集合與命題復習

課 題集合與命題的復習教學目的1、 復習集合的性質、集合間的關系以及交、并、補運算2、 復習四種命題形式、充分條件和必要條件教學內容集合1?定義:我們把能夠確切指定的一些對象組合成的整體叫做集合,簡稱集。如果a是集合A中的元素，那么記作aeA,讀作a屬于A；如果a不是集合A中的元素，那么記作a笑A，讀作a不屬于A。（1） 確定性：按照明確的判斷標準給定一個元素或者在這個集合里，或者不在，不能模棱兩可。（2） 互異性：集合中的元素沒有重復。方程x2-2x+1=0的解集為｛1｝而不是｛1,1｝（3） 無序性：集合中的元素沒有一定的順序。｛1,2｝和｛2，1｝表示同一個集合。含有有限個元素的集合叫做有限集；含有無限個元素的集合叫做無限集。我們把不含任何元素的集合稱為空集,記作e。注：｛0｝和e是不同的。｛0｝是含有一個元素o的集合，e是不含任何元素的集合。常用數(shù)集N:全體自然數(shù)組成的集合，即自然數(shù)集N:全體自然數(shù)組成的集合，即自然數(shù)集N*：不包括0的自然數(shù)集Z:全體整數(shù)組成的集合，即整數(shù)集Z:全體整數(shù)組成的集合，即整數(shù)集Q:全體有理數(shù)組成的集合，即有理數(shù)集R:全體實數(shù)組成的集合，即實數(shù)集Z+:正整數(shù)集Z-:負整數(shù)集Q+:正有理數(shù)集Q-:負有理數(shù)集R+:正實數(shù)集R-:負實數(shù)集集合的表示方法（一） 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內表示集合。通常元素個數(shù)較少時用列舉法。注：1.有些集合亦可如下表示：從51到100的所有整數(shù)組成的集合：｛51,52，53，-，100｝所有正奇數(shù)組成的集合：｛1,3，5，7,…｝2.a與｛a｝不同：a表示一個元素，｛a｝表示一個集合，該集合只有一個元素’（二） 描述法：用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合，并把這個條件寫在大括號內表示集合的方法。有些集合的元素不能無遺漏地一一列舉出來，或者不便于、不需要一一列舉出來，常用描述法。格式：｛x|x滿足性質p｝如：集合{（X,y）1y二x2+1}二、集合之間的關系（一） 子集1、 定義：對于兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們就說集合A包含于集合B,或集合B包含集合A。記作：A匸B或B二A。讀作：A包含于B或B包含A。當集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A時，則記作A工B或B2Ao2、 證明A匸B的方法：若VxeAnxeB，則A匸B。（二） 集合相等1、 定義：一般地，對于兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，記作A=Bo2、 證明集合相等的方法：A匸B且B匸A，則A=B。（三） 真子集定義：對于兩個集合A與B,如果A匸B，并且A豐B，我們就說集合A是集合B的真子集，記作：A三B或B三A，讀作A真包含于B或B真包含A（四） 子集的個數(shù)含n個元素的集合,a,a}的所有子集的個數(shù)是2n，所有真子集的個數(shù)是2n-1,非空真子集數(shù)為2n-2.1 2 n（五） 文氏圖用平面區(qū)域來表示集合之間關系的方法叫做集合的圖示法，所用的圖叫做文氏圖。下圖表示的是B匸A的文氏圖。注：1、空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集。2、易混符號“e”與“匸”：元素與集合之間是屬于關系；集合與集合之間是包含關系。如1e{1,2,3},{1}匸{1,2,3}三、集合的運算

（一） 交集：由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合，叫做A,B的交集。記作AAB,讀作A交B。AAB={xlxWA,且xWB}.（二） 并集：由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作：AUB,讀作A并B。AUB={xlxWA,或xWB}）.（三）交集、并集的性質（1）若BUA,則AUB=A,AnB=B（3）AUAUB,BUAUB（四）全集與補集1、 全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集，全集通常用U表示。2、 補集：設U為全集，A是U的一個子集（即AUU）,由U中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做U中子集A的補集，記作CA，即CA={xlxwU,且x電A}UU U U3、性質：C(CA)二A,CU“,C?二UUU U U例題分析:例1、2008年第29屆奧運會將在北京召開，現(xiàn)有三個實數(shù)的集合，既可以表示為{a,b,1},也可以表示為ta2,a+b,0}，則a2008+b2008= 例2、若A、B、C為三個集合，AUB=B"C，則一定有（）A.AA.A匸C B.C匸AC.A豐CD.A=0例3、設P={mI-1<m<0},Q={mgRImx2+4mx-4<0對任意實數(shù)x恒成立}，則下列關系中成立的是（ ）A.P￡Q B.Q￡P C.P=Q D.PflQ=0例4、若集合M、N、P是全集S的子集，則圖中陰影部分表示的集合是（）a.（mnn）np b.（mnn）upc.（mnn）ncpd.（mnn）ucpS S\mS?J例5、設A={2,-1,x2-x+1},B={2y,一4,x+4},C={一1,7}，且AB=C, - 求x,y的值I !P -■例6、已知集合A={xI-x2+3x+10>0},B={xIm+1<x<2m—1}，且B匸A，求實數(shù)m的取值范圍例7、已知A={xlx2—ax+a2—19=0},B={xIx2—5x+8=2},C={xlx2+2x—8=0},若AQB北0，且A豐B,AQC=0，求a的值+例8、設全集U=&|0<x<10xeN*}，若AnB={3}，AnCuB=俎5,7}，(c/mqB)={此求A、B例9、設集合A=x=a2+2a+4},B={yy=b2一4例9、設集合A=（1）若aeR,beR,試確定集合A與集合B的關系;（2）若aeN,beR，試確定集合A與集合B的關系.例10、設M={x1x=k+十，keZ},N={x1x=k+十,keZ}，則M和N的關系是？2 4 4 2例11、已知集合A={x1x=ax2+2x+1=0,aeR,xeR}（1）當A只有一個元素時，求a的值，并求出這個元素（2）當A至多含有一個兀素時，求a的取值范圍例12、已知集合A={x1x2-x-6<0}，B={x10<x-m<9}(1)若AUB=B，求實數(shù)m的取值范圍(2)若AnB=0，求實數(shù)m的取值范圍例13、已知集合A={xIx2+(a+2)x+1=0,xgR}，且AAR+=0，求實數(shù)a的取值范圍例14、設A={xIx2-3x+2=0},B={xIax-2=0},且AUB=A，求由實數(shù)a組成的集合C例15、已知集合A=tx,y)Ix2+mx-y+2=0,xgr},B={(x,y)Ix-y+1=0,0<x<2}，若AQBh?，求實數(shù)m的取值范圍.例16、已知集合A={y1y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0}，B={yIy=2x2-x+2,0<x<3}，若A「|B=0，求實數(shù)a的范圍.例17、設全集U=R,M={ml方程mx2-x-1=0有實數(shù)根},N={nI方程x2-x+n=0有實數(shù)根｝，求(C/M)cN.解：當m=0時，x=-1，即0eM；當m主0時，A=1+4m>0,即m>-—，且m主0 m>-—,TOC\o"1-5"\h\z4 4而對于N,A=1-4n>0,即n<—，?:N=\nIn<—.4 〔 "???(CM)nN=2xIx<-—UIx2-2x-m<0),變式訓練1.已知集合A=<xIx2-2x-m<0),、x+1 一當m=3時，求Ac(CB)；R若A-B={xI-1<x<4},求實數(shù)m的值.解：由6>1 1xW5,???A二{xI-1<x<5}.x+1 'x+1(1)當m=3時，B={xI-1<x<3}，則CB={xIx<-1或x>3},R.??Ac(CB)={xI3<x<5}.R⑵VA={xI-1<x<5},AQB={xI-1<x<4},???有42-2X4-m=0,解得m=8.故實數(shù)m的值為8.此時B={xI-2<x<4故實數(shù)m的值為8.例18、已矢口A={xIa<x<a+3},B={xIx<一1或x>5}.若AQB=0，求a的取值范圍；若AUB=B，求a的取值范圍.an—1解：(1)AQB=0,???{ ，解之得—1<a<2.a+3<5AUB=B,???A匸B.??.a+3<一1或a>5,a<一4或a>5.??若AQB=0，則a的取值范圍是［—1,2］；若AoB=B，則a的取值范圍是(—g,—4)u(5, .變式訓練2：設集合A二{x|x2—3x+2=o},B=?Ix2+2(a+1)x+(a2—5)=。}.若AnB={2},求實數(shù)a的值；若AUB=A，求實數(shù)a的取值范圍；若U二R,An(CJS)=A.求實數(shù)a的取值范圍.解：由x2-3x+2=0得x=1或x=2,故集合A={1,2}?(1)TAnB={2},???2eB,代入B中的方程，得a2+4a+3=0,??a=-1或a=-3;當a=-1時，B=LIx2—4=0}={—2,2},滿足條件；當a=-3時，B={xIx2—4x+4=0}={2},滿足條件;綜上，a的值為-1或-3.(2)對于集合B,A=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).TAUB二A，??.B匸A,當AVO,即aV-3時，B=0，滿足條件；當A=0，即a=-3時，B={2},，滿足條件；當A〉0，即a〉-3時，B=A={1,2}?才能滿足條件,則由根與系數(shù)的關系得I+I+2=—2(a+1)1x2=a2—5a=——即1 2,矛盾;a2=7綜上，a的取值范圍是aW-3.(3)TAn(CB)=A,?：AUCB, =0；U U _5若B=0，則△VO二a<-3適合；若BM0，則a=-3時，B={2},AnB={2},不合題意；a>-3，此時需1《B且2纟B,將2代入B的方程得a=-1或a=-3(舍去)；將1代入B的方程得a2+2a-2=0na=-1±亍3.AaM-1且aM-3且aMT±u3.綜上，a的取值范圍是aV-3或-3VaVT-運或T-*3VaV-1或TVaVT+p3或a>-1+\「3.例19、已知集合A={x|x2+(2+a)x+1=0,xgR},B={xeRIx>0}，試問是否存在實數(shù)a,使得AnB=0?若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.解:方法一假設存在實數(shù)a滿足條件AnB=0則有當AM0時，由AnB=0,B={xgRIx>0}，知集合A中的元素為非正數(shù)，設方程x2+(2+a)x+1=0的兩根為x15x2,則由根與系數(shù)的關系，得A=(2+a)2一4>0<x+x=一(2+a)<0,解得a>0;1 2xx=1>0J12當人=0時，則有A=(2+a)2-4V0,解得-4VaV0.綜上(1)、(2),知存在滿足條件AnB=0的實數(shù)a,其取值范圍是(-4,+s).方法二假設存在實數(shù)a滿足條件AnBM0，則方程x2+(2+a)x+1=0的兩實數(shù)根x1，x?至少有一個為正，因為X]?X2=1>0,所以兩根X],x2均為正數(shù).則由根與系數(shù)的關系，得|A=(2+")2一4>0,解得>警'一4即a5-4.x+x=-(2+a)>0 Ia<-2J1 2又???集合{aIa<-4}的補集為{aIa>-4},A存在滿足條件AnB=0的實數(shù)a,其取值范圍是(-4,+^).變式訓練3.設集合A={(x,y)|y=2xT,xWN*},B={(x,y)|y=ax2-ax+a,xWN*}，問是否存在非零整數(shù)a,使AHBM0?若存在，請求出a的值；若不存在，說明理由.解：假設AHBM0，則方程組fy=2x-1\ 有正整數(shù)解，消去y,得ax2-(a+2)x+a+1=0.y=ax2-ax+a

由A20,有(a+2)2-4a(a+l)20,解得-空3<a<2i.因a為非零整數(shù)，.?.a二±1,3 3當a=-1時，代入(*)，解得x=0或x=T,而x^N*.故a#-1.當a=1時，代入(*),解得x=1或x=2，符合題意.故存在a=1,使得AAB#0,此時AQB={(1，1)，(2，3)}.例20、已知A={xIx2—2ax+(4a—3)=0，x^R}，又B={xIx2—2^2ax+a2+a+2=0，x^R}，是否存在實數(shù)a,使得A..B=0?若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，說明理由.解：1<a<2即實數(shù)ae(1，2)時，AB=0.變式訓練4.設集合A為函數(shù)y=ln(-x2-2x+8)的定義域，集合B為函數(shù)y=x+亠的值域，集合C為不等式(ax-a)(x+4)<0的解集.⑴求AnB；⑵若CGCRA，求a的取值范圍.解：(1)解得A二(-4,2)，B二(—?—3]uk+8)。所以AnB=(-4,-3^j[1,2)(2)a、命題(一)四種命題1、 由原命題怎么得到逆命題、否命題、逆否命題？交換原命題的條件和結論，所得的命題是逆命題；同時否定原命題的條件和結論，所得的命題是否命題；交換原命題的條件和結論，并且同時否定，所得的命題是逆否命題2、 若p為原命題條件，q為原命題結論，貝呱原命題：若p則q逆命題：若q則p否命題：若p則q逆否命題：若q則p

3、 等價命題：如果A、B兩個命題滿足A=B,B=A，那么A、B稱為等價命題互為逆否的兩個命題等價，即原命題°逆否命題4、 反證法當我們證明某個命題有困難時，我們可以利用上面的結論證明它的逆否命題。例1求證如果a>b>0，那么Ua>-b.(二)充分條件與必要條件1、 定義：若Pnq成立，則稱P為q的充分條件，q為P的必要條件。2、 充要條件：若既有pnq成立，又有qnp成立，則稱p、q互為充要條件。如何證明p為q的充要條件？根據(jù)定義，我們分兩步證明充分性：Pnq必要性：qnp例題解析例2已知函數(shù)f(x)為R上的單調遞增函數(shù)，求證f(x)<f(x)的充要條件為x<x1212課堂練習1、 “x>1”是“x>Jx”的( )A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件2.若不等式|x-1<a成立的充分條件為0<x<4，則實數(shù)a的取值范圍為( )A. [3, +8) B. [1,+8) C. (—8, 3] D. (—g,1]3、 f(x)、g(x)是定義在R上的函數(shù),h(x)=f(x)+g(x)，則“f(x),g(x)均為偶函數(shù)”是“h(x)為偶函數(shù)”的()A.充要條件B.充分而不必要的條件C.必要而不充分的條件D.既不充分也不必要的條件4、 已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件.那么p是q成立的( )A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5、下列各小題中，p是q的充要條件的是( )p:m<—2或m>6；q:y=x2+mx+m+3有