教育統(tǒng)計(jì)學(xué)課件

*第一章緒論第一節(jié)統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展歷程第二節(jié)統(tǒng)計(jì)學(xué)的意義第三節(jié)統(tǒng)計(jì)學(xué)及其分類*教育統(tǒng)計(jì)學(xué)把數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論與方法應(yīng)用到教育領(lǐng)域，研究教育現(xiàn)象的一門應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)。內(nèi)容：描述統(tǒng)計(jì)：對(duì)數(shù)據(jù)資料進(jìn)行加工整理，通過圖示、列表、求典型量數(shù)等手段對(duì)數(shù)據(jù)資料進(jìn)行分析和描述。推斷統(tǒng)計(jì)：由部分去說明整體的理論和方法，即根據(jù)局部的資訊，利用統(tǒng)計(jì)的原理與方法，分析論證在一定可靠度下總體的數(shù)理特徵或分佈特徵。*統(tǒng)計(jì)的局限性統(tǒng)計(jì)方法可以幫助其他學(xué)科探索學(xué)科內(nèi)的數(shù)量規(guī)律性，但對(duì)這種數(shù)量規(guī)律性的解釋與進(jìn)一步的研究，只能由各學(xué)科自已的研究完成。統(tǒng)計(jì)學(xué)只是一種有用的、定量分析的工具，不能解決所有的問題。統(tǒng)計(jì)學(xué)能否解決各學(xué)科的具體問題，取決於：是否正確選擇了適合所研究問題的統(tǒng)計(jì)方法；是否與各專業(yè)的知識(shí)得到有效的結(jié)合，即是否通過專業(yè)知識(shí)對(duì)所研究的事物有了較好的定性把握。只有在定性分析與定量分析有機(jī)結(jié)合的基礎(chǔ)上，統(tǒng)計(jì)分析才能得出滿意的結(jié)論。*考核方式學(xué)校規(guī)定：平時(shí)考核：應(yīng)不低於學(xué)期總成績40%（包括作業(yè)、論文、文獻(xiàn)分析等）期末考試：應(yīng)不高於學(xué)期總成績60%，著重進(jìn)行能力考察我們的具體要求：平時(shí)考核：出勤＋作業(yè)（40％）期末考試：選擇題、判斷題、簡答題、計(jì)算題等（60％）第二章統(tǒng)計(jì)資料的整理第一節(jié)基本概念介紹第二節(jié)統(tǒng)計(jì)資料的整理*第一節(jié)基本概念介紹1.數(shù)據(jù)的概念與特點(diǎn)2.變數(shù)與常量3.數(shù)據(jù)的分類方式4.總體、個(gè)體、樣本5.參數(shù)與統(tǒng)計(jì)量*1.數(shù)據(jù)的概念與特點(diǎn)數(shù)據(jù)：帶有單位的數(shù)，是通過對(duì)具體事物進(jìn)行計(jì)數(shù)或者測量所得到的描述事物特徵的數(shù)量依據(jù)。數(shù)據(jù)是統(tǒng)計(jì)調(diào)查、整理和分析的基礎(chǔ)。具有變異性和規(guī)律性*2.變數(shù)、隨機(jī)變數(shù)、觀測值變數(shù)是可以取不同值的量。統(tǒng)計(jì)觀察的指標(biāo)都是具有變異的指標(biāo)。當(dāng)我們用一個(gè)量表示這個(gè)指標(biāo)的觀察結(jié)果時(shí)，這個(gè)指標(biāo)是一個(gè)變數(shù)。用來表示隨機(jī)現(xiàn)象的變數(shù)，稱為隨機(jī)變數(shù)。一般用大寫的Ｘ或Ｙ表示隨機(jī)變數(shù)。隨機(jī)變數(shù)所取得的值，稱為觀測值。一個(gè)隨機(jī)變數(shù)可以有許多個(gè)觀測值。恒定不變的量稱為常量。*3.數(shù)據(jù)的分類方式變數(shù)的測量水準(zhǔn)數(shù)據(jù)的獲得方式數(shù)據(jù)分佈的形式測量水準(zhǔn)：比率、等距、等級(jí)、稱名數(shù)據(jù)比率變數(shù)：既表明量的大小，也有相等的單位，同時(shí)還具有絕對(duì)零點(diǎn)的數(shù)據(jù)。例如身高、體重、反應(yīng)時(shí)可以進(jìn)行加減乘除等距變數(shù)：指有相等單位，但無絕對(duì)零的數(shù)據(jù)。例如溫度、各種智商分?jǐn)?shù)等?？杉訙p不可乘除

測量水準(zhǔn)：比率、等距、順序、稱名數(shù)據(jù)順序變數(shù)：按事物某種屬性的多少或大小，按次序?qū)⒏鱾€(gè)事物加以排列後獲得的數(shù)據(jù)資料。例如學(xué)生的等級(jí)評(píng)定、喜愛程度等。

稱名變數(shù)：使用數(shù)字為卷標(biāo)，將事物的性質(zhì)或類別加以分類。無法做任何的算數(shù)運(yùn)算。

數(shù)據(jù)的分類方式稱名變數(shù)等級(jí)變數(shù)等距變數(shù)比率變數(shù)*頻率、比率中位數(shù)、百分位數(shù)、百分比、等級(jí)相關(guān)平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、積差相關(guān)、t檢驗(yàn)、z檢驗(yàn)、F檢驗(yàn)+

-

*

/?獲得方式：計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)、測量數(shù)據(jù)計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)：計(jì)算個(gè)數(shù)的數(shù)據(jù)測量數(shù)據(jù)：借助於一定的測量標(biāo)準(zhǔn)而獲得的數(shù)據(jù)EXAMPLES

人口數(shù)、學(xué)校數(shù)、男女生數(shù)等

身高、體重、考試分?jǐn)?shù)、智力測驗(yàn)分?jǐn)?shù)等數(shù)據(jù)分佈：離散變數(shù)、連續(xù)變數(shù)離散變數(shù):

不連續(xù)數(shù)據(jù)，數(shù)字形式一般是整數(shù)，兩個(gè)單位之間不能再劃分細(xì)小單位。依照人、事物或事件的屬性，對(duì)其進(jìn)行歸類

數(shù)字大小的順序具有排序的意義EXAMPLES

眼睛的顏色:

黑色藍(lán)色,

棕色,

綠色,

灰色

音樂:

藍(lán)調(diào),古典,鄉(xiāng)村，搖滾,爵士樂數(shù)據(jù)分佈：離散變數(shù)、連續(xù)變數(shù)EXAMPLES

時(shí)間：10,20,35,42….分鐘

身高：1.50,1.63,1.70,1.72……米

連續(xù)變數(shù):

單位是無限的，可以細(xì)微到只可想像而不能看見的程度數(shù)據(jù)分佈：離散變數(shù)、連續(xù)變數(shù)連續(xù)變數(shù)的實(shí)限[實(shí)下限，實(shí)上限)1801.81.80[179.5,180.5)[1.75,1.85)[1.795,1.805)*4.總體、個(gè)體和樣本需要研究的同質(zhì)對(duì)象的全體，稱為總體。每一個(gè)具體研究對(duì)象，稱為一個(gè)個(gè)體。從總體中抽出的用以推測總體的部分對(duì)象的集合稱為樣本。樣本中包含的個(gè)體數(shù)，稱為樣本的容量n。一般把容量n≥30的樣本稱為大樣本；而n

＜30的樣本稱為小樣本。*統(tǒng)計(jì)量和參數(shù)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)統(tǒng)計(jì)量參數(shù)平均數(shù)μ標(biāo)準(zhǔn)差Sσ相關(guān)係數(shù)rρ回歸係數(shù)bβ*總體樣本Populationparameter描述總體某些特性的數(shù)值，是描述總體情況的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。常數(shù)，用希臘字母表示μσ。Samplestatistics描述樣本的特性的數(shù)量，隨著取樣的不同，會(huì)有不同的變化。樣本統(tǒng)計(jì)量被視為隨機(jī)變數(shù)，常用英文字母表示xs。樣本統(tǒng)計(jì)量總體參數(shù)

統(tǒng)計(jì)主要問題在於如何透過樣本統(tǒng)計(jì)量來推估或檢證總體參數(shù)第二節(jié)統(tǒng)計(jì)資料的整理統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)整理的程式1.統(tǒng)計(jì)資料的審核。2.資料的分組和匯總。分組，即對(duì)資料按其性質(zhì)和特點(diǎn)，劃分為若干類；匯總，加總計(jì)算形成各項(xiàng)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。3.編制統(tǒng)計(jì)表或4.繪製統(tǒng)計(jì)圖。*2.數(shù)據(jù)的分組與匯總根據(jù)統(tǒng)計(jì)研究的目的和客觀現(xiàn)象的內(nèi)在特點(diǎn)，按某個(gè)標(biāo)誌（或幾個(gè)標(biāo)誌）把被研究的總體劃分為若干個(gè)不同性質(zhì)的組，稱為統(tǒng)計(jì)分組。分組的性質(zhì)兼有分和合雙重含義。分組的標(biāo)誌品質(zhì)標(biāo)誌：以事物的品質(zhì)屬性來表現(xiàn)數(shù)量標(biāo)誌：以事物的數(shù)量屬性來表現(xiàn)分組的形式簡單分組：對(duì)研究現(xiàn)象按一個(gè)標(biāo)誌進(jìn)行分組。複合分組：用兩個(gè)或兩個(gè)以上標(biāo)誌分組。*3.統(tǒng)計(jì)表統(tǒng)計(jì)表是用來表達(dá)研究變數(shù)與被說明的事物之間數(shù)量關(guān)係的表格。它可以將大量數(shù)據(jù)的分類結(jié)果清晰、概括、一目了然地表達(dá)出來，便於分析、比較和計(jì)算。統(tǒng)計(jì)表的構(gòu)成統(tǒng)計(jì)表的分類次數(shù)分佈表*（1）統(tǒng)計(jì)表的構(gòu)成

橫標(biāo)目的總標(biāo)目縱標(biāo)目橫標(biāo)目數(shù)字*表2－1統(tǒng)計(jì)表的格式頂線底線表線表號(hào)標(biāo)題標(biāo)目標(biāo)目表注注：（2）統(tǒng)計(jì)表的種類簡單表：只按研究現(xiàn)象（或變數(shù)）的名稱、地點(diǎn)、時(shí)序等列出數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)表。分組表：只按一個(gè)標(biāo)誌分組的統(tǒng)計(jì)表稱為分組表。複合表：按兩個(gè)或兩個(gè)以上標(biāo)誌分組的統(tǒng)計(jì)表稱為複合表。*（3）次數(shù)分佈表次數(shù)分佈表是對(duì)雜亂無序的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理的重要手段，它能使我們對(duì)樣本情況有個(gè)初步的瞭解，為今後進(jìn)一步分析和研究問題提供很大方便。*編制分組次數(shù)分佈表的步驟求全距R=Xmax-Xmin決定組數(shù)k（k=1+3.332lgN

）和組距i列出分組區(qū)間求組中值（組的精確下/上限+/-組距/2）登記次數(shù)計(jì)算每組數(shù)據(jù)的次數(shù)f抄錄新表*3）雙列次數(shù)分佈表雙列次數(shù)分佈表又稱相關(guān)次數(shù)分佈表，是對(duì)有聯(lián)繫的兩列變數(shù)用同一個(gè)表表示其次數(shù)分佈。

例如同一組被試中每個(gè)被試兩種心理能力的分?jǐn)?shù)或兩種心理特點(diǎn)的指標(biāo)，或同一組被試在兩種實(shí)驗(yàn)條件下獲得的結(jié)果。

*4.統(tǒng)計(jì)圖統(tǒng)計(jì)圖是整理和呈現(xiàn)數(shù)據(jù)的另一種方法，它把研究變數(shù)與被說明事物之間的數(shù)量關(guān)係用圖形表現(xiàn)，直觀、形象地表達(dá)出事物的全貌及其數(shù)據(jù)的分佈特徵，使人一目了然，便於理解和記憶，印象深刻。*（1）統(tǒng)計(jì)圖的構(gòu)成統(tǒng)計(jì)圖一般由圖號(hào)、標(biāo)題、標(biāo)目、圖形、圖注等幾部分構(gòu)成。統(tǒng)計(jì)圖中的標(biāo)目由基線和尺度線構(gòu)成。對(duì)於有縱軸、橫軸的統(tǒng)計(jì)圖，一般以基線表示被觀察的現(xiàn)象，而尺度線則表示其數(shù)量。*（2）三類常見的統(tǒng)計(jì)圖條形圖：用直條的長短來表示統(tǒng)計(jì)專案數(shù)值大小的圖形，主要是用來比較性質(zhì)相似的間斷型資料。

圓形圖（餅圖）線形圖(曲線形圖）*圖2－3某年級(jí)操行評(píng)定結(jié)果圓形圖*基線尺度線圓形圖：是用於表示間斷型資料比例的圖形。圓形的面積表示一組數(shù)據(jù)的整體，圓中扇形的面積表示各組成部分所占的比例。各部分的比例一般用百分比表示。

繪製圓形圖的步驟求出各組成部分所占的百分比求出各部分的中心角度以順時(shí)針方向畫出扇形標(biāo)出不同顏色及百分比*線形圖：用來表示連續(xù)型資料。它能表示兩個(gè)變數(shù)之間的函數(shù)關(guān)係；一種事物隨另一種事物變化的情況；某種事物隨時(shí)間推移的發(fā)展趨勢(shì)等。基於線形圖，既可對(duì)有關(guān)統(tǒng)計(jì)變數(shù)進(jìn)行數(shù)量比較，又可分析發(fā)展的趨勢(shì)。

*（3）次數(shù)分佈圖在編制次數(shù)分佈表的基礎(chǔ)上，可以繪製次數(shù)分佈圖，使一組數(shù)據(jù)特徵更加直觀和概括,而且還可以對(duì)數(shù)據(jù)的分佈情況和變動(dòng)趨勢(shì)作粗略的分析。*1）次數(shù)分佈直方圖直方圖

(histogram)又稱為等距直方圖，是以矩形的面積表示連續(xù)性隨機(jī)變數(shù)次數(shù)分佈的圖形。一般用縱軸表示數(shù)據(jù)的頻數(shù)，用橫軸表示數(shù)據(jù)的等距分組點(diǎn)，即各分組區(qū)間的上下限。直方圖是統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用而且又有特殊意義的一種統(tǒng)計(jì)圖，有著重要的應(yīng)用價(jià)值。*2）次數(shù)分佈多邊圖次數(shù)分佈多邊形圖（frequencypolygon）是一種表示連續(xù)性隨機(jī)變數(shù)次數(shù)分佈的線形圖，屬於次數(shù)分佈圖。凡是等距分組的可以用直方圖表示的數(shù)據(jù)，都可用次數(shù)多邊圖來表示。繪製方法：以各分組區(qū)間的組中值為橫坐標(biāo)，以各組的頻數(shù)為縱坐標(biāo)，描點(diǎn)；將各點(diǎn)以直線連接即構(gòu)成多邊圖形。*利用次數(shù)分佈多邊圖還可以把幾組資料放在一起進(jìn)行比較。但需要注意的是，這時(shí)必須把數(shù)據(jù)的次數(shù)換算成百分比。*3）累積次數(shù)分佈圖根據(jù)累積次數(shù)，可以繪製累積次數(shù)分佈圖。*圖2-14累積次數(shù)分佈直方圖累積次數(shù)分佈曲線當(dāng)數(shù)據(jù)的總數(shù)較多時(shí)，將累積次數(shù)分佈圖中的橫坐標(biāo)以每一分組區(qū)間的精確上限或精確下限表示，縱坐標(biāo)以累積次數(shù)表示，則可繪製累積次數(shù)分佈曲線，即累積曲線。*圖2-15累積次數(shù)分佈曲線第三章集中量數(shù)集中量數(shù)用來表現(xiàn)數(shù)據(jù)資料的典型水準(zhǔn)或集中趨勢(shì)（centraltendency）。3.1算術(shù)平均數(shù)3.2加權(quán)算術(shù)平均數(shù)3.3中位數(shù)3.4眾數(shù)3.5平均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)比較3.6幾何平均數(shù)*3.1算術(shù)平均數(shù)[1/4]算術(shù)平均數(shù)（arithmeticaverage

）一般簡稱為平均數(shù)（average）或均數(shù)、均值（mean）一般用m

，或者用表示。算術(shù)平均數(shù)是最常用的集中量。*3.1算術(shù)平均數(shù)[2/4]原始數(shù)據(jù)計(jì)算公式：其中N是個(gè)數(shù)，Xi是第i個(gè)分?jǐn)?shù)，

（Sigma）是相加，m（mu）是總體平均數(shù)。*算術(shù)平均數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)：算術(shù)平均數(shù)具備一個(gè)良好的集中量所應(yīng)具備的一些特點(diǎn)：反應(yīng)靈敏、有公式嚴(yán)密確定、簡明易懂、適合代數(shù)運(yùn)算等等，因此是一個(gè)最常用的集中量。主要不足：容易受兩極端數(shù)值的影響；一組數(shù)據(jù)中有模糊不清的數(shù)值時(shí)無法計(jì)算。*3.1算術(shù)平均數(shù)[3/4]算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算和應(yīng)用原則：同質(zhì)性原則：算術(shù)平均數(shù)只能用於表示同類數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。只能用於“比率變數(shù)”“等距變數(shù)”。平均數(shù)與個(gè)體數(shù)值相結(jié)合的原則：在解釋個(gè)體特徵時(shí)，既要看平均數(shù)，也要結(jié)合個(gè)體的數(shù)據(jù)。平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差、方差相結(jié)合原則：描述一組數(shù)據(jù)時(shí)既要分析其集中趨勢(shì)，也要分析離散程度。*3.1算術(shù)平均數(shù)[4/4]算數(shù)平均數(shù)有所謂的m

和之別，其他的集中量數(shù)則無。因?yàn)槲覀儠?huì)用樣本平均數(shù)來推論總體平均數(shù)m，但通常不會(huì)關(guān)心總體的中數(shù)、眾數(shù)、幾何平均數(shù)或其他集中量數(shù)。*加權(quán)算術(shù)平均數(shù)是不同比重?cái)?shù)據(jù)（或平均數(shù)）的平均數(shù)，一般用表示。其計(jì)算公式為*3.2加權(quán)算術(shù)平均數(shù)「1/4」加權(quán)平均數(shù)的適用條件1、在研究對(duì)象總體中，當(dāng)存在著所占比率不同或重要程度不同的數(shù)據(jù)時(shí)，必須用加權(quán)平均的方法計(jì)算總體的平均數(shù)。2、適用於比率變數(shù)和等距變數(shù)。3.2加權(quán)算術(shù)平均數(shù)「4/4」中位數(shù)（median）又稱為中數(shù)、中間值，是按順序排列的一組數(shù)據(jù)中位於中間位置的數(shù)。中位數(shù)是常用集中量的一種。一般用Md或Mdn表示。*3.3中位數(shù)「1/5」原始數(shù)據(jù)計(jì)算法首先將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列*3.3中位數(shù)「2/5」奇數(shù)：從大到小排列第（N+1）/2個(gè)數(shù)例：68837257879051偶數(shù)：從大到小排列第N/2和N/2+1個(gè)數(shù)的平均數(shù)。例：818677759488

3.3中位數(shù)「3/5」中位數(shù)的特點(diǎn)與應(yīng)用：中位數(shù)是根據(jù)全部數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)來確定其位置的，意義簡明，對(duì)按順序排列的數(shù)據(jù)來講，計(jì)算中位數(shù)也比較容易。中位數(shù)不受兩端極端數(shù)據(jù)的影響，但反應(yīng)不靈敏，也不適合進(jìn)一步代數(shù)運(yùn)算的要求。一般用於下列情況：一組數(shù)據(jù)中有極端數(shù)據(jù)時(shí)；一組數(shù)據(jù)中有個(gè)別數(shù)據(jù)不確切、不清楚時(shí)；資料屬於順序變數(shù)性質(zhì)時(shí)。*3.3中位數(shù)「4/5」眾數(shù)（mode）是眾分?jǐn)?shù)中出現(xiàn)最多的值。如果所有的數(shù)值只出現(xiàn)一次，沒有眾數(shù)。眾數(shù)可能有兩個(gè)值以上，這和平均數(shù)、中位數(shù)不一樣，它們只有一個(gè)值。一般用Mo表示。次數(shù)分佈表中，頻數(shù)最多那一組數(shù)據(jù)的組中值，即為眾數(shù)。*3.4眾數(shù)「1/3」眾數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)眾數(shù)的概念簡單易懂，但比較粗略，不能靈敏地反映一組數(shù)據(jù)的變化，而且不適合進(jìn)一步代數(shù)運(yùn)算。一般用於名義變數(shù)或順序變數(shù)的資料。*3.4眾數(shù)「3/3」測量水準(zhǔn)：名義量尺：眾數(shù)順序量尺：眾數(shù)、中位數(shù)等距量尺：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)*3.5平均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)比較「1/3」分佈情況：*正態(tài)分佈平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)正偏態(tài)分佈平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)眾數(shù)負(fù)偏態(tài)分佈平均數(shù)中位數(shù)3.5平均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)比較「2/3」特性比較：眾數(shù)僅考慮“數(shù)量”容易產(chǎn)生“多眾數(shù)”情形中位數(shù)僅考慮“距離”不易受“極端分?jǐn)?shù)”影響算術(shù)平均數(shù)同時(shí)考慮“數(shù)量”與“距離”容易受“極端分?jǐn)?shù)”影響*3.5平均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)比較「3/3」幾何平均數(shù)（geometricmean）是n個(gè)數(shù)值連乘積的n次方根，用或表示。計(jì)算公式為：*3.6幾何平均數(shù)「1/4」幾何平均數(shù)適用於平均改變率、平均成長率，或平均比率。例如1996年的經(jīng)濟(jì)成長率是1%，1997年是2%，1998年是3%，1999年是4%。則平均的經(jīng)濟(jì)成長率就是幾何平均數(shù)，為*3.6幾何平均數(shù)「2/4」第四章差異量數(shù)描述數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)量稱為差異量數(shù)。差異量數(shù)越大，表明數(shù)據(jù)越分散、不集中；差異量數(shù)越小，表明數(shù)據(jù)越集中，變動(dòng)範(fàn)圍越小。4.1全距4.2四分位距4.3方差與標(biāo)準(zhǔn)差4.4差異量數(shù)*4.1全距「1/1」全距R（range）全距是一組數(shù)據(jù)中的最大值（maximum）與該組數(shù)據(jù)中最小值（minimum）之差，又稱“極差”。例:23,56,90,20,13,45特點(diǎn)：計(jì)算簡便，直觀易於理解*4.2四分位距「1/2」四分位距，又叫四分差，是第一個(gè)四分位數(shù)與第三個(gè)四分位數(shù)之差的一半。用中位數(shù)作集中量時(shí)，常用四分位距作差異量。特點(diǎn)：四分位差避免了數(shù)列中極端值的影響，但去頭棄尾，丟失大量的原始數(shù)據(jù)。*利用原始數(shù)據(jù)計(jì)算公式為：其中：例:51,60,58,63,74,88,66,70,71,75,81,86,52,57,61,65,90,77*4.2四分位距「2/2」Q1MdQ3方差（又稱為變異數(shù)、均方）。是表示一組數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。一般樣本的方差用

表示，總體的方差用表示。標(biāo)準(zhǔn)差（standarddeviation）是方差的算術(shù)平方根。一般樣本的標(biāo)準(zhǔn)差用S表示，總體的標(biāo)準(zhǔn)差用表示。標(biāo)準(zhǔn)差和方差是描述數(shù)據(jù)離散程度最常用的差異量。常與平均數(shù)配套使用。*4.3方差和標(biāo)準(zhǔn)差「1/10方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義原始數(shù)據(jù)計(jì)算公式*4.3方差和標(biāo)準(zhǔn)差「3/10」總標(biāo)準(zhǔn)差的合成方差具有可加性的特點(diǎn)。當(dāng)已知幾個(gè)小組數(shù)據(jù)的方差或標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，可以計(jì)算幾個(gè)小組聯(lián)合在一起的總的方差或標(biāo)準(zhǔn)差。需要注意的是，只有在應(yīng)用同一種觀測手段，測量的是同一種特質(zhì)，只是樣本不同的數(shù)據(jù)時(shí)，才能計(jì)算合成方差或標(biāo)準(zhǔn)差。*4.3方差和標(biāo)準(zhǔn)差「6/10」計(jì)算公式*

公式中:為總標(biāo)準(zhǔn)差

Si為各小組標(biāo)準(zhǔn)差

ni為各小組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)4.3方差和標(biāo)準(zhǔn)差「7/10」方差和標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)*如果則如果則4.3方差和標(biāo)準(zhǔn)差「9/10」方差是對(duì)一組數(shù)據(jù)中各種變異的總和的測量，具有可加性和可分解性特點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)差是一組數(shù)據(jù)方差的算術(shù)平方根，它不可以進(jìn)行代數(shù)計(jì)算，但有以下特性：方差和標(biāo)準(zhǔn)差的意義方差與標(biāo)準(zhǔn)差是表示一組數(shù)據(jù)離散程度的最好指標(biāo)，是統(tǒng)計(jì)分析中最常用的差異量。方差具備一個(gè)良好的差異量應(yīng)具備的條件，如：反應(yīng)靈敏，有公式嚴(yán)密確定，簡明易懂，適合代數(shù)運(yùn)算等等。應(yīng)用方差和標(biāo)準(zhǔn)差表示一組數(shù)據(jù)的離散程度，須注意必須是同一類數(shù)據(jù)（即同一種測量工具的測量結(jié)果），而且被比較樣本的水準(zhǔn)比較接近。*4.3方差和標(biāo)準(zhǔn)差「10/10」差異係數(shù)（coefficientofvariation）是指標(biāo)準(zhǔn)差與其算術(shù)平均數(shù)的百分比，它是沒有單位的相對(duì)數(shù)。常以CV表示，其計(jì)算公式為*4.4差異係數(shù)「1/4」差異係數(shù)的作用比較不同單位資料的差異程度比較單位相同而平均數(shù)相差較大的兩組資料的差異程度可判斷特殊差異情況*4.4差異係數(shù)「2/4」數(shù)據(jù)的解讀：絕對(duì)意義：由數(shù)值大小反應(yīng)相對(duì)意義：需從相對(duì)比較，甚至於進(jìn)行變數(shù)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化，才能對(duì)於數(shù)據(jù)的意義進(jìn)行正確解讀

*第五章相對(duì)地位量數(shù)描述個(gè)別觀察值在團(tuán)體中所在相對(duì)位置的統(tǒng)計(jì)量集中量數(shù)和差異量數(shù)描述的是群體

相對(duì)地位量數(shù)描述的是個(gè)體5.1百分等級(jí)5.2標(biāo)準(zhǔn)分*相對(duì)地位量數(shù)（measuresofrelativeposition）百分等級(jí)（percentilerank;PR）指觀察值在變數(shù)上的分?jǐn)?shù)在團(tuán)體中所在的等級(jí)，值越大，等級(jí)越高。即在一百個(gè)人中，該分?jǐn)?shù)以下有多少人。例如，PR＝20代表某一個(gè)分?jǐn)?shù)在團(tuán)體中可以勝過20％的人。*5.1百分等級(jí)「1/2」百分等級(jí)的計(jì)算將數(shù)據(jù)依序排列*5.1百分等級(jí)「2/2」PR=100×(1-R/N)(R:名次)利用線性轉(zhuǎn)換(y=bx+a)的原理，將一組數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成不具有實(shí)質(zhì)單位的標(biāo)準(zhǔn)化分?jǐn)?shù)。使得不同量尺與不同變數(shù)的測量數(shù)據(jù)具有相同的單位與相同的集中點(diǎn)，因此得以相互比較。5.2標(biāo)準(zhǔn)分「1/6」y=bx+aa:b:s標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)（standardscores，Z分?jǐn)?shù)）

定義：指原始分?jǐn)?shù)減去其平均數(shù)，再除以標(biāo)準(zhǔn)差後所得到的新分?jǐn)?shù)表示該原始分?jǐn)?shù)是落在平均數(shù)以上或以下幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的位置上5.2標(biāo)準(zhǔn)分「2/6」Z分?jǐn)?shù)的特性：任何一組數(shù)據(jù)經(jīng)過Z公式轉(zhuǎn)換後，均具有平均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的特性Z分?jǐn)?shù)可以作分佈內(nèi)與跨分佈的比較當(dāng)Z分?jǐn)?shù)小於0時(shí)，表示該觀察值落在平均數(shù)以下。當(dāng)Z分?jǐn)?shù)大於0，表示該觀察值落在平均數(shù)以上；數(shù)值越大，表示距離平均數(shù)越遠(yuǎn)，若觀察值恰等於平均數(shù)，則Z分?jǐn)?shù)為0。*5.2標(biāo)準(zhǔn)分「5/6」Z分?jǐn)?shù)僅是將原始分?jǐn)?shù)進(jìn)行線性轉(zhuǎn)換，並未改變各分?jǐn)?shù)的相對(duì)關(guān)係與距離，因此Z分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換並不會(huì)改變分佈的形狀。常用的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)：Z分?jǐn)?shù)T分?jǐn)?shù)（T=10Z+50）SAT考試（SAT=100Z+500）比西測驗(yàn)IQ分?jǐn)?shù)（IQ=16Z+100）韋氏智力測驗(yàn)分?jǐn)?shù)（IQ=15Z+100）*5.2標(biāo)準(zhǔn)分「6/6」*第六章相關(guān)係數(shù)第一節(jié)相關(guān)概述第二節(jié)積差相關(guān)第三節(jié)等級(jí)相關(guān)第四節(jié)點(diǎn)二列相關(guān)第五節(jié)Φ相關(guān)*第一節(jié)相關(guān)概述6.1.1相關(guān)及其分類6.1.2相關(guān)係數(shù)6.1.3散點(diǎn)圖*

6.1.1相關(guān)及其分類「1/5」確定性關(guān)係：兩變數(shù)間的函數(shù)關(guān)係

圓的周長與半徑的關(guān)係：C＝2R

速度、時(shí)間與路程的關(guān)係：L＝STX與Y的函數(shù)關(guān)係：Y＝a+bX非確定性關(guān)係：兩變數(shù)在宏觀上存在關(guān)係，但並未精確到可以用函數(shù)關(guān)係來表達(dá)。青少年身高與年齡的關(guān)係；年齡與血脂的關(guān)係；身高與體重的關(guān)係；體重與體表面積的關(guān)係；藥物濃度與反應(yīng)率的關(guān)係；*當(dāng)一個(gè)變數(shù)增大，另一個(gè)也隨之增大(或減少)，我們稱這種現(xiàn)象為共變，或相關(guān)(correlation)。兩個(gè)變數(shù)有共變現(xiàn)象，稱為有相關(guān)關(guān)係。研究兩個(gè)變數(shù)之間是否存在相關(guān)關(guān)係，如果存在相關(guān)關(guān)係，其相關(guān)的方向和密切程度如何，這個(gè)過程在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱為相關(guān)分析。相關(guān)分析的任務(wù)就是對(duì)相關(guān)關(guān)係給予定量的描述(計(jì)算相關(guān)係數(shù))。6.1.1相關(guān)及其分類「2/5」*根據(jù)兩個(gè)變數(shù)變化的方向：正相關(guān)：兩個(gè)變數(shù)的變化方向一致的相關(guān)，即一個(gè)變數(shù)值變大時(shí)，另一個(gè)變數(shù)值也隨著變大；一個(gè)變數(shù)值變小時(shí)，另一個(gè)變數(shù)也隨著變小；負(fù)相關(guān)：兩個(gè)變數(shù)的變化方向相反的相關(guān)，即一個(gè)變數(shù)值變大時(shí)，另一個(gè)變數(shù)則變??；一個(gè)變數(shù)值變小時(shí)，另一個(gè)變數(shù)值則變大；零相關(guān)：兩個(gè)變數(shù)的變化方向無一定的規(guī)律的相關(guān)，即一個(gè)變數(shù)值變大時(shí)，另一個(gè)變數(shù)值可能變大，也可能變小，並且變大或變小沒有規(guī)律。6.1.1相關(guān)及其分類「4/5」*按關(guān)係密切程度分高（強(qiáng)）相關(guān)低（弱）相關(guān)按變數(shù)的數(shù)目分簡相關(guān)：2個(gè)變數(shù)複相關(guān)：2個(gè)以上變數(shù)按散點(diǎn)分佈形態(tài)分直線相關(guān)（linearcorrelation）：空調(diào)銷量曲線相關(guān)：如效率水準(zhǔn)與動(dòng)機(jī)水準(zhǔn)6.1.1相關(guān)及其分類「5/5」*相關(guān)係數(shù)也稱為相關(guān)量，是用來描述變數(shù)之間變化方向和密切程度的數(shù)字特徵量，一般用ｒ表示數(shù)值範(fàn)圍：[-1,+1]正負(fù)號(hào):反映變數(shù)之間變化的方向,“+”號(hào)表示正相關(guān)，“－”號(hào)表示負(fù)相關(guān)絕對(duì)值的大小反映變數(shù)之間關(guān)係的密切程度相關(guān)係數(shù)沒有等距單位，不能做加、減、乘、除運(yùn)算6.1.2相關(guān)係數(shù)「1/3」（correlationcoefficient）*表6-2相關(guān)係數(shù)與相關(guān)程度表一覽表|r|0≤0.30.3<|r|≤0.50.5<|r|≤0.8>0.81.0相關(guān)

程度零相關(guān)微相關(guān)切實(shí)相關(guān)密切相關(guān)高度相關(guān)完全相關(guān)6.1.2相關(guān)係數(shù)「3/3」*散點(diǎn)圖：以一個(gè)變數(shù)（X）做橫軸，以另一個(gè)變數(shù)（Y）做縱軸，對(duì)應(yīng)做點(diǎn)，展示一組數(shù)據(jù)呈現(xiàn)的變數(shù)依存關(guān)係。正相關(guān)：散點(diǎn)呈橢圓形分佈，兩變數(shù)同時(shí)增大或較小，變化趨勢(shì)是同向的負(fù)相關(guān)：散點(diǎn)呈橢圓形分佈，X、Y呈反向變化零相關(guān)：散點(diǎn)呈正圓形分佈，X、Y的變化方向無整體規(guī)律6.1.3散點(diǎn)圖「1/9」（scatterplots）*散點(diǎn)圖－－完全相關(guān)表4-3正方形邊長和周長的關(guān)係圖4-1正方形邊長和周長的關(guān)係散點(diǎn)圖6.1.3散點(diǎn)圖「2/9」*表4-450個(gè)12歲男孩身高和體重的關(guān)係圖4-250個(gè)12歲男孩身高和體重的關(guān)係散點(diǎn)圖－－

正相關(guān)（相關(guān)高）6.1.3散點(diǎn)圖「3/9」*圖4-3數(shù)學(xué)能力和閱讀速度的相關(guān)表4-5數(shù)學(xué)能力(A)和閱讀速度(B)的相關(guān)散點(diǎn)圖－－

正相關(guān)（相關(guān)低）6.1.3散點(diǎn)圖「4/9」*ABABABABAB301372413421141181411414330129241302113618130141332913223139211311812414131291272313320139171391412728136231292013517133141232713822142201341614313139261262214020130161351313425132221282012816130111372413811126191411513411125241362212619134151319131表4-6閱讀理解（A）和身高（B）的關(guān)係6.1.3散點(diǎn)圖「5/9」*圖4-4閱讀理解和身高的關(guān)係散點(diǎn)圖－－不相關(guān)6.1.3散點(diǎn)圖「6/9」*DTDTDTDT6832565349504146673656464943414464415454494240706428545247604862624454494665386161405438465438586052525645593850595151474545357058475140446435555735505941563195表4-7不相似程度（D）和判斷時(shí)間（T）的關(guān)係6.1.3散點(diǎn)圖「7/9」*圖4-540對(duì)不相似程度與判斷時(shí)間的關(guān)係散點(diǎn)圖－－負(fù)相關(guān)6.1.3散點(diǎn)圖「8/9」*散點(diǎn)構(gòu)成的整體形態(tài)：散點(diǎn)的分佈取向：6.1.4散點(diǎn)圖「9/9」正圓－零相關(guān)pp的橢圓－低相關(guān)ss的橢圓－高相關(guān)線形－完全相關(guān)XYXY*第二節(jié)積差相關(guān)積差相關(guān)是英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜（Pearson）於20世紀(jì)初提出的一種計(jì)算相關(guān)的方法，因而被稱為皮爾遜積差相關(guān)，也稱為積矩相關(guān)（productmomentcorrelation）。積差相關(guān)適用條件積差相關(guān)適用於：兩個(gè)變數(shù)都是連續(xù)數(shù)據(jù)；兩變數(shù)總體都為正態(tài)分佈；兩變數(shù)之間為線性關(guān)係。成對(duì)數(shù)據(jù)，樣本容量要大（大於等於30）。*連續(xù)變數(shù)：根據(jù)得到數(shù)據(jù)的方式判斷，測量數(shù)據(jù)。正態(tài)分佈：一般情況下，正常人群的身高、體重、智力水準(zhǔn)、心理與教育測驗(yàn)的結(jié)果，都可按總體正態(tài)分佈對(duì)待。線性關(guān)係：根據(jù)相關(guān)散佈圖可判斷兩個(gè)變數(shù)之間是否線性關(guān)係。*計(jì)算公式：公式中：為變數(shù)X的平均數(shù)，為變數(shù)Y的平均數(shù)，為變數(shù)X的標(biāo)準(zhǔn)差，為變數(shù)Y的標(biāo)準(zhǔn)差，

n為數(shù)據(jù)的對(duì)數(shù)或計(jì)算得到了相關(guān)係數(shù)，還不能確定這兩個(gè)變數(shù)一定具有相關(guān)關(guān)係，需要對(duì)相關(guān)係數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)之後，才能做出判斷。ZXZY*第三節(jié)等級(jí)相關(guān)等級(jí)相關(guān)（rankcorrelation）是指以等級(jí)次序排列或以等級(jí)次序表示的變數(shù)之間的相關(guān)。6.3.1斯皮爾曼（spearman）等級(jí)相關(guān)6.3.2肯德爾和諧係數(shù)（thekandallcoefficientofconcordance）*概念及適用條件斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)是等級(jí)相關(guān)的一種。它適用於兩個(gè)以等級(jí)次序表示的變數(shù)，並不要求兩個(gè)變數(shù)總體呈正態(tài)分佈，也不要求樣本的容量必須大於30。當(dāng)連續(xù)數(shù)據(jù)不能滿足計(jì)算積差相關(guān)的條件時(shí)，可以轉(zhuǎn)換成等級(jí)數(shù)據(jù)從而計(jì)算斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)係數(shù)。6.3.1斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)「1/7」*斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)係數(shù)表示為rR，其計(jì)算公式為：公式中：RX為變數(shù)X的等級(jí)數(shù)，

RY為變數(shù)Y的等級(jí)數(shù)，

D為兩變數(shù)的等級(jí)數(shù)之差，即D=RX-RYn為樣本的容量6.3.1斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)「2/7」*如果有相同等級(jí)時(shí)，怎麼辦？可用它們所占等級(jí)位置的平均數(shù)作為它們的等級(jí)。Tips6.3.1斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)「4/7」*表4-1110個(gè)學(xué)生初一與初二數(shù)學(xué)成績斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)係數(shù)計(jì)算表序號(hào)XYRXRYD=RX-RY174762.53.5-1.012717565113727157-244687088005767613.5-2.56.256737941397676599008707772525954621010001074722.56-3.512.25合計(jì)71072358.56.3.1斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)「5/7」*計(jì)算：思考:同一組數(shù)據(jù)的積差相關(guān)係數(shù)和等級(jí)相關(guān)係數(shù)為什麼會(huì)有差別？哪一個(gè)更準(zhǔn)確？6.3.1斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)「6/7」*肯德爾等級(jí)相關(guān)方法有許多種，肯德爾和諧係數(shù)是其中一種?？系聽柡椭C係數(shù)常以rＷ表示，適用於多列等級(jí)變數(shù)的資料?？梢苑从扯鄠€(gè)等級(jí)變數(shù)變化的一致性。6.3.2肯德爾和諧係數(shù)「1/6」*肯德爾和諧係數(shù)的計(jì)算公式公式中：ｒｗ表示肯德爾和諧係數(shù)

K表示等級(jí)評(píng)定者的數(shù)目，即變數(shù)數(shù)

n為被等級(jí)評(píng)定的對(duì)象的數(shù)目

R為被評(píng)定對(duì)象獲得的K個(gè)等級(jí)之和SSR為R的離差平方和，即6.3.2肯德爾和諧係數(shù)「2/6」*學(xué)生n=6評(píng)價(jià)者K=41234134212431332134465655124265656例：4位教師對(duì)6位學(xué)生作文競賽的名次排列次序如表4-12。問4位教師評(píng)定的一致性程度如何？表4-124位教師對(duì)6位學(xué)生作文競賽的名次排列6.3.2肯德爾和諧係數(shù)「3/6」*學(xué)生n=6評(píng)價(jià)者K=4Ri12341342110100243131112132134101004656522484512429816565622484Σ841370表4-134位教師對(duì)6位學(xué)生作文競賽名次排列的肯德爾和諧係數(shù)計(jì)算表6.3.2肯德爾和諧係數(shù)「4/6」*有相同等級(jí)時(shí)，需要用肯德爾和諧係數(shù)的修正公式計(jì)算rW係數(shù)。公式中：

t為相同等級(jí)的數(shù)目。Tips6.3.2肯德爾和諧係數(shù)「5/6」*n=7評(píng)價(jià)者K=10Ri12345678910紅3.55233.543243331089橙65766.55776661.53782.25黃55576.56445451.52652.25綠111222211215225青3.53443.535635401600藍(lán)223111132117289紫7765576577623844Σ28013481.5表4-14存在相同等級(jí)時(shí)肯德爾和諧係數(shù)計(jì)算表6.3.2肯德爾和諧係數(shù)「6/6」*適用條件：一個(gè)變數(shù)為正態(tài)、連續(xù)變數(shù)，另一個(gè)變數(shù)為真正的二分名義變數(shù)，這兩個(gè)變數(shù)之間的相關(guān)，稱為點(diǎn)二列相關(guān)（point-biserialcorrelation）。第四節(jié)

點(diǎn)二列相關(guān)「1/5」*點(diǎn)二列相關(guān)係數(shù)的計(jì)算公式：

或公式中：是與二分名義變數(shù)的一個(gè)值對(duì)應(yīng)的連續(xù)變數(shù)的平均數(shù)是與二分名義變數(shù)的另一個(gè)值對(duì)應(yīng)的連續(xù)變數(shù)的平均數(shù)

p和q分別是二分名義變數(shù)的兩個(gè)值各自所占的比例，p+q=1St是連續(xù)變數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是連續(xù)變數(shù)的平均數(shù)點(diǎn)二列相關(guān)「2/5」*當(dāng)兩個(gè)變數(shù)都是二分名義變數(shù)，這兩個(gè)變數(shù)之間的關(guān)係，可以用Φ相關(guān)來討論。Φ相關(guān)係數(shù)用

表示。當(dāng)兩個(gè)變數(shù)都各分為兩類時(shí)，數(shù)據(jù)在統(tǒng)計(jì)表中佔(zhàn)有四個(gè)單元格，因此這類統(tǒng)計(jì)表又稱為四格表。Φ相關(guān)適用於四格表。第五節(jié)Φ相關(guān)「1/6」*四格表的一般形式變數(shù)ＸＸ1Ｘ2合計(jì)變數(shù)ＹＹ1aba+bＹ2cdc+d合計(jì)a+cb+dn=a+b+c+dΦ相關(guān)「2/6」*Φ相關(guān)係數(shù)計(jì)算公式aba+bcdc+da+cb+d巧記公式：Φ相關(guān)「3/6」*線性相關(guān)小結(jié)X變數(shù)Y變數(shù)積差相關(guān)連續(xù)、正態(tài)數(shù)據(jù)，30個(gè)以上連續(xù)、正態(tài)數(shù)據(jù)，30個(gè)以上斯皮爾曼等級(jí)數(shù)據(jù)等級(jí)數(shù)據(jù)肯德爾2列以上等級(jí)變數(shù)點(diǎn)二列相關(guān)連續(xù)正態(tài)二分名義變數(shù)Ф相關(guān)二分名義變數(shù)二分名義變數(shù)第七章概率與概率分佈概率的基礎(chǔ)知識(shí)12常用的概率分佈*第一節(jié)概率的基礎(chǔ)知識(shí)7.1.1隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件7.1.2事件的關(guān)係與運(yùn)算7.1.3概率定義7.1.4概率運(yùn)算的基本法則*7.1.1隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件「1/9」確定現(xiàn)象在一定條件下完全可以預(yù)言其一定出現(xiàn)或一定不出現(xiàn)的現(xiàn)象叫確定現(xiàn)象。其中：必然出現(xiàn)的現(xiàn)象叫必然現(xiàn)象。肯定不會(huì)出現(xiàn)的現(xiàn)象叫不可能現(xiàn)象。隨機(jī)現(xiàn)象在一定條件下，可能出現(xiàn)這樣的結(jié)果、也可能出現(xiàn)那樣的結(jié)果，而且事先並不能斷定會(huì)出現(xiàn)哪樣結(jié)果的現(xiàn)象叫隨機(jī)現(xiàn)象。*隨機(jī)現(xiàn)象中出現(xiàn)的各種可能的結(jié)果稱為隨機(jī)事件，簡稱事件。例如：向空中擲出一枚質(zhì)地均勻的硬幣，硬幣落地時(shí)“正面向上”是一個(gè)隨機(jī)事件，“正面向下”也是一個(gè)隨機(jī)事件。從全體考生中任意取一名學(xué)生，其成績“高於錄取線”“等於錄取線”“低於錄取線”這三種結(jié)果分別為三個(gè)隨機(jī)事件。通常用大寫字母A、B、C等表示事件。7.1.1隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件「2/9」*事件的包含若事件A發(fā)生時(shí)事件B必然發(fā)生，則稱事件B包含事件A，記做AB。7.1.2事件之間的關(guān)係與運(yùn)算「1/8」AB圖5－1AB*事件的不相容若事件A與事件B不可能同時(shí)發(fā)生，則稱A與B互不相容，記做A∩B＝Φ（Φ為不可能事件）。7.1.2事件之間的關(guān)係與運(yùn)算「3/8」AB圖5－2A∩B＝Φ*事件的交事件A與事件B同時(shí)發(fā)生時(shí)稱為事件A與B的交，記做A∩B。7.1.2事件之間的關(guān)係與運(yùn)算「5/8」AB圖5－3A∩B*事件的並（和）事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生稱事件A與B的並，記做A∪B。7.1.2事件之間的關(guān)係與運(yùn)算「7/8」AB圖5－3A∪BAB∪*觀察一定條件下發(fā)生的隨機(jī)事件稱作隨機(jī)試驗(yàn)，簡稱試驗(yàn)。一次試驗(yàn)中不同事件發(fā)生的可能性有時(shí)相等也有時(shí)不相等。向空中擲一個(gè)質(zhì)地均勻的硬幣，落地時(shí)正面向上為事件A，正面向下為事件B，事件A與事件B發(fā)生的可能性相等。從某班（由30名男生18名女生組成）隨機(jī)抽取一人，設(shè)抽中男生為事件A，抽中女生為事件B，則事件A發(fā)生的可能性大於事件B發(fā)生的可能性。7.1.3概率的定義「1/15」*定義：反映事件在試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小的數(shù)量化指標(biāo)叫做概率。本節(jié)介紹兩種基本的、較易理解的概率定義。先驗(yàn)概率經(jīng)驗(yàn)概率7.1.3概率的定義「2/15」*先驗(yàn)概率當(dāng)一次試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個(gè)（設(shè)為n個(gè)），且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，若事件A包含m個(gè)可能結(jié)果時(shí)，則：7.1.3概率的定義「3/15」符合事件A的結(jié)果的數(shù)目所有可能結(jié)果的總數(shù)事件A的概率=可能結(jié)果??*例1:一袋中有紅球2個(gè)，蘭球3個(gè)，白球5個(gè)，現(xiàn)從袋中隨意抽出一球，求下列事件發(fā)生的概率。(a)抽得紅球或白球(c)抽得的球並非白球(b)抽得黑球球的總數(shù)

=2+3+5

=10個(gè)

P(黑球)=0

P(並非白球)=P(紅球或蘭球)結(jié)論:P(不可能事件)P(必然事件)*經(jīng)驗(yàn)概率有些情況很難按照概率的古典定義去計(jì)算某一事件的概率。例如：研究青少年的犯罪率；某種新藥在治療中的有效率，等等這類現(xiàn)象不確定因素較多，不滿足“基本事件個(gè)數(shù)有限”；“每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等”的先驗(yàn)概率條件。7.1.3概率的定義「9/15」*經(jīng)驗(yàn)概率計(jì)算某事件在一系列試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，然後計(jì)算發(fā)生次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值得到的頻率。在不變的條件下重複進(jìn)行n次試驗(yàn)，事件A發(fā)生的頻率隨著n的增大，逐漸逼近某一數(shù)值，這個(gè)數(shù)值即事件A的概率。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，一般以事件A發(fā)生的頻率去估計(jì)其概率P(A)。7.1.3概率的定義「10/15」*經(jīng)驗(yàn)概率成立的條件：每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的可能性不變；（注意不是頻率）試驗(yàn)?zāi)芏啻沃匮}，且每次試驗(yàn)相互獨(dú)立。7.1.3概率的定義「11/15」*擲一枚均勻的骰子，擲出'1'的概率

0.167現(xiàn)在做一實(shí)驗(yàn)，擲一枚不均勻的骰子多次，其結(jié)果如下:此為先驗(yàn)概率此為經(jīng)驗(yàn)概率擲出'1'的概率點(diǎn)數(shù)123456次數(shù)188131074=0.3擲骰總次數(shù)

=18+8+13+10+7+4=607.1.3概率的定義「12/15」*經(jīng)驗(yàn)概率

—由試驗(yàn)的結(jié)果計(jì)算出的概率事件A發(fā)生的次數(shù)試驗(yàn)的總次數(shù)事件A的經(jīng)驗(yàn)概率

=隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生雖然不能事先確定，但是在大量重複試驗(yàn)的情況下，它的發(fā)生呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性．

*概率的加法如果A、B不可能同時(shí)發(fā)生，那麼它們至少有一個(gè)發(fā)生的概率是：例:從去掉大小王的一副撲克牌中隨機(jī)抽到黑桃Q的概率是1/52，而抽到一張紅心的概率是1/4；因此“抽到黑桃Q或者紅心”的概率是1/52+1/4=7/26。7.1.4概率運(yùn)算的基本法則「1/7」*概率的乘法（獨(dú)立事件）如果A、B相互不產(chǎn)生影響，那麼它們同時(shí)發(fā)生的概率是：例:一個(gè)畢業(yè)生給三家單位各發(fā)一份求職信，被拒絕的概率分別是1/2，2/3，3/4；那麼他一份工作都找不到的概率是

1/2×2/3×3/4=?＝0.25或者說他至少能找到一份工作的概率是

1-0.25=0.75。7.1.4概率運(yùn)算的基本法則「2/7」*第二節(jié)隨機(jī)變數(shù)的概率分佈7.2.1隨機(jī)變數(shù)7.2.2概率分佈7.2.3正態(tài)分佈7.2.4標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分佈7.2.5正態(tài)分佈應(yīng)用實(shí)例*7.2.1隨機(jī)變數(shù)「1/5」什麼是隨機(jī)變數(shù)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用變數(shù)來表示，此時(shí)的變數(shù)是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的描述，因此稱作隨機(jī)變數(shù).一般也用大寫字母X、Y、Z…來標(biāo)記。*隨機(jī)變數(shù)按其取值是否連續(xù)，可分為離散型和連續(xù)型兩種類型。1、離散型隨機(jī)變數(shù)如果隨機(jī)變數(shù)X只能取可數(shù)的或有限個(gè)值，則稱X為離散型隨機(jī)變數(shù)。例如，從班上隨機(jī)抽取10名學(xué)生的試驗(yàn)，所得的男生人數(shù)是離散可數(shù)的，即隨機(jī)變數(shù)X只能取0、1、2、…彼此之間不可能再取值。離散型隨機(jī)變數(shù)的取值都可以一一列出來7.2.1隨機(jī)變數(shù)「3/5」*2、連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)如果隨機(jī)變數(shù)X所可能取的值不能一一列舉，只能以一個(gè)區(qū)間表示，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)。例如，試驗(yàn)中的事件所代表的是長度、重量、智力等連續(xù)數(shù)據(jù)，那麼表示事件的隨機(jī)變數(shù)是連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)。它的形式不能是{X=x1}、{X=a}等等，而是{X>1}、{a<X<b}等等。7.2.1隨機(jī)變數(shù)「4/5」*概率分佈是指隨機(jī)變數(shù)取值的概率分佈，也稱隨機(jī)變數(shù)的分佈。在實(shí)際應(yīng)用中常常根據(jù)頻率分佈的形態(tài)對(duì)概率分佈的形態(tài)做近似的估計(jì)。例如：根據(jù)500次擲硬幣的實(shí)際結(jié)果做的頻率分佈，“正面向上”及“正面向下”的頻率接近0.5，因此可以估計(jì)擲硬幣的隨機(jī)試驗(yàn)中正面向上和正面向下的概率均為0.5。隨機(jī)抽取200名兒童進(jìn)行智力測驗(yàn)，結(jié)果智商的頻率分佈很接近正態(tài)分佈，因此估計(jì)兒童智力的概率分佈為正態(tài)分佈。7.2.2概率分佈「1/11」*離散型數(shù)據(jù)的分佈連續(xù)型數(shù)據(jù)的分佈數(shù)據(jù)分佈的類型7.2.2概率分佈「2/11」*（一）離散型隨機(jī)變數(shù)的分佈1、離散型隨機(jī)變數(shù)的概率分佈由於離散型隨機(jī)變數(shù)所取的值是可數(shù)的、可以將一個(gè)一個(gè)孤立的數(shù)值與取該值的概率一一對(duì)應(yīng)地列出，使隨機(jī)變數(shù)的取值規(guī)律得以直觀反映，所列出的取值與其所對(duì)應(yīng)的概率稱作離散型隨機(jī)變數(shù)概率的分佈列。7.2.2概率分佈「3/11」*2、繪出概率分佈圖橫軸為隨機(jī)變數(shù)X的取值x1、x2…等，縱軸為與x1、x2…對(duì)應(yīng)的P（x1）、P(x2)…圖5-4離散型隨機(jī)變數(shù)概率分佈圖例如，上面的分佈列做出圖來即：7.2.2概率分佈「6/11」*（二）連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)的分佈連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)的取值無法一一列舉，因此無法用分佈列的形式描述其概率分佈，常用數(shù)學(xué)模型來表示隨機(jī)變數(shù)X在不同情況下的概率分佈。7.2.2概率分佈「7/11」*當(dāng)X為連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)，且存在一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)使得∫表示積分，dx表示x的微分則稱為X的概率密度函數(shù)或簡稱密度函數(shù)，由於的概率為1，所以7.2.2概率分佈「8/11」*概率就是密度曲線下的面積!P(c≤x≤d)

f(x)dxcd

cdf(x)xTips7.2.2概率分佈「10/11」*離散型數(shù)據(jù)的分佈二項(xiàng)分佈泊松分佈連續(xù)型數(shù)據(jù)的分佈均勻分佈正態(tài)分佈對(duì)數(shù)正態(tài)分佈指數(shù)分佈7.2.2概率分佈「11/11」*正態(tài)分佈也稱常態(tài)分佈，是連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)中最重要的概率分佈。又稱作高斯分佈。在實(shí)踐中應(yīng)用十分廣泛，許多隨機(jī)變數(shù)都服從正態(tài)分佈。正態(tài)分佈是很多統(tǒng)計(jì)理論的基礎(chǔ)。根據(jù)正態(tài)分佈可以推導(dǎo)出其他有用的分佈。7.2.3正態(tài)分佈「1/12」*

= 正態(tài)分佈的標(biāo)準(zhǔn)差x = 隨機(jī)變數(shù)X的取值(-

<x<

)

= 正態(tài)分佈的平均數(shù)

= 3.14159;e=2.71828若連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)X的概率密度函數(shù)為則稱X服從正態(tài)分佈，記做式中：7.2.3正態(tài)分佈「2/12」*正態(tài)分佈密度曲線平均數(shù)xf(x)μ根據(jù)正態(tài)分佈密度函數(shù)可以畫出以下正態(tài)分佈曲線，簡稱正態(tài)曲線。7.2.3正態(tài)分佈「3/12」*正態(tài)分佈的特點(diǎn)正態(tài)分佈曲線是一個(gè)中間最高，兩邊逐漸下降，兩端永遠(yuǎn)不與橫軸相交，兩側(cè)完全對(duì)稱的鐘形曲線。正態(tài)曲線關(guān)於X＝

對(duì)稱；正態(tài)曲線是單峰，在X＝

時(shí)f(x)有最大值；X＝

＋

兩點(diǎn)是正態(tài)曲線的拐點(diǎn)，即曲線由中央向兩側(cè)逐漸彎曲時(shí)，在拐點(diǎn)改變彎曲方向；正態(tài)曲線兩端無限延伸，逐漸接近X軸但不與X軸相交。越來越近，但永不相交7.2.3正態(tài)分佈「4/12」*正態(tài)分佈中的兩個(gè)參數(shù)

與

，即均值與標(biāo)準(zhǔn)差決定了正態(tài)曲線的形狀。123Xf(X)

圖5-5標(biāo)準(zhǔn)差相同，均值不同（）的正態(tài)分佈7.2.3正態(tài)分佈「5/12」*Xf(X)圖5-6均值相同，標(biāo)準(zhǔn)差不同（>>）的正態(tài)分佈7.2.3正態(tài)分佈「6/12」*決定曲線位置和形態(tài)的關(guān)鍵數(shù)值是分佈的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差大時(shí)，曲線形態(tài)低寬，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差小時(shí)曲線形態(tài)高窄。平均數(shù)決定曲線在橫軸上的位置。有多少對(duì)平均數(shù)值和標(biāo)準(zhǔn)差值的組合就有多少條正態(tài)分佈曲線。平均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)曲線，統(tǒng)計(jì)中規(guī)定它為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線。7.2.3正態(tài)分佈「8/12」*正態(tài)分佈的特殊概率值如前所述，對(duì)於連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)，其任意區(qū)間的概率計(jì)算為在正態(tài)分佈中，變數(shù)X的取值在任意a、b之間的概率可以用圖中陰影部分的面積表示。f(x)abx7.2.3正態(tài)分佈「9/12」*90%樣本95%樣本99%樣本正態(tài)分佈的特殊概率值（續(xù)）更常用的區(qū)間：7.2.3正態(tài)分佈「12/12」*平均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)曲線，被規(guī)定為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線任何一條正態(tài)分佈曲線都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線，方法就是將原來的數(shù)據(jù)變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)Z分?jǐn)?shù)。由的轉(zhuǎn)換稱作X的標(biāo)準(zhǔn)化。7.2.4標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分佈「1/9」*若X為正態(tài)隨機(jī)變數(shù)，即，則經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化後的Z服從，的正態(tài)分佈，即，對(duì)於這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分佈，其密度函數(shù)為：7.2.4標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分佈「2/9」*

與

各不相同的正態(tài)分佈，正態(tài)曲線的形態(tài)也不盡相同，經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化後都可轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分佈，因而計(jì)算概率比較方便。例如：所以，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分佈表可以很方便的解決任何正態(tài)分佈的概率計(jì)算問題!重要！7.2.4標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分佈「3/9」*標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分佈是我們應(yīng)用最多的分佈形態(tài)。與其它正態(tài)分佈曲線一樣，它的曲線下的面積為1，以平均數(shù)處的縱軸成軸對(duì)稱。該軸將曲線下麵積分為相等的兩部分，各為0.5。平均數(shù)點(diǎn)的Z值為0，整個(gè)曲線下的橫軸近似為六個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，三個(gè)正，三個(gè)負(fù)。正態(tài)分佈表就是根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分佈的這些特點(diǎn)建立起來的。7.2.4標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分佈「4/9」*認(rèn)識(shí)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分佈表一般標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分佈表中與對(duì)應(yīng)的數(shù)值有兩個(gè)1.正態(tài)分佈的縱坐標(biāo)（常以y表示），即點(diǎn)的概率密度；2.曲線下的面積（常以P表示），即正態(tài)分佈的積分值，表示某區(qū)間的概率。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分佈關(guān)於Z＝0對(duì)稱，因此，絕大多數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分佈表只列出與Z>0對(duì)應(yīng)的面積，若Z<0時(shí)，只需查，然後根據(jù)情況利用其關(guān)於Z＝0對(duì)稱再確定所求的面積。7.2.4標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分佈「5/9」*任意正態(tài)分佈，例如Zx-

m=s標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分佈正態(tài)分佈的標(biāo)準(zhǔn)化有無窮種平均分和標(biāo)準(zhǔn)差的組合，就有無窮個(gè)正態(tài)分佈，就有無窮個(gè)正態(tài)分佈表！xm=3.5s=1.50m=0s=1

z就一個(gè)概率分佈表！7.2.4標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分佈「6/9」*標(biāo)準(zhǔn)化舉例已知正態(tài)分佈：xm=5s=106.2求P(5<X<6.2)解題思路：a）任意正態(tài)分佈標(biāo)準(zhǔn)化b）求區(qū)間相應(yīng)上下限的Z值c）查表求概率7.2.4標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分佈「7/9」*標(biāo)準(zhǔn)化舉例Z2

=X-

m=s6.2-510=.120.12xm=5s=106.2m=0s=1

zZ1

=0P=0.04787.2.4標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分佈「8/9」*zm

=0s

=1?（1）已知概率求標(biāo)準(zhǔn)分.1217如果

P(Z)=P(0≤z≤Z2)=.1217，那麼Z2

＝?7.2.5正態(tài)分佈應(yīng)用實(shí)例「4/9」*標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分佈表(部分)已知P(Z)=.1217，求z=?zm

=0s

=1?.12177.2.5正態(tài)分佈應(yīng)用實(shí)例「5/9」*已知P(Z)=.1217，求z=?zm

=0s

=1.31.1217標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分佈表(部分)7.2.5正態(tài)分佈應(yīng)用實(shí)例「6/9」*正態(tài)分佈（2）已知概率求隨機(jī)變數(shù)值xm

=5s

=10?.12177.2.5正態(tài)分佈應(yīng)用實(shí)例「7/9」*正態(tài)分佈xm

=5s

=10?.1217標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分佈

.1217zm

=0s

=1.317.2.5正態(tài)分佈應(yīng)用實(shí)例「8/9」*正態(tài)分佈標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分佈

.1217

.1217xm

=5s

=10?zm

=0s

=1.317.2.5正態(tài)分佈應(yīng)用實(shí)例「9/9」*練習(xí)訂閱者閱讀《北京日?qǐng)?bào)》的平均時(shí)間是49分鐘，假定標(biāo)準(zhǔn)差是16分鐘並且讀報(bào)時(shí)間呈正態(tài)分佈一名訂閱者至少花1小時(shí)讀報(bào)的概率？一名訂閱者讀報(bào)時(shí)間不超過30分鐘的概率？10%讀報(bào)時(shí)間最長的人至少讀報(bào)多少分鐘？*解答求P(X>60)

當(dāng)X=60，Z=(60-49)/16=11/16=.69

P(X>60)=P(Z>.69)=0.5-P(0<Z<0.69)=.2451求P(X<30)

當(dāng)X=30，Z=(30-49)/16=-19/16=-1.19

P(X<30)=P(Z<-1.19)=0.5-P(0<Z<1.19)=0.5-.3830=.1170求標(biāo)準(zhǔn)分Z使得P(z>Z)=.10亦即P(0.5<z<Z)=.40，查表得Z=1.28，X=49+(16)(1.28)=69.48

因此，10%花費(fèi)最多時(shí)間讀報(bào)的人至少讀報(bào)69.48分鐘*第八章參數(shù)估計(jì)抽樣分佈12參數(shù)估計(jì)*第一節(jié)抽樣分佈8.1.1三種主要的分佈總體分佈樣本分佈抽樣分佈8.1.2樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分佈*總體分佈（populationdistribution）總體是我們所關(guān)心的元素（個(gè)體）的集合?？傮w分佈就是指總體中各元素的觀察值所形成的分佈。設(shè)X為總體的隨機(jī)變數(shù)，總體分佈就是指X的概率分佈。8.1.1三種不同性質(zhì)的分佈「1/7」*樣本分佈（sampledistribution）樣本是從總體中所抽取的部分元素的集合。樣本中所含的元素個(gè)數(shù)稱為樣本容量。如果從總體中抽取一個(gè)容量為n的樣本，那麼這n個(gè)觀察值的分佈就是樣本分佈。樣本分佈是指一個(gè)樣本中各觀察值的分佈，它與下麵要介紹的抽樣分佈是不同的。8.1.1三種不同性質(zhì)的分佈「2/7」*抽樣分佈（samplingdistribution）抽樣分佈是指樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分佈。如：樣本均值的分佈樣本方差的分佈抽樣分佈：平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差8.1.1三種不同性質(zhì)的分佈「3/7」*抽樣分佈（samplingdistribution）某個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分佈