人教版數(shù)學八年級下冊 第十七章 勾股定理 單元測試卷(含答案解析)

人教版數(shù)學八年級下冊第十七章勾股定理單元測試卷

一、單選題（共10題；共20分）

1.下列說法：①無理數(shù)分為正無理數(shù)，零，負無理數(shù)；②-4是16的平方根；③如果a,b,c為一組勾

股數(shù)，那么4a,4b,4c仍是勾股數(shù)；④任何實數(shù)都有立方根，其中正確的有（）

A.4B.3C.2D.1

2.若一個直角三角形的三邊分別為0、b、c，a2=144,b2=25,則c?=（）

A.169B.119C.169或119D.13或25

3.如圖，NB=NACD=90。；AD=13；CD=12；BC=3,則AB的長為()

A.4B.5C.8D.10

4,下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（）

A.12、15、18B.6、8、12C.4、5、6D.7、24、25

5,一艘輪船和一艘漁船同時沿各自的航向從港口O出發(fā)，如圖所示，輪船從港口。沿北偏西20。的方向行

60海里到達點M處，同一時刻漁船已航行到與港口O相距80海里的點N處.若M,N兩點相距100海

里，則NNOF的度數(shù)為（）

A.50°B.60°C.70°D.90°

6.如圖以數(shù)軸的單位長線段為邊作一個正方形，以數(shù)軸的原點為旋轉(zhuǎn)中心，將過原點的對角線順時針旋

轉(zhuǎn)，使對角線的另一端點落在數(shù)軸正半軸的點J處，則點，表示的數(shù)是（）

」L'I1」>

.101A2

A.4B.J?C舊D.1.4

7.圖1是一種折疊式晾衣架.晾衣時，該晾衣架左右晾衣臂張開后示意圖如圖2所示，兩支腳OC=OD=10

分米，展開角NCOD=60。，晾衣臂0A=OB=10分米，晾衣臂支架HG=FE=5分米，H0=F0=4分米。當

ZAOC=90",且OBIICD時，線段OG與OE的長分別為（）

A.3和7B.3和3n（：.3和2+“7口.4[和2+./]1

8.如圖，圓柱形容器高為18cm,底面周長為32cm,在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只

螞蟻正好也在杯內(nèi)壁，離杯上沿2cm與蜂蜜正相對的點A處，則螞蟻從內(nèi)壁A處到達內(nèi)壁B處的最短距

離為（）

A.13cmB.J61cmC.2,6]cmD.20cm

9.如圖，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=60°,BC=2,AD_LBC于D,點F是AB的中點，點E在AD邊上，則

BE+EF的最小值是（）

A

BD

A.1B.C.2D.J5

10.如圖，小江同學把三角尺含有-60。角的一端以不同的方向穿入進另一把三角尺（含有45。角）的孔洞中?己

知孔洞的最長邊為2cm,則三角尺穿過孔洞部分的最大面積為（）

222

A2V3cm2B/7cmc2/7cmD（2+/7）cm

A.jCITID..cmc.z?xcmu.十.%/cm

二、填空題（共8題；共8分）

口.已知直角三角形兩直角邊長分別是9、12,則第三邊長的值是.

12.《九章算術》是我國古代一部著名的數(shù)學專著，其中記載了一個“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，未折

抵地，去本三尺，問折者高幾何？其意思是：有一根與地面垂直且高一丈的竹子（1丈=10尺），現(xiàn)被大

風折斷成兩截，尖端落在地面上，竹尖與竹根的距離為三尺，間折斷處離地面的距離為.

13.如圖，在四邊形ABCD中，AB=1,BC=1,CD=2,及且二擊g_加行=則四邊形ABCD的面積是

14.已知在等腰三角形A8C中，。為BC的中點AD=12,BD=5,AB=13,點P為AO邊上的動點，點E為

AB邊上的動點，則PE+P8的最小值為.

15.我國古代有這樣一個數(shù)學問題，其題意是：如圖所示，把枯木看作一個圓柱體，該圓柱的高為20尺,

底面周長為3尺，有葛藤自點A處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達點B處，則葛藤的最短長度是

尺.

16.如圖RtAABCNC=90。，分別以各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學史上稱為"希波克拉底月

牙J當AC=3,BC=4時，則陰影部分的面積為

17.如圖為某樓梯，測得樓梯的長為5米，高3米，計劃在樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少需要

米.

18.如圖，在一U3C中，AC=BC，n是，砌的中點，F(xiàn)ffIJR,

2.Z4￡r42r^F=.1S0'%yZFD54-￡ECB-￡-4BC，則.

三、解答題（共3題；共15分）

19.有一塊形狀為四邊形的鋼板，量得它的各邊長度為AB=9cm,BC=12cm,CD=17cm,DA=8cm,

NB=90。，求這塊鋼板的面積.

20.如圖，在△ABC中，NC=90。，AD是BC邊上的中線，DE_LAB,垂足為E,

求證:AC2=AE2-BE2.

B

21.如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使點C恰好落在AB邊的中點C'上，點D落在D處，C'D咬AE于點M.若

AB=6,BC=9,求線段ED.

四、綜合題（共3題；共40分）

22.有一輛裝滿貨物的卡車，高2.5米，寬1.6米，要開進如圖所示的上邊是半圓，下邊是長方形的橋洞,

已知半圓的直徑為2米，長方形的另一條邊長是2.3米.

（1）這輛卡車能否通過此橋洞？試說明你的理由.

（2）為了適應車流量的增加，想把橋洞改為雙行道，并且要使寬1.2米，高為2.8米的卡車能安全通過,

那么此橋洞的寬至少應增加到多少米？

這時AO為24m.

（1）求這個梯子的底端距墻的垂直距離有多遠；

（2）當BD=8m,且AB=CD時，AC的長是多少米；

（3）如果梯子AB的底端向墻一側(cè)移動了2米，那么梯子的頂端向上滑動的距離是多少米？

24.如圖，在△ABC中，NACB=90。，BC=AC=6,D是A8邊上任意一點，連接CD,以8為直角邊向

右作等腰直角ACDE，其中NDCE=90。，CD=CE,連接BE.

(1)求證：AD=BE；

(2)當ACDE的周長最小時，求CD的值;

(3)求證：DB:=ICE2-

答案解析部分

一、單選題

L【答案】B

【解析】【解答】解：①無理數(shù)分為正無理數(shù)和負無理數(shù)，零是有理數(shù)，不符合題意；②-4是16的平

方根，符合題意；③如果a,b,c為一組勾股數(shù)，不妨設c為最長邊，

則成+1=人，

即4a,4b,4c仍是勾股數(shù)，符合題意；④任何實數(shù)都有立方根，符合題意，

所以，正確的有3個，

故答案為：B.

【分析】根據(jù)無理數(shù)的分類、平方根的定義、勾股定理以及立方根的定義進行判斷即可得到答案。

2.【答案】C

【解析】【解答】解：C是斜邊時，c2=a2+b2=144+25=169,

c是直角邊時，c2=a2-b2=144-25=119,

綜上所述,c2=169或"9.

故答案為：C.

【分析】分c是斜邊和直角邊兩種情況討論求解.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：在也■△.?1￡）中，4HC￡>=：90'。，.￡D=13，8=12，

由勾股定理得：-V13?-I?=5-

在@A.15C中，,8=90。，AC=5，BC=3,

由勾股定理得：.姐=獷"=4,

故答案為：A.

【分析】在冊「中，根據(jù)勾股定理求出一在酊，必C中，根據(jù)勾股定理求出4月即可.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：A、因為122+152W182,故不是勾股數(shù)；故此選項不符合題意；

B、因為62+82M122,故不是勾股數(shù)；故此選項不符合題意；

C、因為42+52延2,故不是勾股數(shù)；故此選項不符合題意；

D、因為72+242=252,故是勾股數(shù).故此選項符合題意；

故答案為：D.

【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，據(jù)此判斷即可.

5.【答案】C

【解析】【解答】解：.OA/=60海里，0V=80海里，V-V=100海里，

：.ZVO'F=IM-?0,°-QI=7f-.

故答案為：c

【分析】求出D1/TO'?二｛八:根據(jù)勾股定理的逆定理得出-170、=9.0：，根據(jù)平角定義求出

即可.

6.【答案】B

【解析】【解答】解：根據(jù)勾股定理可得：正方形的對角線的長度為則點A所表示的數(shù)為⑻.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)勾股定理求出點A所表示的數(shù)，進行作答即可。

7.【答案】C

【解析】【解答】解：過點F作FML0B于點M,

./0C=0D,ZAOD=60°,

△0CD是等邊三角形，

??.ZCDO=60°,

,/OBIICD,

ZEOF=ZCDO=60°,

在R30FM中，ZOFM=30°,

22

OM=1OF=1X4=2,F”=JOF-OM=值？=2亞,

在RtAMEF中

ME=^EF^MF2=V52-12=而；

0E=0M+ME=2+jn

在RtA0GH中

0G==當

故答案為：3和2+J77

【分析】過點F作FM_LOB于點M,根據(jù)有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形，可證得△OCD是等

邊三角形，利用平行線的性質(zhì)可求出NEOF=60。，在RtAOFM中，利用勾股定理求出。M,FM的長；再在

在Rt^MEF中，利用勾股定理求出ME的長，然后求出0E的長；在OGH中，利用勾股定理求出0G

的長。

8.【答案】D

【解析】【解答】解：如圖，將杯子側(cè)面展開，連接則即為最短距離.

在直角AJSC中，.JC=16cm.8。=1瞽-4-2=1女m，ZC=90°.

.-，虱。T-iQciu-

即螞蟻從內(nèi)壁A處到達內(nèi)壁B處的最短距離為

故答案為：D.

【分析】將杯子側(cè)面展開，根據(jù)兩點之間線段最短可知的長度即為所求.

9.【答案】B

【解析】【解答】解：連接CF交AD于點E,

△ABC中，AB=AC,ZBAC=60°,

:3ABC是等邊三角形，

AD±BC,

..?點B和點C關于AD對稱，

/.BE=CE,

/.BE+EF=CE+FE=CF,

根據(jù)兩點之間線段最短，可知CF最短即BE+EF的值最小,

BC=2,

AB=BC=2

,??點F是AB的中點，

CF±AB,BF=1

CF=嬴三/=吊=機

故答案為：B.

【分析】連接CF交AD于點E,易證△ABC是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)可證得點B和點C關于

AD對稱，由此可推出BE+EF=CF,利用兩點之間線段最短，可知此時BE+EF的最小值就是CF的長；再證明

△BFC是直角三角形，同時可求出BF的長，然后利用勾股定理求出CF的長。

10.【答案】B

【解析】【解答】解：如圖，過A作AH_LBC,

當BC=2,

???AB=AC,ZA=60°,

△ABC為等邊三角形，

BH=1,

人同用育==&

SAABC=TBCXAH=-7X2X*.

故答案為：B.

【分析】當BC邊空洞的最長邊時;通過的面積最大，由于NA為60。，可知△ABC為等邊三角形，作

AHXBC,利用勾股定理求出AH的長，將BC和AH代入三角形面積公式即可求值.

二、填空題

11.【答案】15

【解析】【解答】解：第三邊的長是：爐工?=15,

故答案為：15.

【分析】給出兩直角邊，直接根據(jù)勾股定理即可求出第三邊.

12.【答案】4.55

【解析】【解答】解：如圖

設折斷后的竹子高AC為x尺，則AB長為(10-x)尺,

根據(jù)勾股定理得：

AC2+BC2=AB2,

即：x2+32=(10-x)\

解得：x=4.55,

故答案為：4.55.

【分析】設折斷處距離地面的高為x,根據(jù)勾股定理列方程得到答案即可。

13.【答案】4

【解析】【解答】解：在步A45C中，_4.5345r-=jr-au=,護;F=4,

在△.4C0中,AD=&，CD=2,.仁=4,貝

1HC0是直角三角形,

S四邊形ABCD=+^j^ACD=''AC+JAC'CD=J*1*1+x@x2=J+

AaAaAaAa

故答案是：4-^2*,

【分析】在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理計算得到AC的長度，繼而在三角形ACD中，根據(jù)勾股定

理的逆定理判斷得到三角形ACD為直角三角形，求出四邊形的面積即可。

14.【答案】軍

【解析】【解答】解：4D=1\81)=5，一￡8=13，

-4B'=ATY-4摘＞，

乙53=90,，

二乃為的中點，RD-CD,AB=AC

二JD垂直平分BC,

，點e，點C關于直線，八對稱，

則BP=CP

過C作CE_L_1B交于P,則此時廣￡小丹？=CE的值最小，

/.BC￡=.1O'-12.

,PF+PR的最小值為W，

故答案為：檸.

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理即可得到NADB=90。，繼而由對稱的性質(zhì)即可得到PE+PB=CE時最小，根

據(jù)三角形的面積公式求出答案即可。

15.【答案】25

【解析】【解答】解：如圖所示，

在如圖所示的直角三角形中，

??,BC=20尺，AC=5x3=15尺,

??AB=J]f_、「r=25（尺）.

故答案為25尺.

【分析】這種立體圖形求最短路徑問題，可以展開成為平面內(nèi)的問題解決，展開后可轉(zhuǎn)化下圖，所以是個

直角三角形求斜邊的問題，根據(jù)勾股定理可求出.

16.【答案】6

【解析】【解答】解：在R3ACB中

NACB=90°,AC=3,BC=4,

由勾股定理得：

AB=dq-BC=r-f=5,

陰影部分的面積5=4

故答案為：6.

【分析】根據(jù)勾股定理求出A8,分別求出三個半圓的面積和AABC的面積，兩小半圓與直角三角形的

和減去大半圓即可得出答案.

17.【答案】7

【解析】【解答】在R3ABC中，AB=5米,BC=3米，ZACB=90°,

;AC='爐BC-=4

AC+BC=3+4=7米.

故答案是：7.

【分析】利用勾股定理求出AC的長，根據(jù)平移的性質(zhì)求出地毯長即可.

18.【答案】“口

【解析【解答】解：連接CD并延長交FE的延長線于點N,延長CE交FB的延長線于點M,過F作FHJLCD

于H,連接DM交FN于點。，則有四邊形DBFH是矩形，DB=FH,DH=FB.

,/2ZAEC+ZCEF=180°,ZAEC+ZCEF+ZBEF=180°,

???ZAEC=ZBEF,

ZMEB=ZAEC=ZBEF,

FB=BM=1,FE=FM,

---ZACB=90°,AC=BC,D是AB的中點，

/.ZABC=45°,ZACB=4DACB=45°,CD_LAB,

又FB_LAB,

/.DF=DM,ZFDB=ZMDB.

2ZFDB+ZECB=ZABC,

ZFDM+ZECB=ZABC=45°,

,/ZDCE+ZECB=ZDCB=45°,

/.ZFDM=ZDCE.

?/CD±AB,FB±AB,

/.CDIIFB,

/.ZDCE=ZFMC,

/.ZFMO=ZFMC+ZOME=ZDCE+ZOME,

又???FE=FM,FFM,

ZEMB=ZEFB,ZDMB=ZDFB,

ZOME=ZDFO,

又：.ZFOM=ZFDM+ZDFO,

/.ZFOM=ZFMO,

FO=FM=2.

FMIIDN,

/.ZNDO=ZFMO,

又：ZNOD=ZFOM,

ZBDO=ZNOD,

ND=NO,

FMIINC,ZEFM=ZEMB,

/.ZECD=ZEND,

ND=CD=BD=HF.

設HF=x,則NH=x+l,NF=x+2,

x2+(x+1)2=(x+2)2，

解得x=3（負值舍去）.

/.AD=BD=CD=3,

AC=;J1.

【分析】連接C。并延長交尸戶的延長線于點N，延長CE交下月的延長線于點\f,過戶作

FH_LC〃于訂，連接八"交"”于點O，可證/丑區(qū)為=充0，F(xiàn)R=\fR,F\f=FO,

VD=.VO.HF=DR,ND=CD,在JVFH中利用勾股定理求戶百，即可求RD,再求MC.

三、解答題

19.【答案】解：AB=9cm,BC=12cm,ZB=90°,

JCBC2=業(yè)-1F="（cm），

/CD=17cm,DA=8cm,

AACD是直角三角形，且NCAD=90°,

,這塊鋼板的面積=Swc+S&1cox9x12-J-s-15=114（。加）.

【解析】【分析】先利用勾股定理求出AC,再根據(jù)勾股定理的逆定理證得NCAD=90。，由此即可利用面積

相加的方法求出答案.

20.【答案】證明：女=9Q."：-山-力

.人。是隊邊上的中線，，8。4口，二百仁'=期：-5萬'，

DE±AB,/D￡5=，903-

山=*.七爐/=5加—ED2，

AC2=.lE2-EDr-Bir=JE?一（月方-ED2）=.店-BE2-

【解析】【分析】根據(jù)勾股定理可以得到解答.

21.【答案】解：如圖,連接CE,

設DE=D'E=x,

,在矩形ABCD中,AB=6,BC=9,

CD=AB=6,AD=BC=9,NA=ND=90°,

AE=AD-DE=9-x,

?.?折疊，

ZD'=ZD=90",C'D'=CD=6,

???點C為AB邊的中點,

AC'=彳AB=3,

在RtZiAEC中，C'E2=AE2+AC'2=32+(9-x)2,

在RtAC'D'E中，C'E2=C'D'2+D'E2=62+x2,

：.32+(9—x)2=62+x2,

解得x=3,

線段ED的長為3.

【解析】【分析】連接CE,設DE=D，E=x,則AE=9-x,利用兩次勾股定理分別表示出CE2,進而得

到方程求解即可.

四、綜合題

22.【答案】(1)能通過.理由如下：如圖①所示，當橋洞中心線兩邊各為0.8米時，由勾股定理得

=解得1=06，卡車能通過.

(2)如圖②所示，在直角三角形AOB中，已知OB=1.2,AB=2.8-2.3=0.5,由勾股定理得:

。4二iWdO.S,J1?哈二04=1工，

橋洞的寬至少應增加到1?3?]=2?6(米).

01.2B

【解析】【分析】如圖①，當橋洞中心線兩邊各為米時，由勾股定理得方程—弋=。解

(1)0.80ssl

出x的值，再用x+2.3與卡車的高2.5作比較即可；(2)如圖②，在直角三角形AOB中，已知08=1.2,

48=2.8-2.3=0.5,由此可求。A的長，即橋洞的半徑，再乘以2即得結(jié)果.

23.【答案】(1)解：由=

：.B0=1國-媾=7-5：-24?=

這個梯子的底端距墻的垂直距離有7米.

(2)解：.BD=S,013=y,.IB=CD=25=.

：.0D=15.

CO='\l..y-15=10.