六年級圖形問題綜合(奧數(shù))含答案

平面圖形計算（一）

經(jīng)典圖形:

13131

1.任意三角形ABC中，CD=-AC,EC=二BC,則三角形CDE的面積占總面積的-x2=一（為什么？）

34344

2.任意平行四邊形中任意一點，分別連接四個頂點，構(gòu)成的四個三角形中，上下兩個三角形面積之和

等于左右兩個三角形面積之和。（為什么？）

3.任意梯形，連接對角線，構(gòu)成四個三角形。（1）腰上的兩個三角形面積相等；（2）上下兩個三角形

面積之積等于左右兩個三角形面積之積。（為什么？）

4.正方形的面積等于邊長的平方，或者等于對角線的平方+2.等腰直角三角形面積等于直角邊的平方

+2,或者等于斜邊的平方+4.（為什么？）

例題:

例1.如右圖，三角形ABC的面積是10,BE=2AB,CD=3BC,求三角形BDE的面積。

例2.如圖，已知三角形ABC的面積是1,延長AB至D,使BD=AB,延長BC至E,使CE=2BC,延

長CA至F,使AF=3AC,求三角形DEF的面積。

F

A

B。

DE

例3.如圖，三角形ABC的面積是180平方厘米，D是BC的中點，AE=ED,EF=2BF,求AEF的面積。

例4.如圖，ABCD是個長方形，DEFG是個平行四邊形，E點在BC邊上，F(xiàn)G過A點，已知，三角形

AKF與三角形ADG面積之和等于5平方厘米，DC=CE=3厘米。求三角形BEK的面積。

例5.如圖，三角形ABC的AB和AC兩條邊分別被分成5等分。三角形ABC面積是500,求圖中陰影部分

的面積？

例6.如圖，設(shè)正方形ABCD的面積為120,E、F分別為邊AB、AD的中點，F(xiàn)C=3GC,則陰影部分的

面積是多少？

例7.在如圖所示的三角形AGH中，三角形ABC,BCD,CDE,DEF,EFG,FGH的面積分別是1,2,3,4,5,

6平方厘米，那么三角形EFH的面積是多少平方厘米？

例8.如圖，在平行四邊形ABCD中，AC為對角線，EF平行于AC,如果三角形AED的面積為12平方厘米，,

求三角形DCF的面積。

練習(xí)：

1.已知正方形ABCD的邊長是5cm,又EF=FG,FD=DG,求三角形ECG的面積。

2.正三角形ABC的邊長為12厘米，BD,DE,EF,FG四條線段把它的面積5等分，求AF,FD,

DC,AG,GE,EB的長。

3.如圖所示是某個六邊形公園ABCDEF,M為AB中點，N為CD中點，，P為DE中點，Q為FA中

點，其中游覽區(qū)APEQ與BNDM的面積之和為900平方米。中間的湖泊面積為361平方米，其余

的部分是草地，問草地面積共有多少平方米？

F

4.如圖，AE=EC,BD=2DC,AF=3BF,若三角形ABC的面積為270平方厘米，求圖中陰影部分的面

積。

5.如下圖，正方形ABC。的邊長為12,P是邊AB上的任意一點，M、N、/、”分別是邊

上的三等分點，E、F、G是邊上的四等分點，圖中陰影部分的面積是—一一.

6.如圖正方形ABCD的邊長是4厘米，CG是3厘米,長方形OEPG的長。G是5厘米，那么它的寬

DE是厘米.

F

BGC

7.如圖，CE=4EA,BD=3CD,AF=5BF。若三角形ABC的面積為120平方厘米，求圖中四個小三角

形的面積。

A

8.DF與平行四邊形ABCD的BC交于E點，與AB交于F點。若三角形ABE的面積是97平方厘米,

求三角形CEF的面積。

9.梯形ABCD,AB,CD分別是梯形的上，下底。已知陰影部分的總面積為8平方厘米，三角形COD

的面積是16平方厘米，則梯形ABCD的面積為多少平方厘米？

CD

圖形與面積（一）

一、填空題

1.如下圖,把三角形ABC的一條邊AB延長1倍到D,把它的另一邊AC延長2倍到E,得到一個較大

的三角形ADE,三角形AOE的面積是三角形ABC面積的入上后

2.如下圖，在三角形A3C中，BC=8厘米，AO=6厘米，E、F分別為4B和AC的中點.那么三角

形EB廠的面積是_平方厘米.

3.如下圖=那么,三角形AEO的面積是三角形ABC面積的—

4.下圖中，三角形A8C的面積是30平方厘米，。是BC的中點，AE的長是ED的長的2倍，那么三角形

COE的面積是一—平方厘米.

------------b--0de“--BC

5.5.現(xiàn)有一個5X5的方格表（如下圖）每個小方格的邊長都是1,那么圖中陰影部分的面積總和等于

6.下圖正方形ABCD邊長是10厘米,長方形EEG”的長為8厘米,寬為5厘米.陰影部分甲與陰影部分乙

的面積差是平方厘米.

7.如圖所示,一個矩形被分成A、3、C、。四個矩形.現(xiàn)知A的面積是2cm；B的面積是4cm：C的面積

是6cm2.那么原矩形的面積是平方厘米.1------------

CD

8.有一個等腰梯形,底角為45°,上底為8厘米,下底為12厘米,這個梯形的面積應(yīng)是平方厘米.

9.已知三角形ABC的面積為56平方厘米、是平行四邊形。EEC的2倍,那么陰影部分的面積是—

平方厘米.

10.下圖中，在長方形內(nèi)畫了一些直線，已知邊上有三塊面積分別是13,35,49.那么圖中陰影部分的面積是

二、解答題

11.已知正方形的面積是50平方厘米,三角形ABC兩條直角邊中,長邊是短邊的2.5倍,求三角形A8C的

面積.

c

SC

12.如圖,長方形ABC。中，AB=24cm,BC=26cm,E是8C的中點，F(xiàn)、G分別是AB、8的四等分點,

H為AD上任意一點,求陰影部分面積.

13.有兩張正方形紙，它們的邊長都是整厘米數(shù)，大的一張的面積比小的一張多44平方厘米.大、小正方形

紙的邊長分別是多少？

14.用面積為1,2,3,4的四張長方形紙片拼成如圖所示的一個長方形.問：圖中陰影部分面積是多少?

圖形與面積（二）

一、填空題

1.下圖是由16個同樣大小的正方形組成的，如果這個圖形的面積是400平方厘米，那么它的周長是

______厘米

2.第一屆保良局亞洲區(qū)城市小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽在7月21日開幕,下面的圖形中,每一小方格的面積是1.

那么7,2,1三個數(shù)字所占的面積之和是一_—.

3.下圖中每一小方格的面積都是1平方厘米,那么用粗線圍成的圖形面積是平方厘米.

4.下圖的兩個正方形,邊長分別為8厘米和4厘米,那么陰影部分的面積是平方厘米.

5.在AABC中，BD=2DC,AE=BE,已知A4BC的面積是18平方厘米，則四邊形AEOC的面積等

6.下圖是邊長為4厘米的正方形，A￡=5厘米、OB是____厘米.

7.如圖正方形A8CO的邊長是4厘米，CG是3厘米，長方形。EEG的長OG是5厘米，那么它的寬

DE是同來

4252030

361612

B

8.如圖，一個矩形被分成10個小矩形,其中有6個小矩形的面積如圖所示，那么這個大矩形的面積是

9.

10.如下圖，正方形A8C。的邊長為12,尸是邊A5上的任意一點，M、N、I、”分別是邊BC、AD

上的三等分點，E、F、G是邊。上的四等分點，圖中陰影部分的面積是.

11.下圖中的長方形的長和寬分別是6厘米和4厘米，陰影部分的總面積是10平方厘米，四邊形A8CO的

面積是_一平方厘米.

二、解答題

12.圖中正六邊形ABCDER的面積是54.AP=2PF,CQ=28Q,求陰影四邊形CEPQ的面積.

13.如圖，涂陰影部分的4、回積是16平方厘米.問：大正六角星形面積是多少平方厘米.

14.一個周長是56厘米的大長方形，按圖35中（1）與（2）所示意那樣,劃分為四個小長方形.在（1）中小長

方形面積的比是：A:B=\:2,B:C=1:2.而在⑵中相應(yīng)的比例是A':B'=1:3,B':C'=1:3.又

知,長方形D'的寬減去D的寬所得到的差,與D'的長減去在D的長所得到的差之比為1:3.求大長

方形的面積.

AC4C

BDB'D'

15.如圖，已知CD=5,DE=1,EF=15,尸G=6.直線A8將圖形分成兩部分，左邊部分面積是38,

右邊部分面積是65.那么三角形ADG面積是.

（-）答案：

S

1.6.如下圖，連接BE,因為CE=2AC,所以，SMCE=2sMBC，即/^ABE=3sAy48c.又因為

AB=BO,所以，S.BE=SABDE，這樣以來，SMDE=6SMBC.產(chǎn),

2.6.已知E、F分別是A6和AC的中點，因此△ABP的面積是A46c的面積d/~——二4

的g,AEBE的面積又是AABE的面積的;.又因為SMBC=；BCXAO=；X8X6=24

（平方厘米），所以S.BF=gx；x24=6（平方厘米）.

3.工.由8E=：8C,CD=14C,可知￡C=18C,AO=,AC.因為AABC與A4EC是同一個頂點，

底邊在同一條線段，所以這兩個三角形等高，則三角形面積與底邊成正比例關(guān)系，因此

S^FC=-S..Rr.同理可知S^ED=2SA4k.這樣以來，A4ED的面積是A48C的2的3,即是

3ZXAZJCL^XEJLJ4ZViiiC34

A/LBC的面積的1.

所以，AAEO的面積是AA3c的工.

2

4.5.因為。是BC的中點,所以三角形AOC和三角形ABO面積相等（等底、等高的三角形等積），從而三

角形AOC的面積等于三角形ABC面積的一半，即30+2=15（平方厘米）.在八。?！昱c小4。。

中，。E=■!■D4,高相等,所以NCDE的面積是MDC面積的L即\CDE的面積是1x15=5（平方

333

厘米）

5.10三個陰影三角形的高分別為3,2,2,底依次為2,4,3,所以陰影部分面積總和等于

-1X3X2+-1X2X4+-^X2X3=I0-

222

6.60設(shè)正方形438的面積為a,長方形EFGH的面積為b,重疊部分EFNM的面

積為c,則陰影部分的面積差是：（a-c）-（b-c）=a-b.即陰影部分的面積差與重疊部分的面積大小無關(guān)，

應(yīng)等于正方形A8CD的面積與長方形EFGH的面積之差.所求答案:10X10-8X5=60（平方厘米）.

7.24圖中的四個矩形是大矩形被兩條直線分割后得到的，矩形的面積等于一組鄰邊的乘積.從橫的方向看，

兩個相鄰矩形的倍比關(guān)系是一致的，6是A的2倍，那么。也應(yīng)是。的2倍，所以。的面積是2X

6=12cm2,從而原矩形的面積是2+4+6+12=24cm2.

8.20如下圖，從上底的兩個端點分別作底邊的垂線,則BCFE是矩形，AB=CD=（12-8）+2=2（厘

米）.外----------

因為24=45°,所以A43七是等腰直角三角形,則5七=48=2（厘米）.根據(jù)梯形的/：；

求積公式得：S梯形=」+；）x2=20（平方厘米）.?12-------------->|

A

9.14由已知條件,平行四邊形。石尸。的面積是:56?2二28（平方厘米）如下圖,連接氏

EC,EC為平行明行形OEFC的對角線，由平行四邊形的性質(zhì)如，S^DEC=《Sdefc

=1x28=14（平方厘米）.在AAEO與ACED中，為公共底邊，OE平行于AC,從而七上的局

相等，所以，SME°=SACED=14（平方厘米）.

10.97因為長方形的面積等于AABC與AECO的面積和,所以AABC與AEC。

重疊部分的面積等于長方形未被這兩個三角形蓋住部分的面積和，即51ra=49+35+13=97.4D

陰影Ir'"；

11.畫兩條輔助線如下圖，根據(jù)條件可知,正方形面積是長方形ABC。面積的2.5倍.從而\;

A88的面積是504-2.5=20（平方厘米）.所以A48C的面積是20+2=10（平方厘米）.II7

BQ

12.連結(jié)3“，ABE”的面積為:x（36+2）x24=216（cm2）.把MH/和"WG結(jié)合起來考慮，這兩

個三角形的底BF、DG相等,且都等于長方形寬的!,它們的高AH與DH之和正好是長方形的長，

4

所以這兩個三角形的面積之和是：ixBFxAH+^xDGxDH=^xBFx（AH+DH）

2

=JXBFXA/）=Jx；x24x36=108（c”/）.于是,圖中陰影部分的面積為216+108=324（CW）.

13.把兩張正方形紙重疊在一起，且把右邊多出的一塊拼到上面,成為一個長方形,如圖：

這個長方形的面積是44平方厘米,它的長正好是兩個正方形的邊長的和,它的寬正好是

兩個正方形的邊長的差.因為兩個整數(shù)的和與它們的差是同奇或同偶，而44又只能分解成下面的三種形式:

44=1X44=2X22=4X11.所以，兩個正方形的邊長的厘米數(shù)的和與差只能是22與2.于是，兩個正方形的邊長

是（22+2）+2=12（厘米），12-2=10（厘米）.

14.如圖大長方形面積為1+2+3+4=10.延長R4交底邊于。，延長S3交底邊于P.矩形ABPR面

積是上部陰影三角形面積的2倍.矩形ABSQ是下部陰影三角形面積的2倍.所以矩形RQS尸的面

QS

積是陰影部分面積的兩倍.知C4=±1C￡）,CB=-3CD48=。8-。1=33。。一±18=已2。力因

377321

此矩形RQSP的面積是大矩形面積的工，陰影部分面積是大矩形面積的.陰影部分面積=-!-X1O=—.

21212121

（二）答案：

1.170.每個小正方形的面積為400+16=25平方厘米,所以每個小正方形的邊長為5cm,因此它的周長是

34X5=170厘米.

2.25.7,2,1所占面積分別為7.5,10和7.5.

3.6.5.直接計算粗線圍成的面積是困難的,我們通過扣除周圍的正方形和直角三角形來計算.周圍有正

方形3個,面積為1的三角形5個,面積為1.5的三角形一個,因此圍成面積是4X4-3-5T.5=6.5（平

方厘米）.

4.24仿上題，大、小兩個正方形面積之和減去兩只空白三角形的面積和，所得的差就是陰影部分的面

積.4?+8?_f竽+把竽Q]=16+64-（32+24）=80-56=24（平方厘米）

5.12

如下圖，連接AD,因為BD-2DC,所以=2sA40c；又S阿口+^/\ADCS^ABC=18>

所以SMBD=i2-因為AE=BE，所以%。去.B希；因此

A

%優(yōu)=%蛇—S詼E=I8-6=12（平方厘米）.

3.2如下圖，連接BE,則正方形=1x4x4=8（平方厘米）.從另一角度

6.

22A_

看，S.Rq=1x5xQ3,于是，x5xO3=8.「.06=8x2+5=3.2（厘米）

wti匕22

E

7.3.2如下圖,連接AG,則A4G。的面積是正方形ABCD面積的；,也是長方形

OEEG的面積的;，于是長方形OEFG的面積等于正方形ABCD的面積4X4=16（平方/

厘米）.，￡>￡=16+5=3.2（厘米）.鵬

8.243我們用A,8,C,。分別表示待計算的小矩形面積上、下兩個矩形,長是相同的.

A252030D

36B16C12

因此它們的面積之比，就是寬之比，反之，寬之比，就是面積之比.這樣就有：20:16=A:36,

A=—■—―=45;20:16=25:B,B=———=20;20:16=30:C,C=----—=24;20:16=D:12,

162020

D=------=15.因此，大矩形的面積是：45+36+25+20+20+16+30+24+15+12=243

16

9.60如下圖，連接P。,則陰影部分就是由四個三角形：APZ)”，APG。，APEF和APMN組成.

△PGD和APEF的底都有3,高為12,所以S.prn=5Aps=1x3x12=18.APO"和APMN的底都

△N3AT"2

是4,兩條高分別為PA和PB則：+S“MN=；x4xPA+gx4xPB

=2(PA+PB)=2X12=24所以，陰影部分的面積是：S.+S.+S.+S.，=18+18+24=60

iXpr(rjLJnISPrtFLrFIXprUnrHltSrPlVMIAlN

10.4長方形石/6//的面積是6義4=24（平方厘米）二50憶+5八4”=’551=12（平方厘米）

△A匕卜ZXA/iU2