2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科新課標(biāo)一卷)真題及解析

2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國Ⅰ卷）理科數(shù)學(xué)一、選擇題1．已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，則M∩N等于()A．{x|－4<x<3} B．{x|－4<x<－2}C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3}答案C解析∵N＝{x|－2<x<3}，M＝{x|－4<x<2}，∴M∩N＝{x|－2<x<2}，故選C.2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z－i|＝1，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x，y)，則()A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1答案C解析∵z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故選C.3．已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，則()A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<bC．c<a<b D．b<c<a答案B解析∵a＝log20.2<0，b＝20.2>1，c＝0.20.3∈(0,1)，∴a<c<b.故選B.4.古希臘時期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是QUOTE，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是QUOTE5-125-12.若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，則其身高可能是()A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm答案B解析若頭頂至咽喉的長度為26cm，則身高為26＋26÷0.618＋(26＋26÷0.618)÷0.618≈178(cm)，此人頭頂至脖子下端的長度為26cm，即頭頂至咽喉的長度小于26cm，所以其身高小于178cm，同理其身高也大于105÷0.618≈170(cm)，故其身高可能是175cm，故選B.5．函數(shù)f(x)＝QUOTEsinx+xcosx+x2sinx+xA. B.C. D.答案D解析∵f(－x)＝＝－QUOTE＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)，排除A；∵f(π)＝QUOTE＝QUOTE>0，∴排除C；∵f(1)＝QUOTE，且sin1>cos1，∴f(1)>1，∴排除B，故選D.6.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化，每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“——”，如圖就是一重卦，在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是()A.QUOTE516516B.QUOTE11321132C.QUOTE21322132D.QUOTE11161116答案A解析由6個爻組成的重卦種數(shù)為26＝64，在所有重卦中隨機取一重卦，該重卦恰有3個陽爻的種數(shù)為QUOTE＝QUOTE6脳5脳466脳5脳46＝20.根據(jù)古典概型的概率計算公式得，所求概率P＝QUOTE20642064＝QUOTE516516.故選A.7．已知非零向量a，b滿足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，則a與b的夾角為()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE答案B解析設(shè)a與b的夾角為α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cosα＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cosα＝QUOTE1212，∵α∈[0，π]，∴α＝QUOTE，故選B.8．如圖是求QUOTE12+12+12A．A＝QUOTE12+A12+A B．A＝2＋QUOTE1A1AC．A＝QUOTE11+2A11+2A D．A＝1＋QUOTE12A12A答案A解析A＝QUOTE1212，k＝1,1≤2成立，執(zhí)行循環(huán)體；A＝QUOTE，k＝2,2≤2成立，執(zhí)行循環(huán)體；A＝QUOTE，k＝3,3≤2不成立，結(jié)束循環(huán)，輸出A.故空白框中應(yīng)填入A＝QUOTE12+A12+A.故選A.9．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．已知S4＝0，a5＝5，則()A．a(chǎn)n＝2n－5 B．a(chǎn)n＝3n－10C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝QUOTE1212n2－2n答案A解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵QUOTE∴QUOTE解得QUOTE∴an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋QUOTEnn-12nn-12d＝n2－4n10．已知橢圓C的焦點為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過F2的直線與C交于A，B兩點．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為()A.QUOTEx22x22＋y2＝1 B.QUOTEx23x23＋QUOTEy22yC.QUOTEx24x24＋QUOTEy23y23＝1 D.QUOTEx25x25＋QUOTEy24答案B解析由題意設(shè)橢圓的方程為QUOTE＋QUOTE＝1(a>b>0)，連接F1A，令|F2B|＝m，則|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由橢圓的定義知，4m＝2a，得m＝QUOTEa2a2，故|F2A|＝a＝|F1A|，則點A為橢圓C的上頂點或下頂點．令∠OAF2＝θ(O為坐標(biāo)原點)，則sinθ＝QUOTEcaca＝QUOTE1a1a.在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝QUOTE＝QUOTE1313，因為cos2θ＝1－2sin2θ，所以QUOTE1313＝1－2QUOTE2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，橢圓C的方程為QUOTE＋QUOTE＝1，故選B.11．關(guān)于函數(shù)f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四個結(jié)論：①f(x)是偶函數(shù)；②f(x)在區(qū)間QUOTE上單調(diào)遞增；③f(x)在[－π，π]上有4個零點；④f(x)的最大值為2.其中所有正確結(jié)論的編號是()A．①②④B．②④C．①④D．①③答案C解析f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)，故①正確；當(dāng)QUOTE<x<π時，f(x)＝sinx＋sinx＝2sinx，∴f(x)在QUOTE上單調(diào)遞減，故②不正確；f(x)在[－π，π]上的圖象如圖所示，由圖可知函數(shù)f(x)在[－π，π]上只有3個零點，故③不正確；∵y＝sin|x|與y＝|sinx|的最大值都為1且可以同時取到，∴f(x)可以取到最大值2，故④正確．綜上，正確結(jié)論的編號是①④.故選C.12．已知三棱錐P－ABC的四個頂點在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF＝90°，則球O的體積為()A．8QUOTE66πB．4QUOTE66πC．2QUOTE66πD.QUOTE66π答案D解析因為點E，F(xiàn)分別為PA，AB的中點，所以EF∥PB，因為∠CEF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.取AC的中點D，連接BD，PD，易證AC⊥平面BDP，所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE?平面PAC，所以PB⊥平面PAC，所以PB⊥PA，PB⊥PC，因為PA＝PB＝PC，△ABC為正三角形，所以PA⊥PC，即PA，PB，PC兩兩垂直，將三棱錐P－ABC放在正方體中如圖所示．因為AB＝2，所以該正方體的棱長為QUOTE，所以該正方體的體對角線長為QUOTE，所以三棱錐P－ABC的外接球的半徑R＝QUOTE，所以球O的體積V＝QUOTE4343πR3＝QUOTE4343πQUOTE3＝QUOTEπ，故選D.二、填空題13．曲線y＝3(x2＋x)ex在點(0,0)處的切線方程為________．答案y＝3x解析因為y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex，所以曲線在點(0,0)處的切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝0＝3，所以所求的切線方程為y＝3x.14．記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a1＝QUOTE1313，QUOTEa42a42＝a6，則S5＝________.答案QUOTE12131213解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為QUOTE＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q＝1，又a1＝QUOTE1313，所以q＝3，所以S5＝QUOTE＝QUOTE＝QUOTE12131213.15．甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制(當(dāng)一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結(jié)束)．根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨立，則甲隊以4∶1獲勝的概率是________．答案0.18解析記事件M為甲隊以4∶1獲勝，則甲隊共比賽五場，且第五場甲隊獲勝，前四場甲隊勝三場負一場，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.16．已知雙曲線C：QUOTEx2a2x2a2－QUOTEy2b2y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若QUOTE＝QUOTE，QUOTE·QUOTE＝0，則C的離心率為________．答案2解析因為eq\o(F1B,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))＝0，所以F1B⊥F2B，如圖．因為QUOTE＝QUOTE，所以點A為F1B的中點，又點O為F1F2的中點，所以O(shè)A∥BF2，所以F1B⊥OA，所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因為直線OA，OB為雙曲線C的兩條漸近線，所以tan∠BOF2＝QUOTEbaba，tan∠BF1O＝QUOTEabab.因為tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以QUOTEbaba＝QUOTE，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以雙曲線的離心率e＝QUOTEcaca＝2.三、解答題17．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.(1)求A；(2)若QUOTE22a＋b＝2c，求sinC.解(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理得cosA＝QUOTE＝QUOTE1212，因為0°<A<180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由題設(shè)及正弦定理得QUOTEsinA＋sin(120°－C)＝2sinC，即QUOTE＋QUOTEcosC＋QUOTE1212sinC＝2sinC，可得cos(C＋60°)＝－QUOTE.由于0°<C<120°，所以sin(C＋60°)＝QUOTE，故sinC＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋60°)sin60°＝QUOTE.18．如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．(1)證明：MN∥平面C1DE；(2)求二面角A－MA1－N的正弦值．(1)證明連接B1C，ME.因為M，E分別為BB1，BC的中點，所以ME∥B1C，且ME＝QUOTE1212B1C.又因為N為A1D的中點，所以ND＝QUOTE1212A1D.由題設(shè)知A1B1∥DC且A1B1＝DC，可得B1C∥A1D且B1C＝A1D，故ME∥ND且ME＝ND，因此四邊形MNDE為平行四邊形，MN∥ED.又MN?平面C1DE，ED?平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.(2)解由已知可得DE⊥DA，以D為坐標(biāo)原點，QUOTE的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－xyz，則A(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1，QUOTE，2)，N(1,0,2)，QUOTE＝(0,0，－4)，QUOTE＝(－1，QUOTE，－2)，QUOTE＝(－1,0，－2)，QUOTE＝(0，－QUOTE，0)．設(shè)m＝(x，y，z)為平面A1MA的一個法向量，則所以QUOTE可得m＝(QUOTE，1,0)．設(shè)n＝(p，q，r)為平面A1MN的一個法向量，則所以QUOTE可取n＝(2,0，－1)．于是cos〈m，n〉＝QUOTE＝QUOTE＝QUOTE，所以二面角A－MA1－N的正弦值為QUOTE.19．已知拋物線C：y2＝3x的焦點為F，斜率為QUOTE3232的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若QUOTE＝3QUOTE，求|AB|.解設(shè)直線l：y＝QUOTE3232x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由題設(shè)得FQUOTE，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋QUOTE3232，由題設(shè)可得x1＋x2＝QUOTE5252.由QUOTE可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，令Δ>0，得t<QUOTE1212，則x1＋x2＝－QUOTE12t-1912t-19從而－QUOTE12t-1912t-19＝QUOTE5252，得t＝－QUOTE7878.所以l的方程為y＝QUOTE3232x－QUOTE7878.(2)由QUOTE＝3QUOTE可得y1＝－3y2，由QUOTE可得y2－2y＋2t＝0，所以y1＋y2＝2，從而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3，代入C的方程得x1＝3，x2＝QUOTE1313，即A(3,3)，BQUOTE，故|AB|＝QUOTE.20．已知函數(shù)f(x)＝sinx－ln(1＋x)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù)，證明：(1)f′(x)的區(qū)間QUOTE-1,蟺2-1,蟺2(2)f(x)有且僅有2個零點．證明(1)設(shè)g(x)＝f′(x)，則g(x)＝cosx－QUOTE11+x11+x，g′(x)＝－sinx＋QUOTE.當(dāng)x∈QUOTE時，g′(x)單調(diào)遞減，而g′(0)>0，g′QUOTE<0，可得g′(x)在QUOTE有唯一零點，設(shè)為α.則當(dāng)x∈(－1，α)時，g′(x)>0；當(dāng)x∈QUOTE時，g′(x)<0.所以g(x)在(－1，α)上單調(diào)遞增，在QUOTE上單調(diào)遞減，故g(x)在QUOTE上存在唯一極大值點，即f′(x)在QUOTE上存在唯一極大值點．(2)f(x)的定義域為(－1，＋∞)．①當(dāng)x∈(－1,0]時，由(1)知，f′(x)在(－1,0)上單調(diào)遞增．而f′(0)＝0，所以當(dāng)x∈(－1,0)時，f′(x)<0，故f(x)在(－1,0)上單調(diào)遞減．又f(0)＝0，從而x＝0是f(x)在(－1,0]上的唯一零點；②當(dāng)x∈QUOTE時，由(1)知，f′(x)在(0，α)上單調(diào)遞增，在QUOTE上單調(diào)遞減，而f′(0)＝0，f′QUOTE<0，所以存在β∈QUOTE，使得f′(β)＝0，且當(dāng)x∈(0，β)時，f′(x)>0；當(dāng)x∈QUOTE時，f′(x)<0.故f(x)在(0，β)上單調(diào)遞增，在QUOTE上單調(diào)遞減．又f(0)＝0，f

QUOTE＝1－lnQUOTE>0，所以當(dāng)x∈QUOTE時，f(x)>0.從而，f(x)在QUOTE上沒有零點；③當(dāng)x∈QUOTE時，f′(x)<0，所以f(x)在QUOTE上單調(diào)遞減．而f

QUOTE>0，f(π)<0，所以f(x)在QUOTE上有唯一零點；④當(dāng)x∈(π，＋∞)時，ln(x＋1)>1，所以f(x)<0，從而f(x)在(π，＋∞)上沒有零點．綜上，f(x)有且僅有2個零點．21．為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得－1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得－1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X.(1)求X的分布列；(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pi(i＝0,1，…，8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假設(shè)α＝0.5，β＝0.8.(ⅰ)證明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)為等比數(shù)列；(ⅱ)求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性．(1)解X的所有可能取值為－1,0,1.P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)．所以X的分布列為(2)(ⅰ)證明由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．又因為p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)為公比為4，首項為p1的等比數(shù)列．(ⅱ)解由(ⅰ)可得p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝QUOTEp1.由于p8＝1，故p1＝QUOTE，所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)＝QUOTEp1＝QUOTE12571257.p4表示題干中的實驗方案最終認(rèn)為甲藥更有效的概率．由計算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，