16　三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用

1.6

三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用1.能正確分析收集到的數(shù)據(jù),選擇恰當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)模型刻畫數(shù)據(jù)所蘊(yùn)含的規(guī)律.2.能根據(jù)實(shí)際問題的意義,利用三角函數(shù)模型解決有關(guān)問題,為決策提供依據(jù).121212A.12π,7 B.12π,5C.12,7 D.12,5答案:C答案:B12122.三角函數(shù)模型的應(yīng)用(1)三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型,可以用來研究很多問題,在刻畫周期變化的規(guī)律、預(yù)測其未來等方面都發(fā)揮著重要作用.實(shí)際問題通常涉及復(fù)雜的數(shù)據(jù),因此往往需要用到計算器或計算機(jī).(2)實(shí)際問題的背景往往比較復(fù)雜,而且需要綜合應(yīng)用多門學(xué)科的知識才能完成,因此在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題時,不僅要注意從復(fù)雜的實(shí)際背景中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系,而且還要調(diào)動相關(guān)學(xué)科知識來解決問題.12(3)建立三角函數(shù)模型的步驟如下:12答案:5

解三角函數(shù)型實(shí)際問題的步驟剖析:(1)審清題意,讀懂題.三角函數(shù)型實(shí)際問題的語言形式多為文字語言和圖形語言并用,閱讀材料時要讀懂題目所反映的實(shí)際問題的背景,領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)本質(zhì),在此基礎(chǔ)上分析出已知什么、求什么,從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題.(2)搜集整理數(shù)據(jù),建立數(shù)學(xué)模型.根據(jù)搜集到的數(shù)據(jù),找出變化規(guī)律,并運(yùn)用已經(jīng)掌握的三角知識、物理知識及其他相關(guān)知識建立關(guān)系式,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個三角函數(shù)問題,實(shí)現(xiàn)問題的數(shù)學(xué)化,即建立三角函數(shù)模型.其中要充分利用數(shù)形結(jié)合的思想以及圖形語言和符號語言并用的思維方式.(3)討論變量關(guān)系.根據(jù)上一步中建立起來的變量關(guān)系,結(jié)合題目的要求,與已知數(shù)學(xué)模型的性質(zhì)對照,轉(zhuǎn)化為討論y=Asin(ωx+φ)+b的性質(zhì),從而得到所求問題的理論參考值.(4)作出結(jié)論.根據(jù)上一步得出的理論參考數(shù)值按題目要求作出相應(yīng)的結(jié)論.題型一題型二題型三【例1】

如圖,某動物種群數(shù)量(單位:只),去年12月1日低至700只,今年6月1日高至900只,其總量在此兩值之間依正弦型曲線變化.(1)求出種群數(shù)量y關(guān)于月份t的函數(shù)表達(dá)式;(2)估計今年3月1日動物的種群數(shù)量.分析:(1)根據(jù)曲線求出函數(shù)表達(dá)式;(2)由表達(dá)式求出今年3月1日即t=3時對應(yīng)的函數(shù)值.題型一題型二題型三解:(1)設(shè)種群數(shù)量y關(guān)于t的解析式為y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0),題型一題型二題型三即今年3月1日動物的種群數(shù)量約是800只.反思在生活中,呈周期變化的現(xiàn)象,常用三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)來描述,通過討論其圖象和性質(zhì)來解決實(shí)際問題.題型一題型二題型三【變式訓(xùn)練1】

已知某地一天從4時到16時的溫度變化曲線近(1)求該地這一段時間內(nèi)溫度的最大溫差;(2)若有一種細(xì)菌在15℃到25℃之間可以生存,則在這段時間內(nèi),該細(xì)菌最多能生存多長時間?解:(1)當(dāng)x=14時,函數(shù)取最大值,此時最高溫度為30

℃;當(dāng)x=6時,函數(shù)取最小值,此時最低溫度為10

℃,所以最大溫差為30-10=20(℃).題型一題型二題型三

【例2】

一個懸掛在彈簧上的小球,靜止時如圖.現(xiàn)從它的靜止位置向下拉0.2m的距離,在t=0時小球被放開并開始振動,1s后又再次回到這一位置.(1)求出描述此小球運(yùn)動的一個函數(shù)解析式;(2)求當(dāng)t=6.5s時小球所在的位置.分析:(1)設(shè)函數(shù)解析式為y=Asin(ωx+φ),由題意可知最低點(diǎn)距離平衡位置0.2

m,在t=0和t=1時小球都在最低點(diǎn)的位置,由此可確定A,ω,φ.(2)代入計算即可.題型一題型二題型三解:(1)取向上的位移為正,設(shè)在t

s時小球相對于靜止位置的位移為s,s=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0).(2)令t=6.5,則s=-0.2cos

13π=0.2(m).故當(dāng)t=6.5

s時,小球在靜止位置的上方0.2

m處.反思由于物理學(xué)中的單擺、光波、機(jī)械波、電流等都具有周期性,且基本符合三角函數(shù)的相關(guān)知識,因此借助于三角函數(shù)模型來研究物理學(xué)中的相關(guān)現(xiàn)象是解答此類問題的關(guān)鍵.題型一題型二題型三求:(1)開始時的電壓;(2)電壓值重復(fù)出現(xiàn)一次的時間間隔;(3)電壓的最大值和第一次獲得這個最大值的時間.分析:(1)開始時的電壓,即當(dāng)t=0

時電壓E的值;(2)電壓值每周期重復(fù)出現(xiàn)一次;(3)電壓的最大值可由關(guān)系式求出.題型一題型二題型三題型一題型二題型三【例3】

游樂場中的摩天輪勻速旋轉(zhuǎn),其中心O距地面是40.5m,半徑是40m.若從最低點(diǎn)處登上摩天輪,則你與地面的距離將隨時間變化,5min后到達(dá)最高點(diǎn).在你登上摩天輪時開始計時,請解答下列問題.(1)能求出你與地面的距離y與時間t的函數(shù)解析式嗎?(2)當(dāng)你登上摩天輪8min后,你與地面的距離是多少?(3)當(dāng)你第1次距地面30.5m時,用了多少時間?(4)當(dāng)你第4次距地面30.5m時,用了多少時間?分析:因?yàn)閺淖畹忘c(diǎn)到最高點(diǎn)的變換具有周期性,所以可以用y=Asin(ωt+φ)+b作為函數(shù)模型.題型一題型二題型三解:(1)如圖,O是摩天輪輪心,作ON垂直地面于點(diǎn)N,交摩天輪于點(diǎn)P,ON=40.5

m,OP=40

m.由題意可知,當(dāng)t=0時,你登上摩天輪,位于點(diǎn)P,經(jīng)過t

min,旋轉(zhuǎn)到P1處,P1到地面的距離為P1M=y.作P1Q⊥OP于點(diǎn)Q.因?yàn)槿藦淖畹忘c(diǎn)旋轉(zhuǎn)到最高點(diǎn)需5

min,題型一題型二題型三即你第1次距地面30.5

m時,用了約2.1

min.(4)你第4次距地面30.5

m時,用了20-2.1=17.9(min).反思對于實(shí)際問題,只需把問題中提供的條件逐條地翻譯成數(shù)學(xué)語言,就能建立數(shù)學(xué)模型.題型一題型二題型三【變式訓(xùn)練3】

如圖所示,一個摩天輪的半徑為10m,輪子的底部在距離地面2m處,如果此摩天輪按逆時針方向轉(zhuǎn)動,每300s轉(zhuǎn)一圈,且當(dāng)摩天輪上某人經(jīng)過點(diǎn)P處(點(diǎn)P與摩天輪中心高度相同)時開始計時.(1)求此人相對于地面