第2章振動分析基礎第1節(jié)

HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院第2章振動分析基礎振動系統(tǒng)可分為離散模型和連續(xù)模型兩種不同的類型。離散模型具有有限個自由度，而連續(xù)模型則具有無限個自由度。系統(tǒng)的自由度定義為能完全描述系統(tǒng)運動所必須的獨立的坐標個數(shù)。在離散模型中，最簡單的是單自由度線性系統(tǒng)，它用一個二階常系數(shù)微分方程來描述。這類模型常用來作為較復雜系統(tǒng)的初步近似描述。HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院復雜系統(tǒng)的數(shù)學模型可通過模態(tài)分析技術(shù)轉(zhuǎn)化為一組獨立的二階常微分方程，其中每一個方程都類似于單自由度系統(tǒng)的運動方程。因此，對單自由度系統(tǒng)進行詳細深入的分析是十分必要的。HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院2.1

單自由度系統(tǒng)

構(gòu)成離散模型的元素有三個：慣性元件m質(zhì)量元件則看作剛體等效集中質(zhì)量彈性元件k通常假定彈簧為無質(zhì)量元件等效集中剛度阻尼元件c阻尼器一般也假設為無質(zhì)量粘性阻尼激振力p(t)HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院一、單自由度系統(tǒng)的運動方程

單自由度彈簧-阻尼器-質(zhì)量系統(tǒng)可由下圖表示，用牛頓定律來建立系統(tǒng)的運動方程。HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院衰減系數(shù)固有角頻率固有頻率周期有阻尼固有角頻率二、自由振動HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院1、臨界阻尼振動系統(tǒng)臨界阻尼阻尼比HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院2、無阻尼振動系統(tǒng)固有角頻率有阻尼固有角頻率阻尼比HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院3、減幅阻尼振動系統(tǒng)HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院對數(shù)衰減率HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院對數(shù)衰減率HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院例：實驗觀察到一有阻尼單自由度系統(tǒng)的振動幅值在5個完整的周期后衰減了50%，設系統(tǒng)阻尼為粘性阻尼，試計算系統(tǒng)的阻尼。HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院4、負阻尼振動系統(tǒng)HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院三、受迫振動HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院1.受迫振動的頻率在簡諧激振力作用下，系統(tǒng)的受迫振動是簡諧振動，振動的頻率等于激振力的頻率。

2．受迫振動的振幅決定于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)和激振力的大小及頻率，而與初始條件無關(guān)，初始條件只影響系統(tǒng)的瞬態(tài)振動。

HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院

(1)當頻率比很小，即激振頻率遠小于系統(tǒng)的固有頻率時，無論阻尼的大小如何，動力放大因子都趨近于1，受迫振動的振幅近似等于與激振力幅值相等的靜力作用下系統(tǒng)的靜變位，因此這個區(qū)域有時稱為“準靜態(tài)區(qū)”。HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院（2）當頻率比很大，即激振頻率遠高于系統(tǒng)的固有頻率時，動力放大因子很小并逐漸趨近于零，受迫振動的振幅主要決定于系統(tǒng)的慣性而阻尼的影響不大，因此，這個區(qū)域有時稱為“慣性區(qū)”。HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院（3）當頻率比λ≈1，即激振頻率接近于系統(tǒng)的固有頻率時，動力放大因子β迅速增大，受迫振動的振幅急劇增加。在阻尼較小的情況下，振幅A可以比靜變位大很多倍，在無阻尼的情況下，振幅為無窮大。通常我們把激振頻率與系統(tǒng)固有頻率相等（λ＝1）的振動狀態(tài)稱為共振，λ＝1附近的區(qū)域稱為“共振區(qū)”。在共振區(qū)內(nèi)阻尼的影響很大，阻尼越小共振表現(xiàn)得越強烈，因此共振區(qū)也稱為“阻尼區(qū)”。HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院

3.受迫振動的位移與激振力有相位差，它們不是同時達到最大值和零值。相位差的數(shù)值與系統(tǒng)的阻尼及頻率比的關(guān)系。共振（λ＝1）時，無論系統(tǒng)的阻尼大小，振動位移總是比激振力滯后90o，即相位差φ＝90o。若系統(tǒng)無阻尼，當ω＜ω。時，振動位移與激振力同相位（φ＝0o）當ω＞ω。時，振動位移與激振力相位相反（Φ＝180o）。在共振點前后相位發(fā)生突然的變化。

HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院若系統(tǒng)有阻尼，振動位移與激振力之間的相位差隨頻率比的增加而逐漸增大，不會發(fā)生突然的變化，但在共振點前后變化較大。系統(tǒng)阻尼越小，共振點附近相位差隨頻率的變化越大。振動測試中，常應用共振點前后響應與激振力之間的相位差發(fā)生較大變化這個事實作為確定共振點的一個指標。HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院4.根據(jù)實測的幅頻特性曲線可計算出系統(tǒng)的阻尼。系統(tǒng)共振時（λ＝1）的動力放大因子有時稱為系統(tǒng)的“品質(zhì)因數(shù)”以符號Q表示，也是一個常用來描述系統(tǒng)阻尼特性的量，Q值越大阻尼越小。Q的近似值可由實測的幅頻特性曲線計算出來。HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院稱為半功率點。半功率點所對應頻率之差稱為半功率點帶寬，在小阻尼情況下，不難證明，半功率點帶寬HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院由于阻尼耗散的能量與振幅的平方成正比，故P點常稱為半功率點，半功率點公式提供了一種確定系統(tǒng)阻尼比的實用方法，由以上分析可見，當阻尼大時，帶寬△。就寬，過共振時振輻變化平緩，振幅較小，反之，阻尼小時，帶寬就窄，過共振時振幅變化較陡，振幅就大。所以，品質(zhì)因數(shù)Q反映了系統(tǒng)阻尼的強弱性質(zhì)和共振峰的陡峭程度。在機床系統(tǒng)中，為了過共振時比較平穩(wěn)，希望Q值小些。

HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院以OB為直徑所作的圓叫“等頻率圓”，圓上每一點的頻率相等，虛軸代表λ

＝1，復頻響應曲線同時表示了幅頻特性和相頻特性，因此稱為幅相特性曲線（或諧響應軌跡）有時也應用“控制工程”的名稱，稱為乃奎斯特圖或矢端圖。

HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院在復平面上，用復矢量將運動方程中的各項表示出來，可以使我們對系統(tǒng)在振動過祖中的受力情況有一個形象的了解。HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院任何真實的機械或結(jié)構(gòu)，在振動過程中總會受到某種阻力的作用。阻力的種類很多，如兩個相對運動表面之間的摩擦力、空氣或液體的阻力、材料的內(nèi)摩擦力等等，這些阻力統(tǒng)稱為阻尼。系統(tǒng)在振動過程中，阻尼要耗散能量，因而使自由振動逐漸衰減，使共振振幅不可能無限制的增大。當系統(tǒng)作稱態(tài)受迫振動時，阻尼所耗散的能量必定等于外部激振力對系統(tǒng)所作的功四、系統(tǒng)的阻尼HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院1、激振力作功HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院簡諧激振力每周作功的大小，不僅決定于力幅與振幅的大小，還決定于兩者之間的相位差。HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院2、阻尼力作功HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院可以證明阻尼力所作的功等于激振力所作的功3、等效的粘性阻尼由于粘性阻尼是線性阻尼，在數(shù)學上最容易處理，因此其它性質(zhì)的非線性阻尼常常用等效的粘性阻尼來代替。等效粘性阻尼根據(jù)這樣的原則確定：在一個振動周期中等效粘性阻尼所耗散的能量與它所代替的阻尼所耗散的能量相等。HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院干摩擦力F一般說是一個常力。它在整個受迫振動過程中大小不變，但方向始終與運動方向相反。當質(zhì)量從平衡位置移動到最大偏離位置時，即在1/4周期內(nèi)，摩擦力作功為FA。從最大偏離位置返回時運動方向相反，摩擦力也隨著反向，在1/4周期內(nèi)仍作功FA.以后每1/4周都如此，所以一個整周期中作功總和為1）干摩擦阻尼HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院2）結(jié)構(gòu)阻尼結(jié)構(gòu)阻尼是由于不完全彈性材料的內(nèi)摩擦所引起的一種阻尼，大量的試驗表明，在一個振動周期中，由于材料內(nèi)摩擦所耗散的能量等于材料的應力一應變遲砌國線所包圍的面積，近似地與振幅的平方成正比。HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院簡諧激振不僅是周期性的，還是諧和的，是周期性激振的最簡單情況。實踐中，還經(jīng)常碰到這樣的激振，它雖然是周期的，但卻不是諧和的，激振隨時間的變化規(guī)律不能僅用一項正弦或余弦函數(shù)表達出來。解決這類間題的有效方法是將非諧周期性激振展開成傅里葉級數(shù)，然后利用疊加原理。任何周期函數(shù)都可展開成傅里葉級數(shù)（三角級數(shù)）的形式。

五、非諧周期性激振HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院系統(tǒng)對周期性激振的響應也是周期性的，響應的周期與激振的周期相同。如果激振f(t)的某次諧波分量的頻率等于系統(tǒng)的固有頻率，則系統(tǒng)也將發(fā)生共振。所以，單自由度系統(tǒng)不僅在受到激振頻率等于系統(tǒng)固有頻率的簡諧激振時會出現(xiàn)共振，而且在受到其某次諧波的頻率等于系統(tǒng)固有頻率的周期激振時也會出現(xiàn)共振。HarbinInstituteofTechnology機械動力學哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院