六年級奧數(shù)《比和比例及比的應(yīng)用》（含答案解析）

小學(xué)大年鰻奧敷,超含智?

比的應(yīng)用(一)

一、知識要點(diǎn)

我們已經(jīng)學(xué)過比的知識，都知道比和分?jǐn)?shù)、除法其實(shí)是一回事，所有比與分

數(shù)能互相轉(zhuǎn)化。運(yùn)用這種方法解決一些實(shí)際問題可以化難為易，化繁為簡。

二、精講精練

【例題1】甲數(shù)是乙數(shù)的2/3,乙數(shù)是丙數(shù)的4/5,甲、乙、丙三數(shù)的比是

()：()：()o

【思路導(dǎo)航】

甲、乙兩數(shù)的比2：3

乙、丙兩數(shù)的比4：5

甲、乙、丙三數(shù)的比8：12：15

答：甲、乙、丙三數(shù)的比是8：12：15o

練習(xí)1:

1.甲數(shù)是乙數(shù)的4/5,乙數(shù)是丙數(shù)的5/8,甲、乙、丙三數(shù)的比是()：()：

()o

2.甲數(shù)是乙數(shù)的4/5,甲數(shù)是丙數(shù)的4/9,甲、乙、丙三數(shù)的比是()：()：

()。

3.甲數(shù)是丙數(shù)的3/7,乙數(shù)是丙數(shù)的2又1/2,甲、乙、丙三數(shù)的比是()：

()：()o

【例題2】光明小學(xué)將五年級的140名學(xué)生，分成三個小組進(jìn)行植樹活動，

已知第一小組和第二小組人數(shù)的比是2：3,第二小組和第三小組人數(shù)的比是4：

5。這三個小組各有多少人？

【思路導(dǎo)航】先求出三個小組人數(shù)的連比，再按求出的連比進(jìn)行分配。

①一、二兩組人數(shù)的比2：3二、三兩組人數(shù)的比4：5

一、二、三組人數(shù)的比8：12：15

②總份數(shù)：8+12+15=35

③第一組：140X8/35=32(人)

④第二組：140X12/35=48(人)

⑤第三組：140X15/35=60(人)

答：第一小組有32人，第二小組有48人，第三小組有60人。

練習(xí)2：

1.某農(nóng)場把61600公畝耕地劃歸為糧田與棉田，它們之間的比是7：2,棉

田與其他作物面積的比6：lo每種作物各是多少公畝？

2.黃山小學(xué)六年級的同學(xué)分三組參加植樹。第一組與第二組的人數(shù)的比是

5：4,第二組與第三組人數(shù)的比是3：2O已知第一組的人數(shù)比二、三組人數(shù)的

總和少15人。六年級參加植樹的共有多少人？

3.科技組與作文組人數(shù)的比是9：10,作文組與數(shù)學(xué)組人數(shù)的比是5：70

已知數(shù)學(xué)組與科技組共有69人。數(shù)學(xué)組比作文組多多少人？

【例題3】甲、乙兩校原有圖書本數(shù)的比是7：5,如果甲校給乙校650本，

甲、乙兩校圖書本數(shù)的比就是3：4。原來甲校有圖書多少本？

【思路導(dǎo)航】由甲、乙兩校原有圖書本數(shù)的比是7：5可知，原來甲校圖書

的本數(shù)是兩校圖書總數(shù)的7/(7+5),由于甲校給了乙校650本，這時甲校的圖

書占兩校圖書總數(shù)的3/(3+4),甲校給乙校的650本圖書，相當(dāng)于兩校圖書總

數(shù)的7/(7+5)-3/(3+4)=13/84o

6504-(7/(7+5)-3/(3+4))X7/(7+5)=2450(本)

答：原來甲校有圖書2450本。

練習(xí)3：

1.小明讀一本書，已讀的和未讀的頁數(shù)比是1：50如果再讀30頁，則已

讀和未讀的頁數(shù)之比為3：5。這本書共有多少頁？

2.甲、乙兩包糖的重量比是4：1。從甲包取出130克放入乙包后，甲、乙

兩包糖的重量比為7：50原來甲包有多少克糖？

3.五年級三個班舉行數(shù)學(xué)競賽。一班參加比賽的占全年級參賽總?cè)藬?shù)的

1/3,二班與三班參加比賽人數(shù)的比是11：13,二班比三班少8人。一班有多少

人參加了數(shù)學(xué)競賽？

【例題4】從前有個農(nóng)民，臨死前留下遺言，要把17頭牛分給三個兒子，

其中大兒子分得1/2,二兒子分得1/3,小兒子分得1/9,但不能把牛賣掉或殺

掉。三個兒子按照老人的要求怎么也不好分。后來一位鄰居順利地把17頭牛分

完了，你知道這到底是怎么回事嗎？

【思路導(dǎo)航】因?yàn)?/2+1/3+1/9=17/18,17/18<1,就是說三兄弟并未將

全部牛分完，所以我們求出三個兒子分牛頭數(shù)的連比，最后再按比例分配。

①三個兒子分牛頭數(shù)的連比：1/2：1/3：1/9=9：6：2

②總份數(shù)：9+6+2=17

③三個兒子各分得牛的頭數(shù)：17X9/17=9(頭)17X6/17=6(頭)17X

2/17=2(頭)

答：大兒子分得9頭，二兒子分得6頭，小兒子分得2頭。

練習(xí)4：

1.圖書室取出一批書，按照一年級得1/2,二年級得1/3,三年級得1/7,

正好是41本，各年級各得多少本？

2.古羅馬富豪約翰遜再臨終前，對懷孕的妻子寫下這樣一份遺囑：如果生

下來是個男孩，就把遺產(chǎn)的三分之二給兒子，母親拿三分之一；如果生下來的是

女孩就把遺產(chǎn)的三分之一給女兒，三分之二給母親。結(jié)果他的妻子生了雙胞胎，

一男一女，這是他沒有預(yù)料到的。求出接近于遺囑條件，把遺產(chǎn)分給三個繼承人

的比。

(1)從兒子、母親、女兒所得的比例來看，他們?nèi)怂玫倪z產(chǎn)的比是()：

()：()。

(2)從母親至少得遺產(chǎn)的1/3來看，兒子、母親、女兒所得遺產(chǎn)的比是()：

()：()?

3.甲、乙、丙三人共做零件900個。甲做總數(shù)的30%,乙比丙多做1/3。

三人各做多少個？

【例題5】兩個相同的瓶子裝滿酒精溶液。一個瓶中酒精與水的體積之比是

3：1,另一個瓶中酒精與水的體積之比是4：1。若把兩瓶酒精溶液混合，混合

液中酒精與水的體積之比是多少？

【思路導(dǎo)航】抓住兩個瓶子相同的關(guān)系，分別求出每個瓶中的酒精占瓶子容

積的幾分之幾再解答。

①一個瓶中酒精占瓶子容積的比3/(1+3)=3/4

②另一個瓶中酒精占瓶子容積的比4/(1+4)=4/5

③兩瓶子里的酒精占一個瓶子容積的比3/4+4/5=31/20

④水占一個瓶子容積的比2—31/20=9/20

⑤混合液中酒精與水的比31/20：9/20=31：9

答：混合液中酒精與水的比是31：90

練習(xí)5：

1.兩塊一樣重的合金，一塊合金中銅與鋅的比是2：5,另一塊合金中銅與

鋅的比是1：30現(xiàn)將兩塊合金合成一塊，求出鋅合金中銅與鋅的比。

2.將一條公路平均分給甲、乙兩個工程隊(duì)修筑。甲隊(duì)已修的與剩下的比是

2：1,乙隊(duì)已修的與剩下的比是5：2o這條公路已修了全長的幾分之幾？

3.光華電視機(jī)廠上半年生產(chǎn)的電視機(jī)產(chǎn)量占全年的5/8,照這樣的速度計(jì)

算，全年可超產(chǎn)1000臺。這個工廠上半年生產(chǎn)電視機(jī)多少臺？

比的應(yīng)用(二)

一、知識要點(diǎn)

比是反映數(shù)量關(guān)系的一種常見形式，也是解數(shù)學(xué)題的一種重要工具，有了它，

我們處理倍數(shù)關(guān)系、解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題就方便靈活得多。在這一講，我們講探討稍

復(fù)雜的比是應(yīng)用題。

二、精講精練

【例題1】甲、乙兩個學(xué)生放學(xué)回家，甲要比乙多走1/5的路，而乙走的時

間比甲少1/11,求甲、乙兩人速度的比。

【思路導(dǎo)航】因?yàn)樗俣?路程?時間，所以，甲、乙速度的比=甲路程/

甲時間：乙路程/乙時間

(1)甲、乙路程的比:(1+1/5)：1=6：5

(2)甲、乙時間的比：1：(1-1/11)=11：10

(3)甲、乙速度的比：6/11：5/10=12：11

答：甲、乙速度的比是12：IE

練習(xí)1:

1.小明和小芳各走一段路。小明走的路程比小芳多1/5,小芳用的時間比

小明多1/8。求小明和小芳速度的比。

2.甲走的路程比乙多1/3,乙用的時間比甲多1/4。求甲、乙的速度比。

3.一個人步行每小時走5千米，如果騎自行車每1千米比步行少用8分鐘。

這個人騎自行車的速度和步行速度的比是多少？

【例題2】制造一個零件，甲需6分鐘，乙需5分鐘，丙需4.5分鐘。現(xiàn)在

有1590個零件的制造任務(wù)分配給他們?nèi)齻€人，要求在相同的時間內(nèi)完成，每人

應(yīng)該分配到多少個零件？

【思路導(dǎo)航】先求出工作效率的比，然后根據(jù)同一時間內(nèi)，工作總量的比等

于工作效率的比進(jìn)行解答。

甲、乙、丙工作效率的比：1/6：1/5：1/1.5=15：18：20

總份數(shù)：15+18+20=53

甲：1590X15/53=450(個)

乙：1590X18/53=540(個)

丙：1590X20/53=600(個)

答：甲、乙、丙分配到的零件分別是450個、540個、600個。

練習(xí)2：

1.加工一個零件，甲需3分鐘，乙需3.5分鐘，丙需4分鐘?，F(xiàn)在有1825

個零件需要甲、乙、丙三人加工。如果規(guī)定用同樣的時間完成任務(wù)，那么各應(yīng)加

工多少個？

2.甲、乙、丙三人在同一時間里共制造940個零件。甲制造一個零件需5

分鐘，比乙制造一個零件所用的時間多25%,丙制造一個零件所用的時間比甲

少2/5。甲、乙、丙各制造了多少個零件？

3.加工某種零件要三道工序，專做第一、二、三道工序的工人每小時分別

能完成零件48個，32個，28個，現(xiàn)有118名工人，要使每天三道工序完成的零

件個數(shù)相同，每道工序應(yīng)安排多少工人？

【例題3】兩個服裝廠一個月內(nèi)生產(chǎn)服裝的數(shù)量是6：5,兩廠西服價(jià)格的比

是11：10。已知兩廠這個月內(nèi)總產(chǎn)值為6960萬元。兩廠的產(chǎn)值各是多少萬元？

【思路導(dǎo)航】因?yàn)楫a(chǎn)值=價(jià)格X產(chǎn)量，所以

甲產(chǎn)值：乙產(chǎn)值=（甲價(jià)格X甲產(chǎn)量）：（乙價(jià)格X乙產(chǎn)量）

兩廠的產(chǎn)值比為：（11X6）：（10X5）=66：50

甲廠產(chǎn)值為：6960X66/（66+50）=3960（元）

乙廠產(chǎn)值為：6960X50（66+50）=3000（元）

答：兩廠的產(chǎn)值分別是3960萬元和3000萬元。

練習(xí)3：

1.甲、乙兩個長方形長的比是4：5,寬的比是3：2,面積的和是242平方

厘米。求甲、乙兩個長方形的面積分別是多少平方厘米？

2.蘋果和梨的單價(jià)的比是6：5,王大媽買的蘋果和梨的重量的比是2：3,

共花去18元。王大媽買蘋果和梨各花了多少元？

3.大、小兩種蘋果，其單價(jià)比是5：4,重量比是2：3。把兩種蘋果混合，

成為100千克的混合蘋果，單價(jià)為每千克4.40元。大、小兩種蘋果原來每千克

各是多少元？

【例題4】A、B兩種商品的價(jià)格比是7：3O如果它們的價(jià)格分別上漲70元，

它們的價(jià)格比就是7：4,這兩種商品原來的價(jià)格各是多少元？

【思路導(dǎo)航】

解法一：因?yàn)锳、B兩種商品漲價(jià)的數(shù)值相同，所以漲價(jià)后兩種商品價(jià)格差

不變。由于價(jià)格差不變，所以價(jià)格差對應(yīng)的份數(shù)也應(yīng)該相同。

原價(jià)格比=7：3=21：9現(xiàn)價(jià)格比=7：4=28：16

【這樣前后項(xiàng)的差都是12,價(jià)格漲了（28—21）=7份，是70元】

704-（28-21）=10元A：10X21=210（元）B：10X9=90（元）

解法二：由于兩種商品的價(jià)格不變，選兩種商品的價(jià)格差做單位“1”進(jìn)行

解答。

(1)原來A商品的幾個是價(jià)格差的幾倍7+(7-3)=7/4

(2)后來A商品的價(jià)格是價(jià)格差的幾倍7+(7—4)=7/3

(3)A、B兩種商品的價(jià)格差是704-(7/3-7/4)=120(元)

(4)原來A商品的價(jià)格是120+(7-3)X7=210(元)

(5)原來B商品的價(jià)格是120+(7—3)X3=90(元)

答：A、B兩種商品原來的價(jià)格分別是210元和90元。

練習(xí)4：

用兩種思路解答下列應(yīng)用題：

1.甲、乙兩個建筑隊(duì)原有水泥重量的比是4：30甲隊(duì)給乙隊(duì)54噸水泥后,

甲、乙兩隊(duì)水泥重量的比是3：4o原來甲隊(duì)有水泥多少噸？

2.甲書架上的書是乙書架上的4/7,兩書架上各增加154本后，甲書架上

的書是乙書架上的，甲、乙兩書架上原來各有多少本書？

3.兄弟兩人，每年收入的比是4：3,每年支出的比是18：13。從年初到年

底，他們都結(jié)余720元。他們每年的收入各是多少元？

【例題5】如圖是甲、乙、丙三地的線路圖，已知甲地到丙地的路程與乙地

到丙地的路程比是1：2。王剛以每小時4千米的速度從甲地步行到丙地，李華

同時以每小時10千米的速度從乙地騎自行車去丙地，他比王剛早1小時到達(dá)丙

地。甲、乙兩地相距多少千米？g志{

【思路導(dǎo)航】

解法一：根據(jù)路程的比和速度的比求出時間的比，從而求出王剛和李華所用

的時間，再求出各自所走的路程。

王剛和李華所用時間的比1/4：2/10=5：4

王剛所用的時間1+(5-4)X5=5(小時)

甲地到丙地的路程4X5=20(千米)

甲、乙兩地的路程20X(1+2)=60(千米)

解法二：如果李華每小時行4X2=8千米，他將與王剛同時到達(dá)丙地?，F(xiàn)在

他每小時多行10—8=2千米。在王剛從甲地到丙地的這段時間內(nèi)，李華比應(yīng)行

的路程多行了10X1=10千米。據(jù)此，可求出王剛從甲地到丙地的時間。

王剛從甲地到丙地的時間10X14-(10-4X2)=5(小時)

甲、乙兩地的路程4X5X(1+2)=60(千米)

解法三：如果王剛每小時行10?3=5千米，就能和李華同時到達(dá)。由此可

見，王剛走完甲地到丙地的路程，用每小時4千米的速度和每小時5千米的速度

相比，所用的時間相差1小時。再根據(jù)1千米的路程，兩種速度所用的時間相差

1/4-1/5=1/20小時。最后求出甲地到丙地的路程。

甲地到丙地的路程（1/4-1/（104-4-2）=20（千米）

甲、乙兩地的路程20X（1+2）=60（千米）

答：甲、乙兩地相距60千米。

練習(xí)5：

1.一輛汽車在甲、乙兩站間行駛，往返一次共用去4小時（停車時間不算

在內(nèi)）。汽車去時每小時行45千米，返回時每小時行30千米。甲、乙兩地相距

多少千米？

2.甲做3000個零件比乙做2400個零件多用1小時，甲、乙工作效率的比

是6：50甲、乙每小時各做多少個？

3.下圖是甲、乙、丙三地的路線圖。已知甲地到丙地的路程與乙地到丙地

的路程的比是2：3o一輛貨車以每小時40千米的速度從甲地開往丙地，一輛客

車同時以每小時50千米的速度從乙地開往丙地，客車比火車遲1小時到達(dá)丙地。

求甲、乙兩地的路程？

III

甲丙乙

比和比例

【內(nèi)容概述】

兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比.

一、比和比例的性質(zhì)

性質(zhì)1：若a:b=c：d,則（a+c）：（b+d）=a：b=c：d；

性質(zhì)2：若a:b=c：d,則（a-c）：（b-d）=a：b=c：d；

性質(zhì)3：若a:b=c：d,則（a+xc）：（b+xd）=a：b=c：d；（x為常

數(shù)）

性質(zhì)4：若a:b=c：d,則aXd=bXc；（即外項(xiàng)積等于內(nèi)項(xiàng)積）

正比例：如果a+b=k（k為常數(shù)），則稱a、b成正比；

反比例：如果aXb=k（k為常數(shù)），則稱a、b成反比.

二、比和比例在行程問題中的體現(xiàn)

在行程問題中，因?yàn)橛兴俣?器，所以：

當(dāng)一組物體行走速度相等，那么行走的路程比等于對應(yīng)時間的反比；

當(dāng)一組物體行走路程相等，那么行走的速度比等于對應(yīng)時間的反比；

當(dāng)一組物體行走時間相等，那么行走的速度比等于對應(yīng)路程的正比.

1.A和B兩個數(shù)的比是8：5,每一數(shù)都減少34后，A是B的2倍，

試求這兩個數(shù).

【分析與解】

方法一：設(shè)A為8x,則B為5x,于是有（8x-34）:（5x-34）=2：1,

x=17,所以A為136,B為85.

方法二：因?yàn)闇p少的數(shù)相同，所以前后A、B的差不變，開始時

差占3份，后來差占1份且與B一樣多，也就是說減少的34,占開

始的3-1=2份，所以開始的1份為34+2=17,所以A為17X8=136,

B為17X5=85.

2.近年來火車大提速，1427次火車自北京西站開往安慶西站，行駛

至全程的工再向前56千米處所用時間比提速前減少了60分鐘，而到

11

達(dá)安慶西站比提速前早了2小時.問北京西站、安慶西站兩地相距多

少千米？

【分析與解】設(shè)北京西站、安慶西站相距多少千米？

（-x+56）：x=60：120,即（』x+56）：x=l：2,即x=&+112,

111111

解得x=1232.

即北京西站、安慶西站兩地相距1232千米，

3.兩座房屋A和B各被分成兩個單元.若干只貓和狗住在其中.已

知：A房第一單元內(nèi)貓的比率（即住在該單元內(nèi)貓的數(shù)目與住在該單

元內(nèi)貓狗總數(shù)之比）大于B房第一單元內(nèi)貓的比率；并且A房第二單

元內(nèi)貓的比率也大于B房第二單元內(nèi)貓的比率.試問是否整座房屋A

內(nèi)貓的比率必定大于整座房屋B內(nèi)貓的比率？

［分析與解】如下表給出的反例指出：對所提出問題的回答應(yīng)

該是否定的.表中具體寫出了各個單元及整座房屋中的寵物情況和貓

占寵物總數(shù)的比率.

第一單元第二單元整座房屋

A貓1,狗0,貓率=1/1貓1,狗3,貓率=1/4貓2,狗3,貓率=2/5

B貓3,狗1,貓率=3/4貓0,狗1,貓率=0貓3,狗2,貓率=3/5

4.家禽場里雞、鴨、鵝三種家禽中公籬與母籬數(shù)量之比是2：3,已

知雞、鴨、鵝數(shù)量之比是8：7：5,公雞、母雞數(shù)量之比是1：3,公

鴨、母鴨數(shù)量之比是3：4.試求公鵝、母鵝的數(shù)量比.

［分析與解】公雞占家禽場家禽總數(shù)的

15:(3x2x5+4x,x4)=45:46:(3x!x5+4x2x4)=46:47.竺

333345

x-L=1,母雞占總數(shù)的j

公鴨占總數(shù)的d—x/-=3,母鴨占總數(shù)的

8+7+53+42020

公鵝占總數(shù)的工-,母鵝占總數(shù)的二-一（2+?1）=_1,

3+21020203+2102020

公鵝、母鵝數(shù)量之比為：2.

20203

5.在古巴比倫的金字塔旁，其朝西下降的階梯旁6m的地方樹立有1

根走子，其影子的前端正好到達(dá)階梯的第3階（箭頭）.另外，此時樹

立1根長70cm自桿子，其影子的長度為175cm,設(shè)階梯各階的高度

與深度都是50cm,求柱子的高度為多少？

【分析與解】70cm的桿子產(chǎn)生影子的長度為175cm;

所以影子的長度與桿子的長度比為：175：70=2.5倍.

于是，影子的長度為6+1.5+1.5X2.5=11.25,所以桿子的長度為

11.25:2.5=4.5m.

6.已知三種混合物由三種成分A、B、C組成，第一種僅含成分A和

B,重量比為3：5；第二種只含成分B和C,重量比為I：2；第三種

只含成分A和C,重量之比為2：3.以什么比例取這些混合物，才能

使所得的混合物中A,B和C,這三種成分的重量比為3：5：2?

【分析與解】注意到第一種混合物種A、B重量比與最終混合物的A、

B重量比相同，均為3：5.所以，先將第二種、第三種混合物的A、B

重量比調(diào)整到3：5,再將第二種、第三種混合物中A、B與第一種混

合物中A、B視為單一物質(zhì).

第二種混合物不含A,第三種混合物不含B,所以1.5倍第三種

混合物含A為3,5倍第二種混合物含B為5,即第二種、第三種混

合物的重量比為5：1.5.

于是此時含有C為5X2+1.5X3=14.5,在最終混合物中C的含

量為3A/5B含量的2倍.有14.5?2-1=6.25,所以含有第一種混合

物6.25.

即第一、二、三這三種混合物的比例為6.25：5：1.5=25：20：6.

7.現(xiàn)有男、女職工共1100人，其中全體男工和全體女工可用同樣天

數(shù)完成同樣的工作；若將男工人數(shù)和女工人數(shù)對調(diào)一下，則全體男

25天完成的工作，全體女工需36天才能完成，問：男、女工各多少

人？

【分析與解】直接設(shè)出男、女工人數(shù)，然后在通過方程求解，過程

會比較繁瑣.

設(shè)開始男工為“1”，此時女工為“k”，有1名男工相當(dāng)k名女

工.男工、女工人數(shù)對調(diào)以后，則男工為“k”，相當(dāng)于女工"k",

女工為“I”.

有k2：1=36：25,所以k=：.

于是，開始有男工數(shù)為」-X1100=500人，女工600人.

1+&

8.有甲乙兩個鐘，甲每天比標(biāo)準(zhǔn)時間慢5分鐘，而乙每天比標(biāo)準(zhǔn)時

間快5分鐘，在3月15日的零點(diǎn)零分的時候兩鐘正好對準(zhǔn).若已知

在某一時刻，乙鐘和甲鐘時針與分針都分別重合，且在從3月15日

開始到這個時候，乙鐘時針與分針重合的次數(shù)比甲鐘多1