高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 高考大題規(guī)范解答系列（六）-概率與統(tǒng)計(jì)（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

高考大題規(guī)范解答系列(六)——概率與統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的分布列與期望例1(2018·課標(biāo)Ⅰ)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)．設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0<p<1)，且各件產(chǎn)品是不是不合格品相互獨(dú)立．(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點(diǎn)p0.(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元．若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用．(i)若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求E(X)；(ii)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？【分析】(1)由每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p，結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即可求出20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率f(p)，對(duì)f(p)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，即可求出f(p)的最大值點(diǎn)p0，注意p的取值范圍；(2)(i)利用(1)的結(jié)論，設(shè)余下的產(chǎn)品中不合格品的件數(shù)為Y，則Y服從二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布的期望公式、Y與X的關(guān)系式求出E(X)，(ii)求出檢驗(yàn)余下所有產(chǎn)品的總費(fèi)用，再與E(X)比較，即可得結(jié)論．【標(biāo)準(zhǔn)答案】——規(guī)范答題步步得分(1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)＝Ceq\o\al(2,20)p2(1－p)18.2分eq\x(得分點(diǎn)①)因此f′(p)＝Ceq\o\al(2,20)[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2Ceq\o\al(2,20)p(1－p)17(1－10p).4分eq\x(得分點(diǎn)②)令f′(p)＝0，得p＝0.1，當(dāng)p∈(0,0.1)時(shí)，f′(p)>0；當(dāng)p∈(0.1,1)時(shí)，f′(p)<0.所以f(p)的最大值點(diǎn)為p0＝0.1.6分eq\x(得分點(diǎn)③)(2)由(1)知，p＝0.1，(i)令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y，8分eq\x(得分點(diǎn)④)所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490.10分eq\x(得分點(diǎn)⑤)(ii)如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元．由于E(X)>400，故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).12分eq\x(得分點(diǎn)⑥)【評(píng)分細(xì)則】①正確寫(xiě)出恰有2個(gè)不合格產(chǎn)品的概率f(p)的表達(dá)式，給2分；②對(duì)f(p)進(jìn)行正確求導(dǎo)，給2分；③確定f(p)的最大值點(diǎn)，給2分；④建立X與Y的關(guān)系，給2分；⑤正確求出X的期望，給2分；⑥根據(jù)運(yùn)算結(jié)果作出正確決策，給2分．【名師點(diǎn)評(píng)】1．核心素養(yǎng)：本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率、隨機(jī)變量的期望、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、二項(xiàng)分布、決策問(wèn)題等，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力，考查或然與必然思想，考查的核心素養(yǎng)的邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析．2．解題技巧：破解此類(lèi)題的關(guān)鍵：一是認(rèn)真讀題，讀懂題意；二是會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求最值；三是會(huì)利用公式求服從特殊分布的離散型隨機(jī)變量的期望值；四是會(huì)利用期望值，解決決策型問(wèn)題．例2(2019·課標(biāo)Ⅰ，21)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問(wèn)題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈，則甲藥得1分，乙藥得－1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈，則乙藥得1分，甲藥得－1分；若都治愈或都未治愈，則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.(1)求X的分布列；(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)都賦予4分，pi(i＝0,1，…，8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假設(shè)α＝0.5，β＝0.8.①證明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)為等比數(shù)列；②求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性．【標(biāo)準(zhǔn)答案】——規(guī)范答題步步得分(1)X的所有可能取值為－1,0,1.P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)·(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)．所以X的分布列為X－101P(1－α)βαβ＋(1－α)(1－β)α(1－β)4分eq\x(得分點(diǎn)①)(2)①由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.5分eq\x(得分點(diǎn)②)因此pi＝0.4Pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1).6分eq\x(得分點(diǎn)③)又因?yàn)閜1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)是公比為4，首項(xiàng)為p1的等比數(shù)列.7分eq\x(得分點(diǎn)④)②由①可得p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝eq\f(48－1,3)p1.由于p8＝1，故p1＝eq\f(3,48－1)，所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)＝eq\f(44－1,3)p1＝eq\f(1,257).10分eq\x(得分點(diǎn)⑤)p4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率．由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為p4＝eq\f(1,257)≈0.0039，11分eq\x(得分點(diǎn)⑥)此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，說(shuō)明這種試驗(yàn)方案合理.12分eq\x(得分點(diǎn)⑦)【評(píng)分細(xì)則】①每個(gè)式子1分，表格1分；給出X的可能取值給1分；②得出a、b、c的值(有正確的)得1分；③得到Pi＋1－Pi＝4(Pi－Pi－1)得1分；④給出結(jié)論得1分；⑤得出P8，P4，P1的表達(dá)式各得1分；⑥說(shuō)明P4非常小得1分；⑦說(shuō)明實(shí)驗(yàn)方案合理得1分．考點(diǎn)二線性回歸分析例3(2018·全國(guó)2)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資y(單位：億元)的折線圖．為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2，…，17)建立模型①；eq\o(y,\s\up6(^))＝－30.4＋13.5t，根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2，…，7)建立模型②：eq\o(y,\s\up6(^))＝99＋17.5t.(1)分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值；(2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說(shuō)明理由．【分析】(1)模型①中取t＝19，模型②中取t＝9，求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值即可；(2)利用所給折線圖中數(shù)據(jù)的增長(zhǎng)趨勢(shì)，加以分析即可．【標(biāo)準(zhǔn)答案】——規(guī)范答題步步得分(1)利用模型①，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為eq\o(y,\s\up6(^))＝－30.4＋13.5×19＝226.1(億元).3分eq\x(得分點(diǎn)①)利用模型②，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為eq\o(y,\s\up6(^))＝99＋17.5×9＝256.5(億元).6分eq\x(得分點(diǎn)②)(2)利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠．8分eq\x(得分點(diǎn)③)理由如下：(i)從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒(méi)有隨機(jī)散布在直線y＝－30.4＋13.5t上下，這說(shuō)明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì).2010年相對(duì)2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說(shuō)明從2010年開(kāi)始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì)，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型eq\o(y,\s\up6(^))＝99＋17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì)，因此利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠．(ii)從計(jì)算結(jié)果看，相對(duì)于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)測(cè)值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理，說(shuō)明利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠．(以上給出了2種理由，答出其中任意一種或其他合理理由均可得分)2分eq\x(得分點(diǎn)④)【評(píng)分細(xì)則】①根據(jù)模型①求出預(yù)測(cè)值給3分；②根據(jù)模型②求出預(yù)測(cè)值給3分；③判斷模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠給2分；④作出正確的判斷，寫(xiě)出合理理由，給4分；【名師點(diǎn)評(píng)】1．核心素養(yǎng)：本題主要考查線性回歸方程的實(shí)際應(yīng)用，考查考生的應(yīng)用意識(shí)，分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力以及運(yùn)算求解能力，考查數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)是數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算．2．解題技巧：統(tǒng)計(jì)中涉及的圖形較多、常見(jiàn)的有條形統(tǒng)計(jì)圖、折線圖、莖葉圖、頻率分布直方圖、應(yīng)熟練地掌握這些圖形的特點(diǎn)，提高識(shí)圖與用圖的能力．〔變式訓(xùn)練1〕(2020·安徽蚌埠質(zhì)檢)經(jīng)銷(xiāo)商小王對(duì)其所經(jīng)營(yíng)的某一型號(hào)二手汽車(chē)的使用年數(shù)x(0<x≤10，x∈N)與每輛的銷(xiāo)售價(jià)格y(單位：萬(wàn)元)進(jìn)行整理，得到如表的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：使用年數(shù)246810售價(jià)16139.574.5(1)試求y關(guān)于x的回歸直線方程；(2)已知每輛該型號(hào)汽車(chē)的收購(gòu)價(jià)格ω(單位：萬(wàn)元)與使用年數(shù)x(0<x≤10，x∈N)的函數(shù)關(guān)系為ω＝0.05x2－1.75x＋17.2，根據(jù)(1)中所求的回歸方程，預(yù)測(cè)x為何值時(shí)，小王銷(xiāo)售一輛該型號(hào)汽車(chē)所獲得的利潤(rùn)z最大．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))·\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).[解析](1)由表中數(shù)據(jù)，得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(16＋13＋9.5＋7＋4.5)＝10，由最小二乘法得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(2×16＋4×13＋6×9.5＋8×7＋10×4.5－5×6×10,4＋16＋36＋64＋100－5×36)＝－1.45，eq\o(a,\s\up6(^))＝10－(－1.45)×6＝18.7，所以y關(guān)于x的回歸直線方程為y＝－1.45x＋18.7.(2)由題意，z＝y(tǒng)－w＝－1.45x＋18.7－(0.05x2－1.75x＋17.2)＝－0.05x2＋0.3x＋1.5，其中0<x≤10，且x∈N，z＝－0.05x2＋0.3x＋1.5＝－0.05(x－3)2＋1.95，所以預(yù)測(cè)x＝3時(shí)，銷(xiāo)售一輛該型號(hào)汽車(chē)所獲得的利潤(rùn)最大．考點(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)例4(2018·課標(biāo)全國(guó)Ⅲ)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開(kāi)展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人．第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位：min)繪制了如下莖葉圖：(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高，并說(shuō)明理由；(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過(guò)m和不超過(guò)m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過(guò)m不超過(guò)m第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).【分析】(1)根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)大致集中在哪個(gè)莖，作出判斷；(2)通過(guò)莖葉圖確定數(shù)據(jù)的中位數(shù)，按要求完成2×2列聯(lián)表；(3)根據(jù)(2)中2×2列聯(lián)表，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得K2的值，借助臨界值表作出統(tǒng)計(jì)推斷．【標(biāo)準(zhǔn)答案】——規(guī)范答題步步得分(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高.4分eq\x(得分點(diǎn)①)理由如下：(i)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高．(ii)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85.5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73.5分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高．(iii)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間高于80分鐘：用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間低于80分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高．(iv)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最多．關(guān)于莖8大致呈對(duì)稱(chēng)分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對(duì)稱(chēng)分布．又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高．(2)由莖葉圖知m＝eq\f(79＋81,2)＝80.4分eq\x(得分點(diǎn)②)列聯(lián)表如下：超過(guò)m不超過(guò)m第一種生產(chǎn)方式155第二種生產(chǎn)方式5158分eq\x(得分點(diǎn)③)(3)由于K2＝eq\f(4015×15－5×52,20×20×20×20)＝10>6.635，11分eq\x(得分點(diǎn)④)所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異．12分eq\x(得分點(diǎn)⑤)【方法指導(dǎo)】導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用問(wèn)題的求解方法【評(píng)分細(xì)則】①答案給出了4種理由，考生答出任意一種或其他合理理由，均給4分；②由莖葉圖求出中位數(shù)，給2分；③按要求完成2×2列聯(lián)表，給2分；④根據(jù)公式正確求出K2的值，給3分；⑤借助于臨界值表作出判斷，給1分．【名師點(diǎn)評(píng)】1．核心素養(yǎng)：莖葉圖及獨(dú)立性檢驗(yàn)是高考命題的重點(diǎn)，在每年的高考試題都以不同的命題背景進(jìn)行命制．此類(lèi)問(wèn)題主要考查學(xué)生的分析問(wèn)題和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，同時(shí)考查“數(shù)據(jù)分析”的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．2．解題技巧：(1)審清題意：弄清題意，理順條件和結(jié)論；(2)找數(shù)量關(guān)系：把圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)字，找關(guān)鍵數(shù)量關(guān)系；(3)建立解決方案：找準(zhǔn)公式，將2×2列聯(lián)表中的數(shù)值代入公式計(jì)算；(4)作出結(jié)論：依據(jù)數(shù)據(jù)，借助臨界值表作出正確判斷．〔變式訓(xùn)練2〕(2020·四川巴中診斷)“綠水青山就是金山銀山”，“建設(shè)美麗中國(guó)”已成為新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義生態(tài)文明建設(shè)的重要內(nèi)容．某班在一次研學(xué)旅行活動(dòng)中，為了解某苗圃基地的柏樹(shù)幼苗生長(zhǎng)情況，在這些樹(shù)苗中隨機(jī)抽取了120株測(cè)量高度(單位：cm)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，樹(shù)苗的高度均在區(qū)間[19,31]內(nèi)，將其按[19,21)，[21,23)，[23,25)，[25,27)，[27,29)，[29,31]分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．據(jù)當(dāng)?shù)匕貥?shù)苗生長(zhǎng)規(guī)律，高度不低于27cm的為優(yōu)質(zhì)樹(shù)苗．(1)求圖中a的值；(2)已知所抽取的這120株樹(shù)苗來(lái)自于A，B兩個(gè)試驗(yàn)區(qū)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下列聯(lián)表：A試驗(yàn)區(qū)B試驗(yàn)區(qū)合計(jì)優(yōu)質(zhì)樹(shù)苗20非優(yōu)質(zhì)樹(shù)苗60合計(jì)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)樹(shù)苗與A，B兩個(gè)試驗(yàn)區(qū)有關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)用樣本估計(jì)總體，若從這批樹(shù)苗中隨機(jī)抽取4株，其中優(yōu)質(zhì)樹(shù)苗的株數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期E(X)．下面的臨界值表僅供參考：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(參考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d，其中n＝a＋b＋c＋d.)[解析](1)根據(jù)頻率直方圖數(shù)據(jù)，有2×(a×2＋2a＋0.10×2＋0.20)＝1，解得：a(2)根據(jù)頻率直方圖可知，樣本中優(yōu)質(zhì)樹(shù)苗棵樹(shù)有120×(0.10×2＋0.025×2)＝30，列聯(lián)表如下：A試驗(yàn)區(qū)B試驗(yàn)區(qū)合計(jì)優(yōu)質(zhì)樹(shù)苗102030非優(yōu)質(zhì)樹(shù)苗603090合計(jì)7050120可得：K2＝eq\f(12010×30－20×602,70×50×30×90)＝eq\f(72,7)<10.3<10.828，所以，沒(méi)有99.9%的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)樹(shù)苗與A，B兩個(gè)試驗(yàn)區(qū)有關(guān)系．(3)用樣本估計(jì)總體，由題意，這批樹(shù)苗為優(yōu)質(zhì)樹(shù)苗的概率為eq\f(30,120)＝eq\f(1,4).X的可能取值為0,1,2,3,4，由題意知：X服從二項(xiàng)分布，即X～B(4，eq\f(1,4))，∴P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,4)(eq\f(1,4))k(eq\f(3,4))4－k(k＝0,1,2,3,4)，即：P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,4)(eq\f(1,4))0(eq\f(3,4))4＝eq\f(81,256)；P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,4)(eq\f(1,4))1(eq\f(3,4))3＝eq\f(27,64)；P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)(eq\f(1,4))2(eq\f(3,4))2＝eq\f(27,128)；P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,4)(eq\f(1,4))3(eq\f(3,4))1＝eq\f(3,64)；P(X＝4)＝Ceq\o\al(4,4)(eq\f(1,4))4(eq\f(3,4))0＝eq\f(1,256).X的分布列為：X01234Peq\f(81,256)eq\f(27,64)eq\f(27,128)eq\f(3,64)eq\f(1,256)∴數(shù)學(xué)期望為E(X)＝4×eq\f(1,4)＝1.(或E(X)＝0×eq\f(81,256)＋1×eq\f(27,64)＋2×eq\f(27,128)＋3×eq\f(3,64)＋4×eq\f(1,256)＝1)．考點(diǎn)四正態(tài)分布例5(2020·山西大學(xué)附中診斷)十九大以來(lái)，某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實(shí)國(guó)家精準(zhǔn)扶貧的政策要求，帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康．經(jīng)過(guò)不懈的奮力拼搏，新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進(jìn)步，農(nóng)民年收入也逐年增加．為了更好地制定2019年關(guān)于加快提升農(nóng)民年收入力爭(zhēng)早日脫貧的工作計(jì)劃，該地扶貧辦統(tǒng)計(jì)了2018年50位農(nóng)民的年收入并制成如下頻率分布直方圖：(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)50位農(nóng)民的年平均收入eq\o(x,\s\up6(－))(單位：千元)(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示)；(2)由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該貧困地區(qū)農(nóng)民年收入X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為年平均收入eq\o(x,\s\up6(－))，σ2近似為樣本方差s2，經(jīng)計(jì)算得s2＝6.92.利用該正態(tài)分布，求：①在2019年脫貧攻堅(jiān)工作中，若使該地區(qū)約占總農(nóng)民人數(shù)的84.14%的農(nóng)民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標(biāo)準(zhǔn)，則最低年收入大約為多少干元？②為了調(diào)研“精準(zhǔn)扶貧，不落一人”的政策要求落實(shí)情況，扶貧辦隨機(jī)走訪了1000位農(nóng)民．若每個(gè)農(nóng)民的年收入相互獨(dú)立，問(wèn)：這1000位農(nóng)民中的年收入不少于12.14千元的人數(shù)最有可能是多少？附：參考數(shù)據(jù)與公式eq\r(6.92)≈2.63，X～N(μ，σ2)則①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9545：③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9973.【解析】(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40千元．(2)由題意，X～N(17.40,6.92)．①P(x>μ－σ)＝eq\f(1,2)＋eq\f(0.6827,2)≈0.8414∴μ－σ＝17.40－2.63＝14.77時(shí)，滿足題意即最低年收入大約為14.77千元．②由P(X≥12.14)＝P(X≥μ－2σ)＝0.5＋eq\f(0.9545,2)≈0.9773，得每個(gè)農(nóng)民的年收入不少于12.14千元的事件概率為0.9773，記1000個(gè)農(nóng)民的年收入不少于12.14千元的人數(shù)為ξ，則ξ～B(103，p)，其中p＝0.9773，于是恰好有k個(gè)農(nóng)民的年收入不少于12.14千元的事件概率是P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,1000)pk(1－p)103－k從而由eq\f(Pξ＝k,Pξ＝k－1)＝eq\f(1001－k×p,k×1－p)>1，得k<1001p，而1001p＝978.2773，所以，當(dāng)0≤k≤978時(shí)，P(ξ＝k－1)<P(ξ＝k)，當(dāng)979≤k≤1000時(shí)，P(ξ＝k－1)>P(ξ＝k)，由此可知，在所走訪的1000位農(nóng)民中，年收入不少于12.14千元的人數(shù)最有可能是978.〔變式訓(xùn)練3〕(2020·貴州遵義模擬)3D打印通常是采用數(shù)字技術(shù)材料打印機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn)的，常在模具制造、工業(yè)設(shè)計(jì)等領(lǐng)域被用于制造模型，后逐漸用于一些產(chǎn)品的直接制造，已經(jīng)有使用這種技術(shù)打印而成的零部件。該技術(shù)應(yīng)用十分廣泛，可以預(yù)計(jì)在未來(lái)會(huì)有廣闊的發(fā)展空間，某制造企業(yè)向A高校3D打印實(shí)驗(yàn)團(tuán)隊(duì)租用一臺(tái)3D打印設(shè)備，用于打印一批對(duì)內(nèi)徑有較高精度要求的零件。該團(tuán)隊(duì)在實(shí)驗(yàn)室打印出了一批這樣的零件，從中隨機(jī)抽取10件零件，度量其內(nèi)徑的莖葉圖如圖所示(單位：μm).(1)計(jì)算平均值μ與標(biāo)準(zhǔn)差σ；(2)假設(shè)這臺(tái)3D打印設(shè)備打印出的零件內(nèi)徑Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，該團(tuán)隊(duì)到工廠安裝調(diào)試后，試打了5個(gè)零件，度量其內(nèi)徑分別為：86,95,103,109,118(單位：μm)，試問(wèn)：此打印設(shè)備是否需要進(jìn)一步調(diào)試，為什么？參考數(shù)據(jù)：P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)＝0.9974，0.95443＝0.87,0.99744＝0.99，0.04562＝0.002.[解析](1)μ＝eq\f(97＋97＋98＋102＋105＋107＋108＋109＋113＋114,10)＝105μm，σ2＝eq\f(－82＋－82＋－72＋－32＋02＋22＋32＋42＋82＋92,10)＝36，所σ＝6μm.(2)結(jié)論：需要進(jìn)一步調(diào)試．理由如下：如果機(jī)器正常工作，則Z服從正態(tài)分布N(105,62)，P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)＝P(87<Z<123)＝0.9974，零件內(nèi)徑在(87,123)之外的概率只有0.0026，而86?(87,123)，根據(jù)3σ原則知機(jī)器異常，需要進(jìn)一步調(diào)試．(還可有其它解釋?zhuān)侠砑纯?考點(diǎn)五概率、統(tǒng)計(jì)與函數(shù)、數(shù)列、不等式的綜合例6(2020·百師聯(lián)盟期末)出版商為了解某科普書(shū)一個(gè)季度的銷(xiāo)售量y(單位：千本)和利潤(rùn)x(單位：元/本)之間的關(guān)系，對(duì)近年來(lái)幾次調(diào)價(jià)之后的季銷(xiāo)售量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下的10組數(shù)據(jù).序號(hào)12345678910x2.43.14.65.36.47.17.88.89.510y18.114.19.17.24.93.93.22.32.11.4根據(jù)上述數(shù)據(jù)畫(huà)出如圖所示的散點(diǎn)圖：(1)根據(jù)圖中所示的散點(diǎn)圖判斷y＝ax＋b和y＝clnx＋d哪個(gè)更適宜作為銷(xiāo)售量y關(guān)于利潤(rùn)x的回歸方程類(lèi)型？(給出判斷即可，不需要說(shuō)明理由)；(2)根據(jù)(1)中的判斷結(jié)果及參考數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程；(3)根據(jù)回歸方程分析：設(shè)該科普書(shū)一個(gè)季度的利潤(rùn)總額為z(單位：千元)，當(dāng)季銷(xiāo)售量y為何值時(shí)，該書(shū)一個(gè)季度的利潤(rùn)總額預(yù)報(bào)值最大？(季利潤(rùn)總額＝季銷(xiāo)售量×每本書(shū)的利潤(rùn))參考公式及參考數(shù)據(jù)：①對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，ν1)，(u2，ν2)，…，(un，νn)，其回歸直線ν＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的公式分別為eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ui－\o(u,\s\up6(－))νi－\o(ν,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)ui－\o(u,\s\up6(－))2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\o(ν,\s\up6(－))－eq\o(β,\s\up6(^))eq\o(u,\s\up6(－)).②參考數(shù)據(jù)：eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))eq\o(u,\s\up6(－))eq\i\su(i＝1,10,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2eq\i\su(i＝1,10,)(ui－eq\o(u,\s\up6(－)))2eq\i\su(i＝1,10,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))eq\i\su(i＝1,10,)(ui－eq\o(u,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))6.506.631.7582.502.70－143.25－27.54表中ui＝lnxi，eq\o(u,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)eq\i\su(i＝1,10,)ui.另：ln4.06≈1.40.計(jì)算時(shí)，所有的小數(shù)都精確到0.01.[解析](1)y＝clnx＋d更適宜作為銷(xiāo)售量y關(guān)于利潤(rùn)x的回歸方程類(lèi)型．(2)令u＝lnx，先建立y關(guān)于u的線性回歸方程，由于eq\o(c,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,10,)ui－\o(u,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,10,)ui－\o(u,\s\up6(－))2)＝eq\f(－27.54,2.70)＝－10.20，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(c,\s\up6(－))·eq\o(u,\s\up6(－))＝6.63＋10.20×1.75＝24.48，所以y關(guān)于u的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝24.48－10.20u，即y關(guān)于x的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝24.48－10.20lnx.(3)由題意得z＝xy＝x(24.48－10.20lnx)，z′＝[x(24.48－10.20lnx)]′＝14.28－10.20lnx，令z′＝0即14.28－10.20lnx＝0，解得lnx＝1.40，所以x≈4.06.當(dāng)x∈(0,4.06)時(shí)，z′>0，所以z在(0,4.06)上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(4.06，＋∞)時(shí)，z′<0，所以z在(4.06，＋∞)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝4.06時(shí)，即季銷(xiāo)量y＝10.20千本時(shí)，季利潤(rùn)總額預(yù)報(bào)值最大．〔變式訓(xùn)練4〕(2020·河北省部分重點(diǎn)高中期末聯(lián)考)11月，2019全國(guó)美麗鄉(xiāng)村籃球大賽在中國(guó)農(nóng)村改革的發(fā)源地——安徽鳳陽(yáng)舉辦，其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行籃球定點(diǎn)投籃比賽(每人各投一次為一輪)．在相同的條件下，每輪甲乙兩人站在同一位置，甲先投，每人投一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得－1分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分．設(shè)甲每次