山西省2021屆高三第一次模擬數(shù)學(xué)（理）試題及答案

太原市2021年高三年級模擬考試（一）

數(shù)學(xué)試卷（理科）

由

需（考試時間:下午3:00—5：00）

維

*

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，第I卷1至4頁，第n卷5至8頁。

鼓

2.回答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考試編號填寫在答題卡上。

3.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,

：如需改動，用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號,寫在本試卷上無效。

4.回答第n卷時，將答案寫在答題卡相應(yīng)位置上,寫在本試卷上無效。

幽5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題:本題共12小題,每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.已知集合4={*|卜|<1},8=卜|2，〈1},則4<8=

郛A.（-l,0）B.（-oo,l）

C.（-1,1）D.（O,l）

2.已知復(fù)數(shù)z滿足/=i,則復(fù)數(shù)z=

福

A.1-iB.1+i

后C.-1-iD.-l+i

3.公元前6世紀(jì)，古希臘畢達哥拉斯學(xué)派在研究正五邊形和正十邊形的作圖時，發(fā)現(xiàn)了黃金

分割數(shù)又2廠L其近似值為0.618,這是一個偉大的發(fā)現(xiàn)，這一數(shù)值也表示為a=2sinl8。,

若+6=4,貝I]--一吧=

1-cos72°

A.1B.2

2

高三數(shù)學(xué)（理）第1頁（共8頁）

4.函數(shù)/G）=忙竽的部分圖象大致是

x-sinx

6X-60246x

5.在區(qū)間［-1,1］上任取一個實數(shù)鼠則使得直線,=辰與圓G-2）2+必=1有公共點的概率是

A.浮B.浮

22

C冬D

32

6.已知梯形4BCD中,4B〃DC,且4B=2DC,點P在線段BC上，若?=。通+人而，則實數(shù)入=

0

32

A4B3

C.；D.J

32

7.已知｛aJ是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前n項和為S.，且｛S”｝是等差數(shù)列，給出以下結(jié)論：

①｛a.+S.｝是等差數(shù)列；②｛%?S.｝是等比數(shù)列;③｛%?｝是等差數(shù)列;是等比數(shù)列，

則其中正確結(jié)論的個數(shù)為

A.4B.3

C.2D.1

x+3y-13W0,

8.已知實數(shù)滿足，3x+2y-11>0,若不等式*+my+1W0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是

2%一y一5W0,

A.（0,；B.-4,-

D.(-?,-4]

高三數(shù)學(xué)（理）第2頁（共8頁）

9.已知a:21n3\6=31n2\c=21117r則下列結(jié)論正確的是

A.6<c<aB.c<6<a

C.b<a<cD.a<b<c

10.已知三棱錐4-BCD中,AB=BC=BD=CD=AD=4,二面角A-BD-C的余弦值為熱

點E在棱4B上，且BE=34E,過E作三棱錐4-外接球的截面，則所作截面面積的

最小值為

10TT

A~B.37T

D?

UC三3

11.已知過拋物線產(chǎn)=加6>0）的焦點F片,0）的直線與該拋物線相交于A,8兩點，點M是

線段4B的中點，以4E為直徑的圓與y軸相交于P,Q兩點，若"=2而，則sinZMPQ=

A]B1

5

D.

B

12.已知函數(shù)/G)=sin(s+>0,|^|<的圖象關(guān)于4得對稱,/圖=o.

7T1177

/G)在上單調(diào)遞增,則3的所有取值的個數(shù)是

A.3B.4

C.1D.2

高三數(shù)學(xué)（理）第3頁（共8頁）

太原市2021年高三年級模擬考試(一)

數(shù)學(xué)試卷(理科)

第n卷(非選擇題共完分)

廚本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題?第21題為必考題，每個試題考生都必須作

答.第22題、第23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.

翅二、填空題:本大題共4小題,每小題5分，共20分.試題中包含兩空的，答對第一空的給3分，

全部答對的給5分.

郡

13.函數(shù)fG)=0+2)婷的圖象在點(0J(0))處的切線方程為.

長14.在(1-?)+(!-x)2+(1-x)3+(1-x)4+(1-x)5+(1-*)6的展開式中，一的系數(shù)

為________.

我

15.已知數(shù)列｛4｝滿足a[=02='，4.2=4+2X3"(/IWN*)，且幻=aa+Qn.i(7iwN*),則數(shù)列

蒸

｛6.｝的通項公式為，若6”c.=3；￡嚴(yán)N*),則數(shù)列卜.｝的前n項和為.

赭16.已知橢圓C:[+4=l(a>6>0)的左焦點是點F,過原點傾斜角為:的直線)與橢圓。相

ab3

恭27r

交于兩點，若網(wǎng)V=萬?，則橢圓C的離心率是.

高三數(shù)學(xué)(理)第5頁(共8頁)

三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個

試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題:共60分.

17.(本小題滿分12分)

已知a,6,c分別是ZUBC的內(nèi)角4,B,C所對的邊,3csinA=4bsinC,再從下面條件①與②

中任選一個作為已知條件，完成以下問題：

(I)證明：△的＜?為等腰三角形；

(n)若A48C的面積為■，點O在線段4B上,且80=2a4,求CO的長.

條件①:cosC=半條件②:cos4=

［注:如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.】

18.(本小題滿分12分)

某地區(qū)為了實現(xiàn)產(chǎn)業(yè)的轉(zhuǎn)型發(fā)展,利用當(dāng)?shù)芈糜钨Y源豐富多樣的特點，決定大力發(fā)展旅

游產(chǎn)業(yè)，一方面對現(xiàn)有旅游資源進行升級改造,另一方面不斷提高旅游服務(wù)水平.為此該地

區(qū)旅游部門,對所推出的報團游和自助游項目進行了深入調(diào)查，下表是該部門從去年某月到

該地區(qū)旅游的游客中，隨機抽取的100位游客的滿意度調(diào)查表.

老年人中年人青年人

滿意度

報團游自助游報團游自助游報團游自助游

滿意121184156

一般2164412

不滿意116232

(I)已知甲是此次調(diào)查時滿意度為“滿意”的報團游游客，由上表中的數(shù)據(jù)分析,甲最有

可能是老年人、中年人和青年人這三種人群中的哪一類人群？

(D)為了提高服務(wù)水平，該旅游部門要從上述樣本里滿意度為“不滿意”的游客中，隨機

抽取3人征集整改建議,記X表示這3人中老年人的人數(shù)，求X的分布列和期望.

(m)若你朋友要到該地區(qū)旅游,根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，你會建議他選擇哪種旅游項目？

高三數(shù)學(xué)(理)第6頁(共8頁)

19.(本小題滿分12分)

如圖，在三棱錐P-ABC中，△P48是正三角形，C是△R1B的重心,D,E,〃分別是E4,

BC,PC的中點，點F在BC上，且BF=3FC.

(I)求證:平面OFH〃平面PGE;

(D)若尸8_1_4(7,48=4C=2,BC=2M5,求二面角4-PC-B的余弦值.

20.(本小題滿分12分)

已知橢圓(?：+(=1(。＞，＞0)的左、右焦點分別是用、心,其離心率e=4,點P是橢

ab2

rrr

圓C上一動點,△PF,K內(nèi)切圓面積的最大值為了.

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(n)直線PF“PFz與橢圓C分別相交于點4,8,求證：也口+/4為定值.

|M|\F,B\

21.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(%)=e*+cos%-ax-2(aE.R).

(I)設(shè)g(%)=/(%)+OX,求g'(%)在［0,+8)上的最小值；

(n)若不等式MG)＞0在+8)上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

高三數(shù)學(xué)(理)第7頁(共8頁)

（二）選考題:共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第一題計

分.作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑.

22.（本小題滿分10分）【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

在平面直角坐標(biāo)系*Oy中,曲線G的參數(shù)方程為21”（，為參數(shù)），以坐標(biāo)原點

y:一7

0為極點以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為cos9+。卜0.

（I）求曲線G的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；

（II）已知點尸（3,，5）,曲線G與相交于4,8兩個不同點，求||網(wǎng)的值.

2-

23.（本小題滿分10分）【選修4-5：不等式選講】引

已知函數(shù)/（,）二k+:?卜以-m|（m>0）.

（I）當(dāng)m=1時,求函數(shù)/G）的最小值；屋.

（II）若存在力￡（0,1）,使得不等式/'G）W3成立,求實數(shù)m的取值范圍.

哦

固

高三數(shù)學(xué)（理）第8頁（共8頁）

太原市2021年高三年級模擬考試（一）

數(shù)學(xué)試題（理）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

一.選擇題：

LA2.D3.B4.A5.C6.C7.B8.D9.A10.B11.A12.D

二.填空題：

36-M

13.y=-x+214.—3515.b=3W,-----------1-6-.--------

3(2w+l)x3rt+,2

三.解答題:

2

17.解：選擇條件①cosC

3

（1）證明：由3csin4=4人sin。和正弦定理得%=4/7，2分

22a2+/>2—r-25b2-9c

由cosC=士和余弦定理得￡=-一---4分

332ab24b2

.?.b=c,「.AJ3c為等腰三角形:6分

(11)由(1)得3。=4b,b=c,=cosC=2,..sinC=,

33

2

S..ur--ahsinC-c-2-75.c=b=3,a=4，9分

29

vBD=IDA,:.BD=2,DA=1,

28

/.CD2=/+BD?-la?BDCQSB=a2+BD2-2a-BDcosC=

T

12分

CD普

選擇條件②cos4=L.

9

（1）證明：由3csin力=4〃sinC和正弦定理得3〃=4力，.......2分

山cos力=1和余弦定理得-='+C=至二2L,...............4分

992bc18A

9

，b=c或人=一,c(舍去)，A48C為等腰二角形：.......6分

(II)由(1)得3〃=4b,b=c，,;cosJ=->/.sinJ=4G,

99

,?^&ABC=~^'sinA=~~^2=2>/5?；.c=b=3,a=4,...............9分

BD-2DA?BD=2,DA=1,

no2/n1

CD'=b"+AD'-2b,ADCQSA——,CD=--------.12分

33

18.解：(I)由表中數(shù)據(jù)可得老年人、中年人和青年人選擇報團游的頻率分別為

1553032211

p,=—=-.—p,=—=—.因為p|＞p,＞小，所以老年人更傾向于選

186-4044221-3

擇報團游：.......4分

(II)由題意得X所彳:可能的取值為0,1,2,.......5分

5。噫啜W喈吟，歿=2)=警總,

.?.X的分布列為

X012

P22121

353535

2

.?.￡%=0x—+1x—+2x—9分

3535355

12+18+1545

(III)由上表可知,報團游的滿意率為P4

15+30+22-67

自助游的滿意率為小=/震^=；,因為凡＞〃5,故建議他選擇報團游........12分

(答案不啡一，言之有理即可給分)

19.(1)證明：連結(jié)8G,由題意得8G與GO共線，旦8G=2GO,

???￡是8C的中點，BF=3FC,;.F是CE的中點、,

/.—=—=2,:.GE〃DF,:.DF〃、丫血PGE,.......2分

GDEF

,：H是PC的中點，：.FH〃PE,:.FH〃平面PGE,.......4分

?.?DFCiFH=F?平面DFH〃平面PGE：.......6分

222

(II)-AB=AC=2,BC=2y[2,AB+AC=S=BC,AB1ACt

vPBLAC.ABr\PB=B,.?./Cl平面尸48,.......8分

以/為坐標(biāo)原點，向量46,4。的方向為x軸，y軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系4一盯z,由題意得力(0,0,0),8(2,0,0),C(0,2,0),0

設(shè)陽=區(qū),必,2])是平面尸4c的?個法向量，

則但把=0,

[m-AP=0,[x\+,v3Z|=0,

令4=-l,則|"二°).?.蔡=(6,0,-1),……9分

[x]=V3,

設(shè)〃二(々,%/2)是平面PBC的一個法向量，

則尼?號=0，.卜-2%+國=0,令句=1,則卜=§.=(石,向)，……10分

■.8C=0,區(qū)-2必=0,［必=總，

---m-nV?

cos<m,n>=———=—，11分

|〃“|川7

工一面角力一PC—B的余弦值為立.

12分

7

20解：(I)由題意得A尸￡后內(nèi)切圓半徑〃的最大值為T分

22

二橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+匕=1；

43

(II)設(shè)2(%,打)，4(X］，M),B(x2,y2),

(1)當(dāng)義工0時，設(shè)直線尸片，”的方程分別是％=叫、-1,x=m2y+\.

x=m}y-\9

由x2y2得(3裙+4)./-6叫歹-9=0,4M=一，￡分

—+—=13m.+4

,431

■:X=附J。-1,/.叫="+?,:.紅5+2x,

o8分

3

X=7/J2^+I,

可褥生=_5-2%

同理，由X2V

——+—=1乃3

43

.1尸耳，1冊1_M%」。10分

［片川田回乂為3

易嚅+圜110

(2)當(dāng)外=0時，直線PG，P用與x軸重合,=3H—=.

33,

綜小胃需哈

12分

21.(1)解：由題意得g(x)=e、+cosx-2,gf(x)=ex-sinx,x>0.2分

二.g”(x)=e*-cosxNO，/.g'(x)在［0,+<?)上.單調(diào)遞增，

，g'(x)在［。，+8)上的最小值為g'(0)=l：.......4分

(H)???力O0在產(chǎn),+8)上恒成立，且/(0)=0.

.-./r(0)=l-a>0,:.a<\,.......5分

(1)當(dāng)xNO時,則/(x)N0在［0,+oo)上恒成立，

令力。)="+cosx-x-2,x>0,由(1)可知力'(x)=e'-sinx-l=g'(x)-120,

??.h(x)在［0,+oc)上單調(diào)遞增，%(x)2力(0)=0，

f(x)=ex+cosx-or-2>ex+cos.r-x-2>0.aV1此時符合題意:7分

(2)當(dāng)-^4x<0時，則/(x)KO在卜會0)上恒成立，

-s\nx-a,「/'(x)=eK-cosx，fm(x)=ex+sinx

X

???廣(力在上單調(diào)遞增，且廣(-g=eW—lvO,廣(0)=1>0,

.-.3xoe(-|,O),使得/"'(*=0,

又???

TT-7T

乂???，(一］)=e2+i_q>o,/(0)=l-a>0,.?.八力20在［-5,0)上恒成立，……10分

.-./(X)在［一三,0)上單調(diào)遞增，f(x)</(0)=0在［-W,0)上恒成立,

.?.441此時符合題意：.......11分

綜上所述，實數(shù)。的取值范南是(YO』........12分

'=；(，+-),v2

22解：(1)將42/的參數(shù)/消去得曲線G的普通方程為』一二=1，