2023-2024學(xué)年北京市順義區(qū)高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年北京市順義區(qū)高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題本試卷共4頁(yè)，150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一?選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確案填涂在答題紙上的相應(yīng)位置.）1．已知集合，則（

）A． B．C． D．2．命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，3．當(dāng)時(shí)，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與它反函數(shù)的圖象是（

）A．

B．

C．

D．

4．已知，，，則（

）A． B． C． D．5．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知為第三象限角，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．7．函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間為（

）A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)8．單位圓圓周上的點(diǎn)以為起點(diǎn)做逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，分鐘轉(zhuǎn)一圈，分鐘之后從起始位置轉(zhuǎn)過(guò)的角是（

）A． B． C． D．9．中醫(yī)藥在疫情防控中消毒防疫作用發(fā)揮有力，如果學(xué)校的教室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（單位：毫克）隨時(shí)間x（單位：h）的變化情況如圖所示．在藥物釋放過(guò)程中，y與x成正比；藥物釋放完畢后，y與x的函數(shù)關(guān)系式為（a為常數(shù)），據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下，學(xué)生方可進(jìn)教室，根據(jù)圖中提供的信息，從藥物釋放開(kāi)始到學(xué)生能進(jìn)入教室，至少需要經(jīng)過(guò)（

）A．0.4h B．0.5h C．0.7h D．1h10．已知函數(shù)關(guān)于的方程.有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二?填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分.請(qǐng)把結(jié)果填在答題紙上的相應(yīng)位置.）11．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則.12．函數(shù)的定義域是.13．已知某扇形的圓心角是，圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)也是，則該扇形的半徑為；面積為.14．設(shè)函數(shù)，則，若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.15．關(guān)于函數(shù)，有下列命題，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.①其圖象關(guān)于軸對(duì)稱；②在區(qū)間上是減函數(shù)；③無(wú)最大值，也無(wú)最小值；④，使得都有成立.三?解答題（本大題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙上的相應(yīng)位置.）16．已知集合(1)若時(shí)，求；(2)若，求的取值范圍.17．計(jì)算?求值：(1)；(2).18．完成下列兩個(gè)小題(1)已知是第三象限角，且，求的值；(2)若，求的值.19．已知函數(shù)(1)若函數(shù)為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；(2)判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義加以證明；(3)若函數(shù)為奇函數(shù)，求滿足不等式的實(shí)數(shù)的取值范圍.20．計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為1500平方米的矩形溫室大棚，并在溫室大棚內(nèi)建兩個(gè)大小、形狀完全相同的矩形養(yǎng)殖池，其中沿溫室大棚前、后、左、右內(nèi)墻各保留1.5米寬的通道，兩個(gè)養(yǎng)殖池之間保留2米寬的通道.設(shè)溫室的一邊長(zhǎng)度為米，兩個(gè)養(yǎng)殖池的總面積為平方米，如圖所示：

(1)將表示為的函數(shù)，并寫(xiě)出定義域；(2)當(dāng)取何值時(shí)，取最大值？最大值是多少？(3)若養(yǎng)殖池的面積不小于1015平方米，求溫室一邊長(zhǎng)度的取值范圍.21．對(duì)于正整數(shù)集合，如果去掉其中任意一個(gè)元素之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個(gè)交集為空集的集合，且這兩個(gè)集合的所有元素之和相等，就稱集合為“和諧集”.(1)判斷集合與是否為“和諧集”（不必寫(xiě)過(guò)程）；(2)求證：若集合是“和諧集”，則集合中元素個(gè)數(shù)為奇數(shù)；(3)若集合是“和諧集”，求集合中元素個(gè)數(shù)的最小值.1．A【分析】根據(jù)集合交集的概念與運(yùn)算，即可求解.【詳解】由集合，根據(jù)集合交集的概念與運(yùn)算，可得.故選：A.2．C【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題即可得解.【詳解】因?yàn)槿Q量詞命題的否定為存在量詞命題，所以命題“，”的否定是，.故選：C.3．D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)的反函數(shù)為，因?yàn)?，可得函?shù)和在其定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)，結(jié)合選項(xiàng)，可得選項(xiàng)D，符合題意.故選：D.4．B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別判斷出的取值范圍，從而可得結(jié)果【詳解】因?yàn)椋?，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及比較大小問(wèn)題，屬于難題.解答比較大小問(wèn)題，常見(jiàn)思路有兩個(gè)：一是判斷出各個(gè)數(shù)值所在區(qū)間（一般是看三個(gè)區(qū)間）；二是利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答；數(shù)值比較多的比大小問(wèn)題也可以兩種方法綜合應(yīng)用.5．A【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由，可得成立，即充分性成立；反正：若，可得或，即必要性不成立，所以是的充分不必要條件.故選：A.6．D【解析】根據(jù)為第三象限角，由三角函數(shù)在象限的正負(fù)，判斷選項(xiàng).【詳解】是第三象限角，，，，故AB不正確；，故C不正確；，故D正確.故選：D7．B【分析】利用零點(diǎn)存在性定理結(jié)合可得解.【詳解】函數(shù)為增函數(shù)，且，由零點(diǎn)存在性定理可知函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間為(2,3).故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8．D【解析】根據(jù)題意可出關(guān)于的等式，即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)分鐘之后從起始位置轉(zhuǎn)過(guò)的角，由題意可得，解得.故選：D.9．C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求出的值，然后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即得.【詳解】由題意知，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，解得，所以，由，可得，所以，解得，所以從藥物釋放開(kāi)始，到學(xué)生回到教室至少需要經(jīng)過(guò)的小時(shí).故選：C.10．B【分析】作出函數(shù)和直線的圖形，由圖可知且，，則，進(jìn)而，有（），利用定義法證明函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得，即可求解.【詳解】作出函數(shù)和直線的圖形，如圖，由圖可知，，且，，則，即，解得，所以，所以，，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，得，即的取值范圍為.故選：B11．##【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，結(jié)合誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】由題意可得，故，故答案為：12．【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)以及分式的性質(zhì)即可列不等式求解.【詳解】的定義域需要滿足，解得且，故答案為：13．【解析】利用扇形的弧長(zhǎng)公式可求得扇形的半徑，再利用扇形的面積公式可求得該扇形的面積.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，則該扇形的弧長(zhǎng)為，可得，該扇形的面積為.故答案為：；.14．1【分析】(1)先求出的值，再求即得解；(2)作出函數(shù)的圖像，再作出直線，數(shù)形結(jié)合分析即得解.【詳解】（1）由題得，所以.所以1.（2）作出函數(shù)的圖像，再作出直線，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：1；.15．①②【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)鉤函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故①對(duì)；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故②正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，故此時(shí)，而函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以當(dāng)時(shí)，，故③不正確；由上可得函數(shù)的圖象如下圖所示：直線恒過(guò)點(diǎn)，由數(shù)形結(jié)合思想可知：無(wú)論、、，都有成立，是不可能的，故④不正確，故答案為：①②【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)、偶函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.16．(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)集合的交運(yùn)算即可求解，（2）根據(jù)并集的結(jié)果轉(zhuǎn)化為子集關(guān)系，即可分類(lèi)求解.【詳解】（1）時(shí)，，又所以（2）由可得，當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)，顯然符合題意，當(dāng)時(shí)，，解得，綜上可得或17．(1)17(2)2【分析】（1）利用指對(duì)冪的運(yùn)算法則求解即可.（2）運(yùn)用誘導(dǎo)公式直接化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】（1）原式；（2）原式.18．(1)(2)是第一象限角時(shí)，，是第三象限角時(shí)，，【分析】（1）根據(jù)同角平方和關(guān)系即可求解，（2）根據(jù)弦切互化結(jié)合同角平方關(guān)系即可求解.【詳解】（1）由可得，由于是第三象限角，所以，故（2）由可知：是第一象限或者第三象限角，，又，當(dāng)是第一象限角時(shí)，，當(dāng)是第三象限角時(shí)，，19．(1)(2)函數(shù)在上單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）利用奇函數(shù)的定義可得的值；（2）利用單調(diào)性定義證明即可；（3）根據(jù)的奇偶性和單調(diào)性可得的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以，所以，所以.（2）函數(shù)在上單調(diào)遞減.

下面用單調(diào)性定義證明：任取，且，則因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以，又，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.（3）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，由得，即，

由（2）可知,函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，

即，解得或，所以的取值范圍為.20．(1)，(2)x為30時(shí)，y取最大值為1215(3)【分析】（1）按題意給出另一邊長(zhǎng)，再表示面積即可，由邊長(zhǎng)為正得定義域；（2）整理面積的表達(dá)式，利用不等式即可給出最大值；（3）解不等式即可由面積范圍求邊長(zhǎng)范圍.【詳解】（1）依題意得：溫室的另一邊長(zhǎng)為米，則養(yǎng)殖池的總面積，因?yàn)?，解得∴定義域?yàn)?/p>

（2）由（1），，又，所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)上式等號(hào)成立，所以.當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)為30時(shí)，取最大值為1215.（3）養(yǎng)殖池的面積不小于1015平方米即所以，解得故的取值范圍為.21．(1)不是“和諧集”，不是“和諧集”(2)證明見(jiàn)解析(3)7【分析】（1）由“和諧集”的定義判斷（2）根據(jù)集合中元素總和與單個(gè)元素的奇偶性討論后證明（3）由（2）知為奇數(shù)，根據(jù)的取值討論后求解【詳解】（1）對(duì)于，去掉2后，不滿足題中條件，故不是“和諧集”，對(duì)于，去掉3后，不滿足題中條件，不是“和諧集”（2）設(shè)中所有元素之和為，由題意得均為偶數(shù)，故的奇偶性相同①若為奇數(shù)，則為奇數(shù)，易得為奇數(shù)，②若