五年級（下冊）- 因數(shù)與倍數(shù)- 2、5、3的倍數(shù)的特征-第3目 3的倍數(shù)的特征 全國一等獎

數(shù)與概率統(tǒng)計相關(guān)知識教師素質(zhì)提升

數(shù)數(shù)的整除性同余勾股數(shù)

概率統(tǒng)計隨機事件等可能概型計數(shù)——排列組合一、數(shù)

數(shù)的整除性

同余

勾股數(shù)整除友數(shù)完數(shù)

計數(shù)——排列組合

學(xué)生在學(xué)習(xí)2、3、

5的數(shù)的整除特征時，省編義務(wù)教材的呈現(xiàn)方式是：從2與5的倍數(shù)中觀察它的特征?，F(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)的呈現(xiàn)方式是：能被2整除的數(shù)的特征的用分類的方法，能被5整除的數(shù)的特征從整除的定義得出。能被3整除的數(shù)的特征，教材都是從能被3整除的數(shù)的特征中去尋找。學(xué)習(xí)上的難點：學(xué)習(xí)能被2、5整除的數(shù)的特征時，是看個位，而學(xué)習(xí)能被3整除的數(shù)的特征時，要看各數(shù)位的數(shù)之和，學(xué)生沒有已有的知識經(jīng)驗來支持此內(nèi)容的學(xué)習(xí)。

能被2、5整除的數(shù)的特征的研究方法與能被3整除的數(shù)的特征，有無本質(zhì)聯(lián)系？如果有，它的本質(zhì)聯(lián)系是什么？思考

能被2、5整除的數(shù)的特征與能被3整除的數(shù)的特征的研究方法是相通的——拆數(shù)觀察；特征的本質(zhì)也是相通的——拆成的兩個數(shù)中，其中的一個數(shù)能被2，3，5整除，這個數(shù)能被2，3，5整除的充要條件是另一個數(shù)也能被2，3，5，整除。思考設(shè)想：從能被2、5整除的數(shù)的特征明白為什么能被2、5整除的數(shù)的特征只要看個位就行了。如：4567=4560+7=456×10+7

判斷能被2、5整除的數(shù)的特征只要看這個數(shù)的個位，判斷一個數(shù)是否能被3整除，是否也只看個位呢？如：12，22，123，125，怎么說明是否能被3整除。（充分發(fā)揮學(xué)生的潛力）

張流老師對能被7、11、13、17、19、23、29等數(shù)整除的研究成果：

要判斷一個數(shù)能否被7整除，看末兩數(shù)，去百加2后的兩位數(shù)，若能被7整除，則原數(shù)能被7整除。如：623能被7整除嗎？

623——6×2+23=35因為7能整除35，故623能被7整除。623=6×100+23=6×

（98+2）+23=6×98+（6×2+23）請判斷1701，1357是否能被7整除。

請創(chuàng)造能被11，13或17整除數(shù)的特征，并判斷187，754，441能哪些數(shù)整除。

（一）、尋找被藏匿的數(shù)字游戲

請你隨意寫下一個四位數(shù)，然后求出這個四位數(shù)的各數(shù)位數(shù)碼之和b，再隨意地將原數(shù)中的一個數(shù)碼隱藏起來，變成一個三位數(shù)a，然后再請你計算a-b=c，并告之我的各數(shù)位數(shù)碼之和，我便能說出你藏匿的數(shù)碼是什么？如：5678——26——b

678——a

a–b=678–26=652——13——c

（二）、原理：任一正整數(shù)與其各數(shù)位數(shù)字之和的差必是9的倍數(shù)。如:正整數(shù)563478563478-（5+6+3+4+7+8）

=（5×10-5）+（6×10-6）+（3×10-3）+（4×10-4）+（7×10-7）+（8-8）

=5×99999+6×9999+3×999+4×99+7×9=（5×11111+6×1111+3×111+4×11+7×1）×9

有人問畢達(dá)哥拉斯，“朋友是什么？”他回答說，“這是第二個我，正如220與284。友數(shù)——你中有我，我中有你。220的約數(shù)（除220外）1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110—284284的約數(shù)（除284外）

1，2，4，71，142——220——完數(shù)6的約數(shù)（除6外）1,2,3—628的約數(shù)（除28外）

1，2，4，7，14——28一、數(shù)

數(shù)的整除性

同余

勾股數(shù)

計數(shù)——排列組合（三）、“同余”的概念“同余”的概念與符號是由“數(shù)字王子”高斯最先引進的。定義：給定一個正整數(shù)m，若用m除a、b所得的余數(shù)相同，則說a與b對模m同余，記作

a?b(modm)

在“同余”中，我們只關(guān)心它們的余數(shù)是幾，而不是他們的商如何，這在實際中經(jīng)常用到。如：2007年的元旦是星期幾？我們關(guān)心的便是它的余數(shù)是幾；一個循環(huán)小數(shù)2.374857485……，它的第2006位上的數(shù)是幾……這樣的內(nèi)容在我們的教材中是很多的。（四）、游戲

倆人從1說到25，誰說到25，誰就贏。它的規(guī)則是每人每次只準(zhǔn)說1，2，或3個數(shù)。試問：1、該如何才能取勝？

2、有沒有先說與后說之區(qū)別？思考人教版四(上)第116頁數(shù)字游戲：

兩人輪流報表，每次只能報1或2，把兩人報的所有數(shù)加起來，誰報數(shù)后和是10，誰就獲勝。想一想：如果讓你先報數(shù)，為了確保獲勝，你第一次應(yīng)該報幾？接下來應(yīng)該怎么報？

請設(shè)計一個同余的游戲思考

我們都知道整數(shù)集按能否被2整除可以分為奇數(shù)、偶數(shù)兩大類，記為2k,2k+1。

當(dāng)取模為3時，整個整數(shù)集合便分為3類，它們分別為：

3k,3k+1,3k+2。

我們利用同余可以很方便地給整數(shù)集合分類：當(dāng)取模為m時，整個整數(shù)集合便分為m類，它們分別為：

mk,mk+1,mk+2,……mk+(m-1)一、數(shù)

數(shù)的整除性

同余

勾股數(shù)

計數(shù)——排列組合勾股數(shù):

能使等式a2+b2=c2

成立的任何三個正整數(shù)，組成勾股數(shù)。3，4，5。4，3，55，12，13。6，8，107，24，25。8，15，17::::::一般來說：大于1的奇數(shù)m，可以構(gòu)成一組勾股數(shù)

m，1/2(m2-1),1/2(m2+1)

大于2的偶數(shù)可以構(gòu)成一組勾股數(shù)

n,(n/2)2-1,(n/2)2+1（五）、“……如果我們宇宙飛船到了一個星球上，那么也有如我們?nèi)祟愐粯痈呒壍纳锎嬖凇Ｎ覀冇檬裁礀|西作為我們之間的媒介？帶幅畫去吧，那邊風(fēng)景殊不了解。帶一段錄音去吧，也不能溝通。我看最好帶兩個圖形去，一個‘?dāng)?shù)’，一個‘?dāng)?shù)形關(guān)系（勾股定理）’?！?/p>

——華羅庚《數(shù)學(xué)的用場和發(fā)展》也有人主張用“光線信號”表示出勾股數(shù)，來與其他星球上的人“談話”。比方說，當(dāng)我們遇到其他星球上的“人”時，就用燈光打亮三次，如果對方打亮四次，那我們就打亮五次回答。雖然這種談話方式還沒有經(jīng)過實踐，但卻被一些科學(xué)幻想小說的作者利用了。因為勾股定理與勾股數(shù)它有著不可磨滅的共同本質(zhì)，它們所表現(xiàn)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，不論古今中外，都幾乎不謀而合，是其它數(shù)學(xué)定理所沒有的，于是人們猜想其它星球上的“人”也可能有這種不謀而合，所以就這樣勾股定理或勾股數(shù)作為與外星人進行第一次對話的語言。

人教義務(wù)教育五上第122頁

一個直角三角形的三條邊長分別是3，4，5厘米，以這三條邊分別為連長畫三個正方形，這三個正方形的面積各是多少？

你能發(fā)現(xiàn)這三個正方形的面積之間有什么關(guān)系嗎？

如果直角三角形的三條連長分別是6，8，10厘米或5，12，13厘米呢？

一、數(shù)

數(shù)的整除性

同余

勾股數(shù)

計數(shù)——排列組合排列與組合1、分類計數(shù)原理——加法原理2、分步計數(shù)原理——乘法原理例1、從甲地到乙地，可以乘汽車，還可以乘輪船。一天中，從甲地到乙地有4班火車，7班汽車，

2班輪船，一天中乘這些交通工具從甲地到乙地，共有多少種不同走法？4+7+2=13(種)例2、書架上有5本故事書，6本畫報，7本科普讀物，小明從書架中選一本，有多少種不同取法？5+6+7+18(種)如果做完一件事情，有n種不同的方式，第一種方式中有m1種不同方法可達(dá)到目的。在第二種方式中有

m2

種方法可達(dá)目的，……在第n種辦法中有mn種不同的方法可達(dá)到這一目的，共有

N=m1+m2+……+mn稱為分類計數(shù)原理例3、從甲地到乙地有4條不同的道路，從乙地到丙地有7條不同的道路，那么從甲地到丙地共有多少種不同的走法？甲乙丙4×7=28(種)例4、書架上有5本故事書，6本畫報，小明從書架中選一本故事書和一本畫報，有多少種不同取法？5×6=30(種)如果完成一件事情要n個步驟，做第一步有m1種不同方法，做第二步有m2種不同方法，……做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有

N=m1×m2

×…

×mn種不同方法稱為分步計數(shù)原理分類計數(shù)與分步計數(shù)原理的區(qū)別：分類計數(shù)原理針對的是“分類”問題，其方法相互獨立，用任何一種方法都能達(dá)到目的；分步計數(shù)原理針對的是“分步”問題，各步驟的方法相互依存，只有各個步驟都完成才算做完這件事。例5、波音747客機飛行于北京、上海、廣州三城市之間，民航站的售票員要為這架飛機準(zhǔn)備幾種飛機票？這三個民航站間有幾種不同的票價？A23=3×2=6(種)C23=A23/A22=3×2/2×1=3(種)排列：從3（n）個不同的地點（元素）中任取2（m）個，按照一定的順序排成一列。就叫做3（n）個不同地點（元素）中取2(m)個地點(元素)的一個排列。所有排列的個數(shù)叫做“排列數(shù)”。

記作：A23。（

Anm）

說明：排列中如元素相同，順序不同，則為兩個不同的排列。如：上海——廣州，廣州——上海，就是兩個不同的排列。組合：從3（n）個不同的地點（元素）中任取2（m）個，組成一組，就叫做從3（n）個不同地點（元素）中取出2（m）個元素的一個組合，所有組合的個數(shù)叫做“組合數(shù)”。

說明：組合數(shù)與元素的順序無關(guān)。組合數(shù)是從排列數(shù)中去掉元素相同而順序不同的排列數(shù)。如：上?！獜V州，廣州——上海，它們的票價的相同的，就是一個組合數(shù)。

記作：C23

（Cnm）例5、用1、2、3、4、5這五個數(shù)字可以組成多少個沒有重復(fù)的兩位數(shù)？5×4=20（種）12A25=5×4=20（種）例1、（1）由1、2、……9可以組成幾個三位數(shù)？（2）從1、2、……9九個自然數(shù)碼中選三個，可以組成幾個三位數(shù)？沒有限制可重復(fù):n=9×9×9A93=9×8×7A91

A91

A91

=9×9×9不允許重復(fù):n=9×8×7人教版義務(wù)教育二年級上冊99頁例1、用1、2能擺成幾個兩位數(shù)？用1、2、

3呢？做一做：每兩個人握一次手，三人共握幾次手？思考一個籃球隊參加某次比賽的五個隊員中，其中一個由于特殊原因不能做中鋒，其余4個可以分配到5個位置中的任何一個，那么共有幾種布局方法？思考A41A44=96（種）同學(xué)們春游，10人一組，他們約好，每3個人都要合影一張，問需要準(zhǔn)備多少膠卷。C103=A103/A33=10×9×8/3×2×1=120（張）120÷36≈4（卷）思考5+4+3+2+1=15（條）數(shù)一數(shù)有幾條線段C62=A72/A22=6×5/2×1=15（條）數(shù)一數(shù)有幾個長方形？C62C72=A62A72/A22A22=6×5×7×6/2×2（5+4+3+2+1）×（6+5+4+3+2+1）二、概率統(tǒng)計隨機事件等可能概型隨機事件——不確定事件（知道它有什么結(jié)果，但又不能確定是什么結(jié)果）投擲總次數(shù)（n）10

100

1000

40401200024000“出正面”次數(shù)（m）4615222048601912012頻率（m/n）0.40.610.5220.50690.50160.5005擲硬幣實驗；

種子數(shù)1013070015003000

發(fā)芽數(shù)811663913642715

頻率0.80.8920.9130.9090.905種子發(fā)芽實驗：頻率：

一般地，在n

次試驗中，我們關(guān)心的某個結(jié)果出現(xiàn)m次，我們就說出現(xiàn)這個結(jié)果的頻率是m/n

。概率的統(tǒng)計定義：

在大量重復(fù)地進行同一試驗時，如果事件發(fā)生的頻率m/n總是接近于某個常數(shù)，并在它的附近擺動，則此常數(shù)為事件A發(fā)生的概率，

記為P(A)。

概率的這個定義說明,任一事件的概率是客觀存在的,是不以人的意志為轉(zhuǎn)移的事實.另外,我們是從大量重復(fù)試驗這個角度來理解事件的概率的.事實上,一粒種子試驗下來,不是發(fā)芽,就是不發(fā)芽,而不會有90%發(fā),10%不發(fā)芽.對一粒種子的發(fā)芽可能性的認(rèn)識是通過對一批種子進行考察才得出的.次數(shù)12345678……顏色

白

白

白

白

白

白

白

黃……一個黃球一個白球的實驗：次數(shù)12345678910111213141516…顏色黃黃黃白白黃黃黃白白黃黃黃白白白…3個黃球3個白球的實驗：1、你在設(shè)計該課時，希望達(dá)到什么目的或結(jié)果？

3、為什么學(xué)生會驚訝，教師會困惑？4、該如何認(rèn)識處理？思考

2、出現(xiàn)這種情況正常嗎？你對摸白球與黃球的可能性相等，都是1/2是怎樣理解的？教學(xué)中的矛盾——

幾次試驗結(jié)果的不確定性和大量重復(fù)試驗時呈現(xiàn)的統(tǒng)計規(guī)律性

——需要著重注意把握教學(xué)中的矛盾——

教師和學(xué)生的心理期待與實驗的隨機性。

感悟:

連續(xù)7次摸到白球與多次的3黃2白給教學(xué)內(nèi)容生成了富有價值的學(xué)習(xí)材料，比一次摸白球一次摸黃球更有利用學(xué)生感悟隨機現(xiàn)象的本質(zhì)。心案：組織討論思考，感悟隨機現(xiàn)象的本質(zhì)。1、每次摸球前是無法確定的——隨機事件2、心理期待和實驗結(jié)果是沒有任何聯(lián)系的。3、只有足夠的實驗，才能顯示它的統(tǒng)計規(guī)律性。我們做的只是十幾次，二十幾次的實驗，所以它的頻率與概率會有較大的偏差。4、只要盒子里有其它顏色的球，肯定會摸到。二、概率統(tǒng)計隨機事件等可能概型滿足以上兩個條件的概率模型，有一個固定的公式：

P(A)=m/n

(n為基本事件總數(shù)，m為A包含的基本事件。）例1、袋中有大小、重量都相同的紅、白、黃球各一個，任意從袋中摸出一只記下顏色后放回去，然后再摸一只，求下列事件發(fā)生的概率：A、兩次都摸出紅球B、兩次摸出的球顏色相同

P（B）=1/9+1/9+1/9=1/3

P（A）=1/3×1/3=1/9A、兩次都摸出紅球B、兩次都摸出白球例2、袋中有大小、重量都相同的紅球2只，白球1只，任意從袋中摸出一只記下顏色后放回去，然后再摸一只，求下列事件發(fā)生的概率：P（A）=A21A21