紅河哈尼族彝族自治州市蒙自縣2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)強(qiáng)化卷(含答案)

絕密★啟用前紅河哈尼族彝族自治州市蒙自縣2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)強(qiáng)化卷考試范圍：八年級(jí)上冊(cè)(人教版)；考試時(shí)間：120分鐘注意事項(xiàng)：1、答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2、請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上評(píng)卷人得分一、選擇題（共10題）1.（云南省昆明市官渡區(qū)八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷）如圖所示，小明試卷上的三角形被墨跡污染了一部分，很快他就根據(jù)所學(xué)知識(shí)畫(huà)出一個(gè)與試卷原圖完全一樣的三角形，那么兩個(gè)三角形完全一樣的依據(jù)是（）A.ASAB.SASC.AASD.SSS2.（2021?新民市一模）下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形的是?(???)2222aa??A.B.C.D.3.（2022年春?宜興市校級(jí)月考）下列等式中，計(jì)算正確的是（）A.a2?a3=a6B.（a2b3）m=（am）2?（bm）3C.（am+bn）2=a2m+b2nD.a2+b3=2a54.（2021?寧波模擬）如圖，四邊形?ABCD??和?DEFG??均為正方形，點(diǎn)?E??在對(duì)角線?AC??上，點(diǎn)?F??在邊?BC??上，連接?EF??，?CG??和?EG??．若知道正方形?ABCD??和?DEFG??的面積，在不添加輔助線的情況下，一定能求出的是?(???)??A.四邊形?ABFE??的周長(zhǎng)B.四邊形?ECGD??的周長(zhǎng)C.四邊形?AEGD??的周長(zhǎng)D.四邊形?ACGD??的周長(zhǎng)5.（2022年北京市海淀區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷（））如圖是一輛汽車車牌在水中的倒影，則該車的牌照號(hào)碼是（）A.W17639B.W17936C.M17639D.M179366.（福建省泉州市惠安縣凈峰中學(xué)八年級(jí)（下）第一次月考數(shù)學(xué)試卷）下列各式是最簡(jiǎn)分式的是（）A.B.C.D.7.（江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)七校聯(lián)考八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷）下列說(shuō)法中，正確的是（）A.斜邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等B.底邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等C.面積相等的兩個(gè)等邊三角形全等D.面積相等的兩個(gè)長(zhǎng)方形全等8.（2016?普陀區(qū)二模）下列計(jì)算結(jié)果正確的是（）A.a4?a2=a8B.（a4）2=a6C.（ab）2=a2b2D.（a-b）2=a2-b29.（2012秋?深圳校級(jí)月考）（2012秋?深圳校級(jí)月考）將一副三角板按如圖方式疊放，則角θ為（）A.75度B.60度C.45度D.30度10.（山東省煙臺(tái)市龍口市七年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，連結(jié)AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（）①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC=60°；③點(diǎn)D在AB的中垂線上；④BD=2CD．A.4B.3C.2D.1評(píng)卷人得分二、填空題（共10題）11.已知直角三角形的兩條直角邊分別為2ab和（a+b），則這個(gè)三角形的面積為．12.（江蘇省蘇州市太倉(cāng)市八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷）分式與的最簡(jiǎn)公分母是．13.（浙江省麗水市九年級(jí)（上）學(xué)能抽測(cè)數(shù)學(xué)試卷（））因式分【解析】x2-xy-2y2=．14.（2022年山東省濟(jì)南市歷下區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷）分解因式：xy-y=．15.（山東省聊城市冠縣蘭沃鄉(xiāng)八年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷）如果A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線l成軸對(duì)稱，那么線段AB被直線l．16.（安徽省淮北市八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷）若點(diǎn)（2015，a）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為（b，2016），則a+b=．17.學(xué)習(xí)了旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，小明與小東研究如圖所示的圖案．小明說(shuō)：“只需要把該圖案的繞其中心分別旋轉(zhuǎn)60°、120°、180°、240°、300°后，由前后的圖形就可以共同組成該圖案．”小東說(shuō)：“錯(cuò)了，應(yīng)該把該圖案的．”“你說(shuō)的真對(duì)，我是一葉障目，不識(shí)泰山啊”．你覺(jué)得小東該說(shuō)什么，請(qǐng)?jiān)跈M線上把小東的補(bǔ)充完整．18.若=+，且a、b為實(shí)數(shù)，則a=，b=．19.（河北省石家莊市藁城區(qū)七年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷）某商品先按批發(fā)價(jià)a元提高10%零售，后又按零售價(jià)降低5%進(jìn)行促銷，則它促銷的單價(jià)是．20.（山東省青島市黃島區(qū)七年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷）如圖是由邊長(zhǎng)為1cm的若干個(gè)正方形疊加行成的圖形，其中第一個(gè)圖形由1個(gè)正方形組成，周長(zhǎng)為4cm，第二個(gè)圖形由4個(gè)正方形組成，周長(zhǎng)為10cm．第三個(gè)圖形由9個(gè)正方形組成，周長(zhǎng)為16cm，依次規(guī)律…（1）第四個(gè)圖形有個(gè)正方形組成，周長(zhǎng)為cm．（2）第n個(gè)圖形有個(gè)正方形組成，周長(zhǎng)為cm．（3）若某圖形的周長(zhǎng)為58cm，計(jì)算該圖形由多少個(gè)正方形疊加形成．評(píng)卷人得分三、解答題（共7題）21.如圖，在△ABC和△AEF中，∠B=∠E，AB=AE，BC=EF，∠BAE=24°，∠F=57°，邊BC與AF相交于點(diǎn)M，邊AB與EF相交于點(diǎn)P．（1）請(qǐng)說(shuō)明∠BAE=∠CAF的理由；（2）△ABC可以經(jīng)過(guò)圖形的變換的得到△AEF，請(qǐng)你描述這個(gè)變換；（3）求∠AMB的度數(shù)．22.有兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別為x和y，兩個(gè)相同的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是x和y，若x+y=2，求它們的面積和．23.將兩個(gè)全等的直角三角板ABC和DEF擺成如圖形式，使點(diǎn)B，F(xiàn)，C，D在同一條直線上．（1）求證：AE⊥ED；（2）若PB=BC，請(qǐng)找出圖中于此條件有關(guān)的所有全等三角形，選擇一對(duì)說(shuō)明你的理由．24.（2021?江干區(qū)三模）已知二次函數(shù)??y1??=ax2+bx+1??，??y（1）若?b≠0??，且函數(shù)??y1??和函數(shù)??y2??的對(duì)稱軸關(guān)于（2）若函數(shù)??y2??的圖象過(guò)點(diǎn)?(b,9a)??，求函數(shù)??y1（3）設(shè)函數(shù)??y1??，??y2??的圖象兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為?m??，?n??，求證：25.（2020年秋?監(jiān)利縣校級(jí)期末）（2020年秋?監(jiān)利縣校級(jí)期末）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于D，AE平分∠BAD，交BC于E，在△ABC外有一點(diǎn)F，使FA⊥AE，F(xiàn)C⊥BC．（1）求證：BE=CF；（2）在AB上取一點(diǎn)M，使得BM=2DE，連接ME①求證：ME⊥BC；②求∠EMC的度數(shù)．26.（海南省保亭縣思源中學(xué)八年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷）已知△ADC≌△CEB，寫(xiě)出兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊及對(duì)應(yīng)角．27.（2022年海南省僑中三亞學(xué)校中考數(shù)學(xué)模擬試卷（4））如圖．在△ABC中．CD是AB邊的中線．E是CD中點(diǎn)，AE=EF．連結(jié)BF，CF．（1）求證：DB=CF；（2）若AC=BC，求證：BDCF為矩形；（3）在（2）的情況下，若∠ABC=60°，AB=2，求BDCF的面積．參考答案及解析一、選擇題1.【答案】【解答】解：根據(jù)題意，三角形的兩角和它們的夾邊是完整的，所以可以利用“角邊角”定理作出完全一樣的三角形．故選A．【解析】【分析】根據(jù)圖示，三角形有兩角和它們的夾邊是完整的，所以可以根據(jù)“角邊角”畫(huà)出．2.【答案】解：?A??、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不合題意；?B??、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，符合題意；?C??、既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，不合題意；?D??、既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，不合題意．故選：?B??．【解析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念判斷即可．本題考查的是中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．3.【答案】【解答】解：A、原式=a5，錯(cuò)誤；B、原式=（am）2?（bm）3，正確；C、原式=a2m+b2n+2ambn，錯(cuò)誤；D、原式不能合并，錯(cuò)誤，故選B【解析】【分析】原式各項(xiàng)計(jì)算得到結(jié)果，即可作出判斷．4.【答案】解：?∵?四邊形?ABCD??和?DEFG??均為正方形，?∴AD=DC??，?DE=DG??，?∠ADC=∠EDG=90°??，?∴∠ADC-∠EDC=∠EDG-∠EDC??，即?∠ADE=∠CDG??，?∴ΔADE?ΔCDG(SAS)??，?∴AE=CG??，?∴??四邊形?ECGD??的周長(zhǎng)?=EC+CG+GD+DE=EC+AE+GD+DE=AC+2DE??，因?yàn)橹勒叫?ABCD??和?DEFG??的面積，所以它們的邊長(zhǎng)和對(duì)角線均可確定，即?AC??與?DE??確定，一定能求出四邊形?ECGD??的周長(zhǎng)，故選：?B??．【解析】利用正方形的性質(zhì)，證明?ΔADE?ΔCDG??，得到?AE=CG??，表示出四邊形?ECGD??的周長(zhǎng)為?AC+2DE??，進(jìn)而求解．本題考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是把要求四邊形的邊長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為已知正方形的邊．5.【答案】【答案】此題考查鏡面反射的性質(zhì)與實(shí)際應(yīng)用的結(jié)合．【解析】根據(jù)鏡面反射對(duì)稱性質(zhì)，可知圖中所示車牌號(hào)應(yīng)為M17936．故選D．6.【答案】【解答】解：A、該分式的分子、分母中含有最大公約數(shù)3，則它不是最簡(jiǎn)分式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、該分式的分子、分母都不能再分解，且不能約分，是最簡(jiǎn)分式，故本選項(xiàng)正確；C、該分式的分子、分母中含有公因式（x+y），則它不是最簡(jiǎn)分式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、該分式的分子、分母中含有公因式（m-n），則它不是最簡(jiǎn)分式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．【解析】【分析】最簡(jiǎn)分式的標(biāo)準(zhǔn)是分子，分母中不含有公因式，不能再約分．判斷的方法是把分子、分母分解因式，并且觀察有無(wú)互為相反數(shù)的因式，這樣的因式可以通過(guò)符號(hào)變化化為相同的因式從而進(jìn)行約分．7.【答案】【解答】解：A、斜邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，說(shuō)法錯(cuò)誤；B、底邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等，說(shuō)法錯(cuò)誤；C、面積相等的兩個(gè)等邊三角形全等，說(shuō)法正確；D、面積相等的兩個(gè)長(zhǎng)方形全等，說(shuō)法正確；故選：C．【解析】【分析】只有一邊和一直角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不能判定全等；只有一對(duì)對(duì)應(yīng)邊相等的兩個(gè)等腰三角形不一定全等；面積相等的兩個(gè)等邊三角形邊長(zhǎng)一定相等，因此一定全等；面積相等的兩個(gè)長(zhǎng)方形邊長(zhǎng)不一定相等，故不一定全等．8.【答案】【解答】解：A、a4?a2=a6，故錯(cuò)誤；B、（a4）2=a8，故錯(cuò)誤；C、（ab）2=a2b2，正確；D、（a-b）2=a2-2ab+b2，故錯(cuò)誤；故選：C．【解析】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方、完全平方公式，即可解答．9.【答案】【解答】解：由題意得，∠C=30°，∠ABD=45°，∴∠DBC=45°，∴θ=∠DBC+∠C=75°．故選：A．【解析】【分析】根據(jù)題意求出∠C、∠DBC的度數(shù)，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計(jì)算即可．10.【答案】【解答】解：①根據(jù)作圖的過(guò)程可知，AD是∠BAC的平分線．故①正確；②如圖，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．又∵AD是∠BAC的平分線，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，∴∠3=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正確；③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴點(diǎn)D在AB的中垂線上．故③正確；∵∠2=30°，∴AD=2CD．∵點(diǎn)D在AB的中垂線上，∴AD=BD，∴BD=2CD．故④正確．故選A．【解析】【分析】①根據(jù)作圖的過(guò)程可以判定AD是∠BAC的角平分線；②利用角平分線的定義可以推知∠CAD=30°，則由直角三角形的性質(zhì)來(lái)求∠ADC的度數(shù)；③利用等角對(duì)等邊可以證得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)可以證明點(diǎn)D在AB的中垂線上；④根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AD=2CD，再由線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD=BD，進(jìn)而可得出結(jié)論．二、填空題11.【答案】【解答】解：∵直角三角形的兩條直角邊分別為2ab和（a+b），∴這個(gè)三角形的面積為：×2ab×（a+b）=a2b+ab2．故答案為：a2b+ab2．【解析】【分析】直接利用直角三角形的面積求出結(jié)合單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算法則求出即可．12.【答案】【解答】解：分式與的分母分別是2（x+1）、3（x+1），則它們的最簡(jiǎn)公分母是6（x+1）．故答案是：6（x+1）．【解析】【分析】確定最簡(jiǎn)公分母的方法是：（1）取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；（2）凡單獨(dú)出現(xiàn)的字母連同它的指數(shù)作為最簡(jiǎn)公分母的一個(gè)因式；（3）同底數(shù)冪取次數(shù)最高的，得到的因式的積就是最簡(jiǎn)公分母．13.【答案】【答案】因?yàn)?2y×y=-2y2，-2y+y=-y，所以利用十字相乘法分解因式即可．【解析】x2-xy-2y2=（x-2y）（x+y）．故答案為：（x-2y）（x+y）．14.【答案】【解答】解：原式=y（x-1）．故答案為：y（x-1）．【解析】【分析】首先找出公因式，進(jìn)而提取公因式得出答案．15.【答案】【解答】解：點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于直線L成軸對(duì)稱，則直線L和線段AB的位置關(guān)系是：直線L垂直平分AB，即線段AB被直線l垂直、平分，故答案為：垂直、平分【解析】【分析】點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于直線L成軸對(duì)稱，即線段AB關(guān)于直線L成軸對(duì)稱；根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，則直線L垂直平分AB．16.【答案】【解答】解：由點(diǎn)（2015，a）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為（b，2016），得a=-2016，b=2015．a(chǎn)+b=-1，故答案為：-1．【解析】【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可得a、b的值，根據(jù)有理數(shù)的加法，可得答案．17.【答案】【解答】解：把圖形平分成三部分，圖案繞中心旋轉(zhuǎn)的度數(shù)是120°，故答案為：把該圖案的繞其中心分別旋轉(zhuǎn)120°、240°后，由前后的圖形就可以共同組成該圖案．【解析】【分析】由圖形可知，把圖形平分成三部分，圖案繞中心旋轉(zhuǎn)的度數(shù)是120°即可．18.【答案】【解答】解：因?yàn)?+，可得：=，即：，解得：，故答案為：3；1．【解析】【分析】根據(jù)分式的加減法則解答即可．19.【答案】【解答】解：∵某商品先按批發(fā)價(jià)a元提高10%零售，后又按零售價(jià)降低5%進(jìn)行促銷，∴它促銷的單價(jià)是：a×（1+10%）（1-95%）=a××=a元，故答案為：a元．【解析】【分析】根據(jù)某商品先按批發(fā)價(jià)a元提高10%零售，后又按零售價(jià)降低5%進(jìn)行促銷，可以得到它促銷的單價(jià)的代數(shù)式，然后化到最簡(jiǎn)，即可解答本題．20.【答案】【解答】解：（1）根據(jù)題意，知：第一個(gè)圖形：正方形有1=12個(gè)，周長(zhǎng)為4=4+6×0；第二個(gè)圖形：正方形有：4=22個(gè)，周長(zhǎng)為10=4+6×1；第三個(gè)圖形：正方形有：9=32個(gè)，周長(zhǎng)為16=4+6×2；故第四個(gè)圖形：正方形有：42=16個(gè)，周長(zhǎng)為4+6×3=22；（2）根據(jù)以上規(guī)律，第n個(gè)圖形有正方形n2個(gè)，其周長(zhǎng)為：4+6（n-1）=6n-2；（3）若某圖形的周長(zhǎng)為58cm，則有：6n-2=58，解得：n=10，即第10個(gè)圖形的周長(zhǎng)為58cm，則第10個(gè)圖形中正方形有102=100個(gè)．故答案為：（1）16，22；（2）n2，6n-2．【解析】【分析】（1）將第1、2、3個(gè)圖形中正方形個(gè)數(shù)寫(xiě)成序數(shù)的平方，周長(zhǎng)是序數(shù)6倍與2的差，根據(jù)規(guī)律得到第4個(gè)圖形中正方形個(gè)數(shù)和周長(zhǎng)；（2）延續(xù)（1）中規(guī)律寫(xiě)出第n個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)和周長(zhǎng)；（3）若周長(zhǎng)為58，可列方程，求出n的值，根據(jù)n的值從而求出其正方形個(gè)數(shù)；三、解答題21.【答案】【解答】解：（1）在△ABC和△AEF中，∵，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴∠C=∠F，∠BAC=∠EAF，∴∠BAC-∠PAF=∠EAF-∠PAF，∴∠BAE=∠CAF=24°；（2）通過(guò)觀察可知△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)24°，可以得到△AEF；（3）由（1）知∠C=∠F=57°，∠BAE=∠CAF=24°，∴∠AMB=∠C+∠CAF=57°+24°=81°．【解析】【分析】（1）若證∠BAE=∠CAF，可證∠BAC=∠EAF，而∠BAC、∠EAF是△ABC和△AEF的倆內(nèi)角，只需結(jié)合題目條件證△ABC≌△AEF可得；（2）由（1）知△ABC≌△AEF，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)24°，可以得到△AEF；（3）∠AMB是△ACM的外角，由（1）知∠BAE=∠CAF、∠C=∠F，即可得∠AMB的度數(shù)．22.【答案】【解答】解：∵兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別為x和y，∴兩正方形面積和為x2+y2，∵兩個(gè)相同的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是x和y，∴兩長(zhǎng)方形面積和為2xy，∴它們面積和為x2+y2+2xy=（x+y）2，∵x+y=2，∴它們面積和為4．【解析】【分析】分別用x，y求得兩個(gè)正方形和2個(gè)長(zhǎng)方形的面積，根據(jù)x+y=2即可求解．23.【答案】【解答】證明：（1）∵∠A=∠D，∠B+∠A=90°，∴∠B+∠D=90°，∴∠BPD=180°-（∠B+∠D）=90°，∴AB⊥DE；（2）圖中與此條件有關(guān)的全等三角形還有：△APN≌△DCN、△DEF≌△DBP、△EPM≌△BFM．△BPD≌△BCA．理由：在△BPD與△BCA中，，∴△BPD≌△BCA（AAS）．【解析】【分析】（1）由于∠A=∠D，∠B+∠A=90°，所以∠B+∠D=90°，即AB⊥DE．（2）△APN≌△DCN、△DEF≌△DBP、△EPM≌△BFM．△BPD≌△BCA．根據(jù)AAS即可證明△BPD≌△BCA．24.【答案】解：（1）根據(jù)題意知：?-b因?yàn)?b≠0??，所以?a=-1??；（2）將點(diǎn)?(b,9a)??代入??y2??=x整理，得??b2令??y1?=0??，則所以△??=b2所以函數(shù)??y1??的圖像與（3）證明：令??y1??=y解得?x=±1??，?∴??兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為1和?-1??，?∴m=a+b+1??，?n=a-b+1??，所以?|m-n|=|(a+b+1)-(a-b+1)|=|2b|??，所以?|m-n|??的值與?a??無(wú)關(guān)．【解析】（1）分別求得兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程，然后根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)列出等式并解答．（2）由二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和根的判別式的意義解答．（3）求得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，分別代入??y1??=ax2+bx+1??，求得?m??、?n??，即可得出?|m-n|=|2b|?25.【答案】【解答】（1）證明：∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵FC⊥BC，∴∠ACF+∠ACB=90°，∴∠ACF=45°=∠ABE．∵∠BAC=90°，F(xiàn)A⊥AE，∴∠BAE+∠EAC=90°=∠CAF+∠EAC，∴∠BAE=∠CAF．在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE=CF．（2）①證明：過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥AB于點(diǎn)Q，如圖所示．∵AE平分∠BAD，∴∠QAE=∠DAE，在△AEQ和△AED中，∴△AEQ≌△AED（AAS），∴QE=DE．∵∠BQE=90°，∠QBE=45°，∴∠BEQ=45°，∴BQ=QE，又∵BM=2DE=QE，∴QM=QE，∴∠QEM=∠QME==45°，∴∠BEM=∠BEQ+∠QEM=90°，∴ME⊥BC．②解：設(shè)DE=a，則BM=2a．∵△BEM為等腰直角三角形，∴BE=EM=BM=a，∴BD=BE+DE=（+1）a．∵△ABC為等腰直角三角形，AD⊥BC，∴AB=BD=×（+1）a=（2+）a，∵BM=2a，∴AM=（2+）a-2a=a，∴AM=EM．在Rt△MAC和Rt△MEC中，，∴Rt△MAC≌Rt△MEC（HL），∴∠EMC=∠AMC，又∵∠BME=45°，∴∠EMC=（180°-45°）=67.5°．【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可知∠ABC=∠ACB=