐的底面

平行），則這個(gè)圓柱的體積的最大值為dm3.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知函數(shù)〃x）=J^asinor+acos（ax+；）+/?（a>0）的值域?yàn)閇-1,3].

（1）求“X）的單調(diào)遞增區(qū)間：

（2）若/?x）?>0）在0,1上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求”的取值范圍.

18.如圖，圓臺(tái)。。2上底面半徑為1,下底面半徑為J5，為圓臺(tái)下底面的一條直徑，圓。2上點(diǎn)C滿

足AC=8C,PQ是圓臺(tái)上底面的一條半徑，點(diǎn)P,C在平面ABO1的同側(cè)，且PQ//8C.

（1）證明：QQ〃平面PAC；

（2）從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線與平面PBC所成的正弦值.

4L

條件①：三棱錐?！狝BC的體積為§；條件②：A01與圓臺(tái)底面的夾角的正切值為0.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

19.圖中的數(shù)陣滿足：每一行從左到右成等差數(shù)列，每一列從上到下成等比數(shù)列，且公比均為實(shí)數(shù)

q,&[>0,63=5，。2.2=a7.5-

01,2。1,3???

°2,102,202.3021n

。3,103,2。3,3…03浦…

??????????????????

。4,1。4,2。4,3???04,“???

⑴設(shè)a=,求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)S“=4J+%J++4,j,是否存在實(shí)數(shù)/I,使“恒成立，若存在，求出X的所有值，若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.社會(huì)人口學(xué)是研究人口因素對(duì)社會(huì)結(jié)構(gòu)和社會(huì)發(fā)展的影響和制約的一門社會(huì)學(xué)分支學(xué)科.其基本內(nèi)容包

括：人口作為社會(huì)變動(dòng)的原始依據(jù)的探討；將人口行為作為引起社會(huì)體系特征變動(dòng)的若干因素中的一個(gè)因

素來(lái)研究.根據(jù)社會(huì)人口學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，一個(gè)家庭有J個(gè)孩子（僅考慮不超過(guò)3個(gè)孩子家庭）的概率分布列

為：

1230

m

概率mm(l-p)〃2(1-P)2

P

其中m>0,0<，<1,每個(gè)孩子的性別是男孩還是女孩的概率均為3且相互獨(dú)立，記A表示事件“一個(gè)家

庭有i個(gè)孩子0=0,1,2,3）”，B表示事件“一個(gè)家庭的男孩比女孩多（若一個(gè)家庭只有一個(gè)孩子且恰為男

孩，則該家庭男孩多）”

（1）若，=；，求P（B）；

（2）參數(shù)P受到各種因素的影響（如生育保險(xiǎn)的增加，教育、醫(yī)療福利的增加等），通過(guò)改變參數(shù)P的值

來(lái)調(diào)控未來(lái)人口結(jié)構(gòu).若希望PC=2）增大，如何調(diào)控P的值？

參考公式：P（MN）=g*,P（M）=fP（MM）P（NJ

P（N）A-l

21.已知橢圓C:7+F=l(6z>Z?>0)左、右焦點(diǎn)分別為"，尸2，點(diǎn)A在。上，當(dāng)軸時(shí),

127r

|A用=/；當(dāng)|A￡|=2時(shí)，ZF,AF2=—.

(1)求C的方程；

(2)已知斜率為-1的直線/與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),與直線x=l交于點(diǎn)Q,且點(diǎn)M,N在直線％=1的

兩側(cè)，點(diǎn)P(L/)(t>0).若|MP|“NQRMQ|?|NP|,是否存在到直線/的距離〃=血的P點(diǎn)？若存

在，求f的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.函數(shù)/(x)=e'+sinx-a的圖像與直線2x-y=0相切.

(1)求實(shí)數(shù)”的值；

(2)當(dāng)xe[0,+oo)時(shí)，f(x)>msin2x,求正實(shí)數(shù)型的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.集合人={刈。「<3},叼小=7^},則“吟)

A.{R0<X<3}B.1x|0<x<2|

C.{x[0<x〈4}D.{x[0<x<2}

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合A、B,利用交集的定義可求得集合AcB.

【詳解】因?yàn)锳={x|log2X<3}={x[0<x<8},

8=卜y=Jx(4-x)}=卜y=(x_2j+4)={),|0<yK2},

因此，AnB=1x|0<x<21.

故選：D.

2.命題“任意xc[l,2],f一々wo”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是()

A.a>4B.a<4C.a>5D.a<5

【答案】C

【解析】

【分析】求出命題“任意xw[l,2],丁一。wo”為真命題的充要條件，然后可選出答案.

【詳解】由V一〃<()可得

當(dāng)xe[l,2]時(shí)，(V)、=4,所以a24,

2

所以命題“任意xe[l,2],x-a<0”為真命題的充要條件是a>4,

所以命題“任意/一〃go”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是C,

故選：C

3.江南的周莊、同里、用直、西塘、號(hào)鎮(zhèn)、南潺古鎮(zhèn)，并稱為江南六大古鎮(zhèn)”，是中國(guó)江南水鄉(xiāng)風(fēng)貌最具

代表的城鎮(zhèn)，它們以其深邃的歷史文化底蘊(yùn)，清麗婉約的水鄉(xiāng)古鎮(zhèn)風(fēng)貌、古樸的吳依軟語(yǔ)民俗風(fēng)情，在世

界上獨(dú)樹(shù)一幟，馳名中外.這六大古鎮(zhèn)中，其中在蘇州境內(nèi)的有3處，某家庭計(jì)劃今年暑假?gòu)倪@6個(gè)古鎮(zhèn)

中挑選2個(gè)去旅游，則至少選一個(gè)蘇州古鎮(zhèn)的概率為()

2134

A.-B.T"C.-D.一

5245

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合組合數(shù)公式求得基本事件的總數(shù)為15種，再求得至少選一個(gè)蘇州古鎮(zhèn)的不同的選

擇種數(shù)，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解.

【詳解】由題意，暑假?gòu)倪@6個(gè)古鎮(zhèn)中挑選2個(gè)去旅游，共有C；=15種不同的選擇方式，

則至少選一個(gè)蘇州古鎮(zhèn)，有C；C；+C；=12種不同的選擇方式，

124

所以至少選一個(gè)蘇州古鎮(zhèn)的概率為P=—=~.

故選：D.

4.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服唇影算法''在《大衍歷》中建立了唇影長(zhǎng)/與太陽(yáng)天頂距6(0°<6<90°)

的對(duì)應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上最早的一整正切函數(shù)表.根據(jù)三角學(xué)知識(shí)可知，號(hào)影長(zhǎng)度/等于表高人與太

陽(yáng)天頂距。正切值的乘積，即/=/?tan。，對(duì)同一“表高”兩次測(cè)量，第一次和第二次太陽(yáng)天頂距分別為。、

B，若第一次的“辱影長(zhǎng)”是“表高”的3倍，且tan(a-〃)=；,則第二次“辱影長(zhǎng)”是“表高”的()倍.

A.1B.—C.—D.一

322

【答案】A

【解析】

【分析】由題意可得1211。=3,121!(?！?=3,再根據(jù)1細(xì)4=1011]。-3一￡)]結(jié)合兩角差的正切公

式即可得解.

【詳解】由題意可得tana=3,tan(a-/?)=-,

tana-tan(a-/3}__2

所以tan,=tan[a_(a—夕)]

I+tanatan(a-/)?+2xJ_

'2

即第二次的“辱影長(zhǎng)''是“表高'’的1倍.

故選：A.

5.在中，角ARC所對(duì)的邊分別為久友c,角A的角平分線交5c于點(diǎn)。，若

?sinA=/?sinB+(c-/?)sinC,且4。=石，0=3c,則4的值為()

A.-B.C.3D.2百

23

【答案】B

【解析】

【分析】利用正弦定理把題設(shè)等式化簡(jiǎn)為。2+。2_/=。。，利用余弦定理，求得COSA=L,得到

2

TT7T

4=彳，由角的平分線得到NBAD=ZDAC=—,結(jié)合C￡>=33O,列出方程，求得仇c的值，進(jìn)而利

36

用余弦定理，即可求解.

【詳解】因?yàn)閍sinA%sinB+(c功)sinC,由正弦定理可得/=〃+/—慶，

b2+c2-a2_be_1

即)2+/一儲(chǔ)=)c,所以cosA二

2bc2bc2

JT

又因?yàn)锳e(O,〃)，所以A=g,

jr

由角A的角平分線交3c于點(diǎn)。，可得NB4O=ND4C=一,

6

所以由余弦定理可得比)=JB+C?—2xGxcx*,CO=，3+〃—2XGX/?X*，

因?yàn)椤?3c，所以CD=33。，即卜+/-2xy/5xbx^~=3卜+。2-2x6xcx^~，

4

整理可得c=—力=4,

3

由余弦定理可得a=J(1)2+42-2x|x4xi=平.

故選：B.

B

D

7c

6.將正整數(shù)〃分解為兩個(gè)正整數(shù)人、網(wǎng)的積，即〃=人/2,當(dāng)仁、&2兩數(shù)差的絕對(duì)值最小時(shí)，我們稱其

為最優(yōu)分解.如20=1x20=2x10=4x5,其中4x5即為20的最優(yōu)分解，當(dāng)仁、&2是〃的最優(yōu)分解

時(shí)，定義/（〃）=%—&|,則數(shù)列｛/（5"）｝的前2023項(xiàng)的和為（）

A.51012B.5KH2—1C.52°23D,52023-1

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)最優(yōu)分解定義得到“為奇數(shù)和〃為偶數(shù)時(shí)，｛/（5"）｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出數(shù)列｛/（5"）｝前

2023項(xiàng)和.

【詳解】當(dāng)〃=2電eN*）時(shí)，由于52J5'X5*，此時(shí)/，尸,與卜。，

當(dāng)”=2%-1k€底）時(shí)，由于521=51x5k，此時(shí)f（521）=4—5&T|=5*—5&T,

所以數(shù)列｛/⑺｝的前2023項(xiàng)的和為

（5-1）+0+（52-5）+0+（53-52）+0++（5IOII-5,O,O）+O+（5,O,2-5'O1I）=51O12-1.

故選：B

7.已知直線4：%+,政一3m一1=0與4：〃a一y-3m+1=0相交于點(diǎn)M,線段AB是圓

C：（x+iy+（y+l）2=4的一條動(dòng)弦，且|4卻=26,則的最小值為（）

A.6-40B.3-忘C.5+6D.V5-1

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)直線所過(guò)定點(diǎn)和4可知用足"尸=0，由此可得點(diǎn)M軌跡是以G（2,2）為圓心，血為半

徑的圓（不含點(diǎn)（3,3））,由垂徑定理和圓上點(diǎn)到定點(diǎn)距離最小值的求法可求得|。。,|同0|向,，結(jié)合向量數(shù)

量積的運(yùn)算律可求得MA-MB的最小值.

【詳解】由圓的方程知：圓心。（一1,一1）,半徑r=2；

由4:x+my-31=0得：-3）=0,.M恒過(guò)定點(diǎn)E（l,3）；

由清：如一。-3m+1=0得:/n（x-3）+（l-y）=0,,恒過(guò)定點(diǎn)尸（3,1）；

由直線4,乙方程可知：m：.ME工MF，即尸=0，

設(shè)例（x,y）,則M￡=（l-x,3-y）,MF=（3-x,l-y）,

—x）（3—x）+（3—y）（l-y）=0,整理可得：（x—Zj+（y—=2,

即點(diǎn)M的軌跡是以G（2,2）為圓心，V2為半徑的圓，

又直線4斜率存在，點(diǎn)軌跡不包含（3,3）,（1,3）,（3,1）；

若點(diǎn)。為弦A6的中點(diǎn)，則MA+MB=2MQ，位置關(guān)系如圖：

連接CD,

由|知：\CD\=,22-(可=1,

叫皿.=|MC|min-|CD|=|CG|-0-1=J(2+iy+(2+l)2-忘-1=20-1,

:.MAMB=^MD+DA)-^MD+DB^=MD2+^DA+DByMD+DADB

=M￡>2-3>(2>/2-1)2-3=6-472(當(dāng)M在(1,1)處取等號(hào))，

即M4.M5的最小值為6-40.

故選：A.

8.設(shè)實(shí)數(shù)1>(),若不等式e2a」n2+Inx20對(duì)X>0恒成立,則.的取值范圍為(

t

1

B.一，+8

e

1-

D.0,

2e

【答案】B

【解析】

【分析】對(duì)x>0恒成立,即以比?"22xln2x=瓜2達(dá)鎮(zhèn)2、，令F(x)=xe"

t

(x>0),對(duì)/(力求導(dǎo)得出尸。)在(0,+oo)單調(diào)遞增，故2/X./“2x,故此玲，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

V4人/max

【詳解】e2'“一見(jiàn)空吧NO對(duì)》>0恒成立，即21n2x,即2及e2"N2xln2x=ln2x-em2x,令

t

F(x)=xex,(x>0),則尸'(1)=(*+l)e">0,故心(%)在(。,+°。)單調(diào)遞增,故2觀,.歷2%,故

―,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為—，令H(m)=----,則H(〃z)=---弓—,令"(加)>0,解得:

2xI2x)maxmm-

0<m<e,令H'(m)<0,解得:m>e,故”(加)在(0,e)遞增，在(e,+8)遞減，故〃(加)皿=令

(e)=—,故，2，.

ee

故選：B.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.關(guān)于復(fù)數(shù)4、z2,下列說(shuō)法正確的是()

A.|馬司=匕|憶|B.若㈤=%|,z：=z；

C.若|Z|+Z2|=|ZI一Z2|,則馬/2=0D.zi+z2=z]+z2

【答案】AD

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可判斷A選項(xiàng)；利用特殊值法可判斷BC選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則結(jié)合共物

復(fù)數(shù)的定義可判斷D選項(xiàng).

【詳解】設(shè)Z[=%+垢，z2=4+為(4,4,偽也wR).

對(duì)于A選項(xiàng)，z1-z2=(4+Z?li)-(a2+4i)=(q%-a劣)+(4偽+/偽)1，

所以，[Z1?z2|=—4劣)一+(qZx,+J=1a；a；+b;b；+a[優(yōu)'+a；b「

=4。；+陽(yáng)(。；+眩)=R|也2|，A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，取Z]=l+i,z2=l-i,則㈤=區(qū)|=夜，

但z；=(l+i『=2i,z；=(l—i)2=—2i,則z"z；,B錯(cuò):

對(duì)于選項(xiàng)，取則

Cz=l+i,z,=l-i,Z]+Z2=2,Z]-z2=2i,

此時(shí)，2]+Z2|=|Z]-Z2|=2,但Z/Z2=270,C錯(cuò)；

對(duì)于選項(xiàng)，

DZ[+z2=(q+e)+(4+4)i=(4+4)-(4+%)i=(q-4i)+(4-E)

對(duì).

=zt+z2,D

故選：AD.

10.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將“底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱”稱為“塹堵現(xiàn)有

一如圖所示的“暫堵”ABC-44G，其中若BB[=AB=2,BC=1,則()

A.該“塹堵”的體積為2

B.該“塹堵”外接球的表面積為9兀

C.若點(diǎn)P在該“塹堵”上運(yùn)動(dòng)，貝『PAI的最大值為2c

D.該“塹堵”上，AG與平面BBC。所成角的正切值為當(dāng)

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)棱柱的體積公式計(jì)算即可判斷A；先求出外接球的半徑，再根據(jù)球的表面積公示即可判斷B；

當(dāng)點(diǎn)P與G重合時(shí)，|PA|最大，求出|ACj即可判斷C；證明平面BBCC，可得乙4GB即為AG

與平面BBC。所成角的平面角，解RtA8G即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,由題意匕BC-ABC=S.品-84=gxlx2x2=2,故A正確；

對(duì)于B,設(shè)該“塹堵”外接球的半徑為R,

因?yàn)?用兩兩垂直，

,3

所以(2R)-=22+22+『=9,所以R=],

所以該“塹堵”外接球的表面積為4兀/?2=9n，故B正確；

對(duì)于C,當(dāng)點(diǎn)P與C1重合時(shí)，|41皿=[4?||=3,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,連接BG，AG，

因?yàn)锳B1BC,AB1BB[,BCcBBt=B,u平面BB?C,

所以平面

所以ZACtB即為AC,與平面BB￡C所成角的平面角,

RtABG中，AB=2,BCi=>/5,

所以tanNAG3=義=述

垂>5

即AG與平面B用GC所成角的正切值為卓，故D正確.

故選：ABD.

H.讓?巴普蒂斯?約瑟夫?傅里葉，法國(guó)歐塞爾人，著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家.他發(fā)現(xiàn)任何周期函數(shù)都可以用

正弦函數(shù)或余弦函數(shù)構(gòu)成的無(wú)窮級(jí)數(shù)來(lái)表示，如定義在R上的函數(shù)

cos3xTcos(2n-l)x

COSXH-----z—FLH-----------------/——FL,當(dāng)xe[0,7i]時(shí)，有/(x)=x,則().

32(2?-1)2

A.函數(shù)/（X）的最小正周期為兀

（JT兀）

B.點(diǎn)匕,萬(wàn)是函數(shù)“X）圖象的對(duì)稱中心

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)/（X）的表達(dá)式結(jié)合余弦函數(shù)的最小正周期可判斷A；由已知推出了（兀-x）+/（x）=7l

可判B；根據(jù)函數(shù)的周期性以及xe[0,對(duì)時(shí)，有=x可判斷C；令x=0代入函數(shù)表達(dá)式求值，判斷

D.

.、乂\兀4cos3xTCOS(2H-1)X

【詳解】由于/(X)=7--COSXH-----3---l-LH-------------hL,

2兀［3-(2〃—1)-

且y=cosx的最小正周期為2兀，則2兀也是cos3x,cos5x,,cos(2〃-l)x的周期,

故/(%)的最小正周期為2兀，A錯(cuò)誤：

cx714/、cos3(TI-X)COS(2/I-1)(K-X)

f(71-X)=-----COS(7T—x)d------------bFL+----------------HL

27c3(2〃-11

兀4cos3xcos(2n-l)x

=—I—COSX+——z—l-￥LH---------/——l-TL

27132(2〃-1)

故/(兀一x)+/(x)=兀，即點(diǎn)是函數(shù)/(x)圖象的對(duì)稱中心，B正確;

由題意知f(x)是偶函數(shù)，且當(dāng)xe［0,可時(shí)，有/(x)=x,

cos3xTCOS(2H-1)XT

由于〃x)=gCOSXH----—l-LH---------/——l-L

27132(2〃—Ip

“.”小兀4八cosOcosO八

令x=0,則/(0)=彳一一cosO+-^-+LT+------^-+TL=0,

2兀3(2〃—1)

兀411r1_

即-----1+r+L+--------+LT=0,

2兀［32(2〃—I)：7

,11,1I兀2

所以1+千'+m+L+—~岸+L,D正確，

故選：BCD

12.畫(huà)法幾何的創(chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以

2

橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.已知橢圓C:5+V=1.耳，鳥(niǎo)分別為橢圓的

左、右焦點(diǎn)，直線/的方程為x+/y-3=0,“為橢圓C的蒙日?qǐng)A上一動(dòng)點(diǎn)，M4,MB分別與橢圓相切

于A,B兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是()

A.橢圓。的蒙日?qǐng)A方程為V+y2=3

B.記點(diǎn)A到直線/的距離為d，則1一|46|的最小值為半

C.一矩形四條邊與橢圓C相切，則此矩形面積最大值為6

D.4QB的面積的最小值為3,最大值為正

32

【答案】ACD

【解析】

【分析】當(dāng)斜率不存在時(shí)可得M點(diǎn)坐標(biāo)，斜率存在時(shí)，將切線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用△=（）

和垂直關(guān)系可構(gòu)造等式求得M點(diǎn)軌跡；結(jié)合兩種情況可知A正確;利用橢圓定義將4-|明|轉(zhuǎn)化為

d+\AF]-242,由平面幾何知識(shí)可知d+|A用最小值為點(diǎn)寫到直線/的距離，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可

求得B錯(cuò)誤；根據(jù)矩形為蒙日?qǐng)A的內(nèi)接矩形，結(jié)合基本不等式可求得C正確；推導(dǎo)可得過(guò)橢圓外一點(diǎn)的橢

圓的切點(diǎn)弦直線方程為芳+為y=l,當(dāng)，。=0時(shí)，可求得SAM的值；當(dāng)為彳0時(shí)，將直線與橢圓方程

聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論,結(jié)合弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式可化簡(jiǎn)得到SAOB

結(jié)合二次函數(shù)最值的求法可求得結(jié)果，知D正確.

【詳解】

對(duì)于A,當(dāng)直線M4,即3—條斜率為0,另一條斜率不存在時(shí)?，則“卜0,士1卜

當(dāng)直線M4,M8斜率均存在時(shí)，設(shè)"（公，兒），切線方程為：y=A（x—%）+為，

曠=心―%）+%

22

由*X9得:（1+2k2_4左（5-y0）x+2（Ax0—y0）-2-0,

—+V=1

I2

由A=0整理可得：（年—2快一-2工0為左+y；-1=0,《“左”J,=皆~~

%—2

丫2一1

又MA工MB,：.kMA-kMB=-l,即日~；=一1,.?.片+y：=3,

/一2

M點(diǎn)軌跡為/+y2=3；

將檢驗(yàn)，M（士近，土。滿足V+y2=3,

???蒙日?qǐng)A的方程為V+y2=3,A正確；

對(duì)于B,A為橢圓。上的點(diǎn)，.?[A6|+|A6|=2a=2&,

:.d-\AF^=d-（2y[2-\AF^=d+\AF\-2yf2.

d+\AF]的最小值為點(diǎn)月到直線/的距離，又耳（一1,0）,

,?,（"+A耳鼠=；/^=華，：?（"-“2fL=竽-2夜，B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,.矩形四條邊均與。相切，，該矩形為蒙日?qǐng)A的內(nèi)接矩形，

設(shè)矩形的長(zhǎng)為“，寬為〃，蒙日?qǐng)A的半徑r=JJ,.?.m2+〃2=（2百『，

22

m

...mn<=6（當(dāng)且僅當(dāng)加=〃=卡時(shí)取等號(hào)），

,此矩形面積最大值為6,C正確；

X

對(duì)于D,設(shè)A（%，X）位于橢圓上半部分，即y=Jl一'，一，一一;

k='=一工

???在A處的切線斜率J片2乂，.??切線方程為：丁一%=一x-xj,

2.1—

V2

即西方+2以曠=6+2）：=2,，在八處切線方程為芳+yy=l；

同理可得：當(dāng)A（%,%）位于橢圓下半部分，即y=「1—上時(shí)?，切線方程為：W+yy=l；

22

，在點(diǎn)A處的切線方程為當(dāng)+yy=l,同理可知：在點(diǎn)8處的切線方程為芳+y2y=1；

設(shè)"（4,九）,則<,可知AB坐標(biāo)滿足方程」」+%y=l,

彳2尤0L,12

-y+y2yo=

即切點(diǎn)弦AB所在直線方程為：竽+為y=l；

當(dāng)為=0時(shí)，M（±V3,0）,此時(shí)A3所在直線方程為:x=上空,

3

1262百2

—x----x----

3

>0y=i

2

當(dāng)先N0時(shí)，由;得:（2y；+Xg）x—4x0x+4—4芥=0,

X21

—+V=1

2"

由A知：x；+y；=3,（6—片）犬之—4XQX+4片—8=0,

4無(wú)；一8

設(shè)4（%,%）,3（孫％），則％+*2M二K

K|16（玉”3）（片一4）

.-.|AB|=

.2（6-尺）2

又原點(diǎn)O到直線AB的距離

河7氣￥學(xué)牌=2高

1

令6-片=t,片e[0,3）,；.6—%2?3,6],貝ijfe

,1

?」y=-2/+f為開(kāi)口方向向下，對(duì)稱軸為t=w的拋物線，

⑷48⑻69

綜上所述：qAOB的面積的最小值為］,最大值為也，D正確.

32

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解直線與橢圓綜合應(yīng)用中的三角形面積最值（取值范圍）問(wèn)題的基本思路如下:

①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于x或y的一元二次方程的形式；

②利用△>0求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；

③利用韋達(dá)定理和點(diǎn)到直線距離表示出所求三角形的面積；

④將所求三角形面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于某一變量的函數(shù)的形式，利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解出最值（范

圍）.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N（3Q2）,且尸《<5）=6。（4<1）,則尸（1<g<3）=.

【答案】三

14

【解析】

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求解.

【詳解】。N⑶S）,則P（4<1）=PC>5）,

所以由P（J<5）=6尸《<1）得1一P（J>5）=6PC>5）,PC>5）=L

尸（1<。<5）=1—2尸?〉5）=：,尸（1<。<3）=；「（1<。<5）=福.

故答案為：—.

14

14.的展開(kāi)式中x的系數(shù)為.

【答案】g

2

【解析】

【分析】寫出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，令x的指數(shù)為1，求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)即可得解.

（丫、5-女/1、5必

5A

［詳解］的展開(kāi)式通項(xiàng)為2.（-1/=C*-x----（-1/（）1=0,1,2,,5）,

令5—%=1,可得％=4,所以，展開(kāi)式中*的系數(shù)為l）4=g.

故答案為：—■.

2

15.雙曲線CJ—力>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，心，尸為右支上一點(diǎn)，且歸耳|=3］刊訃

9

△尸耳鳥(niǎo)的內(nèi)切圓圓心為/,與片瑞切于點(diǎn)人直線出交x軸于點(diǎn)Q,若=則雙曲線的離心

率為.

【答案】3

【解析】

I9?

【分析】記C為雙曲線半焦距，先求出XQ=,C,再利用雙曲線的性質(zhì)求出A的坐標(biāo)，再結(jié)合6。=%4工

求解.

\F.Q\IPFI

【詳解】記C為雙曲線半焦距，由角平分線定理，得崗=肘=3,

設(shè)。&，%)，則|「片|一IPgl=2a,.」PC|+|C6|—|PB|—|BEI=2a,.1C6|—|BB|=2a，

IM|-1AF21=2a,AFi\-(2c-\AFl|)=2a,:]AFt\=a+c,:]FxO\+\OA\=a+c,

：.IOA\=a,:.A(a,O).

-9?c9

*.*F]Q=—AF2,.??5+c=1(c—a),

解得e=￡=3.

a

故答案：3.

16.柏拉圖多面體并不是由柏拉圖所發(fā)明，但卻是由柏拉圖及其追隨者對(duì)它們所作的研究而得名，由于它

們具有高度的對(duì)稱性及次序感，因而通常被稱為正多面體.柏拉圖視“四古典元素”中的火元素為正四面

體，空氣為正八面體，水為正二十面體，土為正六面體.如圖，在一個(gè)棱長(zhǎng)為4dm的正八面體(正八面體

是每個(gè)面都是正三角形的八面體)內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切圓柱(圓柱的底面與構(gòu)成正八面體的兩個(gè)正四棱錐的底面

平行)，則這個(gè)圓柱的體積的最大值為dm3.

【答案］日叵

27

【解析】

［分析］根據(jù)題意得到8=2,A￡>=2百，然后利用勾股定理得到AC=20，在.ABC中根據(jù)相似列

2^2--

方程2=r，整理得/?=20（2-r）,然后根據(jù)圓柱的體積公式求體積，最后求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性

解：如圖，設(shè)該圓柱的底面半徑為r=BE，高/i=2BC,

由題可知，CD=2,AD=2』，則AC=2j，.

?ABBE9

又---=---:.2J，/z=2V2（2-r）,

ACCD2V2-2

圓柱的體積V=〃/九=2亞?（2/一/）,口=20萬(wàn)（4八一3/）=2血萬(wàn)尸（4-3尸），

可知，當(dāng)廠的制時(shí)，八0；當(dāng)re（g,2,，9<0,所以當(dāng)re（（）q）時(shí)，V=2岳（2/一一）

單調(diào)遞增,當(dāng)rw（*2）時(shí),注=2岳（2產(chǎn)一產(chǎn)）單調(diào)遞減,

464&乃

.?.當(dāng)r=一時(shí),

3max27

64/萬(wàn)

故答案為:

27

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知函數(shù)/（無(wú)）=J5asinox+acos|"+；）+0（a>0）的值域?yàn)椋?1,3］.

（1）求“X）的單調(diào)遞增區(qū)間;

（2）若/（5）（0>0）在0,￡上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

3兀兀

【答案】（1）E—^~，"兀+三（ZwZ）

88

1119

(2)

【解析】

【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)/（力的解析式，利用函數(shù)/（X）的值域可得出關(guān)于a、6的方程

組，解出這兩個(gè)量的值，可得出函數(shù)“X）的解析式，，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)/（X）的遞增區(qū)

間;

（2）由⑴可得出的表達(dá)式，由0.哈則528+%詈+%根據(jù)已知條件

可得出關(guān)于。的不等式，解之即可.

【小問(wèn)1詳解】