新教材蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第9章平面向量 課時(shí)練習(xí)題及章末綜合測(cè)驗(yàn)含答案解析

第九章平面向量課時(shí)練習(xí)題及章末測(cè)驗(yàn)

9.1向量概念............................................................-1-

9.2.1第1課時(shí)向量的加法.............................................-6-

9.2.1第2課時(shí)向量的減法............................................-11-

9.2.2向量的數(shù)乘......................................................-17-

9.2.3向量的數(shù)量積....................................................-22-

9.3.1平面向量基本定理................................................-28-

9.3.2第1課時(shí)向量的坐標(biāo)表示......................................-34-

9.3.2第2課時(shí)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示...................................-40-

9.3.3向量平行的坐標(biāo)表示..............................................-46-

9.4向量應(yīng)用.........................................................-51-

章末綜合測(cè)驗(yàn)..........................................................-59-

9.1向量概念

[4組基礎(chǔ)合格練]

一'選擇題

1.下列各量中是向量的是（）

A.密度B.電流C.浮力D.面積

C[只有浮力既有大小又有方向.]

2.若向量Q與向量。不相等，則下列關(guān)于Q與力的說(shuō)法一定正確的是（）

A.不共線B.長(zhǎng)度不相等

C.不都是單位向量D.不都是零向量

D[若向量a與向量分不相等，則說(shuō)明向量。與向量）的方向或長(zhǎng)度至少有

一個(gè)不同，所以a與b有可能共線，有可能長(zhǎng)度相等，也可能都是單位向量，故A,

B,C都錯(cuò)誤，但〃與）一定不都是零向量.]

3.若威=而且|贏|=|俞|,則四邊形ABC。的形狀為（）

A.正方形B.菱形

C.矩形D.平行四邊形

B[由函=而知且即四邊形A3CD為平行四邊形，又因

^）\AB\=\AD\,所以四邊形ABC。為菱形.]

4.下列命題中，正確的是（）

A.若向量。與8不共線，則。與萬(wàn)都是非零向量

B.a,方是兩個(gè)單位向量，則。與力相等

C.兩個(gè)相等的向量，起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度必須都相同

D.共線的單位向量必是相等向量

A[若。與白中有一個(gè)是零向量，則a與6共線.]

5.（多選題）給出以下條件，a與分一定共線的是（）

A.a=bB.\a\-\b\

C.”與方的方向相反D.⑷=0或步|=0

ACD[根據(jù)相等向量一定是共線向量知A成立；

⑷=|加但方向可以任意，...B不成立；

a與8反向必平行或重合，C成立；

由|a|=0或步|=0,得a=0或8=0.根據(jù)0與任何向量共線，.'.D成立.故選

ACD.]

二'填空題

6.已知a,8是不共線的向量，AB=Aa+b,/=a+"雙九〃￡R）,若A,B,

C三點(diǎn)共線，則加=.

1「.?贏與危有公共點(diǎn)A,.?.若A,B,。三點(diǎn)共線，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)「使油

=tAC,即2a+b=fa+〃力，

則《消去參數(shù)，得加=1;反之，當(dāng)川=1時(shí)，AB=~a+b,此時(shí)存在

W=l，〃

1-A1—?―A-?

實(shí)數(shù)一使AB=-AC,故AB和AC共線.

?.?贏與危有公共點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)共線.]

7.如圖所示，已知AO=3,B,C是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，分別以圖中

各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，模大于1的向量有.

ABC~~D

AC,C4,BD,DB,AD,DA[滿足條件的向量有以下幾類(lèi)：

模為2的向量有：AC,CA,BD,DB-,

模為3的向量有：AD,DA.]

8.如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，E,f分別是AO與的中點(diǎn)，則在

以A,B,C,。四點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)為始點(diǎn)和終點(diǎn)的所有向量中，與向量曲方向相

反的向量為

DC

FE,CD,BAV：AB//EF,CD//EF,

與際方向相反的向量為旗，CD,BA.]

三、解答題

9.一輛消防車(chē)從A地去8地執(zhí)行任務(wù)，先從A地向北偏東30。方向行駛2千

米到。地，然后從。地沿北偏東60。方向行駛6千米到達(dá)C地，從。地又向南偏

西30。方向行駛2千米才到達(dá)B地.

t北

⑴在如圖所示的坐標(biāo)系中畫(huà)出崩，DC,CB,AB-,

⑵求B地相對(duì)于A地的方位.

［解］(1)向量而，DC,CB,贏如圖所示.

(2)由題意知Q)=反?，

：.AD^BC,則四邊形ABCD為平行四邊形，：.AB=DC,則B地相對(duì)于A地

的方位是“北偏東60°距A地6千米”.

10.如圖所示，。為正方形A8C。對(duì)角線的交點(diǎn)，四邊形OAEQ,。。尸3都是

正方形.

(1)寫(xiě)出與命相等的向量；

(2)寫(xiě)出與歷共線的向量；

(3)向量超與歷是否相等？

[解](1)與超相等的向量有：OC,BF,ED.

(2)與43共線的向量有：OA,OC,CO,AC,CA,ED,DE,BF,FB.

(3)向量曲與歷不相等，因?yàn)楣cQ的方向相反，所以它們不相等.

[B組能力過(guò)關(guān)練]

U.(多選題)下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.若a與〃平行，方與c平行，則。與c一定平行

B.終點(diǎn)相同的兩個(gè)向量不共線

C.若⑷＞叫，則

D.若a=5，IJIlJa//b

ABC[A中，因?yàn)榱阆蛄颗c任意向量平行，若。=0,則a與c不一定平行.B

中，兩向量終點(diǎn)相同，若夾角是0?；?80。，則共線.C中，向量是既有大小，又

有方向的量，不可以比較大小.D正確.故選ABC.]

12.把平面內(nèi)所有長(zhǎng)度不小于1且不大于2的向量的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn)O,

則這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形的面積為()

A.4兀B.3兀C.2兀D.71

B[圖形是半徑為1和2的同心圓對(duì)應(yīng)的圓環(huán)，故S1a環(huán)=兀(22—12)=3兀.]

13.已知在邊長(zhǎng)為2的菱形ABC。中，ZABC=60°,則|彷|=.

2巾[結(jié)合菱形的性質(zhì)可知|訪尸小X2=2小.]

14.如圖，四邊形ABCO和ABDE都是平行四邊形.

EDC

⑴與向量互＞相等的向量為

(2)若依陰=3,則向量EC的模等于

(1)A8,DC(2)6是平行四邊形,

：.ED=AB,

又?.,ABC。是平行四邊形，：.AB=DC,：.ED=DC.

(2)由(1)可知|Eq=|E￡>|+|￡>C|=2|AB|=2><3=6.]

［C組拓廣探索練］

15.一位模型賽車(chē)手遙控一輛賽車(chē)，沿正東方向前行1m,逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)變a

度，繼續(xù)按直線向前行進(jìn)1m,再逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)變a度，按直線向前行進(jìn)1m,按

此方法繼續(xù)操作下去.

(1)按適當(dāng)?shù)谋壤鲌D說(shuō)明當(dāng)a=45。時(shí)，至少需操作幾次時(shí)賽車(chē)的位移為0；

(2)按此法操作使賽車(chē)能回到出發(fā)點(diǎn)，a應(yīng)滿足什么條件？請(qǐng)寫(xiě)出其中兩個(gè).

［解］(1)如圖可知操作8次可使賽車(chē)的位移為零，此時(shí)。=毛360一°=45。.

O

(2)若使賽車(chē)能回到出發(fā)點(diǎn)，則賽車(chē)的位移為零，由第(1)問(wèn)作圖可知，所作圖

360°

形需是內(nèi)角為(180°—a)的正多邊形，故〃(180°—a)=(〃-2)180。，得。=一丁，又〃

是不小于3的整數(shù)，所以當(dāng)〃=10,即a=36°時(shí)需操作10次可回到出發(fā)點(diǎn)；當(dāng)〃

=12,即a=30°時(shí)需操作12次可回到出發(fā)點(diǎn).

9.2.1第1課時(shí)向量的加法

［4組基礎(chǔ)合格練］

一、選擇題

1.如圖所示的方格紙中有定點(diǎn)0,P,Q,E,F,G,H,則0P+0Q=（）

G

H

A.OHB.0GC.E0D.F0

D［在方格紙上作出成+而，如圖所示，則容易看出。＞+而=成），故選D.

2.已知向量。〃從且同＞步|＞0,則向量a+b的方向（）

A.與向量a方向相同B.與向量a方向相反

C.與向量力方向相同D.與向量6方向相反

A［因?yàn)閍〃b且⑷＞|例＞0,所以當(dāng)a,8同向時(shí)，a+b的方向與a相同，當(dāng)

,8反向時(shí)，因?yàn)橥祙例，所以a+方的方向仍與a相同.］

3.如圖所示，在正六邊形ABCDEf中，若A8=l,則|贏+在+詼|等于（）

A.1B.2小C.3D.2

D[由正六邊形知危=正,

所以贏+走+db=贏+正+db=Q）,

所以|贏+旗+2|=|俞|=2.故選D.]

4.若向量Q表示“向東航行1km”，向量力表示“向北航行小km”，則向

量a+）表示（）

A.向東北方向航行2km

B.向北偏東30。方向航行2km

C.向北偏東60。方向航行2km

D.向東北方向航行（1+?。﹌m

B[如圖，易知tana=j^,所以a=30°.

故a+b的方向是北偏東30°.

又|a+5|=2km,故選B.]

5.下列命題中正確的命題（）

A.如果非零向量a與方的方向相同或相反，那么a+b的方向必與a,b之一

的方向相同

B./XABC中，必有贏+成7+之=0

C.若M+正+為=0,則A,B,。為一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)

D.若a,8均為非零向量，則|?+臼與同十回一定相等

B[對(duì)于A:若。與8的方向相反且。+。=0,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B:AB+BC+CA=AC+CA=0,所以B正確；

對(duì)于C:當(dāng)A,B,C三點(diǎn)共線時(shí)，也可以有Q+正+之=0,所以C錯(cuò)誤;

對(duì)于D:只有當(dāng)a與白同向時(shí)才相等，所以D錯(cuò)誤；故選B.]

二、填空題

6.若a與b是互為相反向量，則a+b=.

0[由題意可知，a+b=O.]

7.如果|贏|=8,|AC|=5,那么|說(shuō)?|的取值范圍為.

[3,13][根據(jù)公式||。|一|加毛|。+回W|0+向直接來(lái)計(jì)算.]

8.已知1aM=|無(wú)|=1,且NAO8=60。，則|d+無(wú)尸

小[如圖所示，OA+OB=OC,

“30。J

0A

\OA+OB\=\OC\.在△OAC中，ZAOC=30°,|OA|=|AC|=1,

所以15bl=小.]

三'解答題

9.如圖所示，兩個(gè)力丹和尸2同時(shí)作用在一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。上，且F1的大小為3N,

正2的大小為4N,且乙4。8=90。，試作出B和尸2的合力，并求出合力的大小.

[解]如圖所示，為表示力*,無(wú)表示力放,以04,08為鄰邊作“MCB,

則0C是力人和八的合力.

在△OAC中，函=3,萌|=|麗=4,JLOALAC,

即合力的大小為5N.

10.已知任意四邊形ABC。，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn).求證：EF+EF

=AB+DC.

［證明］如圖所示，在四邊形中，^=EA+AJB+BF,①

在四邊形EOC/中，

EF=ED+DC+&,②

①+②得

EF+EF=(EA+AB+BF)+(Eb+DC+&)=(BF+&)+(EA+Eb)+(AB+

DQ.

,:E,R分別是AO,的中點(diǎn)，：.EA+ED=O,BF+CF=0,：.EF+EF=AB

+DC.

[6組能力過(guò)關(guān)練]

11.(多選題)已知△ABC是正三角形，下列等式中正確的是()

A.\AB+BC\=\BC+CA\

B.\AC+CB\=\BA+BC\

C.\AB+AC\=\CA+CB\

D.\AB+BC+AC\=\CB+^+G\\

ACD\\AB+BC\=\AC\,|BC+CA|=|BA|,從而以石=|晶故A正確；\AB\^\BA

+BC|,故B不正確；畫(huà)圖(圖略)可知C,D正確.]

12.(多選題)設(shè)。=(贏+無(wú))+(正+應(yīng))，入是任一非零向量，則在下列結(jié)論

中，正確的是()

A.a//bB.a+b=a

C.a+b=bD.\a+b\=\a\+\b\

ACD[\'a=(AB+cb)+(BC+DA)=(AB+BC)+(cb+DA)=AC+CA=O,

；.ACD正確.]

13.在平行四邊形ABC。中，若|的十商|=|正+矗則四邊形ABCD是

矩形[由圖知|反:+函|=|前＞|.

又玩+麗=|成）+麗=瑟|,

/.\BD\=\AC\.

...四邊形ABC。為矩形.]

14.已知△A3C中，AB=AC=l,\AB+AC\=y{2,則△ABC是________三

角形；若點(diǎn)G是△ABC的重心，則而+無(wú)+公=.

等腰直角0[以AB,AC為鄰邊作平行四邊形ABOC（圖略），?.?ABnACnl,

AD=yf2,：.

NA8O為直角，則該四邊形為正方形.

：.ZBAC=90°.所以△ABC是等腰直角三角形;

如圖所示，連接AG并延長(zhǎng)交于E點(diǎn)，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AE到。

點(diǎn)，使GE=ED,

則GD+GA=O,

：.GA+GB+GC=O.]

[C組拓廣探索練]

15.如圖，已知向量a,b,c,d.

(1)求作a+)+c+d；

⑵設(shè)⑷=2,e為單位向量，求|a+e|的最大值.

［解］(1)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,作晶=a,AB=b,BC=c,CD=d,則無(wú)=a

+Z>+c+d.

(2)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,作d=a,AB=e,則a+e=?+Q=。^,因?yàn)閑

為單位向量，所以點(diǎn)3在以A為圓心的單位圓上(如圖所示)，

由圖可知當(dāng)點(diǎn)8在點(diǎn)Bi時(shí)，O,A,8三點(diǎn)共線，所以|為|即M+e|最大，最

大值是3.

9.2.1第2課時(shí)向量的減法

[4組基礎(chǔ)合格練]

一、選擇題

1.化簡(jiǎn)下列向量式，結(jié)果為o的個(gè)數(shù)是()

@RS-RT+ST；?BD+DC+AB-AC；③贏一啟一函@AB+BC-AC.

A.1B.2C.3D.4

D[①冠一前葉方=0;

@BD+DC+AB-AC=BC+CB=(i;

③贏一/一無(wú)=贏一(/+函=0;

@AB+BC~AC=0.]

2.如圖所示，在正方形ABCD中，已知贏="，BC=b,OD=c,則圖中能

表示a—D+c的向量是()

DC

A.OAB.OBC.OCD.OD

B[由已知得，

a—b=AB—AD—DB,c=OD,

：.a-b+c=DB+OD=OB.]

3.如圖，已知ABCDEE是一正六邊形，O是它的中心，其中無(wú)=b,OC=c,

則徐等于（）

A.b-cB.b~\~c

C.-b-cD.一8+c

A[EF=OA=CB=OB-OC=b-c.]

4.設(shè)點(diǎn)M是線段8C的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，|或1=4,|贏+啟|=|誦一

AC\,則|俞|=()

A.2B.4C.16D.8

A［因?yàn)閨贏+Z3=|還一/I,又點(diǎn)A在直線BC外，故四邊形ABDC是以

AB,AC為鄰邊的平行四邊形且對(duì)角線相等，故ABOC為矩形，\AM\=^\BC\=2.]

5.如圖，D,E,F分別是△ABC的邊A3,BC,C4的中點(diǎn)，則下列各式正

確的是（）

A.AD+BE+&=0

B.BD-CE+DF^

C.AD+CE-&=0

D.BD-BE-FC=Q

A[A項(xiàng)，AD+BE+CF=DB+BE+CF=DE+&=DE+ED={i-,

B項(xiàng)，Bb-CE+DF=(BD+DF)-CE=BF-CE^O-.

C項(xiàng)，AD+CE-&=AD+(CE-&)=Ab+FE^O;

D項(xiàng)，BD-RE-FC=(Bb-BE)-FC=ED-FC=Eb+&^.]

二'填空題

6.已知兩向量。和從如果a的方向與〃的方向垂直，那么|a+b|\a

一例.(填寫(xiě)“=”“W”或“2”)

=[以a,b為鄰邊的平行四邊形是矩形，

a

矩形的對(duì)角線相等.由加減法的幾何意義知|a+b|=|a—b[.]

7.已知|a|=7,網(wǎng)=2,若a〃"則|。一四=.

5或9[\'a//b,當(dāng)a與8同向時(shí)，|a一加=|7—2|=5,

當(dāng)a與方反向時(shí)，|a一方|=|7+2|=9.]

8.如圖，在平行四邊形ABCD中，OA=a,OB=b,OC=c,試用a,b,c

表示O。，則0。=

a+c-b［因?yàn)樘K=a,OB=b,OC=c,所以就'=又一54=。一。，又病=

BC,所以。b=?+Ab=a+c—4］

三'解答題

9.化簡(jiǎn)：

(l)MN-MP+NQ~PQ；

(2)BD+DC+AB~AC.

［解］(l)l^J-MP+NQ-PQ=(MN+NQ)-(MP+PQ)

=MQ-MQ=O.

(2)BD+DC+AB-AC=(Bb+DC)+(AB-AC)=BC+CB=().

10.如圖所示，已知正方形A8CO的邊長(zhǎng)等于1,AB=a,BC=b,AC=c,

試作出下列向量，并分別求出其長(zhǎng)度.

⑴a+b+c；

(2)。一)+c.

懈］⑴由已知得a+力=贏+/=n=0,所以延長(zhǎng)AC到E,

<|CE|=|AC|.則a+b+c=AE,且|曲|=26.

所以|a+b+c|=2，^.

(2)作/=啟，連接80,CF,

E

則5h+而=5>,

而。AO=a一5，

所以a-b+c=DB+BF=^,

且|麗=2,所以|a—8+c|=2.

［B組能力過(guò)關(guān)練］

11.邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，|靠一反的值為（）

A.2B.4C.啦D.1

B［如圖所示，\AB-BC\=\AB+BC'\=\AC'\,

又|誦|=1,|BC1=1,NABC=120°,

.,.在△ABC中，|曲=小.］

12.（多選題）設(shè)a,8是非零向量，則下列不等式中恒成立的是（）

A.|a+）|〈|a|十|b|B.|a|一步|W|a+Z>|

C.同一步|W|a|+向D.⑷W|a+b|

ABC［由向量模的不等關(guān)系可得:|同一步||W|a+臼W|Q|+|如|a+勿W|a|十血,

故A恒成立：||a|一阿W|a+Z>|,故B恒成立；|⑷一例W|a+」W|a|+|M,故C恒成

立.令a=-b,同=2,則|a+加=0,則D不成立.故選ABC.］

13.已知非零向量a,8滿足|a|=|加=|a—加，則,}.

?。廴鐖D，設(shè)后=a,OB=b,OC=a+b,則談一歷=a—仇

V\a\=\b\=\a-b\,

.,.BA=OA=OB.

...△OAB為正三角形，設(shè)其邊長(zhǎng)為1,

則|a一勿=|蔭1=1,|a+加=2乂坐=小.

?|a+Z>|_-\/3_r-

''\a-b\~1一"]

14.如圖，D,E,E分別是△ABC的邊AB,BC,C4的中點(diǎn)，則萬(wàn)'一訪等

于.

族或而［由題圖易知命=虎，

：.AF-DB=DE-DB=BE,

又礪=5>,

，行一法=5>或醞］

［C組拓廣探索練］

15.如圖所示，口ABC。中，AB=a,AD=b.

DC

AaB

(1)用a,分表示元，5fi；

(2)當(dāng)a,8滿足什么條件時(shí)，a+b與a—b所在直線互相垂直?

(3)當(dāng)a,b滿足什么條件時(shí),\a+b\=\a-b\?

(4)a+)與a—方有可能為相等向量嗎？為什么？

［解］(1)/=俞+贏=Z>+a,DB=AB-AD=a-b.

(2)由(1)知，a+b=AC,a-b=DB.

若a-\-b與a—b所在直線垂直，

則ACLBO.

又四邊形A8CO為平行四邊形，

，四邊形ABCQ為菱形，即應(yīng)滿足⑷=|加.

(3)假設(shè)|a+臼=|。一回,

^\AC\=\BD\.

?.?四邊形ABC。為平行四邊形，

四邊形ABCO是矩形，：.alb,

.?.當(dāng)Q與b垂直時(shí),\a+b\=\a-b\.

(4)不可能，'：^ABCD的兩條對(duì)角線不可能平行，

：.a+b與a-b不可能為共線向量，也就是不可能為相等向量.

9.2.2向量的數(shù)乘

[4組基礎(chǔ)合格練]

一、選擇題

1.已知％WR,則下列說(shuō)法正確的是()

A.|M=a⑷B.\Aa\=\A\a

C.|Aa|=|2||a|D.|Aa|>0

C[當(dāng)2<0時(shí)，A式不成立；當(dāng)4=0或a=0時(shí)，D式不成立；又Ra|SR,

而囚a是數(shù)乘向量，故B式不成立.]

2.如圖所示，在DABCO中，AB=a,AD=b,AN=3NC,M為的中點(diǎn),

則MN=()

A.B.a)

D.^(a—b)

C.

ffffflf1fli111

A\MN=MC+CN=MC—NC=-^AD--^AC=^b—^a+b)=-^b—^a=-^b—

a).]

3.已知向量a,b且戶市2=a+2〃，P^Pi=-5a+6b,PyP^=la~2b,則一定

共線的三點(diǎn)是()

A.P\,Pi,PyB.Pi,P3,Pi

C.Pi,P3,尸4D.Pi,Pi,PA

D「L=P^3+Rk=2a+48=2R>2,APi,尸2,P4三點(diǎn)共線.]

4.已知a,b是兩個(gè)不共線的向量，AB=a+5b,BC=-2a+Sb,CD=3(a

~b),則()

A.A,B,。三點(diǎn)共線B.A,B,。三點(diǎn)共線

C.A,C,。三點(diǎn)共線D.B,C,。三點(diǎn)共線

B[\'Bb=BC+CD=-2a+Sb+3(a-b)=a+5b=AB,.?.贏與成)平行，又

AB與BD有公共點(diǎn)、B,則A,B,。三點(diǎn)共線.]

--?1--?--A--A--?

5.在△ABC中，BD=QBC,若AC=b,則AD=()

C.ga—D.la~3^

A[法—：'：BD=^BC,

：.AD-AB=^AC-AB),

.,.AD=^AC+^AB

4+|a.

_**-*,-?―?1—?—?I-?-?2-*,1—?21

法二：AD=AB+BD=AB+^BC=AB+^AC—AB):=^AB+^AC=^a+2b,故

選A.]

二'填空題

6.若。是平行四邊形ABC。的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，AB=2e\,BC=3e2,則反）

.（用ei，e2表示）

35…—工?—?>—?—?-一

彳62—eiAD=BC,.".BD=AD—AB=3e2—2e\.

又■:而=2由,

.->3

??B0=~^€2—ei.

2(2a+86)-(4a-26)

IT11111442

2b-a［g2(2a+8b)—(4a—2b)=%(2a+8〃)一g(4〃-2〃)=1q+下-=

2b-a.]

8.已知e/,e2是兩個(gè)不共線的向量，a=2ei—e2,b=ke\+ei,若a與方是共

線向量，則實(shí)數(shù)氏=.

-2fVeh&不共線，?：向量a,b不為0.

又Ta,〃共線，J存在實(shí)數(shù)九使。=勸，

艮!32ei——。2=%（左。1+e2）=/Zei+Ae2.

，攵=2,伙=一2,

?<,<1

??A=-1.??U=—1.

三'解答題

9.如圖，/為線段BC的中點(diǎn)，CE=2EF,DF=jAF,設(shè)元=a,AB=b,試

用a,〃表示AE,AD,BD.

-?—?2-*■1—?1—?—?—?2)

［解］因?yàn)镃B=b—a,CE=^CF=-jCB=^(b—a),所以AE=AC+CE=ga+?.

->,1—?8-*,4~?-?-?4

因?yàn)锳F=1(a+。)，所以4。=彳4/=5(。+))，所以BO=A。-A8=5(a+。)一方

10.已知在四邊形ABCD中，AB=a+2b,BC=~Aa~b,CD=-5a~3b,

求證：四邊形ABC。為梯形.

[證明]如圖所示.

,：AD=AB+BC+cb=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=-Sa-2b=2(-4a

-b),

：.AD=2BC..?.俞與詼共線，SL\AD\=2\BC\.

又?.?這兩個(gè)向量所在的直線不重合，

.".AD//BC,且AO=23C.

四邊形ABC。是以AO,8C為兩條底邊的梯形.

[B組能力過(guò)關(guān)練]

11.(多選題)向量。=2e,b=-6e,則下列說(shuō)法正確的是()

A.a//b

B.向量a,。方向相反

C.|a|=3|Z>|

D.b=-3G

ABD「?Z=2e,b=~6ef：.b=~3a9JABD正確，C錯(cuò)誤.]

12.已知△ABC和點(diǎn)M滿足總+贏+配7=0.若存在實(shí)數(shù)機(jī)使得贏十元=

加前成立，則m的值為()

A.1B.2C.3D.4

C1由總+證+證=0可知，M是AABC的重心.

取BC的中點(diǎn)D,則贏+/=2屐).

又M是△ABC的重心，：.AM=2MD,：.AD=^AM,

：.AB+AC=3AM,即機(jī)=3.]

~A2-*,-A-A1-A

13.如圖，在△ABC中，AN=gNC,P是3N上一點(diǎn)，^AP=tAB+^AC,則

實(shí)數(shù)t的值為（）

A

2c2廠1r3

T77T

A.33B.0C.D4.

_2_2_0.

C[法一：因?yàn)锳N=qNC,所以AN=《AC.

—?—?—?—?—?2-*--?2->--?-?2-?

設(shè)NP=INB,則AP=AN+NP=5AC+%N3=mAC+2(AG4+AB)=§AC+

，2———2-

)\-^AC+ABj=2AB+^(l-X)AC,

―A―A1-?―?1-?—?2-?

又AP=%8+wAC,所以tAB+^AC=AAB+^l~A)AC,

t—k

得《21,解得f=2=],故選C.

g(I)=W6

法二：因?yàn)橛岫?加，所以AC=￡AN,

-A-AI—>—?5—?

所以AP=fA8+wAC=fAB+補(bǔ)N,

因?yàn)?,P,N三點(diǎn)共線，所以f+看=1,所以/=：,選C.]

14.在△A3C中，訪=2比，AD=mAB+nAC,則m=,〃=.

12-A—?—?—?—?—?—A-?|-?2-Ar

3M[AD-AB=2AC-2AD,：.3AD=AB+2AC,：.AD=^AB+^AC.]

[C組拓廣探索練]

15.如圖，在aABC中，點(diǎn)。在線段BC上，且滿足8O==DC，過(guò)點(diǎn)。的直

._…—?―?—?―?21

線分別交直線AB,AC于不同的兩點(diǎn)M,N,若AM="?A3,AN=nAC,求浣+[的

值.

A

[解]法一：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE平行于MN交43于點(diǎn)￡

由病=疝:可得票=《所以第=%=即，由皿=如？可得黑=：,所

AA*//72〃->—>2/121

以然=—、=d7，因?yàn)锳M=〃小8,所以機(jī)=產(chǎn)彳，整理可得《+：=3.

Abn~13/t—l3n~1mn

n+~T

法二：連接AD（圖略）.因?yàn)镸,D,N三點(diǎn)共線，所以由）=2俞+（1—4?俞.

又危=，加赤，AN=nAC,所以無(wú)）=癡誦+（1—Q?〃啟.

-**1-*,-?-?I-?1—?—?1-?2-0,

又BD=W）C,所以4。-48=濟(jì)。一沙。，所以4。=卒。+駛艮

2121

比較系數(shù)知力》=弓，Q所以一

J（1—2）〃=J,+-AT=3.

9.2.3向量的數(shù)量積

[4組基礎(chǔ)合格練]

一、選擇題

1.ei,e2是兩個(gè)平行的單位向量，則eie=（）

A.0B.1C.-1D.±1

D[,：ei//e2,.：ei,e2的夾角為0°或180°,

，e「e2=|ei||e21cos。=±1.]

2.設(shè)⑷=3,網(wǎng)=5,且。+勸與a—4垂直，則2=()

2333

A.弓B.；C.一mD.土弓

3

D[(a+Xb)-(a—Ab)=cr—^b2=9—2522=0,=]

3.若向量a,方滿足⑷=|加=1,a與8的夾角。為120。，則a-a+a山=()

A.-2B.0C.2D.1

C「..|Q|=|例=1,a與萬(wàn)的夾角為120。，

/.a-6=|a||6|cos120。=一；.

又a-a=|a|2=1,

??a'a~i~ci'b=1-3=5.]

4.在△ABC中，|贏|=13,|就]=5,|以|=12,則贏?正的值是()

A.-25B.25C.-60D.60

A「.?麗|=13,|證|=5,1^|=12,

：.\AB\1=\BC\i+\CA\2,

：.ZXABC為直角三角形.

5

又cosNABC=w，

/.ABBC=|AB||BC|COS(TI-ZABC)

=13X5X(一目=-25.]

5.設(shè)點(diǎn)A,B,。不共線，則“贏與危的夾角為銳角”是U\AB+AC\>\BC\,,

的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

c與元的夾角為銳角，所以|贏產(chǎn)+|啟『+2贏.啟封嘉產(chǎn)+|啟|2一

2ABAC,

|AB+AC|2>|AC-AB|2,

因?yàn)閱⒁悔A=正，

所以|矗+啟|>|正I：

當(dāng)|還+啟|>]尻?|成立時(shí)，|誦+放下>|贏一段|20聶>0,又因?yàn)辄c(diǎn)A,B,

。不共線，所以油與正的夾角為銳角.故“魂與啟的夾角為銳角”是（>\AB+AC

|>|反1”的充分必要條件,故選C.]

二'填空題

6.已知向量a,b的夾角為45°,且⑷=4,1%十5）（2。-3①=12,則向=

;8在a方向上的投影向量等于.

小:\[^a+b^-（2a-3b）=a2+^a-b-3b2=l2,即3向2一6制一4=0,

解得步|=蛆（舍負(fù)），8在a方向上的投影是（步|cos45。忠=啦乂噂X，=，.]

7.設(shè)向量a,b,c滿足a+>+c=0,（a—b）_Lc>aA-b,若|a|=l,則+/f

十|CF的值是.

4[由a+）+c=0得c=—a—A.

又（a—5>c=0,

.?.（a—5）?（一4一5）=0,

即/=".

則c2=（a+b）2=a2+b2+2ab=a2+b2=2,

.,.|a|2+|Z>|2+|c[2=4.]

8.在四邊形ABC。中，AD//BC,AB=2事,AD=5,NA=30。，點(diǎn)E在線

段CB的延長(zhǎng)線上，且AE=3E,則訪?病=.

-1[在等腰中，易得NBAE=NABE=30°,故BE=2,則而仄*=（屐>

一贏）.（贏+的=訪勵(lì)+而還一油2一忠匠=5X2小Xcos30°+5X2Xcos

1800-12-273X2Xcos150°=15-10-12+6=-1.]

三'解答題

9.已知同=4,步|=3,(2a-3Z>)-(2a+6)=61.

⑴求|“十"；

(2)求向量a在向量a+b方向上的投影向量.

［解］(l)V(2a-3Z>)-(2a+Z>)=61,

/.4|a|2-4a,Z>—3|6|2=61.

V|a|=4,\b\=3,

:.u*b=-6,

\a+b\+步J+2a-b

=^42+32+2X(-6)=V13.

(2)Va-(a+Z>)=|a|2+a-6=42-6=10,

，田,,??,a(a+b)(a+b)10(a+6)10

「?向量在向量方向上的投影向至為」工川=。+

aa+b\?a+b\\a+b\?\a4+_bMi=71^3(v

b).

10.已知ei與e2是兩個(gè)互相垂直的單位向量，Z為何值時(shí)，向量幻十曲2與攵ei

+。2的夾角為銳角？

［解］:ei+h2與ke\+e2的夾角為銳角，

(ei+ke2)-(ke\+e2)

=&彳+Ae3+(F+l)ei?e2

=2上>0,

：.k>0.

但當(dāng)&=1時(shí)，幻+履2=履1+。2,它們的夾角為0。，不符合題意，舍去.

綜上，攵的取值范圍為｛加>0且后勺｝.

［B組能力過(guò)關(guān)練］

11.(多選題)設(shè)。，力為兩個(gè)非零向量，且。力=0,則下列四個(gè)等式，其中正

確的有()

A.|a|=|5|B.\a~\~b\=\a—b\

C.a-(a+b)=0D.(a+b)2=a1+b2

BD［由題意，a力=0,即a,從

故A選項(xiàng)不一定成立；

B選項(xiàng)，由于|a+力|2—|a—。2=(a+〃)2—(g—b)2=4a?5=o,即|a+例=|0—"，

故B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，a?(a+))=a，a+am=a?a=|a『WO,故C不正確；D選項(xiàng)，

21222

(a+b)=a+b+2ab=a+b9故D正確.故選BD.]

12.(多選題)已知△ABC的外接圓的圓心為。，半徑為2,OA+AB+AC=0,

且|后|=|贏下列結(jié)論正確的是()

A.3在無(wú)方向上的投影向量為一坐無(wú)

B.OAAB=OAAC

C.C4在C8方向上的投影向量為當(dāng)CB

D.OBAB=OCAC

BCD[由贏+42=0得協(xié)=一/=N,所以四邊形08AC為平行四

邊形.又。為△ABC外接圓的圓心，所以|加|=|西|,又|后|=|贏所以△0A8

為正三角形.

因?yàn)椤鰽BC的外接圓半徑為2,所以四邊形OBAC是邊長(zhǎng)為2的菱形，所以

ZACB=T,\CB\=2-\[3,所以之在無(wú)上的投影向量為(|01|COS非號(hào)=小*華=坐

"\CB\

CB,故A錯(cuò)誤，C正確.因?yàn)楹?贏=心?/=-2,OBAB=OCAC=2,故BD

正確.故選BCD.]

13.非零向量a,〃滿足⑷=|〃=|Q+〃，則a,方的夾角為.

2兀

y[由同=l5l=|a+",

所以⑷2=|a+5F,

所以|a|2=|a|2+2a?〃+|〃F,得a.〃=一

所以a-b=\a\-\b\cQs夕=一引肝，

所以cos夕=一

又?！闧0,7i],

27c

所以8二?.]

14.在平行四邊形ABC。中，AD=\,ZBAD=60°,E為CO的中點(diǎn).若加.赤

=1,則的長(zhǎng)為.

I—?—?—?1

2[設(shè)|A5|=x(x>0),則AB/O=1x,

所以啟跑=(筋+私限)一步小=I一