考點51-單調性中的分類討論(講解)(解析版)

考點51：單調性中的分類討論【思維導圖】【常見考法】考法一：導函數(shù)為一根1．若定義在上的函數(shù)，，求函數(shù)的單調區(qū)間；【答案】見解析.【解析】函數(shù)，求導得到，當時，，函數(shù)在上單調遞增；當時，由，得到，所以時，，單調遞減，時，，單調遞增，綜上所述，當時，單調遞增區(qū)間為；當時，單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；2．已知函數(shù)，討論的單調性；【答案】見解析【解析】，當時，，∴在上單調遞減.當時，令，得；令，得.∴的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.當時，令，得；令，得.∴的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.3．設函數(shù)，討論函數(shù)的單調性；【答案】見解析【解析】由題意得，.①當時，，故函數(shù)在區(qū)間上單調遞增；②當時，在區(qū)間上，，在區(qū)間上，，故函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增.4．設函數(shù)，討論函數(shù)的單調性；【答案】見解析【解析】函數(shù)的定義域為，.當，即時，，函數(shù)在上單調遞增.當時，令，解得，當時，，函數(shù)單調遞增，當時，，函數(shù)單調遞減.綜上所述：當時，函數(shù)在上單調遞增，當時，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減.考法二：導函數(shù)為兩根且能因式分解1．已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調性；【答案】見解析【解析】因為，所以.令，解得或.若，當即或時，故函數(shù)的單調遞增區(qū)間為；當即時，故函數(shù)的單調遞減區(qū)間為.若，則，當且僅當時取等號，故函數(shù)在上是增函數(shù).若，當即或時，故函數(shù)的單調遞增區(qū)間為；當即時，故函數(shù)的單調遞減區(qū)間為.綜上，時，函數(shù)單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；時，函數(shù)單調遞增區(qū)間為；時，函數(shù)單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.2．已知函數(shù)，討論的單調性；【答案】見解析【解析】因為，所以，即.由，得，.①當時，，當且僅當時，等號成立.故在為增函數(shù).②當時，，由得或，由得；所以在，為增函數(shù)，在為減函數(shù).③當時，，由得或，由得；所以在，為增函數(shù)，在為減函數(shù).綜上，當時，在為增函數(shù)；當時，在，為增函數(shù)，在為減函數(shù)；當時，在，為增函數(shù)，在為減函數(shù).3．已知函數(shù)，，討論函數(shù)的單調性；【答案】見解析【解析】.若，當時，，即在上單調遞增；當時，，即在上單調遞減.若，當時，，即在（，上均單調遞增；當時，，即在上單調遞減.若，則，即在上單調遞增.若，當時，即在，上均單調遞增；當時，，即在上單調遞減.4.已知函數(shù)，求函數(shù)的單調區(qū)間【答案】見解析【解析】函數(shù)的定義域為．．若，．所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為；若，令，解得，．當時，，的變化情況如下表單調遞增極大值單調遞減函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是；當時，，的變化情況如下表單調遞增極大值單調遞減函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是．綜上所述：，的單調遞增區(qū)間為；，單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是；，單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是5．設函數(shù)，討論的單調性；【答案】見解析【解析】（1）由題意得，當時，當；當時，；在單調遞減，在單調遞增，當時，令得，當時，；當時，；當時，；所以在單調遞增，在單調遞減；②當時，，所以在單調遞增，③當時，；當時，；當時，；∴在單調遞增，在單調遞減；6．已知函數(shù)，討論的單調性；【答案】見解析【解析】函數(shù)的定義域為，，①若，則，在單調遞增.②若，則由得.當時，；當時，，所以在單調遞減，在單調遞增.③若，則由得.當時，；當時，，故在單調遞減，在單調遞增.考法三：不能因式分解的導函數(shù)1．已知函數(shù)，討論的單調性；【答案】見解析【解析】的定義域為，，對于，，當時，，則在上是增函數(shù).當時，對于，有，則在上是增函數(shù).當時，令，得或，令，得，所以在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).綜上，當時，在上是增函數(shù)；當時，在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).2．已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調性；【答案】見解析【解析】由得：定義域為令，則①