高考數(shù)學重難點練習題（附有答案）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁高考數(shù)學重難點練習題（附有答案）學校：___________班級：___________姓名：___________考號：___________一、單選題1．已知集合則（

）A． B． C． D．2．已知復數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．3．如圖所示的程序框圖中，若輸出的函數(shù)值，則輸入的實數(shù)（

）A． B． C． D．或4．已知定義在上的函數(shù)滿足，函數(shù)的圖象關于直線對稱，且，則（

）A． B．0 C．1 D．25．為慶祝黨的二十大的勝利召開，某高校黨委從所有的學生黨員中隨機抽取100名，舉行“二十大”相關知識的競賽活動，根據(jù)競賽成績，得到如下2×2列聯(lián)表.則下列說法正確的是（

）優(yōu)秀非優(yōu)秀合計男203050女351550合計5545100參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.A．有的把握認為“競賽成績是否優(yōu)秀與性別有關”B．有的把握認為“競賽成績是否優(yōu)秀與性別無關”C．在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為“競賽成績是否優(yōu)秀與性別無關”D．在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為“競賽成績是否優(yōu)秀與性別有關”6．已知實數(shù)x，y滿足約束條件則的最大值是（

）A．5 B．6 C．7 D．97．已知函數(shù)在區(qū)間上的極值點有且僅有2個，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知變量y與x之間具有線性相關關系，根據(jù)變量x與y的相關數(shù)據(jù)，計算得則y關于x的線性回歸方程為（

）附：回歸方程中的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為A． B．C． D．9．高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學的奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為“高斯函數(shù)”，例如：.已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．10．在中，內角的對邊分別為，已知，若點為邊的中點，則的最大值為（

）A． B． C． D．11．已知過橢圓的上焦點且斜率為的直線交橢圓于兩點，為坐標原點，直線分別與直線相交于兩點.若為銳角，則直線的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．12．已知，則的大小關系為（

）A． B．C． D．二、填空題13．已知向量，和，若，則在方向上的投影是．14．在的展開式中，各項系數(shù)的和與各二項式系數(shù)的和之比為64，則．15．已知三棱錐中，平面，和，則三棱錐外接球的體積為．16．設過點的直線l與橢圓交于M，N兩點，已知點，若直線AM與直線AN的斜率分別為和，則．三、解答題17．已知的角對邊分別為，滿足.(1)求；(2)求外接圓的半徑.18．某農科所統(tǒng)計了單位面積某種化肥實施量x（kg）和玉米相應產(chǎn)量Y（kg）的相關數(shù)據(jù)，制作了數(shù)據(jù)對照表：x（kg）1620242936Y（kg）340350362404454若在合理施肥范圍內x與Y具有線性相關關系(1)求Y關于x的線性回歸方程；(2)請利用線性回歸方程預測時的玉米產(chǎn)量.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：和.19．已知正三棱柱中，側棱長為，底面邊長為2，D為AB的中點.(1)證明：；(2)求二面角的大??；(3)求直線CA與平面所成角的正弦值.20．已知斜率存在的直線過點且與拋物線交于兩點.(1)若直線的斜率為1，為線段的中點，的縱坐標為2，求拋物線的方程；(2)若點也在軸上，且不同于點，直線的斜率滿足，求點的坐標.21．已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)在點處的切線方程；(2)若函數(shù)在其定義域上有唯一零點，求實數(shù)的值.22．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.(1)若，求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；(2)過點向直線l作垂線，垂足為Q，說明點Q的軌跡為何種曲線.23．已知函數(shù).(1)解不等式；(2)若在上恒成立，求實數(shù)的最小值.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．D【分析】根據(jù)題意，將集合分別化簡，然后由集合的交集運算即可得到結果.【詳解】因為集合所以.故選:D.2．B【分析】根據(jù)復數(shù)的四則運算和復數(shù)求模的公式即可求解.【詳解】因為所以.故選：.3．D【分析】輸出的函數(shù)值，分別代入函數(shù)解析式求，結合定義域得出答案．【詳解】由程序框圖可知，該程序是運算分段函數(shù)的值因為輸出的函數(shù)值所以當時由，解得；當時由，解得.故選：D.4．C【分析】利用函數(shù)的周期性及函數(shù)的對稱性進行計算求解.【詳解】由，得

①又函數(shù)的圖象關于直線對稱，所以函數(shù)的圖象關于軸對稱，即

②聯(lián)立①②兩式，可得，所以所以函數(shù)的一個周期為8，又所以，故A，B，D錯誤.故選：C.5．A【分析】求得的觀測值，再與臨界值表對照下結論.【詳解】解：因為的觀測值由臨界值表知，有的把握認為“競賽成績是否優(yōu)秀與性別有關”.故選：.6．D【分析】利用線性規(guī)劃，畫出可行域和目標函數(shù)即可.【詳解】由題，畫出滿足題意的可行域如圖所示令，可化為，相當于直線在y軸上的截距．平移直線，當直線過點A時截距最大，z最小；當直線過點C時截距最小，z最大，聯(lián)立得所以．聯(lián)立得所以．所以，所以．故選：D．7．C【分析】利用三角函數(shù)的圖象與性質以及整體代換的技巧進行處理.【詳解】因為，所以當時有因為在區(qū)間上的極值點有且僅有2個，結合函數(shù)圖象得，解得，所以的取值范圍為，故A，B，D錯誤；故選：C.8．B【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)求，代入回歸直線方程即可求解.【詳解】由題中的數(shù)據(jù)可知所以.所以.所以y關于x的線性回歸方程為.故選：B.9．B【分析】方法一：利用分離常數(shù)及指數(shù)函數(shù)的性質，結合不等式的性質及高斯函數(shù)的定義即可求解；方法二：利用指數(shù)函數(shù)的性質及分式不等式的解法，結合高斯函數(shù)的定義即可求解；【詳解】方法一：函數(shù)因為，所以所以.所以.所以，即.當時；當時.故的值域為.故選：B.方法二：由，得.因為，所以，解得.當時；當時.所以的值域為.故選：B.10．A【分析】方法一：作出圖形，設，則.利用余弦定理和基本不等式即可求解.方法二：根據(jù)平面向量的運算可得，兩式聯(lián)立，結合基本不等式即可求解.【詳解】方法一：如圖，設，則.在中由余弦定理得①.在中，由余弦定理得②.由①②可得：.在中，由余弦定理得，當且僅當時等號成立，解得，即的最大值為.

方法二：由題可得所以①.又因為，所以②由①②得由①得則，所以當且僅當時等號成立.所以.故選：.11．D【分析】根據(jù)橢圓的標準方程求出焦點坐標，利用直線的斜截式方程設出直線的方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，再利用韋達定理及兩直線相交聯(lián)立方程組求出交點坐標，結合已知條件、點在直線上及向量的數(shù)量積的坐標運算即可求解.【詳解】由題意可知，所以所以橢圓的上焦點為設直線的方程為聯(lián)立消去，得所以.由題設知，所在的直線方程為.因為直線與直線相交于點所以；同理可得.所以.因為為銳角所以所以即，解得：或所以，或，或.故直線的斜率的取值范圍是.故選:D.12．A【分析】構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性進行函數(shù)值的大小比較.【詳解】方法一：比較的大小時（法一）設函數(shù)，則，令，得當時，函數(shù)單調遞增；當，函數(shù)單調遞減所以當時函數(shù)取得最大值因為，所以，即.（法二）因為，設為坐標原點，結合函數(shù)的圖象知，所以；比較的大小時設函數(shù)，則當時，所以函數(shù)在上單調遞減；當時，所以函數(shù)在上單調遞增因為，又，所以，即綜上可得，故B，C，D錯誤.故選：A.方法二（估值法）：因為0.43.所以，故B，C，D錯誤.故選：A.13．/【分析】根據(jù)向量的坐標運算表示出，利用向量垂直的坐標表示求得再根據(jù)向量投影的定義求得答案.【詳解】因為向量，和，所以．因為，所以，即，解得（負值舍去）所以，所以所以在方向上的投影為故答案為：14．或【分析】利用賦值法確定各項系數(shù)的和，由二項式的性質得各二項式系數(shù)的和，利用比值為，列出關于的方程，解方程即可.【詳解】因為的展開式中各項系數(shù)的和為，各二項式系數(shù)的和為所以由題意得所以，或，解得，或．故答案為：或．15．【分析】將三棱錐補成直三棱柱，直三棱柱的外接球即為三棱錐的外接球，確定外接球球心的位置，求出底面三角形的外接圓半徑，進而求得三棱錐外接球半徑，即可得答案.【詳解】因為所以在中，根據(jù)余弦定理可得：即．所以所以∠ABC=120°，所以底面是頂角為120°的等腰三角形．由題意將三棱錐補成如圖所示的直三棱柱則該直三棱柱的外接球即為三棱錐的外接球且直三棱柱的外接球球心落在上、下底面外接圓圓心連線的中點上．設外接圓的半徑為r，三棱錐外接球的半徑為R由正弦定理得所以所以三棱錐外接球的體積為故答案為：16．【分析】先根據(jù)題意假設直線l的方程，聯(lián)立橢圓的方程，由韋達定理得到和從而利用斜率公式直接運算即可得解.【詳解】因為橢圓，所以，其右頂點為，下頂點為所以過點的直線l的斜率存在且不為0和，設直線l的方程為，即設，點M，N的坐標均不為聯(lián)立整理得則，解得因為時和所以.故答案為：．【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化以及和差角公式化簡可得，結合三角函數(shù)同角關系即可求解（2）由余弦定理代入已知關系即可得，由正弦定理即可求解.【詳解】（1）由以及正弦定理可得：，而.（2），整理得.由正弦定理可得18．(1)(2)【分析】（1）利用最小二乘法求解；（2）將代入回歸方程求解.【詳解】（1）解：由表中數(shù)據(jù)計算得.和.所以回歸方程為.（2）將代入回歸方程得.故預測時玉米產(chǎn)量約為.19．(1)證明見解析；(2)(3)【分析】（1）由正三棱柱的性質可得平面，再利用線面垂直的判定定理即可證明平面，即可得；（2）以的中點為坐標原點，建立空間直角坐標系利用空間向量與二面角的幾何關系即可求得二面角的大小為；（3）根據(jù)（2）中結論，利用線面角與空間向量的關系即可得直線CA與平面所成角的正弦值為.【詳解】（1）由為正三棱柱可知，平面又平面，所以由底面是邊長為2的正三角形，D為AB的中點，所以；又，平面，所以平面；又平面，所以；（2）取線段的中點分別為，連接易知兩兩垂直，以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，如下圖所示;由側棱長為，底面邊長為2可得由D為AB的中點可得所以設平面的一個法向量為則，令，可得；即；易得即為平面的一個法向量所以設二面角的平面角為，由圖可知為銳角所以，即；即二面角的大小為.（3）由（2）可知，平面的一個法向量為設直線CA與平面所成的角為所以即直線CA與平面所成角的正弦值為.20．(1)(2)【分析】（1）由題知直線的方程，聯(lián)立拋物線，利用韋達定理以及中點公式即可求解；（2）設出直線的方程及的坐標，聯(lián)立方程組，消元，韋達定理，利用直線斜率公式寫出將韋達定理代入，化簡求出參數(shù)即可得點的坐標.【詳解】（1）因為直線的斜率為1且過點所以直線的方程為：設由，得：所以所以因為為線段的中點，的縱坐標為2所以所以拋物線的方程為：.（2）設直線的方程為：和，得：所以由由所以即所以所以點的坐標為.21．(1)(2)【分析】（1）求導，利用導數(shù)求解斜率，由點斜式即可求解直線方程（2）將問題等價轉化成在有唯一實數(shù)解.構造函數(shù)，和利用導數(shù)求解單調性，進而確定方程的根，即可求解.【詳解】（1）當時且函數(shù)在點處的切線方程即.（2）在其定義域上有唯一零點方程即在有唯一實數(shù)解.設，則.令，即的兩個根分別為（舍去）.當時在上單調遞減當時在上單調遞增當時取最小值要使在有唯一零點，則須即設函數(shù)當時是增函數(shù)，至多有一解.方程的解為，即，解得實數(shù)的值為.【點睛】思路點睛：利用導數(shù)求解函數(shù)零點時需要利用導數(shù)求解函數(shù)的單調性，如果求導后的正負不容易辨別，往往可以將導函數(shù)的一部分抽離出來，構造新的函數(shù)，利用導數(shù)研究其單調性，進而可判斷原函數(shù)的單調性.在證明不等式時常采用兩種思路：直接求最值和等價轉化.22．(1)(2)的軌跡為以點為圓心，為半徑的圓【分析】（1）根據(jù)直線的參數(shù)方程和求解；利用，求解；（2）在時直接求出Q的坐標，在時寫出過點P且與直線l垂直的直線方程，與直線l的方程聯(lián)立消參求得Q的軌跡方程，然后檢驗，進而得到答案.【詳解】（1）解：由直線的參數(shù)方程為∵∴直線l的普通方程為，即.由得因為所以曲線的直角坐標方程為.