【數(shù)學(xué)】天津市河西區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)查試題（解析版）

成就未來，新教育伴你成長聯(lián)系電話：400-186-9786天津市河西區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷參考公式：·球的體積公式，其中表示球的半徑.一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題，，，則.故選：D.2.已知直線，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，則有，解得，當(dāng)時，，，，當(dāng)時，，，，所以：若，，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.函數(shù)在上的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】首先，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故排除D，，故排除B，當(dāng)時，，故排除A，只有C滿足條件.故選：C4.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為推動鄉(xiāng)村經(jīng)濟發(fā)展，優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，逐步打造高品質(zhì)的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，在某試驗區(qū)種植了某農(nóng)作物.為了解該品種農(nóng)作物長勢，在實驗區(qū)隨機選取了100株該農(nóng)作物苗，經(jīng)測量，其高度（單位：cm）均在區(qū)間內(nèi)，按照，，，，分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖，記高度不低于16cm的為“優(yōu)質(zhì)苗”.則所選取的農(nóng)作物樣本苗中，“優(yōu)質(zhì)苗”株數(shù)為（）A.20 B.40 C.60 D.80【答案】C【解析】高度不低于16cm的頻率為，所以“優(yōu)質(zhì)苗”株數(shù)為.故選：C.5.已知等差數(shù)列的前項和為，且，，則是中的（）A.第30項 B.第36項 C.第48項 D.第60項【答案】B【解析】設(shè)公差為，則，解得，所以，則，令，則，所以是中的第36項.故選：B.6.若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，因為，所以，即，而，所以.故選：B.7.如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正三棱柱容器，所有棱長都為，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時，測得水深為，如果不計容器的厚度，則球的體積為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)球的半徑為R，球的截面圓的半徑為r，即為正三棱柱底面三角形的內(nèi)切圓的半徑，則，解得，由球的截面性質(zhì)得：，解得，所以球的體積為，故選：D8.將函數(shù)（）的圖像向左平移個單位，得到函數(shù)的圖像，若函數(shù)）的一個極值點是，且在上單調(diào)遞增，則ω的值為（）A B. C. D.【答案】A【解析】由題意得：，又函數(shù)）的一個極值點是，即是函數(shù)一條對稱軸，所以，則（），函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)的周期，解得，則，，故選：A.9.已知雙曲線（，），是雙曲線半焦距，則當(dāng)取得最小值時，雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，當(dāng)且僅當(dāng)，即且時等號成立，則，得.故選：B第Ⅱ卷二、填空題10.設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)=____．【答案】【解析】故答案為：11.的展開式中的常數(shù)項為____________.【答案】40【解析】依題意，的展開式的通項為，令可得.故常數(shù)項為.故答案為：4012.已知拋物線的焦點為，以點為圓心的圓與直線相切于點，則__________.【答案】【解析】，因為以點為圓心的圓與直線相切于點，所以直線與直線垂直，則，解得.故答案為：.13.某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪．假設(shè)某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結(jié)果相互獨立，則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率等于_________．【答案】【解析】根據(jù)題意，記該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪為A，若該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪，必有第二個問題回答錯誤，第三、四個回答正確，第一個問題可對可錯；有相互獨立事件的概率乘法公式，可得P（A）=1×0.2×0.8×0.8=0.128，故答案為0.128.法二：根據(jù)題意，記該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪為A，若該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪，必有第二個問題回答錯誤，第三、四個回答正確，第一個問題可對可錯，由此分兩類，第一個答錯與第一個答對；有相互獨立事件的概率乘法公式，可得P（A）=0.8×0.2×0.8×0.8+0.2×0.2×0.8×0.8=0.2×0.8×0.8=0.12814.在中，，，，，，且，則_________；的值為____________.【答案】【解析】因為，，，所以,又，在中，，，所以，,即，解得或（舍去），故的值為：.又,,，故的值為：.故答案為：15.已知函數(shù)，則的最小值是______；若關(guān)于x的方程有3個實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】2【解析】根據(jù)與大小關(guān)系（比較與大小的推理見后附）,可知，設(shè)，注意到曲線與曲線恰好交于點，顯然，,作出的大致圖象如圖，可得的最小值是1，從而的最小值是2．由，得．設(shè)直線與曲線切于點，，直線過定點，則，解得，從而．由圖象可知，若關(guān)于x的方程有3個實數(shù)解，則直線與曲線有3個交點，則，即所求實數(shù)a的取值范圍是，故答案為：2；附：當(dāng)時，設(shè)，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而，此時；當(dāng)時，設(shè)，區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即．三、解答題16.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.解：（1）由余弦定理，因為，，所以，整理得，所以.（2）由（1）可知，，由正弦定理可得，因為，所以，又，所以，整理得，所以，解得.（3）由（2）可知，所以所以17.如圖所示的幾何體中，平面，，，，為的中點，，為的中點.（1）求證：//平面；（2）求點到平面的距離.（3）求平面與平面所成角的余弦值.（1）證明：因為平面，平面，故，，又，即AE，AB，AD兩兩垂直.以點A為原點，直線AE，AB，AD分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，中點，又，即，于是得，，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，因此，，即，平面，而平面，所以平面.（2）解：由（1）知，，則點F到平面的距離，所以點到平面的距離是.（3）解：由（1）知，平面的法向量，平面的一個法向量為，依題意，，所以，平面與平面所成角的余弦值為.18.已知橢圓的離心率，左、右焦點分別為，，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為.（1）求橢圓的方程；（2）過作不平行于坐標軸的直線與橢圓交于，兩點，直線交軸于點，直線交軸于點，若，求直線的方程.解：（1）由題意，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為，所以，即，①又因為離心率，②聯(lián)立①②，解得，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)，，，，由（1）可知，，，由題意可設(shè)直線，則，；聯(lián)立，得．則，．由直線的方程：，得縱坐標；由直線的方程：，得的縱坐標．若，即，，所以，整理得，代入根與系數(shù)的關(guān)系，得，解得，所以直線方程：或.19.設(shè)等比數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式和；（2）如果數(shù)列對任意的，均滿足，則稱為“速增數(shù)列”.（?。┡袛鄶?shù)列是否為“速增數(shù)列”？說明理由；（ⅱ）若數(shù)列為“速增數(shù)列”，且任意項，，，，求正整數(shù)的最大值.解：（1）設(shè)等比數(shù)列公比為，由，，有，解得，所以.（2）（ⅰ）數(shù)列是“速增數(shù)列”，理由如下：由，則，，，故，所以數(shù)列是“速增數(shù)列”.（ⅱ）數(shù)列為“速增數(shù)列”，，，，任意項，時，.即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故正整數(shù)k的最大值為63.20.已知函數(shù).（1）若，求圖象在處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）若存在兩個極值點，求證：.（1）解：因為，