函數必考知識點

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函數必考學問點匯總

一次函數

一、定義與定義式

自變量x和因變量y有如下關系：y=kx+b則此時稱y

是x的一次函數。

特殊地，當b=0時，y是x的正比例函數。

即：y=kx（k為常數,kO）

二、一次函數的性質

l.y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k

即：y=kx+b化為任意不為零的實數b取任何實數）

2.當x=0時，b為函數在y軸上的截距。

三、一次函數的圖像及性質

1.作法與圖形：通過如下3個步驟

(1)列表;

⑵描點；

⑶連線，可以作出一次函數的圖像一條直線。

因此，作一次函數的圖像只需明白2點，并連成直線

即可。

(通常找函數圖像與x軸和y軸的交點)

2.性質：

(1)在一次函數上的任意一點p(x,y),都滿意等式：

y=kx+bo

(2)一次函數與v軸交點的坐標總是(0，b),與x軸總是

交于(-b/k,0)正比例函數的圖像總是過原點。

3.k,b與函數圖像所在象限：

當k0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增

大；

當k0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減

小。

當b0時，直線必通過一、二象限；

當b=0時，直線通過原點

當b0時，直線必通過三、四象限。

特殊地，當b=0時，直線通過原點o(0,0)表示的是正

比例函數的圖像。

這時，當kO時，直線只通過一、三象限;當kO時，直

線只通過二、四象限。

四、一次函數在生計中的應用

L當時候t肯定，距離s是速度v的一次函數。

S=vto

2.當水池抽水速度f肯定，水池中水量g是抽水時候t

的一次函數。

設水池中原有水量s。

g=S-fto

二次函數

一、定義與定義表達式

一般地，自變量X和因變量y之間存在如下關系：

y=ax+bx+c

(a,b,c為常數，aO,且a打算函數的開口方向，aO

時，開口方向向上，aO時，開口方向向下,|a|還可以打算開

口大小,Ia|越大開口就越小,|a|越小開口就越大。)

則稱y為x的二次函數。

二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

二、二次函數的三種表達式

一般式：y=ax+bx+c(a,b,c為常數，aO)

頂點式：y=a(x-h)+k［拋物線的頂點p(h,k)］

交點式：y=a(x-x?)(x-x?)［僅限于與x軸有交點a(x?,0)

和b(x?,0)的拋物線］

三、二次函數的圖像

在平面直角坐標系中作出二次函數y=x的圖像，可以看

出，二次函數的圖像是一條拋物線。

四、拋物線的性質

L拋物線是軸對稱圖形。

對稱軸為直線

x=-b/2ao

對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點Po

特殊地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

2.拋物線有單個頂點p,坐標為

p(-b/2a,(4ac-b)/4a)

當-b/2a=0時，p在y軸上;當=b-4ac=0時，p在x軸上。

3.二次項系數a打算拋物線的開口方向和大小。

當a0時，拋物線向上開口;當a0時，拋物線向下開口。

|a|越大，則拋物線的開口越小。

4.一次項系數b和二次項系數a共同打算對稱軸的位置。

當a與b同號時(即abO),對稱軸在y軸左;

當a與b異號時(即abO),對稱軸在y軸右。

5.常數項c打算拋物線與y軸交點。

拋物線與y軸交于(0,c)

反比例函數

形如y=k/x（k為常數且kO）的函數，叫做反比例函數。

自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數。

反比例函數圖像性質：反比例函數的圖像為雙曲線。

由于反比例函數屬于奇函數，有fbx）=-f（x）,圖像關于原

點對稱。

另外，從反比例函數的解析式可以得出，在反比例函

數的圖像上任取一點，向兩個坐標軸作垂線，這點、兩個垂

足及原點所圍成的矩形面積是定值，為|k|。

學問點：

1.過反比例函數圖象上任意一點作兩坐標軸的垂線段,

這兩條垂線段與坐標軸圍成的矩形的面積為|k|。

2.對于雙曲線y=k/x,若在分母上加減任意單個實數

（即y=k/（xm）m為常數），就相當于將雙曲線圖象向左或右平

移單個單位。

（加單個數時向左平移，減單個數時向右平移）

對數函數

對數函數的一般形式為，它實際上便是指數函數的反

函數。

因此指數函數里對于a的規(guī)定，同樣適用于對數函數。

對數函數的圖形只不過的指數函數的圖形的關于直線

y=x的對稱圖形，由于它們互為反函數。

⑴對數函數的定義域為大于o的實數集合。

⑵對數函數的值域為全部實數集合。

(3)函數總是通過(1,0)這點。

(4)a大于1時，為單調遞增函數，并且上凸;a小于1

大于0時，函數為單調遞減函數，并且下凹。

(5)明顯對數函數無界。

指數函數

指數函數的一般形式為，從上面咱們對于累函數的爭

論就可以明白，要想使得x能夠取整個實數集合為定義域，

則只有使得

可以得到：

⑴指數函數的定義域為全部實數的集合，這里的前提

是a大于0,對于a不大于0的狀況，則必定使得函數的定

義域不存在連續(xù)的區(qū)間，因此咱們不予考慮。

⑵指數函數的值域為大于0的實數集合。

(3)函數圖形都是下凹的。

(4地大于1,則指數函數單調遞增;a小于1大于0,則

為單調遞減的。

⑸可以看到單個明顯的規(guī)律，便是當a從0趨向于無

窮大的過程中(當然不能等于0),函數的曲線從分別接近于y

軸與x軸的正半軸的單調遞減函數的位置，趨向分別接近于

y軸的正半軸與x軸的負半軸的單調遞增函數的位置。

其中水平直線y=l是從遞減到遞增的單個過渡位置。

(6)函數總是在某單個方向上無限趨向于x軸,永不相

交。

(7)函數總是通過(0,1)這點。

(8)明顯指數函數無界。

奇偶性

一、定義

一般地，對于函數f(x)

⑴假如對于函數定義域內的任意單個X,都有f(-x)=-f(x),

這么函數f(x)就叫做奇函數。

⑵假如對于函數定義域內的任意單個X,都有f(-x)=f(x),

這么函數f(x)就叫做偶函數。

(3)假如對于函數定義域內的任意單個x,f(-x)=-f(x)與

f(-x)小(X)同時成立，這么函數f(x)既是奇函數又是偶函數，稱

為既奇又偶函數。

⑷假如對于函數定義域內的任意單個X,f(-x)=-f(x)與

耳-x)E(x)都不能成立，這么函數f(x)既不是奇函數又不是偶函

數，稱為非奇非偶函數。

說明：①奇、偶性是函數的整體性質，對整個定義域

而言

②奇、偶函數的定義域肯定關于原點對稱，假如單個

函數的定義域不關于原點對稱，則這一個函數肯定不是奇(或

偶)函數。

(分析：推斷函數的奇偶性，首先是檢驗其定義域是否

關于原點對稱，然后再嚴格根據奇、偶性的定義經過化簡、

整理、再與f(x)比較得出結論)

③推斷或證明函數是否具有奇偶性的依據是定義

二、奇偶函數圖像的特征

定理奇函數的圖像關于原點成中心對稱圖表，偶函數

的圖象關于y軸或軸對稱圖形。

f(x)為奇函數《==》f(x)的圖像關于原點對稱

點(x4(-x,-y)

奇函數在某一區(qū)間上單調遞增，則在它的對稱區(qū)間上

也是單調遞增。

偶函數在某一區(qū)間上單調遞增，則在它的對稱區(qū)間上

單調遞減。

三、奇偶函數運算

1.兩個偶函數相加所得的和為偶函數.

2.兩個奇函數相加所得的和為奇函數.

3.單個偶函數與單個奇函數相加所得的和為非奇函數

與非偶函數.

4.兩個偶函數相乘所得的積為偶函數.

5.兩個奇函數相乘所得的積為偶函數.

6.單個偶函數與單個奇函數相乘所得的積為奇函數.

值域

一、名稱定義

函數中，應變量的取值范圍叫做這一個函數的值域函

數的值域，在數學中是函數在定義域中應變量全部值的集合。

常用的求值域的方法

⑴化歸法

(2)圖象法(數形結合)

⑶函數單調性法

⑷配方法

⑸換元法

⑹反函數法(逆求法)

⑺判別式法

⑻復合函數法

(9)三角代換法

(10)基本不等式法等

二、關于函數值域誤區(qū)

定義域、對應法則、值域是函數構造的三個基本“元件〃。

平常數學中，實行“定義域優(yōu)先〃的原則，無可置疑。

然而事物均具有二重性，在強化定義域疑問的同時，

往往就減弱或談化了，對值域疑問的探究，造成了一手“硬〃

一手“軟〃，使同學對函數的把握時好時壞，事實上，定義域

與值域二者的位置是相當的，絕不能厚此薄皮，何況它們二

者隨時處于相互轉化之中(典型的例子是互為反函數定義域

與值域的相互轉化）。

假如函數的值域是無限集的話，這么求函數值域不總

是簡單的，反靠不等式的運算性質有時并不能奏效，還必需

聯系函數的奇偶性、單調性、有界性、周期性來考慮函數的

取值狀況。

才能獲得正確答案，從這一個角度來講，求值域的疑

問有時比求定義域疑問難，實踐證明，假如加強了對值域求

法的討論和爭論，有利于對定義域內函的理解，從而深化對

函數本質的熟悉。