泰州市2021-2022學年度高二下學期期末考試數(shù)學試卷（解析）

泰州市2021~2022學年度第二學期期末考試高二數(shù)學試題（考試時間：120分鐘；總分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.可以表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)排列數(shù)的公式分析即可【詳解】為排列數(shù)，可以表示為故選：B2.拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，樣本空間，若事件，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件概率的公式，先求解，再求解即可【詳解】由題意，，故選：B3.已知隨機變量X的概率分布為X－1012P0.10.3m0.1則X的均值為（）A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7【答案】C【解析】【分析】先利用頻率和為1，求出的值，然后利用期望公式求解即可【詳解】由題意得，得，所以，故選：C4.《義務教育課程方案》將勞動從原來的綜合實踐活動課程中完全獨立出來，并發(fā)布《義務教育勞動課程標準（2022年版）》，勞動課程內(nèi)容共設置十個任務群，每個任務群由若干項目組成．其中生產(chǎn)勞動包括農(nóng)業(yè)生產(chǎn)勞動、傳統(tǒng)工藝制作、工業(yè)生產(chǎn)勞動、新技術體驗與應用四個任務．甲、乙兩名同學每人從四個任務中選擇兩個任務進行學習，則恰有一個任務相同的選法的種數(shù)為（）A.16 B.20 C.24 D.36【答案】C【解析】【分析】先從四個任務中選擇一個相同任務的方法總數(shù)為，再從剩下的三個任務中選兩個分給甲乙即，即可求出答案.【詳解】先從四個任務中選擇一個相同任務的方法總數(shù)為，再從剩下的三個任務中選兩個分給甲乙即，所以甲、乙兩名同學每人從四個任務中選擇兩個任務進行學習，則恰有一個任務相同的選法的種數(shù)為：.故選：C..5.的展開式中，常數(shù)項為（）A.8 B.16 C.18 D.24【答案】D【解析】【分析】將展開為，求出的通項，使，代入即可求出答案.【詳解】將展開為，則的通項為：，所以的展開式中，常數(shù)項為：故選：D.6.商家為了解某品牌取暖器的月銷售量y（臺）與月平均氣溫x（℃）之間的關系，隨機統(tǒng)計了某4個月該品牌取暖器的月銷售量與當月平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表；平均氣溫（℃）171382月銷售量（臺）24334055由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程中，據(jù)此估計平均氣溫為0℃的那個月，該品牌取暖器的銷售量約為（）臺．A.56 B.58 C.60 D.62【答案】B【解析】【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，求得的值，將代入回歸方程，求得的值，得出回歸直線方程，代入時，即可求解.【詳解】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可得，又由點在回歸方程上，其中，所以，解得，即，當時，，即估計該商場平均氣溫為0℃的那個月取暖器銷售量約為件.故選：B.7.通過隨機詢問200名性別不同的學生是否愛好某項運動，得到如下的列聯(lián)表：男女總計愛好12525150不愛好351550總計16040200參考公式：獨立性檢驗統(tǒng)計量，其中．參考數(shù)據(jù)：P（≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828則根據(jù)列聯(lián)表可知（）A.有95%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”B.有95%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”C.有97.5%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”D.有97.5%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”【答案】A【解析】【分析】計算卡方再對照表格中的數(shù)據(jù)分析即可【詳解】根據(jù)列聯(lián)表有，故有95%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”故選：A8.在平行六面體中，，，，，則與所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用基底表示向量，再利用向量的夾角公式求解.【詳解】解：，則，，，，，，所以，故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列說法中正確的是（）A.公式中的L和W具有相關關系B.回歸直線恒過樣本點的中心C.相關系數(shù)r的絕對值越接近1，則兩個變量的相關性越強D.對分類變量x與y的隨機變量來說，越小，判斷“x與y有關系”的把握越大【答案】BC【解析】【分析】利用變量間相關關系的概念與性質(zhì)，可判斷A、C選項；由回歸直線方程的性質(zhì)，判斷B選項；由分類變量的獨立性檢驗，可判斷D選項.【詳解】解：對于A，公式中，L和W關系明確，屬于函數(shù)關系，不是相關關系，相關關系是一種非確定的關系，故A錯誤對于B，回歸直線恒過樣本點的中心，故B正確；對于C，相關系數(shù)r的絕對值越接近1，則兩個變量的相關性越強，故C正確；對于D，對分類變量x與y，它們的隨機變量越大，判斷“x與y有關系”的把握越大，故D錯誤.故選：BC.10.下列關于隨機變量X的說法正確的是（）A.若X服從二項分布B（4，），B.若X服從超幾何分布H（4，2，10），則C.若X的方差為D（X），則D.若X服從正態(tài)分布N（3，），且，則【答案】AB【解析】【分析】對A，根據(jù)二項分布的數(shù)學期望公式求解即可；對B，根據(jù)超幾何分布的數(shù)學期望公式求解即可；對C，根據(jù)方差的性質(zhì)判斷即可；對D，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求解即可【詳解】對A，若X服從二項分布B（4，），則，故A正確；對B，若X服從超幾何分布H（4，2，10），則，故B正確；對C，若X的方差為D（X），則，故C錯誤；對D，若X服從正態(tài)分布N（3，），且，則，故D錯誤；故選：AB11.設，下列結論正確的是（）A. B.C. D.在，，…，中，最大【答案】ABD【解析】【分析】采用賦值法，兩式相加即可判斷A；求出的通項求出可判斷B；對多項式兩邊求導，令，可判斷C；求出的通項知為正，為負，可判斷D.【詳解】令，所以①，令，所以②，所以①②得：，所以，所以A正確；，則的通項為：所以令，則，所以，令，則，所以，所以，故B正確；對兩邊同時求導，則，令，所以，所以C錯誤；由的通項知為正，為負，所以，，在，，…，中，最大，所以D正確.故選：ABD.12.在正三棱柱中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，，D為BC中點，則（）A.平面⊥平面B.異面直線與BC所成角的余弦值為C.點M在內(nèi)（包括邊界）且，則CM與平面ABC所成的角的正弦值的最大值為D.設P，Q分別在線段，上，且，則PQ的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】在正三棱柱中，如圖建立空間直角坐標系，分別求出平面和平面的法向量可判斷A；求出直線與BC的方向向量，通過異面直線所成角的向量公式可判斷B；因為點M在內(nèi)，所以設可表示出的坐標，由可求出的范圍，再求出CM與平面ABC所成的角的正弦值可判斷C；設，求出，，表示出可判斷D.【詳解】對于A，在正三棱柱中，為的中點，所以，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，，，所以，，設平面的法向量為，則，令，則，，所以，設平面，所以，則平面⊥平面，所以A正確；對于B，，，設直線與BC所成角為，則，所以異面直線與所成角的余弦值為，故B不正確.對于C，設平面，因為點M在內(nèi)（包括邊界）且，所以設，則四點共面，則，所以，則，所以，所以，因為，所以化簡得：，所以，解得：，設CM與平面ABC所成的角為，所以，所以CM與平面ABC所成的角的正弦值的最大值為，故C正確.對于D，設，則、，因為，，所以，，則，，所以，所以當時有最小值，所以，所以，故D正確；故選:ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)與計算公式求解即可【詳解】故答案為：14.已知離散型隨機變量X服從兩點分布，且，則隨機變量X的標準差為________．【答案】【解析】【分析】因為離散型隨機變量X服從兩點分布，設，所以，由題意可求出，所以可求出，即可求出隨機變量X的標準差。【詳解】因為離散型隨機變量X服從兩點分布，設，所以，所以代入有：，解得：，，因為離散型隨機變量X服從兩點分布，所以.則隨機變量X的標準差為.故答案為：.15.長方體中，，，則點B到平面的距離為________．【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標系，求平面的法向量，利用點到平面的距離公式求解即可.【詳解】解：在長方體中，以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標系，

因為，，所以，，，，，，設平面的法向量為：，，令得：又點B到平面的距離為：.故答案為：.16.設甲袋中有3個白球和4個紅球，乙袋中有2個白球和3個紅球，現(xiàn)從甲袋中任取2個球，記取出的紅球個數(shù)為X，則＝________，將取出的球放入乙袋，再從乙袋中任取2個球，則從乙袋中取出的是2個紅球的概率為________．【答案】①.；②..【解析】【分析】分析可知，從甲袋中任取2個球，記取出的紅球個數(shù)為X，則隨機變量X服從超幾何分布，由超幾何分布的數(shù)學期望得；從甲袋任取兩個球分三類情況，再計算乙袋中取出的是2個紅球的概率即可.【詳解】解：甲袋中有3個白球和4個紅球，從甲袋中任取2個球，記取出的紅球個數(shù)為X，則隨機變量X服從超幾何分布，所以由超幾何分布的數(shù)學期望得：；甲袋任取兩個球的可能性有三種：甲袋取出的為2個白球時，則從乙袋中取出的是2個紅球的概率為：；甲袋取出的為1個白球、1個紅球時，則從乙袋中取出的是2個紅球的概率為：；甲袋取出的為2個紅球時，則從乙袋中取出的是2個紅球的概率為：從乙袋中取出的是2個紅球的概率為：.故答案為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在下面三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并對其求解．條件①：前三項的二項式系數(shù)之和為16；條件②：第3項與第4項的二項式系數(shù)相等；條件③：所有項的系數(shù)之和為1024問題：在的展開式中，___．（1）求n的值；（2）求展開式中所有的有理項．注：如果選擇不同的條件分別解答，則按第一個解答計分．【答案】（1）5（2），【解析】【分析】（1）選條件①：根據(jù)二項式系數(shù)公式，結合組合數(shù)的計算求解n即可；選條件②：根據(jù)二項式系數(shù)公式，結合組合數(shù)的計算求解即可；選條件③：令求解即可；（2）根據(jù)二項式定理的展開式，令的指數(shù)為整數(shù)求解即可【小問1詳解】選條件①：由題意，前三項的二項式系數(shù)之和為，即，故，因為，故選條件②：由題意，，故，解得選條件③：令有，解得【小問2詳解】由題意，的通項公式，故當時為有理項，分別為，，故有理項有與18.已知，．（1）求的值；（2）當時，求實數(shù)k的值．【答案】（1）25（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量的坐標線性運算與數(shù)量積公式求解即可；（2）根據(jù)垂直的數(shù)量積表示，結合向量的坐標公式求解即可【小問1詳解】因為，，故，，故【小問2詳解】，，，因為，故，即，故，即，故或19.電影《奪冠》講述了中國女排姑娘們頑強拼搏、為國爭光勵志故事，現(xiàn)有4名男生和3名女生相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．（1）女生必須坐在一起的坐法有多少種？（2）女生互不相鄰的坐法有多少種？（3）甲、乙兩位同學相鄰且都不與丙同學相鄰的坐法有多少種？【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】(1)采用捆綁法即可求解；(2)采用插空法即可求解；(3)先排甲、乙、丙以外的其他4人，再把甲、乙排好，最后把排好的甲、乙這個整體與丙分別插入原先排好的4人的5個空擋中即可；【小問1詳解】先將3個女生排在一起，有種排法，將排好的女生視為一個整體，與4個男生進行排列，共有種排法，由分步乘法計數(shù)原理，共有(種)排法；【小問2詳解】先將4個男生排好，有種排法，再在這4個男生之間及兩頭的5個空擋中插入3個女生有種方法，故符合條件的排法共有(種)；【小問3詳解】先排甲、乙、丙以外的其他4人，有種排法，由于甲、乙相鄰，故再把甲、乙排好，有種排法，最后把排好的甲、乙這個整體與丙分別插入原先排好的4人的5個空擋中有種排法，故符合條件的排法共有(種)；20.如圖，在正四棱錐P－ABCD中，AC，BD交于點O，，．

（1）求二面角的大小；（2）在線段AD上是否存在一點Q，使得PQ與平面APB所成角的正弦值為？若存在，指出點Q的位置；若不存在，說明理由．【答案】（1）（2）存在，當Q為AD上靠近A四等分點時，PQ與平面APB所成角的正弦值為【解析】【分析】（1）如圖建系，求得各點坐標，進而可得坐標，即可求得平面PAB的法向量，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及判定定理，可證平面，則即為平面的法向量，根據(jù)二面角的向量求法，即可得答案.（2）假設存在點Q滿足題意，設，因為，即可求得Q點坐標，進而可得坐標，根據(jù)線面角的向量求法，代入公式，計算可得值，即可得答案.【小問1詳解】由題意得平面ABCD，且，以O為原點，分別以OA，OB，OP為x，y，z軸正方向建系，如圖所示所以，所以，設平面PAB的法向量，則，即，令，可得，所以，因為平面ABCD，平面ABCD，所以，又因為，，平面PAC，所以平面，所以即為平面的法向量，所以，又，由圖象可得二面角為銳二面角，所以二面角的大小為【小問2詳解】假設線段AD上存在一點Q，滿足題意，設，因為，所以，解得，所以，則，因為平面PAB法向量，設得PQ與平面APB所成角為所以，解得或（舍）所以在線段AD上存在一點Q，使得PQ與平面APB所成角的正弦值為，此時，即Q為AD上靠近A的四等分點，21.某公司對項目甲進行投資，投資金額x與所獲利潤y之間有如下對應數(shù)據(jù)：項目甲投資金額x（百萬元）65432所獲利潤y（百萬元）0.90.80.40.202（1）用相關系數(shù)說明y與x相關性的強弱（本題規(guī)定，相關系數(shù)r滿足，則認為線性相關性較強；否則，線性相關性較弱）；（2）該公司計劃用7百萬元對甲，乙兩個項目進行投資，若公司利用表格中的數(shù)據(jù)建立線性回歸方程對項目甲所獲得的利潤進行預測，項目乙投資百萬元所獲得的利潤y百萬元近似滿足：，求甲，乙兩個項目投資金額分別為多少時，獲得的總利潤最大．參考公式：，．相關系數(shù)．參考數(shù)據(jù)：統(tǒng)計數(shù)據(jù)表中．【答案】（1）y與x線性相關性較強；（2）甲，乙兩個項目投資金額分別為5.5百萬元，1.5百萬元時，獲得的總利潤最大.【解析】【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)求出線性相關系數(shù)的值，與0.95比較大小得結論；（2）先由已知數(shù)據(jù)求得與的值，可得關于的線性回歸方程，設對乙項目投資百萬元，則對甲項目投資百萬元，寫出所獲總利潤，然后利用基本不等式求最值．【小問1詳解】解：由題意，，，，，，，y與x線性相關性較強；【小問2詳解】解：由（1）可設關于的線性回歸方程為：，，，設對乙投