彈性力學復習題

1、彈性力學的研究對象、內容及范圍彈性力學是研究在外界因素〔外力、溫度變化〕的影響下，處于彈性階段的物體所產生的應力、應變及位移。彈性力學的研究對象為一般及復雜形狀的構件、實體結構、板、殼等。2、彈性力學的根本假設〔即滿足什么樣條件的物體是我們在彈性力學中要研究的〕均勻性假設即物體是由同一種材料所組成的，在物體內任何局部的材料性質都是相同的。〔用處：物體的彈性參數(shù)，如彈性模量E，不會隨位置坐標的變化而變化〕連續(xù)性假設即物體的內部被連續(xù)的介質所充滿，沒有任何孔隙存在?！灿锰帲簭椥泽w的所用物理量均可用連續(xù)的函數(shù)去表示〕完全彈性假設即當我們撤掉作用于物體的外力后，物體可以恢復到原狀，沒有任何的剩余變形；應力〔鼓勵〕與應變〔響應〕之間呈正比關系?！灿锰帲嚎梢允褂镁€性虎克定律來表示應力與應變的關系〕各向同性假設即物體內任意一點處，在各個方向都表現(xiàn)出相同的材料性質?！灿锰帲何矬w的彈性參數(shù)可以取為常數(shù)〕小變形假設即在外力的作用下，物體所產生的位移和形變都是微小的。〔用處：可以在某些方程的推導中略去位移和形變的高階微量〕5、平面問題的根本方程平面問題的根本方程包括：〔1〕平衡方程；〔2〕幾何方程；〔3〕物理方程平面問題的根本量有8個，分別是：3個應力分量：、、；3個形變分量：、、；2個位移分量：、〔1〕平衡方程平衡方程描述的是體力分量與應力分量之間的關系；上述平衡方程對于平面應力問題和平面應變問題均適用〔2〕幾何方程幾何方程描述的是形變分量與位移分量之間的關系；；〔3〕物理方程物理方程描述的是形變分量與位移分量之間的關系平面應力問題的物理方程為：平面應變問題的物理方程為：3、彈性力學的根本量表1直角坐標表示的各種根本量情況根本量空間問題平面問題量綱正負號規(guī)定未知量正應力、、、[力/長度-2]正面以坐標軸正向為正；負面以坐標軸負向為正。剪應力、、[力/長度-2]正應變、、、無量綱線段伸長為正剪應變、、無量綱角度減小為正位移、、、[長度]沿坐標軸正向為正量體力、、、[力/長度-3]沿坐標軸正向為正面力、、、[力/長度-2]沿坐標軸正向為正4、兩類平面問題的概念〔1〕平面應力問題〔應力是平面的；變形是空間的〕如下圖薄板，其方向的尺寸比其他兩個方向上的尺寸小得多；外力和體力都平行于板面，并且沿著板的厚度沒有變化，這樣的問題稱為平面應力問題?！?〕平面應變問題假設物體在方向的尺寸比在其他兩個方向上的尺寸大得多，如下圖很長的壩體，外力及體力沿著方向沒有變化，那么這類問題稱為平面應變問題?！?〕兩類平面問題的一些特征空間問題的根本未知量共有8個，每個根本未知量僅僅是坐標的函數(shù)。表2兩類平面問題的一些特征名稱平面應力問題平面應變問題未知量量未知量量位移、、應變、、、、應力、、、、外力體力、面力的作用面平行于平面；外力沿板厚均勻分布體力、面力的作用面平行于平面；外力沿軸無變化形狀向尺寸遠小于板面尺寸〔等厚度薄板〕向尺寸遠大于平面內的尺寸〔等截面長柱體〕6、平面問題的邊界條件彈性力學問題的邊界條件，簡單的說就是用來描述彈性體邊界上所受的外部作用。這個外部作用可以是面力的作用，也可以是對位移的約束，也可以是兩者的綜合作用。因此對于彈性體的每一條邊而言，其邊界條件為如下三種類型的其中一種：〔1〕位移邊界條件假設在彈性體的全部邊界上給定了位移分量和，那么位移邊界條件為：；〔2〕應力邊界條件假設在彈性體的全部邊界上給定了面力分布、，那么應力邊界條件為：〔3〕混合邊界條件假設在彈性體的局部邊界上給定了位移分量和，另外一局部邊界上給定了面力分量、，那么混合邊界條件為：在上：；在上：；〔4〕圣維南原理及其對邊界條件的簡化對于彈性體的邊界而言，如果能在所有的邊界上都可以找到精確滿足以上三種類型之一的邊界條件是最好不過的情況了。因為這個時候我們就可以通過求解根本方程來了解彈性體中任意位置處的應力、應變和位移。但是對于具體的問題來說，要想使得每條邊上的邊界條件得到完全滿足是非常困難的。邊界條件得不到完全的滿足，就意味著我們得不到彈性體內任意位置處的精確解。既然得不到任意位置處的精確解，那么就要考慮是否能在彈性體內部的大局部區(qū)域獲得精確的結果。為實現(xiàn)這一目的，人們需要找到一種方法去處理不能完全滿足邊界條件的彈性體邊界。而法國學者圣維南，就是成功找到了處理方法之一的牛人。圣維南所提出的處理方法，是針對應力邊界條件的。他于1855年提出了這樣一種說法：如果將分布在物體的某個小局部邊界上的面力，替換為與原來的面力分布方式不同但是靜力等效的另外一種面力，那么，由于進行了這種替換而在彈性體內部所產生的影響，只局限于這一小局部邊界附近的局部區(qū)域，對于遠離這一小局部邊界的區(qū)域，替換所產生的影響可以忽略不計。7、平面問題中的應力分析〔1〕過彈性體中某點的任一斜截面〔該斜截面的法線方向與軸夾角的余弦為；與軸夾角的余弦為〕上的正應力、剪應力的計算公式：〔2〕彈性體中任一點處的主應力和可由下式求得：〔3〕主應力和與軸的夾角和可由下式求得：；〔的方向與的方向互相垂直〕二、平面問題的直角坐標解答前面我們主要建立了平面問題的根本方程。對于平面問題而言，根本方程包括2個平衡方程、3個幾何方程和3個物理方程。這8個方程對應著8個未知量〔3個應力分量：、、；3個應變分量：、、；2個位移分量：、〕。彈性力學要解決的平面問題，簡單說就是研究在不同的邊界條件下如何求解這8個未知量。本局部就是研究在平面直角坐標系下，求解這8個未知量的方法?！就ǔ５那蠼夥椒ā俊搀w力是坐標的函數(shù)〕-------------------------------------------------------------------------------------------------------1、按位移求解平面問題〔位移法〕[詳見書p33圖2-19]位移法的解題思想：以位移分量作為根本未知量，由一些只包含位移分量的微分方程和邊界條件求解出位移分量。位移分量求出來之后，利用幾何方程求出形變分量，進而將形變分量代入物理方程求出應力分量。按位移法求解平面問題〔平面應力問題〕，位移分量必須滿足以下全部條件：〔1〕用位移表示的平衡方程〔2〕用位移表示的應力邊界條件〔3〕位移邊界條件；總結：按照位移法求解平面應力問題，就是要使得位移分量滿足〔1〕中的平衡方程，同時還要在邊界上滿足邊界條件〔視具體的邊界而定需要滿足應力邊界or位移邊界or兩者兼有〕。在求出位移分量以后，即可利用幾何方程求出形變分量，進而利用變換后的物理方程〔應力用應變表示〕求出應力分量。當問題為平面應變問題時，注意應將上述方程中的；位移法求解平面問題的實質，就是求解滿足上述平衡方程和邊界條件的位移分量u、v，然后利用求解出的位移分量去求解形變分量〔幾何方程〕和應力分量〔物理方程〕。2、按應力求解平面問題〔應力法〕[詳見書p37圖2-21]應力法的解題思想：以應力分量作為根本未知量，由一些只包含應力分量的微分方程和邊界條件求解出應力分量，再利用物理方程求出形變分量，進而利用幾何方程求出位移分量。按應力求解平面問題〔平面應力問題〕，應力分量必須滿足以下全部條件：〔1〕平衡方程〔2〕相容方程〔3〕應力邊界條件〔4〕對于多連體問題，還要考慮位移的單值條件。應力法求解平面問題的實質，就是求解滿足上述平衡方程、相容方程及邊界條件的應力分量，然后利用求解出來的應力分量去求解形變分量〔物理方程〕和位移分量〔幾何方程〕?！咎厥獾膽Ψā繉τ趩芜B體問題而言〔在常體力情況下，利用應力法求解平面問題時可以使求解方法得到簡化〕-------------------------------------------------------------------------------------------------------之前我們討論的體力是坐標的函數(shù)，即構成彈性體的假設干個微小單元體所受到的體力不是相同的。非常體力情況下體力分量是分別關于x、y的函數(shù)〔、〕。1、常體力情況：構成彈性體的假設干個微小單元體所受到的體力均相同。常體力情況下，體力分量是兩個常數(shù)2、在常體力情況下可以對問題進行簡化的依據(jù)常體力情況下，應力的相容方程為：即：那么現(xiàn)在對于問題的求解就轉化為求解以下方程的解：①平衡方程：②相容方程：③應力邊界條件：；上述方程中均不含有彈性參數(shù)〔、〕，對于平面應力問題和平面應變問題均適用。3、常體力情況下可以做哪些簡化①、針對任一彈性體所求解出來的應力分量，適用于具有同樣邊界并且受同樣外力的其他材料的物體?！惨驗榻Y果與材料的彈性參數(shù)無關〕②、針對平面應力問題所求出的應力分量，也同樣適用于邊界相同、外力相同的平面應變問題。〔因為結果與彈性參數(shù)無關，所以無需進行和的替換〕③、對于應力邊值問題，可以將彈性體所受體力的作用改換為面力的作用，以便于解答問題或試驗量測，從而為試驗應力分析提供方便。④、可將原來所要求解的三個未知的應力分量的問題轉化只求解一個應力函數(shù)即可。4、常體力情況下利用應力函數(shù)求解平面問題在按應力求解平面應力邊值問題時，只需求出一個滿足應力函數(shù)相容方程的應力函數(shù)即可【見下①】。在求出應力函數(shù)后，即可利用應力函數(shù)與應力分量之間的關系求解出應力分量【見下②】，注意求解出的應力分量要在邊界上滿足應力邊界條件【見下③】，對于多連體問題，還要滿足位移的單值條件。①應力函數(shù)需要滿足的相容方程為：或寫作②應力函數(shù)與應力分量之間的關系為：③由上述關系式求出的應力分量要在邊界上滿足應力邊界條件為：引入應力函數(shù)后，就可以將應力法中所要求解的三個方程轉化為求解一個關于應力函數(shù)的相容方程即可，即使得問題得到了簡化。5、求解應力函數(shù)的方法——逆解法與半逆解法既然使用應力函數(shù)可以使得問題得到較大程度的簡化，那么如何求解這個應力函數(shù)呢？我們說有兩種求解應力函數(shù)的方法：逆解法與版逆解法?！?〕逆解法的求解步驟：①首先找出滿足相容方程的應力函數(shù)；②由應力函數(shù)求解出應力分量③在給定邊界的形狀〔邊界方程〕下，根據(jù)應力邊界條件，由應力反推出面力。從而得出在此組面力下，其解答就是上述應力函數(shù)和應力?！?〕半逆解法的求解步驟：①根據(jù)邊界形狀和受力情況，假設出局部〔或全部〕應力分量的形式；②根據(jù)應力分量和應力函數(shù)之間的關系，由給出的局部的應力分量推求出應力函數(shù)；③驗證推求出的應力函數(shù)是否滿足相容方程；如不滿足，那么重新回到①；④如滿足，那么根據(jù)應力函數(shù)求出其余的應力分量；⑤驗證全部應力分量是否滿足應力邊界條件〔對于多連體問題，還需要滿足位移的單值條件〕，如果不滿足，那么重新回到①；如滿足，那么得到問題的解答。三、平面問題的極坐標解答平面極坐標問題的研究思路與平面直角坐標系一樣，也是研究如何求解8個根本未知量的求解方法。但是由于坐標系的變化〔由〔、〕〔、〕〕，因此在平面問題中的8個根本未知量在極坐標系中表示為：3個應力分量：、、；3個形變分量：、、；2個位移分量：、。平面極坐標問題也有平面應力問題和平面應變問題兩種類型。平面應力：如圓環(huán)、圓盤等；平面應變：如圓筒〔半平面體視具體情況分析而定〕求解這8個根本未知量的方程〔即根本方程〕為：〔1〕平衡方程：〔2〕幾何方程：；；〔3〕物理方程〔平面應力問題〕；；平面應變問題中的物理方程：將；求解上述8個方程的方法我們僅介紹了應力函數(shù)方法〔體力為零的條件下〕。與平面直角坐標系中的應力函數(shù)法一樣，在極坐標系中，我們需要找出一個應力函數(shù)，然后根據(jù)極坐標下應力函數(shù)與應力分量之間的關系得到應力分量及相應的位移。當然，這里的應力函數(shù)也不是隨便取一個就可以，它仍然要滿足相容方程。在極坐標下，應力函數(shù)所要滿足的相容方程為：應力函數(shù)與應力分量之間的關系為：求解出來的應力分量，同樣需要在邊界上滿足應力邊界條件〔對于多連體，比方說圓筒，還要滿足位移的單值條件〕。在極坐標系中，常見的應力邊界有：=的〔徑向〕面力分量；=的剪切面力分量或=的〔環(huán)向〕面力分量；=的剪切面力分量對于具體的問題，要根據(jù)所建立的坐標系來寫出應力邊界條件。特殊的情況：軸對稱問題在軸對稱問題中，應力分量是軸對稱的，形變分量是軸對稱的；但是位移分量不一定是軸對稱的。在彈性體不存在剛體位移或存在軸對稱約束的情況下，位移分量也是軸對稱的。軸對稱問題的應力函數(shù)：軸對稱問題的應力分量：軸對稱問題相應的位移〔平面應力問題〕：如果是多連體問題，由于位移需要滿足單值條件，故;如果位移也是軸對稱的，那么有。接觸問題：接觸類型：4種〔參見書P103〕對于兩個彈性體相互接觸的問題，要注意對于不同的彈性體有不同的彈性參數(shù)和，以及不同的待定常數(shù)A、B、C、H、I、K。對于接觸問題，要注意在接觸面上還有連續(xù)條件，即力和位移都是連續(xù)的。四、空間問題的根本理論1、根本方程：平衡方程：幾何方程：；；；；；物理方程〔平面應力問題〕：2、邊界條件：〔1〕位移邊界條件：；；〔2〕應力邊界條件：