解析2021屆江蘇省南通學(xué)基地高三高考數(shù)學(xué)全真模擬試卷（八）

絕密★啟用前

2021屆江蘇省南通學(xué)基地高三高考數(shù)學(xué)

全真模擬試題(A)

注意事項(xiàng)：1、答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息

2、請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上

一、單選題

1.已知集合4={4兇<2},5={目-3vxv1}9則AnB-C)

A.1x|—3<x<2jB.|x|—3<x<21C.|x|-2<x<1|D.|x|-2<x<l}

答案：C

先化簡(jiǎn)集合A，再由交集的概念，即可得出結(jié)果.

解：因?yàn)锳=|x||x|2|={^|-2<x<2},B={x|-3<x<l},所以

Ac3={x|-2<xv1}.

故選：C.

2.若上絲為純虛數(shù)，i為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)。的值為()

3+4，

343

A.--B.-C--

434

答案：A

先對(duì)復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)，然后令實(shí)部為零，虛部不為零，可求出實(shí)數(shù)。的值

1+ai_(l+af)(3-4z)_3+4a3a—4

解：因?yàn)閕為純虛數(shù),

3+4廠(3+4i)(3-4z)-2525

3+4a

=0

25

所以《

3a—4

*0

25

所以。=一』.

4

故選：A

21

rv2

3.已知雙曲線C：彳—￡=l(a>0]>0)的右頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為5。，則

雙曲線C的離心率為（）

A.V2B.述C.73D.2

3

答案：B

利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合已知條件可得關(guān)于。、〃、c的齊次等式，求出，=28，

進(jìn)而可求得該雙曲線的離心率.

解：由題意知雙曲線C的一條漸近線方程為法--=0,

所以右頂點(diǎn)到漸近線的距離為，即。=力，則”=,心一從=回，

rri>l-百、*c2b2>/3

所以，該雙曲線的離心率e=—=-==---.

a6b3

故選：B.

點(diǎn)評(píng)：方法點(diǎn)睛：求雙曲線離心率的方法：

（1）若可求得。、c,直接利用e=￡求解；

a

I（b^

（2）若已知4、b,可直接利用e=1+-得解；

V\a）

（3）若得到的是關(guān)于。、，的齊次方程pc2+qac+r/=0（P、q、一為常數(shù)，且

P工0）,則轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程pe2+qe+r=0求解.

4.已知隨機(jī)變量4服從正態(tài)分布N（l,〃），若P伍三2）=a,尸（0<JWl）=l-3a,

則P傳<（））=（）

1113

A.-B.-C.—D.一

4324

答案：A

由正態(tài)分布的對(duì)稱性及在對(duì)稱軸及一側(cè)的概率為4的特點(diǎn)，算出a值而得解.

解：因?yàn)殡S機(jī)變量J服從正態(tài)分布N（l,b2）,由正態(tài)分布的對(duì)稱性知，

P（0<^<l）=P（l<^<2）,又。片21）=（,P（^>1）=P（1<^<2）+P（^>2）,

所以a+l—3a=g,解得.=；,從而尸（J40）=22）=；.

故選：A

5.從4名男同學(xué)、5名女同學(xué)中選3名同學(xué)組成一支志愿者小隊(duì)，要求男、女都有，

則不同的組隊(duì)方案共有（）

A.140種B.100種C.80種D.70種

答案：D

根據(jù)條件分為2男1女，或2女1男，按組合公式求解.

解：可分兩類，男同學(xué)2名、女同學(xué)1名或男同學(xué)1名、女同學(xué)2名，共有

C；C；+C；C：=70種不同的組隊(duì)方案.

故選：D.

6.祖曜，又名祖瞄之，是我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖沖之的兒子.他在《級(jí)

術(shù)》中提出“幕勢(shì)既同，則積不容異”的結(jié)論，其中“幕”是面積.“勢(shì)”是高，意思

就是：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平行平面的任一平面所截，

如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等（如圖①）.這一原

理主要應(yīng)用于計(jì)算一些復(fù)雜幾何體的體積，若某藝術(shù)品如圖②所示，高為40cm,底面

為邊長(zhǎng)20cm的正三角形挖去以底邊為直徑的圓（如圖③），則該藝術(shù)品的體積為（）

圖①圖②圖③

A.10006-岑^|cm3B.—2,04卜nf

（2000^200013（100073100013

C.式cmD.----------------------兀cm

139J139J

答案：B

先求出陰影部分的面積,其面積為邊長(zhǎng)20cm的正三角形的面積減去兩個(gè)邊長(zhǎng)為10cm的

正三角形的面積，再減去圓心角為一,半徑為10cm的扇形面積，然后利用柱體的體積

3

公式求解即可

解：由圖知陰影部分的面積為

—x20x20x^---xlOxlOx^-x^!-x-xIO2=f50V3-—|cm2,

22222313）

所以藝術(shù)品的體積為(20006一與叫萬(wàn)卜nr1

故選：B

7.已知菱形ABC。的邊長(zhǎng)為3,44Q=60。，AC與BD交于點(diǎn)0,E是線段。。的

中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與C。交于點(diǎn)尸.則赤.麗=()

111111

A.—B.—C.—D.6

432

答案：C

將而、而用而，而表示，然后求向量的數(shù)量積即可?

解：在菱形ABC。中，AC與30交于點(diǎn)。，所以。為BD的中點(diǎn).因?yàn)镋是線段。。

的中點(diǎn)，所以3￡=3OE，從而FC=2DF.

因?yàn)槎?而+而=而+上而，BF=BC+CF=AD――AB,

33

-.(.1八「.?八|.|2J..?I.(2J]

所以尸+=--AB-AD--\AB\=—.

故選：C.

8.設(shè)為定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x有/(x)/(x+l)=e(e為自然對(duì)

數(shù)的底數(shù))，當(dāng)04x<l時(shí)，/(x)=e\則方程〃x)=log2X的解有()

A.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)

答案：A

由等式關(guān)系先求得函數(shù)周期，接著求得當(dāng)l〈x<2時(shí)，/(力的表達(dá)式，最后通過(guò)作圖

判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

解：因?yàn)?f(x)/(x+l)=e,所以〃x+l)/(x+2)=e,于是/(x+2)=/(x),

所以/(x)的最小正周期為2.

當(dāng)lWx<2時(shí)，〃x)=W=e2r

因?yàn)榍€y=log,x在x=2處切線的斜率為」一，曲線y="-2在％=2處切線的斜

21n2

率為1,所以--—<1,而/⑵=/"=i=]og,2.

2In2

因?yàn)?5>2"，所以7>2日>2'，故bg27>e.

因此，/(x)與y=log2》的圖象如圖所示，由圖可知/(x)=log2X的解有4個(gè).

故選：A

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：

(1)直接求零點(diǎn)：令/■(x)=0,如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).

⑵零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間［a,3上是連續(xù)不斷的曲線，且

f(a)?f3<0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多

少個(gè)零點(diǎn).

(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)

的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).

二、多選題

9.當(dāng)x〉0,y>0時(shí)，下列不等式中恒成立的有()

2孫11、411<2

A.—―<B.-+->-----C-+

x+yxyx+yxy，孫

,3、4尤2y2

D.x+y———

答案：ABD

利用基本不等式變形，判斷ABC選項(xiàng)，選項(xiàng)D首先利用立方和公式化簡(jiǎn)，再利用基本不

等式判斷.

2xy

解：對(duì)于A,x=y時(shí)取等號(hào)，正確.

x+y

對(duì)于B,I-+-|(x+y)=2+-^+->4,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)，正確.

y)Xy

對(duì)于C,，+_1=￡上222叵=—=,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)，錯(cuò)誤.

%y孫孫，孫

對(duì)于D,(x3+y3)(x+y)=(x+y)2(f+y2一孫)、4%2丁2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等

號(hào)，正確.

故選：ABD

點(diǎn)評(píng)：關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用基本不等式判斷不等式，本題的關(guān)鍵選項(xiàng)是1),需利

用立方和公式，先化簡(jiǎn)再判斷.

10.海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.

在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后，在落潮時(shí)返回海洋.一艘貨

船的吃水深度(船底到水面的距離)為4m.安全條例規(guī)定至少要有2.25m的安全間隙(船

底到海底的距離)，下表給出了某港口在某季節(jié)每天幾個(gè)時(shí)刻的水深.

時(shí)刻水深/m時(shí)刻水深/m時(shí)刻水深/m

0：005.09：002.518：005.0

3：007.512：005.021：002.5

6：005.015：007.524：005.0

若選用一個(gè)三角函數(shù)/(X)來(lái)近似描述這個(gè)港口的水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，則下列說(shuō)法

中正確的有()

A./(%)=2.5cos+5B.f(x)=2.5sin

C.該貨船在2：00至4：00期間可以進(jìn)港D.該貨船在13：00至17：00期間可以

進(jìn)港

答案：BCD

依據(jù)題中所給表格，寫(xiě)出/(x)的表達(dá)式而判斷選項(xiàng)A,B；再根據(jù)船進(jìn)港的條件列出不

等式，求解即可判斷選項(xiàng)C,D.

解：依據(jù)表格中數(shù)據(jù)知，可設(shè)函數(shù)為/(x)=Asin<uc+左，

2萬(wàn)TC

由已知數(shù)據(jù)求得A=2.5,k=5,周期T=12,所以口=—=一，

T6

所以有/(x)=2.5sin(gx)+5,選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B正確；

由于船進(jìn)港水深至少要6.25,所以2.5sin|—x|+56.25,得sin(^x2L

16)16J2

1T,、-.?TT.,7LTC5n13兀TC17兀

又04xW24n04—尤44%，則有一4—x?一?或----<—x<--------，

6666666

從而有l(wèi)Wx<5或13WxW17,選項(xiàng)C,D都正確.

故選：BCD

點(diǎn)評(píng)：解三角不等式sin（s+0）N加（[7川<1）關(guān)鍵在于：找準(zhǔn)不等式中的函數(shù)值加所對(duì)

角；

長(zhǎng)為一個(gè)周期的區(qū)間內(nèi)相位5+。所在范圍.

11.在數(shù)列｛4｝中，若%+%M=3",則稱｛叫為“和等比數(shù)列”.設(shè)S“為數(shù)列｛%｝

的前”項(xiàng)和，且4=1,則下列對(duì)“和等比數(shù)列”的判斷中正確的有（）

_32020-1_32021-1

A?^2020=B?〃2020=

320221

CS--DS-3叩

502021—g*°2021—g

答案：AC

由已知等式得出?！?2一?！?，然后用累加法求得。2020，判斷AB,由并面求和法

$2021=4+（%+%）+（。4+。5）-1--------（。2020+。2021）求得,^2021判斷CD.

解:因?yàn)樗?+1+4+2=3"“，兩式相減得見(jiàn)+2—4=2x3",所以

4020=（生020—生018）

32020_]

+（〃2018—〃2016）+,,?+（〃4_。2）+=2x（3?++???+3刈8）+2=———,故A正

確，B錯(cuò)誤.

§2021=4+（。2+4）+（。4+。5）+…+（“2020+“2021）=1++34+…+3"”°）=--—

O

，故C正確.D錯(cuò)誤.

故選：AC.

點(diǎn)評(píng)：本題考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消法求和.數(shù)列求和的常用方法：

設(shè)數(shù)列｛q｝是等差數(shù)列，仍“｝是等比數(shù)列，

（1）公式法：等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和直接應(yīng)用公式求和；

（2）錯(cuò)位相減法：數(shù)列｛氏超｝的前〃項(xiàng)和應(yīng)用錯(cuò)位相減法；

,1,

（3）裂項(xiàng)相消法；數(shù)歹N-----｝（左為常數(shù)，a“HO）的前〃項(xiàng)和用裂項(xiàng)相消法；

。,4+&

（4）分組（并項(xiàng)）求和法：數(shù)列｛〃4+4〃｝用分組求和法，如果數(shù)列中的項(xiàng)出現(xiàn)正負(fù)

相間等特征時(shí)可能用并項(xiàng)求和法，如果a“中帶有（-1）"或者出現(xiàn)數(shù)列相鄰項(xiàng)的和時(shí)，可

以進(jìn)行并項(xiàng)求和；

（5）倒序相加法：滿足=A（A為常數(shù)）的數(shù)列，需用倒序相加法求和.

12.集合"在平面直角坐標(biāo)系中表示線段的長(zhǎng)度之和記為|M|.若集合

A=｛（樂(lè)刈9<x2+y2<25^,B=｛（x,y）|y=x+m|,C=｛（x,y）|y=Ax+2.k｝則

下列說(shuō)法中正確的有（）

A.若ACBH。，則實(shí)數(shù)的取值范圍為加―5及

B.存在ZeR,使AcC/0

C.無(wú)論左取何值，都有AcC/0

D.anq的最大值為4君-4

答案：ACD

對(duì)于A,要使AcBw。，只要原點(diǎn)到直線的距離小于等于5即可，從而可求出m的

取值范圍；對(duì)于B,C,由于直線丁=履+2-A:過(guò)定點(diǎn)（1,2）,而點(diǎn)（1,2）在圓/+y2=9

內(nèi)，從而可得AcC/0；對(duì)于D,設(shè)原點(diǎn)到直線y=Ax+2-左的距離為d,則

n「。|=2（,25_屋一的一/）分母有理化后可求出其最大值，從而可判斷D

m

解：對(duì)于A,因?yàn)锳c3w0,所以\\W5,解得-56WmW5丘,故A正確.

對(duì)于B和C,直線，=丘+2-左過(guò)定點(diǎn)（1,2）,因?yàn)镕+22<9,故C正確，B錯(cuò)誤.

對(duì)于D,設(shè)原點(diǎn)至U直線y^kx+2-k的距離為d,則

\AC\C\=2（也5—儲(chǔ)-也—d]=2x也5.果一二所以MnC的最大值，

即△的最大值，于是IAPIC的最大值為4逐—4,故D正確.

故選：ACD

三、填空題

13.已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線為/,P為拋物線C上一

點(diǎn)，PALI,A為垂足.如果AAFP是面積為上的正三角形，那么尸=.

答案：1

結(jié)合拋物線的知識(shí)以及三角形"P的面積，求得，.

解：因?yàn)槭敲娣e為6的正三角形，所以@xAp2=0,AP=2,

4

依題意可知AP〃龍軸，所以NAFO=NR4b=60。，

所以〃=gAE=；AP=l.

故答案為：1

14.將一枚質(zhì)量均勻的硬幣連續(xù)拋擲3次，則未出現(xiàn)連續(xù)2次正面向上的概率為

答案:（

先求得基本事件總數(shù)，再求出連續(xù)2次正面向上的次數(shù)，再運(yùn)用對(duì)立事件的辦法即可求

出概率.

解：將一枚質(zhì)量均勻的硬幣連續(xù)拋擲3次，基本事件總數(shù)為23=8,連續(xù)2次正面向上

為（正，正，正），（正，正，反）（反，正，正），故未出現(xiàn)連續(xù)2次正面向上的概率為

8-35

故答案為：一.

8

15.在（x+2『（x+1）’的展開(kāi)式中，含一項(xiàng)的系數(shù)為.

答案：301

展開(kāi)式中含丁項(xiàng)的有三種情況，分別為：（1）/和0；相乘；聞）4x和媼相乘；（2）

4和相乘.分別求出再相加即可.

解：（X+2『（1+X）7=X2（1+X）7+4X（1+X）7+4（1+X）7,

所以含/項(xiàng)的系數(shù)為C；+4穹+4^=301.

故答案為：301.

點(diǎn)評(píng)：方法點(diǎn)睛：二項(xiàng)式系數(shù)問(wèn)題，有些三項(xiàng)展開(kāi)式可以變形為二項(xiàng)式問(wèn)題加以解決，

也可以通過(guò)組合解決，要注意分類清楚.

16.在四棱錐S-AB8中，四邊形A3CO是邊長(zhǎng)為2的正方形，△&⑦是正三角形,

且側(cè)面叢0,底面.若點(diǎn)S,A,B,C,。都在同一個(gè)球面上，則該球的表

面積為.

先將該四棱錐補(bǔ)形為正三棱柱9-尸爪丁根據(jù)正棱柱的特征，結(jié)合球的性質(zhì)，以及題

中數(shù)據(jù)，求出該正三棱柱的外接球半徑，進(jìn)而可求出外接球的表面積.

解：由題意，可將該四棱錐補(bǔ)形為正三棱柱SW-P8C,則該四棱錐的外接球即為正三

棱柱SAD-P8C的外接球，記球心為O,

分別取6C、AO的中點(diǎn)為E、F；分別記ASAO與APBC的外接圓圓心為“、G,

連接SF,PE，HG,

因?yàn)锳SAD與APBC都是正三角形，

所以S"=2sv=2j22-F=26,HGIIAB良HG=AB=2,

333

根據(jù)球的性質(zhì)，以及正棱柱的結(jié)構(gòu)特征可得，球心。必在"G上，且。為"G的中點(diǎn),

連接OS,

則外接球的半徑為OS=NOH?SH

因此，外接球的表面積為4萬(wàn)x

點(diǎn)評(píng)：思路點(diǎn)睛：

求解幾何體外接球的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般需要先根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征確定球心位置，再

結(jié)合題中所給數(shù)據(jù)求出外接球的半徑，進(jìn)而即可得解(有時(shí)所給幾何體比較特殊，可根

據(jù)補(bǔ)形的方法進(jìn)行求解).

四、解答題

17.在①〃4田=2Sa+〃，②是公差為1的等差數(shù)列，③S：=$2?$8,這三個(gè)條

件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問(wèn)題中并作答.

問(wèn)題：在公差不為0的等差數(shù)列｛4｝中，s“為數(shù)列｛4｝的前A項(xiàng)和，已知4=1,

.n,、6

設(shè)2=丁丁，7.為數(shù)列｛〃｝的前n項(xiàng)和，求使7；〉右成立的最小正整數(shù)”的值?

4,%

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

答案：答案見(jiàn)解析

選擇條件①：利用公式a“=S"-S“T可化簡(jiǎn)得陽(yáng)田—(〃+1)q=1,從而得

3?+」-=%+，，從而求得｛4｝通項(xiàng)；選擇條件②：先求得S“=〃2,再結(jié)合公

〃+1〃+1nn

式q=S,,-S,I求得｛%｝通項(xiàng)；選擇條件③：由5：=S2-$8轉(zhuǎn)化為基本量計(jì)算即可得

｛%｝通項(xiàng)；由｛4｝通項(xiàng)求得2，最后利用裂項(xiàng)相消法求和即可得結(jié)果.

解：選擇條件①：因?yàn)?s“+〃=〃。,用，

所以2s+〃一1=(八一1)%(〃，2),

上面兩式相減得也“+|-(〃+l)aa=1,

所以—+―'―=幺+!(/?>2).

〃+1幾+1nn

在2s“+〃=〃a“+]中，令〃=1,得4=3,所以;"+2=4+1,

從而外+工=2,所以q=2〃-1.

nn

選擇條件②：因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，2=工+（〃一1）x1=〃，

[nJ〃1'，

于是S,=〃2.

當(dāng)“22時(shí)，an=S?-S“_|=2n-1.

當(dāng)7=1時(shí),%=S1=1,所以=2〃-1.

選擇條件③:因?yàn)镾：=S25,

所以（4+=（2+4）（8+28d）,整理得d2-2d=（）..

因?yàn)?工0,所以4=2,

從而數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式為??=2n-].

出I_幾_n_111

因"二而"爐⑵+尸[^7V

cir,iiiiiiiT,ii6

所以s"寸一三+?-"?,?+百正一還斤『曠麗目>利

解得〃>3,

所以使S,,>—成立的最小正整數(shù)n的值為4.

點(diǎn)評(píng)：本題考查的核心是裂項(xiàng)求和，使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪

些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫(xiě)未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)

質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的.

18.在平面四邊形ABCO中，NA8￡>=NBCO=90°，NZM3=45°.

D

（l）若AB=2,ZDBC=30°?求AC的長(zhǎng)；

（2）若tan/84c=2,求tanNO6c的值.

4

答案：（1）AC=g+25（2）立二?

6

（1）由已知得。B=2,BC=C，由余弦定理得AC?=7+2百，可得答案；

（2）設(shè)NDBC=a,由tanABAC=,結(jié)合2ZBAC+sin2ABAC=1，

cosZBACcos

得到sinNBAC、cosABAC,再由正弦定理得4cos2a-3sinacosa=3，利用

4cos2a-3sinacosa_.依安

---------------z-----------------------------用倚合茶

cosa+sina

解：（1）在RtZVIBO中，因?yàn)镹OA5=45°，所以。3=2,

在Rt^BCZ）中，8C=2cos30=6，

在△A6C中，由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC=4+3-2x2x73cosl200=7+273,

所以AC=&+2丘

（2）設(shè)ZDBC=a,在RtziBC。中，BC=BDcosa=2cosa,

因?yàn)閠anABAC==?,所以NBAC=-sinABAC,

cosZBAC43

25

于是cos?ZBAC+sin2ZBAC=—sin2ZBAC=l,

9

因?yàn)?"<NB4C<90°，

34

所以sinN3AC=—，cosZBAC=-

55

在△ABC中，由正弦定理得———=———

sinZACBsinABAC

22cosa

所以sin(90-a—NC48)3

5

3

于是85。85（儀+/。18）二不

即4cos2a-3sinacosa=3，

ug、14cos2a-3sinacosa4-3tan?

所以-------；------------=-----；—=3o，

cos。+sinal+tan~a

因?yàn)?°<a<90,所以tanNDBC=tana=萬(wàn)一^

6

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解三角形的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵點(diǎn)是熟練掌握正弦定理、余弦定理及三

角函數(shù)的性質(zhì)，考查了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

19.如圖，在直四棱柱ABC?！?4GA中，四邊形A8C0是菱形，ZBAD=60°,

DD]=AB,E,F分別為棱AB,4G的中點(diǎn)，點(diǎn)M在CD上，S.DM=3MC.

（1）求證：MF〃平面DQE；

（2）求二面角尸-。或一。的余弦值.

答案：（1）證明見(jiàn)解析；（2）叵.

10

（1）通過(guò)構(gòu)造平面〃平面來(lái)證得Mb〃平面AOE.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面。EC和平面。后尸的法向量，計(jì)算出二面角

尸—RE—C的余弦值.

解：(1)證明：分別取CO，8c的中點(diǎn)G,H，連接3G,MH，F(xiàn)H.

在直四棱柱ABCO—AgCR中，四邊形OCG3為平行四邊形，所以CC〃A。.

因?yàn)槭?，〃分別為瓦G，8C的中點(diǎn)，所以HF//C。,從而HF//RD.

因?yàn)榧尤势矫?OE,2。匚平面2。七，所以〃平面。OE.

因?yàn)樗倪呅蜛B8是菱形，所以AB〃C￡)且AB=C￡).

因?yàn)镋，G分別為AB，8的中點(diǎn)，所以BE〃GDB.BE=GD,

于是四邊形是平行四邊形，所以DE//GB.

因?yàn)?M=3MC,G為CD的中點(diǎn)，所以M為CG的中點(diǎn).

因?yàn)椤盀镃B的中點(diǎn)，所以HM//GB,從而HM//DE.

因?yàn)镠M(Z平面。DE,EDu平面ADE,HM〃平面RDE.

因?yàn)镠W，HFu平面MHF，MHCHF=H,所以平面。QE〃平面

因?yàn)檫硊平面Affib,所以MF7/平面

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DE，DC,所在直線分別為％軸、＞軸、z軸，建立空

間直角坐標(biāo)系.設(shè)A6=2，則。0=2,

所以七(6,0,0),C(0,2,0),R(0,0,2),F孝，:2

從而反=卜6,2,0),￡^=(-73,0,2).

設(shè)平面QEC的一個(gè)法向量為4=(x”y,zj,平面&EF的一個(gè)法向量為

〃2=(12，%，22〉

____，?

-+2x—0

因?yàn)閚.±E__C__所以〈

%±ED1—\/3X|+2Z]=0

令％=2,則乂=百，4=有，所以)=(2,百,6).

--??i

n,-n_，30

所以cos<nn>=2

同理可得〃2=2,—--,>/3,v2麗F’

由圖可知，二面角尸—。E—C為銳角,

故二面角F-D.E-C的余弦值為叵.

10

點(diǎn)評(píng)：利用法向量計(jì)算二面角時(shí)，要注意根據(jù)圖象判斷二面角是銳角還是鈍角.

20.某單位最近組織了一次健身活動(dòng)，活動(dòng)分為登山組和游泳組，因?yàn)閮蓚€(gè)活動(dòng)在同一

時(shí)間段進(jìn)行，所以每個(gè)職工只能參加其中的一個(gè)活動(dòng).在參加活動(dòng)的職工中，男士90

名，女士110名.

（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，請(qǐng)?jiān)谙旅姹砀竦目瞻滋幪顚?xiě)正確數(shù)字，并說(shuō)明能否在犯錯(cuò)概率不

超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為是否參加登山組活動(dòng)與性別有關(guān).

女士男士合計(jì)

登山組人數(shù)40

游泳組人數(shù)70

合計(jì)

附.〃(必-尻丫

其中〃=a+b+c+d.

(?+/?)(c+J)(a+c)(/?+c/)

k2.7063.8415.0246.6357.897

P(/叫0.1000.0500.0250.0100.005

（2）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率，現(xiàn)在從該單位參加活動(dòng)的職工中，每次隨機(jī)

抽取1名職工，抽取3次，記被抽取的3名職工中參加登山組活動(dòng)的人數(shù)為4.若每次

抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求J的分布列、數(shù)學(xué)期望后傳）和方差。（片）.

答案：（1）表格見(jiàn)解析，能；（2）分布列見(jiàn)解析，石偌）=0.9,。伶）=0.63.

（1）根據(jù)題意得出列聯(lián)表，再由公式計(jì)算得Z2,可得結(jié)論;

（2）根據(jù)題意得8,由此可求得期望和方差.

解：（1）根據(jù)題意得

女士男士合計(jì)

登山組人數(shù)402060

游泳組人數(shù)7070140

合計(jì)11090200

所幽也匕也嘰仞4>3.841，

110x90x60x140

于是能在犯錯(cuò)概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為是否參加登山組活動(dòng)與性別有關(guān).

(2)根據(jù)題意得4~8

、30

、（3(3

所以尸（4=0）=《Ax[l-歷|=0.343;

X

/<10

2

IX1|=0.441；

P偌=2)=C；x[l三\1

XI=0.189：

70

o

P（-3）=C；xh—《IX(3

=0.027,

于是J的分布列如下:

0123

P0.3430.4410.1890.027

故E(g)=3x03=0.9,Z)(^)=3x0.3x(l-0.3)=0.63.

點(diǎn)評(píng)：方法點(diǎn)睛：求隨機(jī)變量的分布列的步驟：（1）理解隨機(jī)變量才的意義，寫(xiě)出X可

能取得全部值：（2）求彳取每個(gè)值的概率；（3）寫(xiě)出才的分布列；（4）根據(jù)分布列的性質(zhì)

對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn).還可判斷隨機(jī)變量滿足常見(jiàn)分布列：兩點(diǎn)分布，二項(xiàng)分布，超幾何分

布，正態(tài)分布.

21.已知函數(shù)=lnx+L+a.

（1）函數(shù)/（X）的圖象能否與X軸相切？若能與X軸相切，求實(shí)數(shù)。的值；否則請(qǐng)說(shuō)

明理由;

/、z、113

（2）若函數(shù)/（X）恰好有兩個(gè)零點(diǎn)X］、%2（0<%!<^2）,求證：+—.

答案：（1）能，?=-!；（2）證明見(jiàn)解析.

（1）假設(shè)函數(shù)/（X）的圖象能與X軸相切，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為%,根據(jù)題意可得

/八，求出。的值，即可得出結(jié)論;

/（尤o）=°

(\

3強(qiáng)-1

（2）分析得出所證不等式等價(jià)于皿上,令"三>1,構(gòu)造函數(shù)

出+1

〃（/）=ln—笠，?>1）,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)〃⑺在（1,+8）上的單調(diào)性，證明

〃（。>〃（1）=0,即可說(shuō)明所證不等式成立.

解：（1）假設(shè)函數(shù)/（x）的圖象能與x軸相切，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為%,則%>0,

/，(%o)=----^=0

飛

xo=1

由題意可得</(七)=ln/d---F“=0,解得<

玉)a=-l

%>0

.11111II-X

(2)證明：由題意得In%]+—F6?=Inx2H---Fa,貝ijlnx?-心玉=------=------

%項(xiàng)x2x1x2

九2一%

X.X=---

所以2皿強(qiáng).

王

1132羽+%〉3（々一與）

要證5丁+—>W，只需證％+2%，只需證In強(qiáng),

王

因?yàn)?<%<%2，所以二1>1,從而In上>0.

x\x\

3——1

只需證In玉〉史二^,只需證M%

X[2々+毛%,2々+]

王

設(shè)，='>1,即證Inf~—.

芭2t+l

設(shè)h(t)-Inz-^^——(r>1),則

''2f+l''

〃(f)3q=4/-5,1=(4一)(丁)〉0,

v7t(2r+l)'r(f+2)/?+2y

,、，、八113

所以函數(shù)〃(/)在(1,+00)上增函數(shù)，從而/z(r)>/i(l)=0,所以不一+一〉,.

^X-y大]乙

點(diǎn)評(píng)：方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：

(1)直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式/(x)>g(x)(或〃x)<g(x))轉(zhuǎn)化為證明

/(X)-g(x)>0(或F(x)-g(x)<。)，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)〃(x)=.f(x)—g(x)；

(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見(jiàn)放縮結(jié)論；

(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造

輔助函數(shù).

V-2V2