2024屆遼寧省沈陽(yáng)七中學(xué)九年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆遼寧省沈陽(yáng)七中學(xué)九年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．已知二次函數(shù)，點(diǎn)A，B是其圖像上的兩點(diǎn)，()A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則2．如圖，在?ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，BG⊥AE，垂足為G，若BG=，則△CEF的面積是（）A． B． C． D．3．某路口的交通信號(hào)燈每分鐘紅燈亮30秒，綠燈亮25秒，黃燈亮5秒，當(dāng)小明到達(dá)該路口時(shí)，遇到綠燈的概率是（）A． B． C． D．4．三角形在正方形網(wǎng)格紙中的位置如圖所示，則的值是（）A． B． C． D．5．已知一個(gè)幾何體從三個(gè)不同方向看到的圖形如圖所示，則這個(gè)幾何體是（）A．三棱柱 B．三棱錐 C．圓柱 D．圓錐6．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知∠ABO=50°，則∠ACB的大小為（）A．30° B．40° C．45° D．50°7．如圖,過(guò)點(diǎn)、，圓心在等腰的內(nèi)部,，，，則的半徑為（）A． B． C． D．8．把同一副撲克牌中的紅桃2、紅桃3、紅桃4三張牌背面朝上放在桌子上，從中隨機(jī)抽取兩張，牌面的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為（）A． B． C． D．9．如圖，AB、CD相交于點(diǎn)O，AD∥CB，若AO=2，BO=3，CD=6，則CO等于（）A．2.4 B．3 C．3.6 D．410．已知點(diǎn)是一次函數(shù)的圖像和反比例函數(shù)的圖象的交點(diǎn)，當(dāng)一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值時(shí)，的取值范圍是（）A．或 B．C．或 D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，設(shè)點(diǎn)P在函數(shù)y=的圖象上，PC⊥x軸于點(diǎn)C，交函數(shù)y=的圖象于點(diǎn)A，PD⊥y軸于點(diǎn)D，交函數(shù)y=的圖象于點(diǎn)B，則四邊形PAOB的面積為_(kāi)____．12．已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，﹣3），則此函數(shù)的關(guān)系式是________．13．如圖，雙曲線與⊙O在第一象限內(nèi)交于P、Q兩點(diǎn)，分別過(guò)P、Q兩點(diǎn)向x軸和y軸作垂線，已知點(diǎn)P坐標(biāo)為(1，3)，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_____．14．若，則＝____．15．如圖，分別以正三角形的3個(gè)頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，三段弧圍成的圖形稱為萊洛三角形．若正三角形邊長(zhǎng)為6cm，則該萊洛三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)____cm．16．如圖，扇形OAB，∠AOB=90，⊙P與OA、OB分別相切于點(diǎn)F、E，并且與弧AB切于點(diǎn)C，則扇形OAB的面積與⊙P的面積比是．17．在Rt△ABC中，若∠C=90°，cosA=，則sinA=________．18．“國(guó)慶節(jié)”和“中秋節(jié)”雙節(jié)期間，某微信群規(guī)定，群內(nèi)的每個(gè)人都要發(fā)一個(gè)紅包，并保證群內(nèi)其他人都能搶到且自己不能搶自己發(fā)的紅包，若此次搶紅包活動(dòng)，群內(nèi)所有人共收到156個(gè)紅包，則該群一共有_____人．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，已知菱形ABCD兩條對(duì)角線BD與AC的長(zhǎng)之比為3：4，周長(zhǎng)為40cm，求菱形的高及面積．20．（6分）電影《我和我的祖國(guó)》在國(guó)慶檔熱播，預(yù)售票房成功破兩億，堪稱熱度最高的愛(ài)國(guó)電影，周老師打算從非?？释^影的5名學(xué)生會(huì)干部（兩男三女）中，抽取兩人分別贈(zèng)送一張的嘉賓觀影卷，問(wèn)抽到一男一女的概率是多少？（請(qǐng)你用樹(shù)狀圖或者列表法分析）21．（6分）如圖，已知拋物線與y軸交于點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．求這條拋物線的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到拋物線的什么位置時(shí)，使得，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿線段AB上方的拋物線向終點(diǎn)B移動(dòng)，在移動(dòng)中，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度變動(dòng)；與此同時(shí)點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AO向終點(diǎn)O移動(dòng)，點(diǎn)P，M移動(dòng)到各自終點(diǎn)時(shí)停止當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)t秒時(shí)，求四邊形PAMB的面積S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并求t為何值時(shí)，S有最大值，最大值是多少？22．（8分）如圖，在△ABC中，AB=AC=10，∠B=30°，O是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作直線AC的垂線，垂足為E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）設(shè)OB=x，求∠ODE的內(nèi)部與△ABC重合部分的面積y的最大值．23．（8分）如圖，點(diǎn)是二次函數(shù)圖像上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)在軸上.（1）以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作.①直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與軸平行，判斷與直線的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.②若與軸相切，求出點(diǎn)坐標(biāo)；（2）、、是這條拋物線上的三點(diǎn)，若線段、、的長(zhǎng)滿足，則稱是、的和諧點(diǎn)，記做.已知、的橫坐標(biāo)分別是，，直接寫出的坐標(biāo)_______.24．（8分）永農(nóng)化工廠以每噸800元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批化工原料，加工成化工產(chǎn)品進(jìn)行銷售，已知每1噸化工原料可以加工成化工產(chǎn)品0.8噸，該廠預(yù)計(jì)銷售化工產(chǎn)品不超過(guò)50噸時(shí)每噸售價(jià)為1600元，超過(guò)50噸時(shí)，每超過(guò)1噸產(chǎn)品，銷售所有的化工產(chǎn)品每噸價(jià)格均會(huì)降低4元，設(shè)該化工廠生產(chǎn)并銷售了x噸化工產(chǎn)品．（1）用x的代數(shù)式表示該廠購(gòu)進(jìn)化工原料噸；（2）當(dāng)x＞50時(shí)，設(shè)該廠銷售完化工產(chǎn)品的總利潤(rùn)為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（3）如果要求總利潤(rùn)不低于38400元，那么該廠購(gòu)進(jìn)化工原料的噸數(shù)應(yīng)該控制在什么范圍？25．（10分）一個(gè)四位數(shù)，記千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和為，十位數(shù)字與百位數(shù)字之和為，如果，那么稱這個(gè)四位數(shù)為“對(duì)稱數(shù)”最小的“對(duì)稱數(shù)”為；四位數(shù)與之和為最大的“對(duì)稱數(shù)”，則的值為；一個(gè)四位的“對(duì)稱數(shù)”，它的百位數(shù)字是千位數(shù)字的倍，個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和為，且千位數(shù)字使得不等式組恰有個(gè)整數(shù)解，求出所有滿足條件的“對(duì)稱數(shù)”的值.26．（10分）如圖，斜坡的坡度是1：2.2（坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為坡度），這個(gè)斜坡的水平寬度是22米，在坡頂處的同一水平面上（）有一座古塔．在坡底處看塔頂?shù)难鼋鞘?5°，在坡頂處看塔頂?shù)难鼋鞘?0°，求塔高的長(zhǎng)．（結(jié)果保留根號(hào)）

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【分析】利用作差法求出，再結(jié)合選項(xiàng)中的條件，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解．【詳解】解：由得,∴,,,∵,∴,選項(xiàng)A,當(dāng)時(shí)，，，A錯(cuò)誤.選項(xiàng)B,當(dāng)時(shí)，，，B正確.選項(xiàng)C,D無(wú)法確定的正負(fù)，所以不能確定當(dāng)時(shí)，函數(shù)值的y1與y2的大小關(guān)系，故C,D錯(cuò)誤.∴選B.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是利用作差法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答．2、A【詳解】解：∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE；又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，∴AB=BE=6，∵BG⊥AE，垂足為G，∴AE=2AG．在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6，BG=，∴AG==2，∴AE=2AG=4；∴S△ABE=AE?BG=．∵BE=6，BC=AD=9，∴CE=BC﹣BE=9﹣6=3，∴BE：CE=6：3=2：1，∵AB∥FC，∴△ABE∽△FCE，∴S△ABE：S△CEF=（BE：CE）2=4：1，則S△CEF=S△ABE=．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查1．相似三角形的判定與性質(zhì)；2．平行四邊形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，掌握相關(guān)性質(zhì)定理正確推理論證是解題關(guān)鍵．3、D【分析】隨機(jī)事件A的概率事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．【詳解】解：每分鐘紅燈亮30秒，綠燈亮25秒，黃燈亮5秒，當(dāng)小明到達(dá)該路口時(shí)，遇到綠燈的概率，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了概率，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．4、A【分析】根據(jù)圖形找到對(duì)邊和斜邊即可解題.【詳解】解：由網(wǎng)格紙可知,故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,屬于簡(jiǎn)單題,熟悉三角函數(shù)的概念是解題關(guān)鍵.5、D【分析】由主視圖和左視圖可得此幾何體為錐體，根據(jù)俯視圖是圓及圓心可判斷出此幾何體為圓錐．【詳解】解：主視圖和左視圖都是三角形，此幾何體為椎體，俯視圖是一個(gè)圓，此幾何體為圓錐．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三視圖判斷幾何體，由主視圖和左視圖可得幾何體是柱體，錐體還是球體，由俯視圖可確定幾何體的具體形狀．6、B【解析】試題解析：在中，故選B.7、A【分析】連接AO并延長(zhǎng)，交BC于D，連接OB，根據(jù)垂徑定理得到BD=BC=3，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AD=BD=3，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：連接AO并延長(zhǎng)，交BC于D，連接OB，∵AB=AC，∴AD⊥BC，∴BD=BC=3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AD=BD=3，∴OD=2，∴OB=，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理等知識(shí)，掌握垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧是解題的關(guān)鍵．8、D【分析】首先根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，然后由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果與從中隨機(jī)抽取兩張，牌面的數(shù)字之和為奇數(shù)的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】解：根據(jù)題意畫(huà)樹(shù)狀圖如下：∵共有6種等可能的結(jié)果，從中隨機(jī)抽取兩張，牌面的數(shù)字之和為奇數(shù)的有4種情況，∴從中隨機(jī)抽取兩張，牌面的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為：；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率．列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．9、C【分析】由平行線分線段成比例定理，得到；利用AO、BO、CD的長(zhǎng)度，求出CO的長(zhǎng)度，即可解決問(wèn)題．【詳解】如圖，∵AD∥CB，

∴；

∵AO=2，BO=3，CD=6，

∴，解得：CO=3.6，

故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理及其應(yīng)用問(wèn)題．掌握平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例是解題的關(guān)鍵．．10、C【分析】把代入一次函數(shù)和反比例函數(shù)分別求出k和m,再將這兩個(gè)函數(shù)解析式聯(lián)立組成方程組，解出方程組再結(jié)合圖象進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：依題意，得：2k+1=3和解得，k=1，m=6∴解得，或，函數(shù)圖象如圖所示：∴當(dāng)一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值時(shí)，的取值范圍是或.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，利用圖象確定不等式的取值范圍，準(zhǔn)確畫(huà)出圖形，利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.二、填空題(每小題3分,共24分)11、4【解析】＝6－1－1＝4【點(diǎn)睛】本題考察了反比例函數(shù)的幾何意義及割補(bǔ)法求圖形的面積．通過(guò)觀察可知，所求四邊形的面積等于矩形OCPD的面積減去△OBD和△OCA的面積，而矩形OCPD的面積可通過(guò)的比例系數(shù)求得；△OBD和△OCA的面積可通過(guò)的比例系數(shù)求得，從而用矩形OCPD的面積減去△OBD和△OCA的面積即可求得答案．12、【解析】試題分析：利用待定系數(shù)法，直接把已知點(diǎn)代入函數(shù)的解析式即可求得k=-6，所以函數(shù)的解析式為：.13、1．【詳解】解：∵⊙O在第一象限關(guān)于y=x對(duì)稱，也關(guān)于y=x對(duì)稱，P點(diǎn)坐標(biāo)是（1，3），∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，1），∴S陰影=1×3+1×3－2×1×1=1．故答案為：114、【解析】根據(jù)比例的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】∵，∴設(shè)a=3k，b=5k，∴＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握是解題的關(guān)鍵.15、6π【分析】直接利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.【詳解】利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算：該萊洛三角形的周長(zhǎng)（cm）故答案為6π【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)公式，熟練掌握弧長(zhǎng)公式是解題關(guān)鍵.16、【詳解】依題意連接OC則P在OC上，連接PF,PE則PF⊥OA,PE⊥OB,由切線長(zhǎng)定理可知四邊形OEPF為正方形，且其邊長(zhǎng)即⊙P的半徑（設(shè)⊙P的半徑為r）∴OP=又OC=OP+PC=+r=(1+)r即扇形OAB的(1+)r,∴17、【分析】根據(jù)同一銳角的正弦與余弦的平方和是1，即可求解．【詳解】解：，即，，或（舍去），．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了同角的三角函數(shù)，關(guān)鍵是掌握同一銳角的正弦與余弦之間的關(guān)系：對(duì)任一銳角，都有．18、1【分析】設(shè)該群的人數(shù)是x人，則每個(gè)人要發(fā)其他（x﹣1）張紅包，則共有x（x﹣1）張紅包，等于156個(gè)，由此可列方程．【詳解】設(shè)該群共有x人，依題意有：x（x﹣1）=156解得：x=﹣12（舍去）或x=1．故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，正確找準(zhǔn)等量關(guān)系列方程即可，比較簡(jiǎn)單．三、解答題(共66分)19、菱形的高是9.6cm，面積是96cm1．【解析】根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分，利用勾股定理求出AC與BD的長(zhǎng)，再由菱形面積公式求出所求即可．【詳解】解：∵BD：AC＝3：4，∴設(shè)BD＝3x，AC＝4x，∴BO＝，AO＝1x，又∵AB1＝BO1+AO1，∴AB＝x，∵菱形的周長(zhǎng)是40cm，∴AB＝40÷4＝10cm，即x＝10，∴x＝4，∴BD＝11cm，AC＝16cm，∴S?ABCD＝BD?AC＝×11×16＝96（cm1），又∵S?ABCD＝AB?h，∴h＝＝9.6（cm），答：菱形的高是9.6cm，面積是96cm1．【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．20、【分析】列舉出所有等情況和抽到一男一女的情況數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得出答案．【詳解】設(shè)三個(gè)女生記為，，，兩個(gè)男生記為，．列表如下：有且只有以上20種情形，它們發(fā)生的機(jī)會(huì)均等，抽到一男一女有12種情形，∴(一男一女)=【點(diǎn)睛】本題考查了用列表法或樹(shù)狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．21、（1）拋物線的表達(dá)式為，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）P點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）當(dāng)時(shí)，S有最大值，最大值為1．

【解析】分析：（1）由A、B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的表達(dá)式，化為頂點(diǎn)式可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過(guò)P作PC⊥y軸于點(diǎn)C，由條件可求得∠PAC=60°，可設(shè)AC=m，在Rt△PAC中，可表示出PC的長(zhǎng)，從而可用m表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得m的值，即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）用t可表示出P、M的坐標(biāo)，過(guò)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，則可表示出F的坐標(biāo)，從而可用t表示出PF的長(zhǎng)，從而可表示出△PAB的面積，利用S四邊形PAMB=S△PAB+S△AMB，可得到S關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值．詳解：根據(jù)題意，把，代入拋物線解析式可得，解得，拋物線的表達(dá)式為，，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；如圖1，過(guò)P作軸于點(diǎn)C，，，當(dāng)時(shí)，，，即，設(shè)，則，，把P點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式可得，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，與點(diǎn)A重合，不合題意，舍去，所求的P點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)t秒時(shí)，則，，如圖2，作軸于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，則，，，點(diǎn)A到PE的距離竽OE，點(diǎn)B到PE的距離等于BE，，且，，當(dāng)時(shí)，S有最大值，最大值為1．

點(diǎn)睛：本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積及方程思想等知識(shí)．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）中構(gòu)造Rt△PAC是解題的關(guān)鍵，在（3）中用t表示出P、M的坐標(biāo)，表示出PF的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．22、(1)證明見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得∠C=∠B，∠ODB=∠C，從而∠ODB=∠C，根據(jù)同位角相等兩直線平行可證OD∥AC，進(jìn)而可證明結(jié)論；（2）①當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)DE與AB交于點(diǎn)F，圍成的圖形為△ODF;②當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，圍成的圖形為梯形AODE.根據(jù)三角形和梯形的面積公式列出函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】證明：（1）連接OD，∵AB=AC，∴∠C=∠B．∵OB=OD，∴∠ODB=∠B∴∠ODB=∠C∴OD∥AC．∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線．（2）①當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)DE與AB交于點(diǎn)F，圍成的圖形為△ODF．∵OD=OB=x，∠B=30°，∴∠FOD=60°，∵∠ODE=90°，∴DF=x，∴S△ODF=x·x=，(0＜x≤)當(dāng)x=時(shí)，S△ODF最大，最大值為；②當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，圍成的圖形為梯形AODE．∵AB=AC=10，∠B=30°，∴BC=10，作OH⊥BC，∵OD=OB=x，∠B=30°，∴BD=2BH=x，∴CD=10－x，∵∠C=30°，∠DEC=90°，∴DE=(10－x)，CE=(10－x)=15－x，∴AE=x－5，∴S梯形AODE=(x－5+x)·(10－x)=(－+12x－20)(＜x＜10)當(dāng)x=6時(shí)，S梯形AODE最大，最大值為10；綜上所述，當(dāng)x=6時(shí)，重合部分的面積最大，最大值為10．點(diǎn)睛：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，切線的判定，解直角三角形，三角形和梯形的面積公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，知識(shí)點(diǎn)比較多，難度比較大.熟練掌握切線的判定方法及二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.23、（1）①與直線相切.理由見(jiàn)解析；②或；（2）或.【分析】（1）①作直線的垂線，利用兩點(diǎn)之間的距離公式及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征證明線段相等即可；②利用兩點(diǎn)之間的距離公式及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征構(gòu)建方程即可求得答案.（2）利用兩點(diǎn)之間的距離公式分別求得各線段的長(zhǎng)，根據(jù)“和諧點(diǎn)”的定義及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征構(gòu)建方程即可求得答案.【詳解】（1）①與直線相切.如圖，過(guò)作直線，垂足為，設(shè).則，，即：與直線相切.②當(dāng)與軸相切時(shí)∴，，即：代入化簡(jiǎn)得：或.解得：，.或.（2）已知、的橫坐標(biāo)分別是，，代入二次函數(shù)的解析式得：，，設(shè)，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∴，，，依題意得：，即，，即：，∴(不合題意，舍去)或，把，代入得：直接開(kāi)平方解得：，，∴的坐標(biāo)為：或【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)之間的距離公式二次函數(shù)的性質(zhì)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征構(gòu)建方程是解題的關(guān)鍵.24、（1）x；（2）y＝﹣4x2+800x；（3）如果要求總利潤(rùn)不低于38400元，那么該廠購(gòu)進(jìn)化工原料的噸數(shù)應(yīng)該控制在100噸～150噸