整式的規(guī)律探究（解析版） 2020-2021年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末綜合復(fù)習(xí)提優(yōu)訓(xùn)練（北師大版）

2020-2021學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末綜合復(fù)習(xí)專題提優(yōu)訓(xùn)練（北師大版）

專題04整式的規(guī)律探究

【典型例題】

1.（2020?浙江省象山縣丹城中學(xué)七年級(jí)期中）觀察等式:

ZX]——,，XX———

1x222x3233x434

將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得

111111111_3

---------1------------1--------------1--------1-----------

1x22x33x4223344~4

1_

（1）猜想并寫(xiě)出:

〃(〃+1)

（2）直接寫(xiě)出下式的計(jì)算結(jié)果

1111

----+-----F1-d

1x22x33x4-----2019x2020

(3)探究并計(jì)算：(寫(xiě)出具體過(guò)程)

①計(jì)算------F++的值

1x33x55x72019x2021

,57911199

②計(jì)算---------1----------——的值

61220309900

【答案】

I11I1

(I)V

1x22x3233x434

1_]_1

+n〃+1

11

故答案為:

n〃+1

111iiiii

(2);----+-----+---1--—?---------1----------=1

1x22x33x422334

1111

+------+----—++

1x22x33x42019x2020

1111

=1-+----------

耳+5―§+丁1+20192020

—1-----

2020

2019

2020

2019

故答案為:

2020

111

(3)①——+++

1x33^55^72019x2021

-I-------------)

20192021

一(1-----)

22021

12020

—x-------

22021

1010

2021

—199

61220309900

J____1_

1+1_-1-++--+

2334455699100

11

2-100

49

-ioo

【點(diǎn)睛】

本題考查了規(guī)律型一數(shù)字的變化類(lèi)，探尋數(shù)列規(guī)律，數(shù)字變化中的恒等變形裂項(xiàng)法，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)和為o等知識(shí)點(diǎn),

重點(diǎn)掌握數(shù)字變化中的恒等變形裂項(xiàng)相消法，善用聯(lián)想是解決這類(lèi)問(wèn)題的方法.

【專題訓(xùn)練】

一、選擇題

1.（2020?安徽七年級(jí)期中）觀察下列兩行數(shù)（）

1,3,5,7,9,11,13,15,17,

1,4,7,10,13,16,19,22,25,…

探究發(fā)現(xiàn)：第1個(gè)相同的數(shù)是1,第2個(gè)相同的數(shù)是7,???,若第"個(gè)相同的數(shù)是2023,則"等于（）

A.337B.338C.339D.340

【答案】B

2.將正偶數(shù)按如圖排成5歹IJ：根據(jù)上面的排列規(guī)律，則2020應(yīng)在（）

1列2列3列4列5列

第1行2468

第2行16141210

第3行18202224

………2826

A.第253行，第2列B.第252行，第2列

C.第253行，第3列D.第252行，第3列

【答案】C

3.（2020?湖北武漢?七年級(jí)期中）如圖，都是由棱長(zhǎng)為1的正方體疊成的圖形.例如：第①個(gè)圖形由1個(gè)正方體疊成，第②個(gè)

圖形由4個(gè)正方體疊成，第③個(gè)圖形由10個(gè)正方體疊成…，低此規(guī)律，第10個(gè)圖形由"個(gè)正方體疊成，則"的值為（）

0

（圖①）（圖②）（圖③）

A.220B.165C.120D.55

【答案】A

4.（2020.河南七年級(jí)期中）如圖,每個(gè)圖案均由邊長(zhǎng)相等的黑白兩色正方形按規(guī)律拼接而成，照此規(guī)律，第"個(gè)圖案中白色

正方形有（）

第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)

A.n個(gè)B.（5〃+3）個(gè)C.（5〃+2）個(gè)。.（4"+3）個(gè)

【答案】B

5.如圖在表中各正方形中的四個(gè)數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律,機(jī)的值（）

D.144

【答案】。

二、填空題

6.（2020?赤壁市實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)月考）觀察下面一列數(shù)，—,一一，』，-二，…按照這個(gè)規(guī)律，第十個(gè)數(shù)應(yīng)該是__.

261220

19

【答案】------.

110

7.（2020?甘肅蘭州?七年級(jí)期中）有若干個(gè)數(shù)，第一個(gè)數(shù)記為生,第二個(gè)數(shù)記為。2,…，第〃個(gè)數(shù)記為若4=一，從

第二個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都等于“1與它前面那個(gè)數(shù)的差的倒數(shù)”，通過(guò)探究可以發(fā)現(xiàn)這些數(shù)有一定的排列規(guī)律，利用這個(gè)規(guī)律

可得。2016等于-------

【答案】」

2

8.取一個(gè)自然數(shù)，若它是奇數(shù)，則乘以3加上1,若它是偶數(shù)，則除以2,按此規(guī)則經(jīng)過(guò)若干步的計(jì)算最終可得到1.這個(gè)

結(jié)論在數(shù)學(xué)上還沒(méi)有得到證明.但舉例驗(yàn)證都是正確的.例如：取自然數(shù)5.經(jīng)過(guò)下面5步運(yùn)算可得1,即：如圖所示，如果

自然數(shù)，”恰好經(jīng)過(guò)7步運(yùn)算可得到1,則所有符合條件的m的值是.

5mi’2>]

【答案】128、21、20、3

9.將正整數(shù)按如圖方式進(jìn)行有規(guī)律的排列，第2行最后一個(gè)數(shù)是4,第3行最后一個(gè)數(shù)是7,第4行最后?個(gè)數(shù)是10,…,

依此類(lèi)推，第10行第2個(gè)數(shù)是,，第.行最后一個(gè)數(shù)是2020.

1

34

34567

45678910

5678910111213

【答案】11674

10.定義一種對(duì)正整數(shù)〃的“產(chǎn)運(yùn)算”：

①當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3〃+5：

nn

②當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為2r（其中&是使5r為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行，例如，取片26,第三次“廣運(yùn)算”的

結(jié)果是11.

F?F?

S第1次第2次第3次

若"=565,則第2020次“尸運(yùn)算”的結(jié)果是.

【答案】5

三、解答題

II.（2020?廣東惠州?初一期中）觀察下列格式，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律:

111111_11

~2,2^3~2~3,3^A~3~4,

（1）請(qǐng)你按上述規(guī)律寫(xiě)出第5個(gè)式子是.,第"個(gè)式子是.

（2）利用以上規(guī)律計(jì)算：——++LH---------------的值.

1x22x33x499x100

【答案】

(1)觀察已知各式可知:

1]__1_

第5個(gè)式子是

5x656

1

第n個(gè)式子是

n(n+l)nn+\

1_11_￡_1

故答案為:

-

5^656+nn+1

111

(2)---------1-----------1-----------FH---------------

1x22x33x499x100

=1」+111111

-+-—++-

2233499T6O

1」

100

99

100

【點(diǎn)睛】

本題考查了規(guī)律型一數(shù)字的變化類(lèi)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)字的變化尋找規(guī)律.

1J]11111

12.(2020?甘肅蘭州?七年級(jí)期中)已知:…照此規(guī)律

2~一~1'\3~2\2~3,4-3-3-4

1

?n10

1,11

②計(jì)算：----1H2+4

233

1,111111

③計(jì)算：--1+-—+—----1"…+

24320162015

【答案】

解：①原式=--------:

1011

故答案為：--------

1011

111,13

②原式—1----1--—+---=I--=-

2233444

③原式=1一!+'」+...+，2015

-----=1

22320152016-----20162016

【點(diǎn)睛】

此題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，以及絕對(duì)值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

13.探索規(guī)律，觀察下面算式，解答問(wèn)題.

1+3=4=22，

1+3+5=9=32，

1+3+5+7=16=42，

1+3+5+7+9=25=52,

(1)請(qǐng)猜想：1+3+5+7+9++29=

(2)請(qǐng)猜想：1+3+5+7+9++(2〃一1)+(2〃+1)+(2〃+3)=

試計(jì)算：1001+1003++2019+2021.

【答案】

2

1+29

解：⑴1+3+5+7+9+…+19=I=152=225,

2

故答案為：225；

(2)1+3+5+7+9+...+(2〃-1)+(2〃+1)+(2〃+3)=(^^^)2=(n+2)2,

2

故答案為：(〃+2尸：

(3)1001+1003+...+2019+2021

=(1+3+5+...+999)-(14-3+...+2019+2021)

l+2021fJ+9992

22

=10112-5002

=772121.

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)字變化規(guī)律，觀察出結(jié)果的底數(shù)與算式中首尾兩個(gè)數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

14.(2020?山東初一期中)觀察下列等式：

12x231=132x21，

13x341=143x31.

23x352=253x32,

34x473=374x43，

62x286=682x26.

以上每個(gè)等式中兩邊數(shù)字是分別對(duì)稱的，且每個(gè)等式中組成兩位數(shù)與三位數(shù)的數(shù)字之間具有相同規(guī)律，我們稱這類(lèi)等式為“數(shù)

字對(duì)稱等式”.

(1)根據(jù)上述各式反映的規(guī)律填空，使式子稱為“數(shù)字對(duì)稱等式”：

?52x=x25；

②x396=693x___.

(2)設(shè)這類(lèi)等式左邊兩位數(shù)的十位數(shù)字為“，個(gè)位數(shù)字為方，且2Wa+匕W9,寫(xiě)出表示“數(shù)字對(duì)稱等式”一般規(guī)律的式

子(含力且。力。0).

【答案】

解:(1)①:5+2=7,

.?.左邊的三位數(shù)是275,右邊的三位數(shù)是572,

.,.52x275=572x25；

②：左邊的三位數(shù)是396,

...左邊的兩位數(shù)是63,右邊的兩位數(shù)是36,

.?.63x369=693x36；

故答案為：①275,572；②63,36；

(2)?.?左邊兩位數(shù)的十位數(shù)字為a,個(gè)位數(shù)字為從

二左邊的兩位數(shù)是IOa+4三位數(shù)是\OOI)+W(a+b)+a,

右邊的兩位數(shù)是lOb+a,三位數(shù)是100a+10(a+6)+〃，

二一般規(guī)律的式子為:(。+力x[l00什10(a+fe)+a]=[l00a+10(a+b)+b]x(1Ob+a).

【點(diǎn)睛】

本題是對(duì)數(shù)字變化規(guī)律的考查，根據(jù)己知信息，理清利用左邊的兩位數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字變化得到其它的三個(gè)數(shù)字是解

題的關(guān)鍵.

15.閱讀下列材料:

1x2=-(1x2x3-Oxlx2)；

2x3=1(2x3x4-lx2x3)；

3x4=；(3x4x5-2x3x4)；

由以上三個(gè)等式相加，可得1X2+2X3+3X4=LX3X4X5=20.

3

讀完以上材料，請(qǐng)你計(jì)算下列各題：

(1)1x24-2x3+3x4++49x50(寫(xiě)出過(guò)程)

(2)猜想：Ix2+2x3+3x4++〃x(〃+l)=.

(3)探究計(jì)算：Ix2x3+2x3x4+3x4x5++15x16x17

【答案】

解：觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

1

n(〃+1)=—[n(w+1)(n+2)-(M-1)n(w+1)].

3

(1)Ix2+2x3+3x4++49x50

1111

=—(1x2x3-Ox1x2)+—(2x3x4-1x2x3)+—(3x4x5-2x3x4)+...+—(49x50x51-48x49x50)

3333

1

=-x49x50x51

3

=41650：

(2)Ix2+2x3+3x4++nx(rt+l)

1111

=—(Ix2x3-Oxlx2)+—(2x3x4-1x2x3)+—(3x4x5-2x3x4)+...+—[n(n+l)(*+2)-(M-I)n(n+1)]

3333

1

=—n(n+1)(,J+2)；

3

(3)觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：Ix2x3=—(Ix2x3x4-Ox1x2x3),2x3x4=—(2x3x4x5-lx2x3x4),3x4x5=—(3x4x5x6-2x3x4x5),

444

1

'.n(n+1)(M+2)=—[n(n+1)5+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)5+2)],

4

二原式=一(Ix2x3x4-Ox1x2x3)+—(2x3x4x54x2x3x4)+—(3x4x5x6-2x3x4x5)+...+—(15x16x17x18-14x15x16x17),

4444

1

=—xl5xJ6xl7xl8

4

=18360

【點(diǎn)睛】

本題考查了規(guī)律型中數(shù)字的變化類(lèi)以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)等式的變化找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

16.（2020?赤壁市實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)月考）請(qǐng)先閱讀下列一組內(nèi)容，然后解答問(wèn)題:

111_111_111_11

面=1一相袤ThW；獲“?…而T"歷

1111

----+-----+-----+...+------

1x22x33x49x10

“1、/11、/11、/11、

1111119

—I-------F...H--------=1

233491010To

計(jì)算:

?11

⑴一L+---+------+...+--------

1x22x33x44x599x100

1111

（2）已知1|與吐2|互為相反數(shù)，求:----F---------------++

ab(Q+1)3+D3+2)3+2)(a+3)(6+3)

4-+

(4Z+2019)(/?+2019)

(3)-------+---------+---------+...+---------------

1x33x55x799x101

【答案】

111

(1)-------+++--...+-------

1x22x33x44x599x100

,1111111

—1----F------F------F4------

2233499100

1

100

99

100

(2)?.%/-1|與步-2|互為相反數(shù),

：.\a-l|+|fc-2|=0,

.,.a=l,b=2,

?*.原式=-----H----------+---------+--------------------------------

1x22x33x44x52020x2021

,1111111

_]-I——--I■"I-----------.

2233420202021

1

=1一------

2021

2020

2021：

1I11

(3)-------+---------+---------+...+---------------

1x33x55x799x101

11111111

=-(1—+——+——+■??+-------)

23355799101

--(1-----)

2101

50

ToT,

【點(diǎn)睛】

本題考查了規(guī)律型一數(shù)字的變化類(lèi)，有理數(shù)的混合運(yùn)算，相反數(shù)的定義，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)字的變化尋找規(guī)律.

17.(2020?四川初一期中)如圖,圖1是“楊輝三角”數(shù)陣.圖2是二項(xiàng)和的乘方(x+y)”的展開(kāi)式(按y的升基排列).

1(x+y)'=x+y

11(x+y)2=x2+2xy+y2

121

(x+y)3=x3+3r2y+3xy2+y3

1331

(x+y)4=x4+4x3y+6x~y2+4xy3+y4

14641

(i+y)：,=，++10r3y2+io工2y3+^yi熄

151010511X

1abc...1(z4-y)6=x6+???+/

圖I圖,2

(i)圖i中：a=,b=

(2)求(x+y)2°"的展開(kāi)式中第三項(xiàng)系數(shù)的值.

(3)若(2+y1"=4+4丁+42y?++。2021)’2⑼,求4+。2++々021的值?

【答案】

(1)由圖1可知：。=1+5=6,人=5+10=15，c=10+10=20,

故。=6,b=15,c=20

(2)由圖2可知：

(x+y)2第三項(xiàng)系數(shù)為1=0+1，

（*+卜）3第一:項(xiàng)系數(shù)為3=1+2，

（元+y）4第：項(xiàng)系數(shù)為6=1+2+3，

（x+yp笫三項(xiàng)系數(shù)為10=1+2+3+4,

(x+y)"第三項(xiàng)系數(shù)為1,

當(dāng)〃=2021時(shí)，3=膽當(dāng)竺=20412。

22

故(x+y)2⑼展開(kāi)式中第三項(xiàng)系數(shù)為204⑵0.

2,>21

⑶蘇(2+y產(chǎn)2y2?202,y>

202

當(dāng)y=0時(shí)，a0=2',

202

當(dāng)y=l時(shí)，a0+at+a2+a2021+y'

'4+02+6(3++02021=(a0+ai+a2++。2021)_4=3^21_2?021.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查代數(shù)式的規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知的圖形或式了找到規(guī)律進(jìn)行求解.

18.（2020.四川初一期中）觀察下列等式：4=_L=1_J_；h=——=-x

11x2121x32

11

2x323-2x4224

_L=_L_L4=，」(1一11

3x4343x52(3

請(qǐng)解答下列問(wèn)題:

（1）按以上規(guī)律可得?！?（其中〃為正整數(shù)）；bn=（其中"為正整數(shù)）.

(2)求q++。3++。99的值?

(3)求〃]+2+4++%的值.

【答案】

1_111

b

解：（1）由題可知:n=

〃x(〃+l)n〃+1〃x(〃+2)2n〃+2

1111

(2)4+/+%+十%9

一1x212x3'3x4''99x100

,1111111,199

=]----1-------1----一+4---------二

2233499100100-100

1111

(3)4+打+&+4十.h%--

一1x312x4'3x5''99x101

I1111114949

1----1------------1-----------F

23243520200

【點(diǎn)睛】

本題考查了尋找數(shù)字的規(guī)律及運(yùn)用規(guī)律計(jì)算.尋找規(guī)律大致可分為2個(gè)步驟：不變的和變化的：變化的部分與序號(hào)的關(guān)系.

19.觀察下列等式:

1

第1個(gè)等式：a.=----—；第2個(gè)等式：a、—

11x212-2^323

第3個(gè)等式：/=—!—=1

一；第4個(gè)等式：a.------——

3x43444x545

解答下列問(wèn)題:

(1)按以上規(guī)律寫(xiě)出第5個(gè)等式：a5=

(2)求q+a,+/+L+。202。的值?

(3)求------1--------1---------FH-------------的值.

4x88x1212x162016x2020

【答案】

解：(i)第1個(gè)等式：■=」一=!-'；

11x212

111

第2個(gè)等式：a

22x323

111

第3個(gè)等式：a

33x434

1_11

第4個(gè)等式：a

'-4x5-45'

111

第5個(gè)等式：a

「X6一5一6：

111

故答案為:

5x66

11111111

(2)2++d-,mn=------1-------1-------FH-------------

'-3202012233420202021

二1---------

2021

2020

-2021

1111

(3)-----++-------+