工程試驗設(shè)計-回歸正交試驗設(shè)計

第一節(jié)一次回歸正交設(shè)計一正交設(shè)計和回歸設(shè)計的特點1正交設(shè)計的特點正交設(shè)計是一種很實用的試驗設(shè)計方法，它利用較少的試驗次數(shù)獲得較好的試驗結(jié)果；但是通過正交設(shè)計得到的優(yōu)方案只是局限在確定的水平組合中，而不是一定試驗范圍內(nèi)的最優(yōu)方案。2回歸設(shè)計回歸分析是一種有效的數(shù)據(jù)處理方法，通過所確定的回歸方程，可對試驗結(jié)果進(jìn)行預(yù)測和控制；但是，它只能對試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行被動的分析和處理，不涉及對試驗設(shè)計的要求。如果把兩者的優(yōu)勢統(tǒng)一起來，不僅有合理的試驗設(shè)計和較少的試驗次數(shù)，還能建立有效的數(shù)學(xué)模型，這就是回歸正交設(shè)計方法。二一次回歸正交設(shè)計根本方法一次回歸正交設(shè)計就是利用回歸正交設(shè)計原理，建立試驗指標(biāo)y與m個因素x1、x2、…、xm之間的一次回歸方程：〔k=1，2，…，m〕如果不考慮交互作用，那么一次回歸方程為一次回歸正交設(shè)計的根本步驟如下：1確定因素的變化范圍根據(jù)指標(biāo)y，確定需要考察的m個因素xj〔j=1，2，…，m〕，并確定每個因素的取值范圍。設(shè)：xj的變化范圍為[xj1，xj2]，分別稱xj1和xj2為因素xj的下水平和上水平，并將其算術(shù)平均值稱為零水平，即上水平與零水平之差或零水平與下水平之差稱為xj的變化間距，即例如，某試驗中溫度的變化范圍為30-90℃，那么其上水平為xj2=90℃，xj1=30℃，零水平xj0=60℃，變化間距△2因素水平的編碼編碼〔coding〕就是將xj的各水平進(jìn)行線性變換，即式中，zj——xj的編碼。顯然，xj1、xj0、xj2的編碼分別為-1、0、+1，即zj1=-1，zj0=0，zj2=+1。一般，xj稱為自變量，zj稱為標(biāo)準(zhǔn)變量。因素水平的編碼見表8-1。表8-1因素水平編碼表標(biāo)準(zhǔn)變量zj自然變量xjx1x2…xm下水平〔-1〕零水平〔0〕上水平〔+1〕變化區(qū)間△jx11x10x12△1x21x20x22△2xm1xm0xm2△m對因素水平進(jìn)行編碼的目的，是為了使每個因素的每個水平在編碼空間是“平等〞的，即標(biāo)準(zhǔn)變量zj的取值范圍在[-1，+1]內(nèi)變化，不會受到自然變量xj的單位和取值大小的影響。所以編碼能將試驗結(jié)果y與因素xj各水平之間的回歸問題，轉(zhuǎn)換為試驗結(jié)果y與因素zj之間的回歸問題，從而簡化了回歸計算量。3一次回歸正交設(shè)計編碼表將二水平正交表中的“2〞用“-1〞代換，就可得到一次回歸正交設(shè)計編碼表。例如，L8(27)經(jīng)過變換后得到的回歸正交設(shè)計表如表8-2所示。代換后，正交表中的編碼不僅表示因素的不同水平，也表示因素水平數(shù)值上的大小。從表8-2可看出回歸正交設(shè)計表具有如下特點：〔1〕任意一列編碼的和為零，即〔2〕任意兩列編碼的乘積之和為零，即這些特點說明了轉(zhuǎn)換之后的正交表同樣具有正交性。表8-2一次回歸正交設(shè)計編碼表試驗號列號1234567123456781111-1-1-1-111-1-111-1-111-1-1-1-1111-11-11-11-11-11-1-11-111-1-111-1-111-1-11-111-14試驗方案確實定在確定試驗方案時，也要將標(biāo)準(zhǔn)變量zj安排在一次回歸正交編碼表相應(yīng)的列中，即進(jìn)行表頭設(shè)計。例如，考察因素x1、x2和x3，可選用L8(27)，根據(jù)L8(27)的表頭設(shè)計表，應(yīng)將x1、x2和x3分別安排在第1、2和4列，即將z1、z2和z3安排在表8-2的第1、2和4列上。如果要考慮交互作用x1x2和x1x3，也可參考L8(27)的交互作用表，將z1z2和z1z3分別安排在表8-2的第3、5列上。表頭設(shè)計結(jié)果見表8-3。表8-3三因素一次回歸正交表試驗號12345z1z1z1z2z1z1z3123456789101111-1-1-1-10011-1-111-1-10011-1-1-1-111001-11-11-11-1001-11-1-11-1100從表8-3中看出，第3列的編碼等于第1列和第2列編碼的乘積，即交互作用列的編碼等于表中對應(yīng)兩因素列編碼的乘積。表8-3中的第9、10號試驗成為零水平試驗或中心試驗。安排零水平試驗的目的是為了進(jìn)行更精確的統(tǒng)計分析，得到精度較高的回歸方程。三一次回歸方程的建立建立回歸方程，關(guān)鍵是確定回歸系數(shù)。設(shè)總試驗次數(shù)為n，其包括mc次二水平試驗和m0次零水平試驗，即如果試驗結(jié)果為yi〔i=1，2，…，n〕，根據(jù)最小二乘原理和回歸正交表的兩個特點，可得到一次回歸系數(shù)的計算公式：式中，zji表示zj列各水平的編碼，〔zkzj〕i表示zkzj列各水平的編碼。通過計算得到回歸系數(shù)之后，可以直接根據(jù)它們絕對值的大小來判斷各因素和交互作用的相對重要性，而不用轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)回歸系數(shù)。另外，回歸系數(shù)的符號反響了因素對試驗指標(biāo)影響的正負(fù)。四回歸方程及偏回歸系數(shù)的方差分析1無零水平試驗1.1計算離差平方和〔1〕總平方和〔2〕回歸平方和因素的偏回歸平方和：交互作用的偏回歸平方和：〔3〕殘差平方和1.2計算自由度〔1〕總自由度〔2〕回歸自由度因素的自由度：交互作用的自由度〔3〕殘差自由度1.3計算均方1.4F檢驗Fj服從自由度為(dfj，dfe)的F分布，對于給定的顯著性水平，假設(shè)Fj>F(dfj，dfe)，說明因素zj對試驗指標(biāo)有顯著影響；否那么無顯著影響。Fkj服從自由度為(dfkj，dfe)的F分布，對于給定的顯著性水平，假設(shè)Fkj>F(dfkj，dfe)，說明交互作用zkzj對試驗指標(biāo)有顯著影響；否那么無顯著影響。2有零水平試驗如果零水平的試驗次數(shù)m0≥2，那么可進(jìn)行回歸方程的失擬性〔lackoffit〕檢驗。2.1F對回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗，只能說明相對于殘差平方和而言，各因素對試驗結(jié)果的影響是否顯著。即使所建立的回歸方程是顯著的，也只是反映了回歸方程在試驗點上與試驗結(jié)果擬合得較好，不能說明在整個研究范圍內(nèi)的擬合情況，應(yīng)安排零水平試驗，進(jìn)行回歸方程的失擬性檢驗，或稱擬合度檢驗。2.2失擬性檢驗方法設(shè)m0次零水平試驗結(jié)果為y01、y02、…、y0m0，根據(jù)m0次重復(fù)試驗，可計算重復(fù)試驗的誤差為試驗誤差的自由度為那么，失擬平方和為或失擬的自由度為所以，有這時，有對于給定的顯著性水平〔一般=0.1〕，如果FLf≥F(dfLf，dfe1)，說明失擬平方和中除誤差外，還有其它因素的影響，需要進(jìn)一步查明；如果FLf<F(dfLf，dfe1)，說名，失擬平方和根本是由誤差引起的。這時可把失擬平方和與誤差平方和合并，進(jìn)行下一步的F2檢驗。對于給定的顯著性水平，如果F2≥F(dfR，dfe)，說明方程檢驗顯著，即方程擬合得好；反之，說明方程擬合得不好，這可能是由于誤差過大，或沒有什么因素對y有顯著影響。例題8-1用石墨爐原子吸收分光光度計法測定食品中的鉛，為提高測定靈敏度，希望吸光度y越大越好。試驗中，討論了x1〔灰化溫度/℃〕、x2〔原子化溫度/℃〕和x3〔燈電流/mA〕三個因素對吸光度的影響，并考慮交互作用x1x2和x1x3。：x1=300-700℃，x2=1800-2400℃，x3=8-10mA。試通過一次回歸正交試驗確定吸光度與解：〔1〕確定因素變化范圍因為x1=300-700℃，所以其下水平x11=300℃，x12=，變化間距。同理，可確定其他因素的下水平、上水平、零水平及變化區(qū)間。〔2〕因素水平編碼根據(jù)公式，對各因素進(jìn)行編碼，編碼結(jié)果如表8-5所示。表8-5例8-1因素水平編碼表因素xix1x2x3上水平〔+1〕下水平〔-1〕零水平〔0〕變化間距△j70030050020024001800210030010891〔3〕正交表的選擇和試驗方案確實定依題意，可以選用正交表L8〔27〕，經(jīng)編碼轉(zhuǎn)換后，得到表8-2所示的回歸正交表。入表8-6所示，將z1、z2、z3分別安排在第1，2和4列，那么第3和第5列分別為交互作用z1z2，z1z3列。不進(jìn)行零水平試驗，故總試驗次數(shù)n＝8，試驗結(jié)果也列在表8-6中〔注：本例的試驗方案和試驗結(jié)果與例6-5是完全一樣的〕。〔4〕回歸方程的建立依題意，m0=0，n＝mc=8。根據(jù)回歸系數(shù)的計算公式，將有關(guān)計算列在表8-7中。表8-6例8-1三元一次回歸正交設(shè)計試驗方案及試驗結(jié)果試驗號z1z2z1z2z3z1z3x1/℃x2/℃x3/mAyi1111117002400100.5522111-1-1700240080.55431-1-1117001800100.48041-1-1-1-1700180080.4725-115166-11-1-11300240080.5327-14488-1-11-11300180080.484表8-7例8-1三元一次回歸正交設(shè)計計算表試驗號z1z2z1z2z3z1z3yy2z1yz2yz3y(z1z2)y(z1z3)y1111110.5520.3047040.5520.5520.5520.5520.5522111-1-10.5540.3069160.5540.554-0.5540.554-0.55431-1-1110.4800.2304000.480-0.4800.480-0.4800.48041-1-1-1-10.4720.2227840.472-0.472-0.472-0.472-0.4725-11-11-10.5160.266256-0.5160.5160.516-0.516-0.5166-11-1-110.5320.283024-0.5320.532-0.532-0.5320.5327-1-111-10.4480.200704-0.448-0.4480.4480.448-0.4488-1-11-110.4840.234256-0.484-0.484-0.4840.4840.484∑4.0382.0490440.0780.270-0.0460.0380.058由表8-7得：所以回歸方程為y由該回歸方程中偏回歸系數(shù)的大小，可以得到各因素和交互作用的主次順序為：x2﹥x1﹥x1x3﹥x3﹥x1x2，這與6-5中正交試驗的分析結(jié)果一樣的?！?〕方差分析方差分析的結(jié)果見表8-8。由表8-8，對于顯著性水平=0.05，只有因素z2對試驗指標(biāo)y有非常顯著的影響，其他因素和交互作用對試驗指標(biāo)都無顯著影響，故可以將z1，z3，z1z3，z1z2的平方和及自由度并入殘差項，然后進(jìn)行方差分析，這時的方差分析為一元方差分析，分析結(jié)果見表8-9。表8-8例8-1方差分析表差異源SSdfMSF顯著性z1z2z3z12z130.0007610.0091130.0002650.0001810.000421111110.0007610.0091130.0002650.0001810.00042112.27146.984.272.926.97**回歸殘差e0.0107410.000123520.0021480.000062*總和0.0108647表8-9例8-1第二次方差分析表差異源SSdfMSF顯著性回歸〔z2〕殘差e0.0091130.001751160.0091130.00029231.21**總和0.0108647由表8-9，因素z2對試驗指標(biāo)y有非常顯著的影響，因此原回歸方程可以簡化為：y=0.50475+0.03375z2可見，只有原子化溫度x2對吸光度有顯著影響，兩者之間存在顯著的線性關(guān)系，而且原子化溫度取上水平時試驗結(jié)果最好。根據(jù)編碼公式，將上述線性回歸進(jìn)行回代：整理后得到：例8-2從某種植物中提取黃酮類物質(zhì)，為了對提取的工藝進(jìn)行優(yōu)化，選取了三個相對重要的因素：乙醇濃度〔x1〕、液固比〔x2〕、和回流次數(shù)〔x3〕進(jìn)行了回歸正交試驗，不考慮交互作用。x1=60%～80%，x2=8～12，x3=1～3次。試通過回歸正交試驗確定黃酮提取率與三個因素之間的函數(shù)關(guān)系式。解：〔1〕因素水平編碼及試驗方案確實定由于不考慮交互作用，所以本例要求建立一個三元線性方程，因素水平編碼如表8-10所示。選正交表L8(27)安排試驗，將三個因素分別安排在回歸正交表的第1，2，4列，試驗方案及試驗結(jié)果見表8-11，表中的第9，10，11號試驗為零水平試驗。表8-10例8-2因素水平編碼表編碼zj乙醇濃度x1〔%〕液固比x2回流次數(shù)x3-101△j607080108101221231表8-11例8-2試驗方案及試驗結(jié)果試驗號z1z2z3x1x2x3y/%12345678910111111-1-1-1-100011-1-111-1-10001-11-11-11-10008080808060606060707070121288121288101010313131312228.07.36.96.46.96.56.05.16.66.56.6〔2〕回歸方程的建立將有關(guān)計算過程列在表8-12中。表8-12例8-2試驗結(jié)果及計算表試驗號z1z2z3y/%y2z1yZ2yZ3y12345678910111111-1-1-1-100011-1-111-1-10001-11-11-11-10008.07.36.96.46.96.56.05.16.66.56.664.0053.2947.6140.9647.6142.2536.0026.0143.5642.2543.568.07.36.96.4-6.9-6.5-6.0-5.10008.07.3-6.9-6.46.96.5-6.0-5.10008.0-7.36.9-6.46.9-6.56.0-5.1000∑72.8487.14.14.32.5由計算表8-12得：所以回歸方程為由該回歸方程偏回歸系數(shù)絕對值的大小，可以得到各因素的主次順序為：x2﹥x1﹥x3，即液固比﹥乙醇濃度﹥回流次數(shù)。又由于各偏回歸系數(shù)都為正，所以這些影響因素取上水平時，試驗指標(biāo)最好?！?〕回歸方程顯著性檢驗有關(guān)平方和的計算如下：方差分析結(jié)果見表8-13。表8-13例8-2方差分析表差異源SSdfMSF顯著性z1z2z32.1012.3110.7811112.1012.3110.781142.9157.253.1******回歸殘差e5.1930.103371.7310.0147117.8**總和5.29610可見，三個因素對試驗指標(biāo)都有非常顯著的影響，所建立的回歸方程也非常顯著?！?〕失擬性檢驗本例中，零水平試驗次數(shù)m0=3，可以進(jìn)行失擬行檢驗，有關(guān)計算如下：這時，有檢驗結(jié)果說明，失擬不顯著，回歸模型與實際情況擬合得很好?！?〕回歸方程的回代根據(jù)編碼公式：，，帶入上述回歸方程得：整理后得：第二節(jié)二次回歸正交組合設(shè)計在實際生產(chǎn)和科學(xué)試驗中，試驗指標(biāo)與試驗因素之間的關(guān)系往往不宜用一次回歸方程來描述，所以當(dāng)所建立的一元回歸方程經(jīng)檢驗不顯著時，就需用二次或更高次方程來擬合。一二次回歸正交組合設(shè)計表1組合設(shè)計試驗方案確實定假設(shè)有m個試驗因素〔自變量〕xj(j=1，2，…，m)，試驗指標(biāo)為因變量y，那么二次回歸方程的一般形式為：其中a、bj、bkj、bjj為回歸系數(shù)，可以看出該方程共有1+m+m(m-1)/2+m=(m+1)(m+2)/2項，要使回歸系數(shù)的估算成為可能，必要條件為試驗次數(shù)；同時，為了計算出二次回歸方程的系數(shù)，每個因素至少要取3個水平，所以用一元回歸正交設(shè)計的方法來安排試驗，往往不能滿足這一條件。例如，當(dāng)因素數(shù)m=3時，二次回歸方程的項數(shù)為10，要求試驗次數(shù)n≥10，如果用正交表L9(34)安排試驗，那么試驗次數(shù)不符合要求，如果進(jìn)行全面試驗，那么試驗次數(shù)未33=27次，試驗次數(shù)又偏多。為解決這一矛盾，可以在一次回歸正交試驗設(shè)計的根底上再增加一些特定的試驗點，通過適當(dāng)?shù)慕M合形成試驗方案，即所謂的組合設(shè)計。例如，設(shè)有兩個因素x1和x2，試驗指標(biāo)為y，那么它們之間的二次回歸方程為：該方程共有3個回歸系數(shù)，所以要求試驗次數(shù)n≥6，而二水平全面試驗數(shù)為22=4次，顯然不能滿足要求，于是在次根底上再增加5次試驗，試驗方案如表8-14和圖8-1所示?？梢姡唤M合設(shè)計由三類試驗點組成，即二水平試驗點、星號試驗點和零水平試驗點。二水平試驗是一次回歸正交試驗設(shè)計中的試驗點，設(shè)二水平試驗的次數(shù)為mc，假設(shè)為全面試驗〔全實施〕，那么mc=2m；1/2實施時，mc=2(m-1)；1/4實施時mc=2(m-2)表8-14二元二次回歸正交組合設(shè)計試驗方案試驗號z1z2y說明123411-1-11-11-1y1y2y3y4二水平試驗5678γ-γ0000γ-γy5y6y7y8星號試驗900y9零水平試驗由圖8-1可以看出，5～8號試驗點都在坐標(biāo)軸上，用星號表示，所以被稱作星號試驗，它們與原點〔中心點〕的距離都為γ，稱為星號臂或軸臂。星號試驗次數(shù)mγ與試驗因素數(shù)m有關(guān)，即mγ=2m。例如，對于二元二次回歸正交組合設(shè)計，mγ=2×2=4零水平試驗點位于圖8-1的中心點〔原點〕，即各因素水平編碼都為零時的試驗，該試驗可只做一次，也可重復(fù)屢次，零水平試驗次數(shù)記為m0。所以，二次回歸正交組合設(shè)計的總試驗次數(shù)為：n=mc+2m+m類似的，如果有三個因素x1，x2和x3，那么它們的三元二次回歸方程為：三元二次回歸正交組合設(shè)計的實驗方案見表8-15和圖8-2。表8-15三元二次回歸正交組合設(shè)計試驗方案試驗號z1z2z3y說明123456781111-1-1-1-111-1-111-1-11-11-11-11-1y1y2y3y4y5y6y7y8二水平全面試驗mc=23=891011121314γ-γ000000γ-γ000000γ-γy9y10y11y12y13y14星號試驗2m15000y15零水平試驗m0=1如果將交互項列入組合設(shè)計表中，那么可得到表8-16和表8-17。其中交互列和二次項列中的編碼可直接由對應(yīng)一次項的編碼寫出。例如，交互列z1z2的編碼是對應(yīng)z1和z2的乘積，而z12的編碼是z1列編碼的平方。表8-16二元二次回歸正交組合設(shè)計試驗號z1z2z1z2z12z22123411-1-11-11-11-1-11111111115678γ-γ0000γ-γ0000γ2γ20000γ2γ2900000表8-17三元二次回歸正交組合設(shè)計試驗號z1z2z3z1z2z1z3z2z3z12Z22Z32123456781111-1-1-1-111-1-111-1-11-11-11-11-111-1-1-1-1111-11-11-11-11-1-111-1-1111111111111111111111111191011121314γ-γ000000γ-γ000000γ-γ000000000000000000γ2γ2000000γ2γ2000000γ2γ2150000000002星號臂長度與二次項的中心化由表8-17和表8-18可以看出，增加了星號試驗和零水平試驗之后，二次項失去了正交性，就應(yīng)該確定適宜的星號臂長度，并對二次項進(jìn)行中心化處理。2.1星號臂長度γ確實定根據(jù)正交性的要求，可以推導(dǎo)出星號臂長度γ必須滿足如下關(guān)系式：可見，星號臂長度γ與因素m、零水平試驗次數(shù)m0及二水平試驗mc次數(shù)有關(guān)。為了設(shè)計的方便，將由上述公式計算出來的一些常用的γ值列于表8-18。表8-18二次回歸正交組合設(shè)計γ值表m0因素數(shù)m234〔1/2實施〕45〔1/2實施〕5123456789101.0001.0781.1471.2101.2671.3201.3691.4141.4571.4981.2151.2871.3531.4141.4711.5251.5751.6231.6681.7111.3531.4141.4711.5251.5751.6231.6681.7111.7521.7921.4141.4831.5471.6071.6641.7191.7711.8201.8681.9141.5471.6071.6641.7191.7711.8201.8681.9141.9582.0001.5961.6621.7241.7841.8411.8961.9492.0002.0492.097根據(jù)表8-18可知，對于二元二次回歸正交組合設(shè)計，當(dāng)零水平試驗次數(shù)m0=1時，γ=1。2.2二次項的中心化設(shè)二次回歸方程中的二次項為zj2(j=1，2，…，m)，其對應(yīng)的編碼用zji2(j=1，2，…，n)表示，可以用下式對二次項的每個編碼進(jìn)行中心化處理：式中zji'是中心化之后的編碼。這樣組合設(shè)計表中的zj2列就變?yōu)閦j'列。表8-19是二次項中心化之后的二元二次回歸正交組合設(shè)計編碼表。表8-19二元二次回歸正交組合設(shè)計編碼表〔m0=1〕試驗號z1z2z1z2z12z22z1'z2'12345678911-1-11-10001-11-1001-101-1-11000001111110001111001101/31/31/31/31/31/3-2/3-2/3-2/31/31/31/31/3-2/3-2/31/31/3-2/3顯然，中心化之后的二次項滿足，也就是具有正交性。對于三元二次回歸正交組合設(shè)計，也可用同樣的方法得到具有正交性的組合設(shè)計編碼表，見表8-20。表8-20三元二次回歸正交組合設(shè)計編碼表〔m0=1〕試驗號z1z2z3z1z2z1z3z2z3123456781111-1-1-1-111-1-111-1-11-11-11-11-111-1-1-1-1111-11-11-11-11-1-111-1-110.2700.2700.2700.2700.2700.2700.2700.2700.2700.2700.2700.2700.2700.2700.2700.2700.2700.2700.2700.2700.2700.2700.2700.270910111213141.215-1.2150000001.215-1.2150000001.215-1.2150000000000000000000.7470.747-0.730-0.730-0.730-0.730-0.730-0.7300.7470.747-0.730-0.730-0.730-0.730-0.730-0.7300.7470.74715000000-0.730-0.730-0.730二二次回歸正交組合設(shè)計的根本步驟二次回歸正交組合設(shè)計的根本步驟如下：1因素水平編碼確定因素xj(j=1，2，…，m)的變化范圍和零水平試驗的次數(shù)m0，再根據(jù)星號臂長γ的計算公式〔8-33〕或表8-18確定γ的值，對因素水平進(jìn)行編碼，得到標(biāo)準(zhǔn)變量zj(j=1，2，…，m)。如果以xj2和xj1分別表示因素xj的上下水平，那么它們的算術(shù)平均值就是因素xj的零水平，以xj0表示。假設(shè)：xjγ和x-jγ分別為因素xj的上下星號臂水平，那么xjγ和x-jγ是xj的上下限，于是有所以，該因素的變化間距為然后對因素xj進(jìn)行線性變換，得到各水平編碼為這樣，編碼公式將因素的實際取值xj與編碼值zj一一對應(yīng)起來了，如表8-21所示。編碼后，因素的水平分別為-γ、-1、0、1、γ。表8-21因素水平的編碼表標(biāo)準(zhǔn)變量zj自然變量xjx1x2……xm上星號臂γx1γx2γxmγ上水平1x12=x10+△1x22=x20+△2xm2=xm0+△m零水平0x10x20xm0下水平-1x11=x10-△1x21=x20-△2xm1=xm0-△m下星號臂-γx-1γx-2γx-mγ變化區(qū)間△j△1△2△m2確定適宜的二次回歸正交組合設(shè)計首先根據(jù)因素數(shù)m選擇適宜的正交表進(jìn)行變換，明確二水平試驗方案、二水平試驗次數(shù)mc和星號實驗次數(shù)mγ也能隨之確定，可參考表8-22。表8-22二次回歸正交組合設(shè)計正交表的選用因素數(shù)m正交表表頭設(shè)計mcmγ234〔1/2實施〕45〔1/2實施〕5L4(23)L8(27)L8(27)L16(215)L16(215)L32(231)1，2列1，2，4列1，2，4，7列1，2，4，8列1，2，4，8，15列1，2，4，8，16列22=423=824-1=824=1625-1=1625=32468810103試驗方案的實施根據(jù)二次回歸正交組合設(shè)計表確定的試驗方案，進(jìn)行n次試驗，得到n個試驗結(jié)果。4回歸方程的建立計算回歸系數(shù)，建立含標(biāo)準(zhǔn)變量的回歸方程?；貧w系數(shù)的計算公式如下。5回歸方程的顯著性檢驗5.1平方和及其自由度〔1〕總平方和及總自由度〔2〕偏回歸平方和及其自由度一次項偏回歸平方和交互項偏回歸平方和二次項偏回歸平方和各項偏回歸平方和的自由度均為1。那么，回歸平方和及其自由度分別為〔5〕殘差平方和5.2回歸方程的F檢驗6失擬性檢驗失擬性檢驗方法與一次回歸正交設(shè)計相同。7回歸方程的回代根據(jù)編碼公式或二次項的中心化公式，將zj、與y之間的回歸關(guān)系式轉(zhuǎn)換成自然變量xj與y之間的回歸關(guān)系式。8最優(yōu)試驗方案確實定根據(jù)極值必要條件，或利用EXCEL進(jìn)行規(guī)劃求解，可以得到最優(yōu)的試驗條件。三二次回歸正交組合設(shè)計的應(yīng)用例題3：為了提高某種淀粉類高吸水性樹脂的吸水倍率，在其他合成條件一定的情況下，重點考察丙烯酸中和度和交聯(lián)劑用量對試驗指標(biāo)的影響。丙烯酸中和度x1的變化范圍為0.7~0.9，交聯(lián)劑用量x2的變化范圍為1~3ml，試用二次正交組合設(shè)計分析其與指標(biāo)y之間的關(guān)系。解：〔1〕因素水平編碼由于因素數(shù)m=2，如果取零水平試驗次數(shù)m0=2，根據(jù)星號臂γ的計算公式或表8-18，得到γ=1.078。根據(jù)條件，x1γ=0.9，x-1γ=0