特選通用版2023版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第9講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)學(xué)案理新人教A版

第9講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

1.對(duì)數(shù)

如果a*=Z(a>0,且#1),那么x叫作以a

為底N的，記作x=iog，N其中a

概念

叫作對(duì)數(shù)的底數(shù),N叫作真數(shù)Jo&N叫作

對(duì)數(shù)式

底數(shù)的限制:a>0,且a"

對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化

負(fù)數(shù)和零沒(méi)有

性質(zhì)

bg/=_______

1

對(duì)數(shù)恒等式:a%'_

log,,(M-N)=

運(yùn)算法那1。線=心0,且K1,

么M>0,NX)

log,/IT=(〃

￡R)

換底公式:1。&6=警(a>0,且a羊l,c>0,且

換底公式'°gca

c*1,6>0)

推論：bgamb/'=,10g，Q=J-T—

2.對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)

概念函數(shù)產(chǎn)iogRQWaXl）叫作函數(shù)

底數(shù)0<3<1

圖像

定義

域

（續(xù)表）

值域

過(guò)定點(diǎn)，即X=1時(shí)鏟=0

性質(zhì)在區(qū)間（0,+由上在區(qū)間（0,上

是函數(shù)是函數(shù)

3.反函數(shù)

指數(shù)函數(shù)y=Z'（心0,且a才1）與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們的圖像關(guān)于直線

對(duì)稱(chēng).

常用結(jié)論

1.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng).

2.只有在定義域上單調(diào)的函數(shù)才存在反函數(shù).

題組一常識(shí)題

1.［教材改編］化簡(jiǎn)k)g4og〃dog滔的結(jié)果是.

2.［教材改編］函數(shù)傘)=1。&(2團(tuán)的定義域是.

3.［教材改編］假設(shè)函數(shù)尸=/(?是函數(shù)，產(chǎn)2'的反函數(shù)，那么42)=.

4.［教材改編］函數(shù)月og2(V4x+5)的單調(diào)遞增區(qū)間是

五

題組二常錯(cuò)題

?索引:對(duì)數(shù)的性質(zhì)及其運(yùn)算掌握不到位;忽略真數(shù)大于零致錯(cuò);不能充分運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性

質(zhì);忽略對(duì)底數(shù)的討論致誤.

5.有以下結(jié)論:@lgQglO)=O;②lg(lne)R;(W設(shè)lgx=l,那么設(shè)log22=x，那么x=l;g

設(shè)log?",log、zn=2,那么〃=9.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

y

6.lgx+lg產(chǎn)21g(x-2/那么廠______.

7.設(shè)號(hào)力=log9*c=io紗/，，那么a,b,c的大小關(guān)系是.

8.假設(shè)函數(shù)產(chǎn)=10室(心0/片1)在［2,4］上的最大值與最小值的差是1,那么a=.

探究點(diǎn)一對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值

例1(1)[2023?宿州質(zhì)檢]n?>0,nX),log疝(3/n)+log2〃gog遮(2/7?+〃),那么lo&m-log”？的值為

()

A.-1B.1

C.-1或0D.1或0

⑵設(shè)2-5，=m,且1q=2,那么m=.

［總結(jié)反思］⑴對(duì)數(shù)運(yùn)算法那么是在化為同底的情況下進(jìn)行的，因此經(jīng)常會(huì)用到換底公式及其

推論.在對(duì)含有字母的對(duì)數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，必須保證恒等變形.

⑵利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法那么,在其數(shù)的積、商、稱(chēng)與對(duì)數(shù)的和、差、倍之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

變式題⑴［2023?昆明一中模擬］設(shè)可為正數(shù)，且3、N,當(dāng)3x”時(shí)戶(hù)的值為()

A』o&4B.1O&3

C.610g32D.log^2

(2)計(jì)算:lg32+10gti6+61&g5=.

探究點(diǎn)二對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用

例2(1)函數(shù)儂Mo&/x/+l(0va<l)的圖像大致是()

AB

cD

圖2-9-1

⑵[2023?濮陽(yáng)二模]設(shè)X|,X2,X3均為實(shí)數(shù)，且G廣旦唯廣口噌出《戶(hù)曰哨X3,那么

()

A.X1V*3Vx?

B.X3<X2<X]

C.X3<X]<x2

D.X2<X]<X3

[總結(jié)反思]⑴在研究對(duì)數(shù)函數(shù)圖像時(shí)一定要注意其定義域，注意根據(jù)根本的對(duì)數(shù)函數(shù)圖像

作出經(jīng)過(guò)平移、對(duì)稱(chēng)變換得到的函數(shù)的圖像.(2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)

的函數(shù)圖像問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.

變式題⑴函數(shù)?必習(xí)。(/'/-1)的大致圖像是()

AB

CD

圖2-9-2

⑵假設(shè)函數(shù)何=k>g2(x+l),且a>b>cX),^么粵皇警的大小關(guān)系是()

A/(a))r(b)y(c)

abc

B8屋g

cba

c/(b)y(Q),(c)

bac

D/(a)，(c),3)

acb

探究點(diǎn)三解決與對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題

微點(diǎn)1比較大小

例3(1)(2023-武漢4月調(diào)研］假設(shè)實(shí)數(shù)動(dòng)滿(mǎn)足心6>1印=10&(10&場(chǎng)”=(10&帆閆0&氏那么

m,n,l的大小關(guān)系為)

K.m>l>nB./>n>m

Q.n>l>mUJ>m>n

(2)(2023-長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)期末］a=in；,b=iog2那么()

232

Z.a+bVabG

B.ab〈a+b4)

C.a-/-b<O<ab

D.abe〈a+b

［總結(jié)反思］比較對(duì)數(shù)式的大小，一是將對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為同底的形式，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)

行比較，二是采用中間值?；?等進(jìn)行比較，三是將對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，再將指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對(duì)

教式，通過(guò)巡回轉(zhuǎn)化進(jìn)行比較.

微點(diǎn)2解簡(jiǎn)單對(duì)數(shù)不等式

2

例4⑴［2023?成都七中二診］假設(shè)實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足logq>l>log”,那么a的取值范圍是()

34

⑵實(shí)數(shù)在0,且滿(mǎn)足不等式33"2>3,叫那么不等式log,(3x+2)<log,(8-5用的解集為.

［總結(jié)反思］對(duì)于形如logX^>Z>的不等式，一般轉(zhuǎn)化為⑼>log",再根據(jù)底數(shù)的范圍轉(zhuǎn)化為

《吊>才或而對(duì)于形如log/MAlog/aM的不等式,一般要轉(zhuǎn)化為同底的不等式來(lái)解.

微點(diǎn)3對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題

log。％,%>3,

log；x'+2,0<x<3存在最小值，那么a的取值范圍

(a

為()

A.(1,+8)B.［3,S

C.(l,3］D.(1,V3］

(2)/(9旦。8式義-公-+32)在區(qū)間［2,上刊)上為減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是

［總結(jié)反思］利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域、最值和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

問(wèn)題，必須弄清三方面的問(wèn)題:一是定義域,所有問(wèn)題都必須在定義域內(nèi)討論;二是底數(shù)與1的

大小關(guān)系;三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些根本初等函數(shù)復(fù)合而成的.另夕卜,解題時(shí)要注意

數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的使用.

應(yīng)用演練

1.【微點(diǎn)3】假設(shè)函數(shù)的="103在區(qū)間口河上的最大值為6,那么廣()

A.2B.4

C.6D.8

2.【微點(diǎn)1】［2023?銀川一中四模］設(shè)a=0.5叫b=iogu0.3,c=i。空0.4,那么a,6,c的大小關(guān)系是

()

\.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.b<c<a

3.【微點(diǎn)2］函數(shù)儂在區(qū)間［-2,2］上單調(diào)遞增，假設(shè)用啥㈤V用0gt(m+2)］成立，那么實(shí)數(shù)m的取

值范圍是()

4,2)Bg,l)

C.(l,4］D.［2,4］

4.【微點(diǎn)3】函數(shù)《吊=1。期(-/+2刈的單調(diào)遞減區(qū)間是.

5.【微點(diǎn)3】函數(shù)《刈=in(、l+/㈤豆,那么<1g3).

第9講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

考試說(shuō)明1.理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì),知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或

常用對(duì)數(shù);T解對(duì)數(shù)在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用.

2.對(duì)數(shù)函數(shù)

⑴理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,掌握對(duì)數(shù)函數(shù)圖像通過(guò)的特殊點(diǎn)；

（2）知道對(duì)數(shù)函數(shù)是一類(lèi)重要的函數(shù)模型；

⑶了解指數(shù)函數(shù)y=/（心0,且*片1）與對(duì)數(shù)函數(shù)尸1。&雙心0,且a于1）互為反函數(shù).

【課前雙基穩(wěn)固】

知識(shí)聚焦

1.對(duì)數(shù)x^ogJV對(duì)數(shù)0N10glM+k>gj7V10glV-k>g17VnlogjM'log力

2.對(duì)數(shù)(0,+od)R(1,0)增減

3.1=1。8取4>0,且4片1)y=x

對(duì)點(diǎn)演練

1.1［解析］利用對(duì)數(shù)的換底公式可得結(jié)果為1.

2.(-8,2)［解析］由2十>0,解得'<2,即函數(shù)心)的定義域?yàn)?-8,2).

3.1［解析］函數(shù)《MMogjx,所以(2)=1.

4.(-8,2)［解析］因?yàn)?義<1,所以y=iogj.X單調(diào)遞減,而函數(shù)j=/4x+5>0恒成立，且單調(diào)遞

^75

減區(qū)間為(-%2),所以函數(shù)r=iogj_(W4x，5)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,2).

5.0X2)③④⑤［解析］②^10=1,那么怕四10)也1=0;2^3?建1=0;領(lǐng).的對(duì)數(shù)等于1,那么

x=10;④底的對(duì)數(shù)等于1;⑤1。%,〃喘Jog3m嚶，那么胃-2,即log3〃-2,故〃由

6.4［解析］因?yàn)?gx+lgj=21g(x-2力所以打《￥-2,沆即A2-5A7+4產(chǎn)口),解得x可或*=4不由得

x>0,尸0/-2戶(hù)0,所以xw不符合題意,當(dāng)x=4y時(shí)，得'=4.

l.c>ii>b［解析］八痣<log8A后=q/m0題百>108q=儀所以c>a>b.

8.2或;［解析］分兩種情況討論:⑴當(dāng)a>l時(shí)，有l(wèi)og,左心端力,解得a=2;(2)當(dāng)0，<1時(shí)，有

logZl。&4=1,解得話.所以a=2或去

【課堂考點(diǎn)探究】

例1［思路點(diǎn)撥］⑴先化為同底的對(duì)數(shù)，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法那么得出〃之間的關(guān)系,再代入

求值.⑵先反解XJ；再代入;號(hào)=2,即可得m的值.

22

(1)C(2)710［解析］⑴因?yàn)?0gx^(3/n)^log2/7=log2(9/n)^log2n=iog2(9mn),

loga2/+n)=io^(2z7T+ri)2,

所以9ZT72/?-(2/7?2v-n)2,

即《?、??/；*"?),解得4后=n或nf=n,

(2)由2'=5'=/77,得xz=iog2/77,y^iogs/n,

再由凡之得氤舄小，即

所以10即10=2,所以/nW10.

變式題(1)C(2)1［解析］⑴令3'=4/T,那么xMog3^T。骷由3x9得

_31og3t常?二倒哨4-61哨2,應(yīng)選C.

Plog4t

例2［思路點(diǎn)撥］⑴由&x)的性質(zhì)及其圖像過(guò)點(diǎn)(1,1),(-1,1)得到答案;⑵在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函

L

數(shù)尸(3與y=io^(A-il),y=iog,x,y=iog2x的圖像，根據(jù)圖像得到交點(diǎn)，分析交點(diǎn)的橫坐標(biāo)進(jìn)行大

小比較.(2)在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)y=({f與尸1?？?x+l),y=log3X,產(chǎn)=1。蝦的圖像，根據(jù)圖像得

到交點(diǎn),比較交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的大小即可.

(1)A⑵A［解析］⑴由于函數(shù)《吊=1。&小/+1(0，<1)是偶函數(shù)，所以其圖像關(guān)于了軸對(duì)稱(chēng).當(dāng)

xX)時(shí),《其旦og,/x/+l(Ova<l)是減函數(shù);當(dāng)x<0時(shí),/(同旦。鄉(xiāng)獷/+1(0<2<1)是增函數(shù).再由?⑼的

圖像過(guò)點(diǎn)(1,1),(-1,1),可知應(yīng)選A.

⑵X|,X2,Xs分別是函數(shù)片G)與尸10g2(x+l),尸=10g3XjT0g2X圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出函數(shù)

尸C)產(chǎn)1唯(x+1)產(chǎn)iog3X,y=log2X的大致圖像如下列圖，由圖可得/<X3<YZ,應(yīng)選A.

變式題(1)B(2)B［解析］⑴函數(shù)《％=ln(/x/-l)的定義域?yàn)閧x/x>l或XV-1},且《耳是偶函數(shù),

故排除CQ;當(dāng)x>l時(shí)，函數(shù)/(切=in(x-l)是增函數(shù),故排除A.應(yīng)選B.

(2)由題意可得，華，華，等可分別看作函數(shù)氏刈=1限。+1)圖像上的點(diǎn)(此砌,(1M6)),(c，3)與原

點(diǎn)連線的斜率，結(jié)合圖像(圖略)可知，當(dāng)a>b>cX)時(shí)，等邛療.應(yīng)選B.

例3［思路點(diǎn)撥］⑴推導(dǎo)出0=iog,l<1o幽<1。8戶(hù)1,由此利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較m,n,/的大

小;(2)先分析出助<0,"6<0,再利用作差法比較必和2耘的大小關(guān)系得解.

⑴B⑵B［解析］⑴:實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足a>b>\⑷MogXlogS.nuQogjbyjgog上

..0^logylUogebVog/Wul,

.二"7Mog?(log)<log?l=0,

/Mog4=21og［6>z?Xlog㈤2,

應(yīng)選B.

⑵由題得^=ln-<ln1=0,Z>=logi->logi1W),所以ab<0.

又刊。gz：=-ln2曙Mn2(煮?l)Mn2-雷<0,

刃「么ab-(a+B)=ab-a-bTv^?logi--ln--logi---In2,j---^In2-y—^in2(-J—4-1-^in

232232ln3ln3\ln31n3z

In3-ln2-lln~

2",'nzi=ln2?產(chǎn)<0,所以abva+b4).

In3m3

o

例4［思路點(diǎn)撥］⑴分別求解不等式與log"<l,其交集即為不等式的解集J2)先根據(jù)指

34

數(shù)不等式確定a的范圍，然后根據(jù)同底的對(duì)數(shù)不等式求解，并注意真數(shù)的取值.

(1)C(2)Q,1)［解析］⑴根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，由可得|。<1;由log”<l,得20.綜上

可得:va<l,.：a的取值范圍是應(yīng)選C.

3x+2>8-5x,

⑵由題意得3a+2>4aitl,.,.0<a<l,.3x+2>0,解得x€

(8-5%>0,

例5［思路點(diǎn)撥］⑴由分段函數(shù)在兩段上的單調(diào)性，結(jié)合(x)存在最小值,列不等式求解即可;(2)

令t=*-ax+3a,那么由題意可得函數(shù)t=?-ax+3a在區(qū)間［2,上為增函數(shù)，且當(dāng)x=2時(shí),X),從而

得解.

(1)C⑵［解析］⑴由題意可知心1,否那么函數(shù)無(wú)最小值，

所以當(dāng)x>3時(shí)0gl3,

當(dāng)0443時(shí)與<應(yīng)尸+2單調(diào)遞減,且滿(mǎn)足4x)》隼)=joga3+2,

aa

所以log,3>logi3+2、即log,3>1,得13.應(yīng)選C.

a

⑵令『W-ax+3a那么由函數(shù)夙。mog”在區(qū)間［2,+8)上為減函數(shù)，

2

可得函數(shù)公土3〃在區(qū)間［2,+8)上為增函數(shù)，且當(dāng)x之時(shí)工X),

(-<2

故有"一'解得4力&4.

14-2a+3Q>0,

應(yīng)用演練

1.B［解析］由題得函數(shù)式囚=a/logzx在區(qū)間口河上是增函數(shù),所以當(dāng)x=*時(shí)，函數(shù)取得最大值

6,即w+lo&wN,解得〃=4.應(yīng)選B.

2.C［解析］:04=0.5°，4<0.5°=1,

bMo劭,4。.3>10須.40,4—1,

c—io^0.4—0,

二c<a<b.

3.A［解析］不等式即為恤當(dāng)總金?！癪^)］,

:函數(shù)仆)在區(qū)間［22］上單調(diào)遞增，

2

pog4m<log4(m+2),仔<m+2,

.J-2<log2m<2,解得*m<2,

1-2<log4(m+2)<2,I±<m+2<16)

'16

.:實(shí)數(shù)3的取值范圍是E,2).應(yīng)選A.

4.(1,2)［解析］由-*+2xX),可得P2x<0,解得04<2,

.：函數(shù)人自心理(-/+2刈的定義域?yàn)?0,2).

又產(chǎn)4og2X在(0,+8)上單調(diào)遞增，

y=-e+2焚0r<2)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減，

.函數(shù)《苗在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減，

函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是。,2).

5.4［解析］設(shè)『⑼=in"l+心㈤，顯然有片㈤二虱力，即虱》為奇函數(shù)，那么尿㈤+以吊=0,所以gg

3)必恒§=族3)+(lg3)*g3)+2+4lg3)+2=4.

【備選理由】例1主要考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算、對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的變換;例2考查比較對(duì)數(shù)式的大小;

例3主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì);例4為對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜

合問(wèn)題.

例1［配合例2使用］為了得到函數(shù)產(chǎn)=igx的圖像，只需將函數(shù)7=ig(10x)圖像上()

A.所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的10倍，橫坐標(biāo)不變

B.所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的卷，縱坐標(biāo)不變

C.所有