7.3獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題（課件）-高二數(shù)學(xué)（北師大版2019選擇性）

1、所求直線方程叫做回歸直線方程；相應(yīng)的直線叫做回歸直線。2、對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行的線性分析叫做線性回歸分析?；貧w直線方程溫故知新稱為樣本點(diǎn)的中心。溫故知新(1)當(dāng)r>0時(shí)，稱成對(duì)數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，稱成對(duì)數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)．(2)r的取值范圍為[-1，1](3)當(dāng)|r|越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng);當(dāng)|r|越接近0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.2.樣本相關(guān)系數(shù)r獨(dú)立性檢驗(yàn)本節(jié)研究的是兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題。在日常生活中，我們常常關(guān)心分類變量之間是否有關(guān)系：例如，吸煙是否與患肺癌有關(guān)系？性別是否對(duì)于喜歡數(shù)學(xué)課程有影響？等等。

吸煙與肺癌列聯(lián)表患肺癌不患肺癌總計(jì)不吸煙5619321988吸煙2345674590總計(jì)7964996578為了調(diào)查吸煙是否對(duì)肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了6578人，得到如下結(jié)果（單位：人）列聯(lián)表分類變量獨(dú)立性檢驗(yàn)：?jiǎn)栴}提出

上面是一張2行2列的表，在統(tǒng)計(jì)中稱為2×2列聯(lián)表.在這個(gè)問(wèn)題中，需要考慮兩個(gè)變量:是否吸煙,是否患肺癌;每個(gè)變量應(yīng)取兩個(gè)值:吸煙、不吸煙,患肺癌、未患肺癌.

上表中的數(shù)據(jù)是根據(jù)調(diào)査得到的結(jié)果，如吸煙且患肺癌的人數(shù)是56,不吸煙但患肺癌的人數(shù)是23,等等.我們的問(wèn)題是:如何根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)來(lái)判斷吸煙與患肺癌是否有關(guān)系，即它們是否獨(dú)立？這一問(wèn)題稱為2×2列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn).

分析理解

假設(shè)“吸煙與否”與“是否患肺癌”沒(méi)有關(guān)系，即吸煙與患肺癌是獨(dú)立的.根據(jù)直觀經(jīng)驗(yàn),我們把吸煙人群中患肺癌的人所占百分比，與不吸煙人群中患肺癌的人所占百分比作比較.如果吸煙不影響患肺癌，就意味著,無(wú)論吸煙與否，患肺癌的人所占的百分比應(yīng)是基本一樣的.就此題而言:吸煙人群中患肺癌的人所占百分比是不吸煙人群中患肺癌的人所占百分比是

顯然，吸煙人群中患肺癌的人所占百分比，與不吸煙人群中患肺癌的人所占百分比不相等，且相差較大.由此我們可以推斷，開(kāi)始的假設(shè)可能是不成立的.也就是說(shuō),患肺癌與吸煙可能是有關(guān)系的.由吸煙人群中患肺癌的人所占的百分比較大,可以認(rèn)為吸煙會(huì)對(duì)肺癌的發(fā)病率產(chǎn)生一定的影響.另一方面,如果吸煙和患肺癌是獨(dú)立的，那么就有P(A1B1)=P(A1)P(B1),P(A1B2)=P(Al)P(B2),P(A2B1)=P(A2)P(B1),

P(A2B2)=P(A2)P(B2).

先討論P(yáng)(A1B1)=P(A1)P(B1),的情況.我們可以列出頻率表，并用既吸煙又患肺癌的人的頻率來(lái)估計(jì)P(A1B1)，用吸煙的人的頻率來(lái)估計(jì)P(A1)，用患肺癌的人的頻率來(lái)估計(jì)P(B1)，得到表7-10.既吸煙又患肺癌的人的頻率是0.85%,吸煙的人的頻率是30.22%,患肺癌的人的頻率是1.20%.顯然,30.22.%×1.20%≈0.36%≠0.85%.由于根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算出的值是頻率值，它只是概率的估計(jì)值，因此即使變量之間獨(dú)立，這兩個(gè)數(shù)一般也不一定恰好相等.但是當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相差很大時(shí),就可以得出：患肺癌與吸煙有關(guān)的可能性較大.

抽象概括其中,a表示變量A取A1，且變量B取B1時(shí)的數(shù)據(jù);b表示變量A取A1,且變量B取B2時(shí)的數(shù)據(jù);c表示變量A取A2,且變量B取Bl時(shí)的數(shù)據(jù);d表示變量A取A2,且變量B取B2時(shí)的數(shù)據(jù).

獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想統(tǒng)計(jì)學(xué)家選取以下統(tǒng)計(jì)量，用它的大小來(lái)檢驗(yàn)變量之間是否獨(dú)立：

統(tǒng)計(jì)上已經(jīng)證明:在變量A,B獨(dú)立的前提下,當(dāng)樣本量很大時(shí),χ2近似服從一個(gè)已知的分布χ2(1).當(dāng)χ2較大時(shí)，說(shuō)明變量之間不獨(dú)立.在統(tǒng)計(jì)中,用以下結(jié)果對(duì)變量的獨(dú)立性進(jìn)行判斷.統(tǒng)計(jì)學(xué)家選取以下統(tǒng)計(jì)量，用它的大小來(lái)檢驗(yàn)變量之間是否獨(dú)立：

(1)當(dāng)χ2≤2.706時(shí)，沒(méi)有充分的證據(jù)判斷變量A,B有關(guān)聯(lián)，可以認(rèn)為變量A,B是沒(méi)有關(guān)聯(lián)的；(2)當(dāng)χ2＞時(shí)，有90%的把握判斷變量A,B有關(guān)聯(lián)；(3)當(dāng)χ2＞時(shí)，有95%的把握判斷變量A,B有關(guān)聯(lián)；(4)當(dāng)χ2＞時(shí)，有99%的把握判斷變量A,B有關(guān)聯(lián).χ2較大時(shí)，說(shuō)明變量之間不獨(dú)立

深化概念卡方統(tǒng)計(jì)量XY合計(jì)Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合計(jì)a+cb+dn=a+b+c+d追問(wèn)1卡方統(tǒng)計(jì)量有什么用呢？

統(tǒng)計(jì)學(xué)家建議，用隨機(jī)變量

χ2取值

的大小作為判斷零假設(shè)H0是否成立的依據(jù)。

根據(jù)小概率事件在一次試驗(yàn)中不大可能發(fā)生的規(guī)律，可以通過(guò)確定一個(gè)與H0相矛盾的小概率事件來(lái)實(shí)現(xiàn)，在假定H0的條件下，對(duì)于有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，當(dāng)樣本容量n充分大時(shí)，統(tǒng)計(jì)學(xué)家得到了χ2的近似分布.

P(χ2≥xα)=α

我們稱xα為α的臨界值，這個(gè)臨界值可以作為判斷χ2大小的標(biāo)準(zhǔn).

概率值α越小，臨界值xα越大.

xαα

這種利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡(jiǎn)稱獨(dú)立性檢驗(yàn).

α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828下表給出了χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值：基于小概率值α的檢驗(yàn)規(guī)則:追問(wèn)3

怎么看這個(gè)表呢？α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828追問(wèn)3

怎么看這個(gè)表呢？例如，對(duì)于小概率值α，我們有如下的具體檢驗(yàn)規(guī)則：

按α的卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷H0不成立（數(shù)學(xué)結(jié)論），可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立（實(shí)際結(jié)論）.

獨(dú)立性檢驗(yàn)基本的思想類似反證法(1)假設(shè)結(jié)論不成立,即“兩個(gè)分類變量沒(méi)有關(guān)系”.(2)在此假設(shè)下隨機(jī)變量K2

應(yīng)該很能小,如果由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到K2的觀測(cè)值k很大,則在一定程度上說(shuō)明假設(shè)不合理.(3)根據(jù)隨機(jī)變量K2的含義,可以通過(guò)評(píng)價(jià)該假設(shè)不合理的程度,由實(shí)際計(jì)算出的,說(shuō)明假設(shè)合理的程度為99.9%,即“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信度為約為99.9%.反證法原理與假設(shè)檢驗(yàn)原理反證法原理：在一個(gè)已知假設(shè)下，如果推出一個(gè)矛盾，就證明了這個(gè)假設(shè)不成立。假設(shè)檢驗(yàn)原理：在一個(gè)已知假設(shè)下，如果一個(gè)與該假設(shè)矛盾的小概率事件發(fā)生，就推斷這個(gè)假設(shè)不成立。獨(dú)立性檢驗(yàn)基本的思想類似反證法(1)假設(shè)結(jié)論不成立,即“兩個(gè)分類變量沒(méi)有關(guān)系”.(2)在此假設(shè)下隨機(jī)變量K2

應(yīng)該很能小,如果由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到K2的觀測(cè)值k很大,則在一定程度上說(shuō)明假設(shè)不合理.(3)根據(jù)隨機(jī)變量K2的含義,可以通過(guò)評(píng)價(jià)該假設(shè)不合理的程度,由實(shí)際計(jì)算出的,說(shuō)明假設(shè)合理的程度為99.9%,即“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信度為約為99.9%.1．思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是兩個(gè)變量的頻數(shù)．(

)(2)2×2列聯(lián)表只有4個(gè)格子．(

)(3)χ2的大小是判斷變量A與B是否相關(guān)的統(tǒng)計(jì)量．(

)√

×√2．下面是一個(gè)2×2列聯(lián)表：y1y2總計(jì)x1a2173x222527總計(jì)b46100則表中a、b的值分別為(

)A．94、96B．52、50C．52、54D．54、52C3．對(duì)兩個(gè)變量A與B的χ2的值說(shuō)法正確的是(

)A.χ2越大，“A與B有關(guān)”的把握性越小B.χ2越小，“A與B有關(guān)”的把握性越小C.χ2越接近于0，“A與B無(wú)關(guān)”的把握性越小D.χ2越大，“A與B無(wú)關(guān)”的把握性越大解析：χ2越大，A與B越不獨(dú)立，所以關(guān)聯(lián)越大；相反，χ2越小，關(guān)聯(lián)越小．故選B.答案：B

看書(shū)運(yùn)動(dòng)合計(jì)男82028女161228合計(jì)243256解析：根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到χ2≈，所以至少有95%的把握判定休閑方式與性別有關(guān)系．答案：95%獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用

例1

某組織對(duì)男、女青年是否喜愛(ài)古典音樂(lè)進(jìn)行了一個(gè)調(diào)查，調(diào)查者隨機(jī)調(diào)查了146名青年，表7-12給出了調(diào)查的結(jié)果（單位:人）：試問(wèn):男、女青年喜愛(ài)古典音樂(lè)的程度是否有差異？

解依題意知該問(wèn)題是判斷喜愛(ài)古典音樂(lè)是否與青年的性別有關(guān).根據(jù)表7-12中的數(shù)據(jù)計(jì)算得到表7-13（單位:人）：

例題講解

例2容易生氣的人更有可能患心臟病嗎？某機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了2796人，表7-14給出了調(diào)查的結(jié)果（單位:人）：試問(wèn):容易生氣的人是否更有可能患心臟??？解問(wèn)題是要判斷患心臟病是否與易怒有關(guān).根據(jù)表7-14中的數(shù)據(jù)計(jì)算得到表7-15（單位:人）：

例2-16（單位:人）：試問(wèn):頭發(fā)的顏色與眼睛虹膜的顏色有關(guān)嗎？

解問(wèn)題是要判斷頭發(fā)的顏色是否與眼睛虹膜的顏色有關(guān).根據(jù)表7-16中的數(shù)據(jù)計(jì)算得到表7-17（單位:人）：

例4.某心臟病醫(yī)院為了研究禿頂是否與心臟病有關(guān)，對(duì)665名男性心臟和772名其他病人做了研究，是否可以以99%的把握認(rèn)為禿頂與心臟病有關(guān)？患心臟病不患心臟病總計(jì)禿頂214175389不禿頂4515971048總計(jì)6657721437智慧的閃光!例1.在某醫(yī)院,因?yàn)榛夹呐K病而住院的665名男性病人中,有214人禿頂,而另外772名不是因?yàn)榛夹呐K病而住院的男性病人中有175人禿頂.分別利用圖形和獨(dú)立性檢驗(yàn)方法判斷是否有關(guān)?你所得的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效?患心臟病不患心臟病總計(jì)禿頂214175389不禿頂4515971048總計(jì)6657721437在禿頂中患心臟病的比重是

在不禿頂中患心臟病的比重是

55.01%43.03%例1.在某醫(yī)院,因?yàn)榛夹呐K病而住院的665名男性病人中,有214人禿頂,而另外772名不是因?yàn)榛夹呐K病而住院的男性病人中有175人禿頂.分別利用圖形和獨(dú)立性檢驗(yàn)方法判斷是否有關(guān)?你所得的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效?患心臟病不患心臟病總計(jì)禿頂214175389不禿頂4515971048總計(jì)6657721437

根據(jù)聯(lián)表的數(shù)據(jù)，得到所以有99%的把握認(rèn)為“禿頂與患心臟病有關(guān)”。研究人員表示，掉頭發(fā)在很大程度上是由日漸增大的工作壓力、不能充分休息、不正確飲食和睡眠不足等因素引起的。在接受調(diào)查的人群中，有41%的受禿頭威脅的人表示，他們一日睡覺(jué)時(shí)間不足4小時(shí)禿頂＝心臟病？注意：因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)來(lái)自住院的病人，因此所得到的結(jié)論適合住院的病人群體．2、本例中的邊框中的注解：1、在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，可以直接計(jì)算K2的觀測(cè)值k進(jìn)行獨(dú)立檢驗(yàn)，而不必寫(xiě)出K2的推導(dǎo)過(guò)程；

主要是使得我們注意統(tǒng)計(jì)結(jié)果的適用范圍（這由樣本的代表性所決定）課堂練習(xí)變式1、某班主任對(duì)全班50名學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和對(duì)待班級(jí)工作的態(tài)度進(jìn)行了調(diào)查，得出以下2x2列聯(lián)表：如果隨機(jī)抽查該班的一名學(xué)生，那么抽到積極參加班級(jí)工作的學(xué)生的概率是12/5．（1）求a，b，c，d的值．（2）試運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法分析：能否有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與對(duì)待班級(jí)工作的態(tài)度有關(guān)系？并說(shuō)明理由．積極參加班級(jí)工作不太主動(dòng)參加班級(jí)工作總計(jì)學(xué)習(xí)積極性高18725學(xué)習(xí)積極性一般ab25總計(jì)cd50解：（1）積極參加班級(jí)工作的學(xué)生有c人，總?cè)藬?shù)為50，由抽到積極參加班級(jí)工作的學(xué)生的概率P1=c/50=12/25，解得c=24，所以a=6．所以b=25-a=19，d=50-c=26．

拓展提高變式2、某疫苗進(jìn)行安全性臨床試驗(yàn).該疫苗安全性的一個(gè)重要指標(biāo)是：注射疫苗后人體血液中的高鐵血紅蛋白的含量（以下簡(jiǎn)稱為“M含量”）不超過(guò)1%，則為陰性，認(rèn)為受試者沒(méi)有出現(xiàn)血癥.若一批受試者的M含量平均數(shù)不超過(guò)0.65%，出現(xiàn)血癥的被測(cè)試者的比例不超過(guò)5%，同時(shí)滿足這兩個(gè)條件則認(rèn)為該疫苗在M含量指標(biāo)上是“安全的”；否則為“不安全”.現(xiàn)有男、女志愿者各200名接受了該疫苗注射.經(jīng)數(shù)據(jù)整理，制得頻率分布直方圖如圖.（注：在頻率分布直方圖中，同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表.）（1）請(qǐng)說(shuō)明該疫苗在M含量指標(biāo)上的安全性；（2）按照性別分層抽樣，隨機(jī)抽取50名志愿者進(jìn)行M含量的檢測(cè)，其中女性志愿者被檢測(cè)出陽(yáng)性的恰好1人.請(qǐng)利用樣本估計(jì)總體的思想，完成這400名志愿者的2x2列聯(lián)表，并判斷是否有超過(guò)95%的把握認(rèn)為，注射該疫苗后，高鐵血紅蛋白血癥與性別有關(guān)？拓展提高

（2）依題意得，抽取的50名志愿者中女性志愿者應(yīng)為25人，，所以全部女性志愿者陽(yáng)性共有200x0.04=8人。由（1）知400名志愿者中，陽(yáng)性的頻率為，所以陽(yáng)性的人數(shù)共有400x0.03=12人因此男性志愿者被檢測(cè)出陽(yáng)性的人數(shù)是12-8=4人.所得2x2列聯(lián)表如下：

男女合計(jì)陽(yáng)性4812陰性196192388合計(jì)200200400解析：判斷兩個(gè)變量是否有關(guān)的最有效方法是進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)．答案：C課堂練習(xí)2．分類變量X和Y的列表如下，則下列說(shuō)法判斷正確的是(

)

y1y2合計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d合計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋dA.ad－bc越小，說(shuō)明X和Y關(guān)系越弱B．a(chǎn)d－bc越大，說(shuō)明X和Y關(guān)系越強(qiáng)C．(ad－bc)2越大，說(shuō)明X與Y關(guān)系越強(qiáng)D．(ad－bc)2越接近于0，說(shuō)明X與Y關(guān)系越強(qiáng)答案：C

3．若由一個(gè)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得χ2＝，那么有________把握認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān)．(

)A．95%B．97.5%C．99%D．99.9%解析：∵χ2＝，∴有95%的把握認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān)．答案：A4．下面2×2列聯(lián)表的χ2的值為_(kāi)_______．

B合計(jì)A841221618合計(jì)102030

答案：105.在研究某種藥物對(duì)“H7N9”病毒的治療效果時(shí)，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到以下數(shù)據(jù)，對(duì)150只動(dòng)物服用藥物，其中132只動(dòng)物存活，18只動(dòng)物死亡，對(duì)照組150只動(dòng)物進(jìn)行常規(guī)治療，其中114只動(dòng)物存活，36只動(dòng)物死亡．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2列聯(lián)表．(2)試問(wèn)該種藥物對(duì)治療“H7N9”病毒是否有效？

存活數(shù)死亡數(shù)合計(jì)服用藥物13218150未服藥物11436150合計(jì)24654300拓展提高6、這一年來(lái)人類與新型冠狀病毒的“戰(zhàn)爭(zhēng)”讓人們逐漸明白一個(gè)道理，人類社會(huì)組織模式的差異只是小事情，病毒在地球上存在了三四十億年，而人類的文明史不過(guò)只有幾千年而已，人類無(wú)法消滅病毒，只能與之共存，或者病毒自然消亡，在病毒面前，個(gè)體自由要服從于集體或者群體生命的價(jià)值．在傳染病學(xué)中，通常把從致病刺激物侵入機(jī)體內(nèi)或者對(duì)機(jī)體發(fā)生作用起，到機(jī)體出現(xiàn)反應(yīng)或開(kāi)始呈現(xiàn)該疾病對(duì)應(yīng)的相關(guān)癥狀時(shí)止的這一階段稱為潛伏期，因此我們應(yīng)該注意做好良好的防護(hù)措施和隔離措施．某研究團(tuán)隊(duì)統(tǒng)計(jì)了某地區(qū)10000名患者的相關(guān)信息，得到如下表格：潛伏期(0,2](2,4](4,6](6,8](8,10](10,12](12,14]人數(shù)6001900300025001600250150（1）新冠肺炎的潛伏期受諸多因素的影響，為研究潛伏期與年齡的關(guān)系，通過(guò)分層抽樣從10000名患者中抽取200人進(jìn)行研究，完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān)？（2）依據(jù)上述數(shù)據(jù)，將頻率作為概率，且每名患者的潛伏期是否超過(guò)8天相互獨(dú)立．為了深入研究，該團(tuán)隊(duì)在這一地區(qū)抽取了20名患者，其中潛伏期不超過(guò)8天的人數(shù)最有可能是多少？潛伏期≤8潛伏期>8總計(jì)60歲以上（含60歲）15060歲以下30總計(jì)200拓展提高解：（1數(shù)據(jù)可知，潛伏期大于8天的人數(shù)為(1600+250+150)/10000x200=40人，補(bǔ)充完整的2×2列聯(lián)表如下，潛伏期≤8潛伏期>8總計(jì)60歲以上（含60歲）1302015060歲以下302050總計(jì)16040200

解：（2）該地區(qū)10000名患者中潛伏期不超過(guò)8天的人數(shù)為

600+1900+3000+2500名，將頻率視為概率，潛伏期不超過(guò)8天的概率為，所以抽取的20名患者中潛伏期不超過(guò)8天的人數(shù)最有可能是20x0.8=16名.鏈接高考1、（2021全國(guó)高考真題（文））甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計(jì)270130400（1）甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少?（2）能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?走進(jìn)高考解：（1）甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級(jí)品的頻率為15