理論力學(xué)課件：剛體的基本運(yùn)動

剛體的基本運(yùn)動6.1剛體的平行移動6.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動6.3轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點的速度和加速度6.4定軸轉(zhuǎn)動剛體的傳動問題6.5剛體的角速度和角加速的矢量表示點的速度和加速度的矢積表示思考題

6.1剛體的平行移動

工程中某些物體的運(yùn)動,例如,圖6-1所示的沿直線軌道行駛車輛的車廂運(yùn)動、擺式選礦篩的運(yùn)動等,都有一個共同的特點,即如果在物體內(nèi)任取一直線段,在運(yùn)動過程中這條直線段始終與它的最初位置平行。剛體的這種運(yùn)動稱為平行移動,簡稱平動或平移。剛體平動時,若剛體內(nèi)任一點的軌跡是直線,則稱為直線平動;若任一點的軌跡是曲線,則稱為曲線平動。圖6-1(a)所示的車廂做直線平動,而圖6-1(b)所示的篩體做曲線平動。圖6-1

設(shè)剛體做平動。如圖6-2所示,在剛體內(nèi)任選兩點A和B,令點A的矢徑為rA,點B的矢徑為rB,則兩條矢端曲線就是兩點的軌跡。由圖可知圖6-2

式(6-1)兩邊對時間t求導(dǎo)數(shù),因為常矢量rAB的導(dǎo)數(shù)等于零,于是有

即

6.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動

工程中常見的齒輪、機(jī)床的主軸、電機(jī)的轉(zhuǎn)子等運(yùn)動都有這樣的一個共同特點,即它們運(yùn)動時,在其體內(nèi)(或體外)有一條直線始終保持不動,這種運(yùn)動稱為剛體的定軸轉(zhuǎn)動,這條固定不動的直線稱為轉(zhuǎn)軸。顯然,剛體內(nèi)不在轉(zhuǎn)軸上的各點都在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)做圓周運(yùn)動。

下面研究定軸轉(zhuǎn)動剛體的運(yùn)動規(guī)律。設(shè)有一剛體繞z軸轉(zhuǎn)動,要確定轉(zhuǎn)動剛體在任一瞬時的位置,過z軸作固定的半平面Ⅰ、半平面Ⅱ固結(jié)在轉(zhuǎn)動剛體上,如圖6-3所示。圖6-3

【例6-1】已知汽輪機(jī)在啟動時,主動軸的轉(zhuǎn)動方程為φ=πt3,式中φ以rad計,t以s計。求t=3s時的角速度和角加速度。

解因轉(zhuǎn)動方程已知,將它對時間t求導(dǎo)即可求出角速度和角加速度,即

將t=3s代入,得

【例6-2】機(jī)器啟動時,飛輪做勻加速轉(zhuǎn)動,轉(zhuǎn)過20s后,轉(zhuǎn)速從0增至150r/min。求飛輪的角加速度及它在20s內(nèi)轉(zhuǎn)過多少轉(zhuǎn)?

6.3轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點的速度和加速度

當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時,其上任一點M在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)做圓周運(yùn)動,圓心在轉(zhuǎn)軸上,轉(zhuǎn)動半徑R為點M到轉(zhuǎn)軸的距離。由于運(yùn)動軌跡已知,可采用自然法來研究M點的運(yùn)動。取固定平面Ⅰ與該圓周的交點O'為弧坐標(biāo)的原點,以φ角增加方向為正,如圖6-4所示。圖6-4

在任一瞬時t,點M的位置用弧坐標(biāo)來確定

式中,R為點M到軸心O的距離。

點M的速度大小為

即剛體轉(zhuǎn)動時,其上任一點的速度大小等于剛體的角速度與該點到轉(zhuǎn)軸線的距離的乘積,速度的方向沿該點圓周的

切線方向并指向轉(zhuǎn)動的一方。

圖6-5

當(dāng)ω與α轉(zhuǎn)向相同時,剛體做加速轉(zhuǎn)動,點的切向加速度

at

與速度v的指向相同;當(dāng)ω與α轉(zhuǎn)向相反時,剛體做減速轉(zhuǎn)

動,at

與v的指向相反,如圖6-6所示。圖6-6

點M全加速度a的大小為

其方向如圖6-6所示。

由于剛體轉(zhuǎn)動的α、ω的瞬時值為一定值,由式(6-15)可知任一瞬時轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)點的加速度的大小按線性規(guī)律分布,即點的加速度的大小與該點到轉(zhuǎn)軸的距離成正比,如圖6-7所示。圖6-7

【例6-3】一半徑R=0.2m的圓輪繞定軸O沿逆時針方向轉(zhuǎn)動,如圖6-8所示。輪的轉(zhuǎn)動方程φ=-t2+4t(φ以rad計,t以s計)。該輪緣上繞有一柔軟的繩索(伸長量忽略不計),繩索端部掛一重物A。試求當(dāng)t=1s時,輪緣上任一點M和重物A的速度與加速度。圖6-8

1.齒輪傳動

齒輪作為傳動部件在機(jī)械中常被使用。例如,使用齒輪將電動機(jī)的轉(zhuǎn)動傳到機(jī)床的主軸,齒輪傳動帶動表針的轉(zhuǎn)動等。

現(xiàn)以一對嚙合的圓柱齒輪為例來研究齒輪的傳動問題。圓柱齒輪傳動分為外嚙合(見圖6-9(a))和內(nèi)嚙合(見圖6-9(b))兩種。

6.4定軸轉(zhuǎn)動剛體的傳動問題圖6-9

2.皮帶輪傳動

在工程中,常見到電動機(jī)通過皮帶使變速箱的軸轉(zhuǎn)動的例子,如圖6-10所示。設(shè)主動輪、從動輪的半徑分別為r1、r2,角速度分別為ω1、ω2。

在傳動過程中,如不考慮膠帶的厚度,設(shè)皮帶不可伸長且無相對滑動,則有下列關(guān)系式:

于是皮帶輪的傳動比公式為

即兩輪的角速度與其半徑成反比。圖6-10

【例6-4】卷揚(yáng)機(jī)傳動機(jī)構(gòu)如圖6-11所示。已知電機(jī)轉(zhuǎn)速n=985r/min,各齒輪齒數(shù)分別為z1=17,z2=80,z3=19,z4=81。求齒輪4的角速度。圖6-11

解電動機(jī)的角速度為

6.5剛體的角速度和角加速的矢量表示

點的速度和加速度的矢積表示

繞定軸轉(zhuǎn)動剛體及剛體內(nèi)各點的運(yùn)動還可用矢量分析的方法來研究。一般情況下,描述剛體定軸轉(zhuǎn)動時,常用轉(zhuǎn)動方程φ、轉(zhuǎn)動角速度ω及角加速度α來說明。在矢量分析方法中,ω、α可用向量來表示。圖6-12

于是有結(jié)論:繞定軸轉(zhuǎn)動剛體上任一點的速度,可用剛體的角速度矢量與該點矢徑的矢量積來表示。圖6-13

由右手螺旋法則得知,其方向與法向加速度an的方向相同,如圖6-13(c)所示。即

于是有結(jié)論:轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任一點的加速度等于其切向加速度與法向加速度的矢量和,其中切向加速度等于剛體的角加速度矢與該點矢徑的矢量積,而法向加速度等于剛體的角速度矢與該點的速度矢的矢量積。圖6-14

解(1)由于剛體的運(yùn)動,固結(jié)在其上的動坐標(biāo)系的單位矢量i'、j'和k'的大小不變,但其方向在變化。由式(6-21)有其端點的速度為

以上三式也稱為泊松公式,圖6-14(a)中只畫出了矢量k'端點的速度vk'。

思考題

6-1點做直線運(yùn)動與剛體的平動有無區(qū)別?6-2如果剛體上每一點軌跡都是圓,則剛體一定做定軸轉(zhuǎn)動。這句話對嗎?6-3以ω表示定軸轉(zhuǎn)動剛體的角速度,則它在t秒內(nèi)的轉(zhuǎn)角為φ=ωt。這一公式是否正確?在什么條件下才是正確的?6-4有人說:“剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時,角加速度為正表示加速轉(zhuǎn)動,角加速度為負(fù)表示減速轉(zhuǎn)動?！睂?為什么?

6-5飛輪做勻速轉(zhuǎn)動,若其直徑增大一倍,輪緣上點的速度和加速度是否都增大一倍?若飛輪角速度增大一倍,輪緣上點的速度和加速度是否也增大一倍?

6-6-如思考題6-6圖所示,繞在鼓輪上的繩子的一端系一重物M,當(dāng)重物下降時,問繩上的兩點A和B與輪緣上對應(yīng)的兩點C和D的速度和加速度是否相同?思考題6-6圖

6-7如思考題6-7