高三復(fù)習(xí)反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)

高三復(fù)習(xí)反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)匯報(bào)時(shí)間：2024-01-22匯報(bào)人：XXX目錄反比例函數(shù)基本概念反比例函數(shù)圖像變換反比例函數(shù)性質(zhì)分析反比例函數(shù)與方程、不等式關(guān)系解題方法與技巧知識(shí)拓展與延伸反比例函數(shù)基本概念010102形如$y=frac{k}{x}$（$k$為常數(shù)，$kneq0$）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。反比例函數(shù)可以表示為$xy=k$或$y=kx^{-1}$。反比例函數(shù)定義表達(dá)式變形定義與表達(dá)式010203反比例函數(shù)的圖像是兩條關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的雙曲線。圖像形狀當(dāng)$x$趨近于正無(wú)窮或負(fù)無(wú)窮時(shí)，$y$趨近于0，因此$x$軸和$y$軸是反比例函數(shù)的漸近線。漸近線當(dāng)$k>0$時(shí)，雙曲線在第一象限和第三象限；當(dāng)$k<0$時(shí)，雙曲線在第二象限和第四象限。交點(diǎn)函數(shù)圖像特征反比例函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。對(duì)稱性在每個(gè)象限內(nèi)，隨著$x$的增大，$y$值逐漸減小，即反比例函數(shù)在每個(gè)象限內(nèi)是單調(diào)遞減的。單調(diào)性反比例函數(shù)的定義域?yàn)?xneq0$的所有實(shí)數(shù)，值域?yàn)?yneq0$的所有實(shí)數(shù)。值域與定義域反比例函數(shù)不具有周期性。周期性性質(zhì)總結(jié)反比例函數(shù)圖像變換02反比例函數(shù)圖像在平面直角坐標(biāo)系中的位置可以通過(guò)平移變換來(lái)改變。具體來(lái)說(shuō)，當(dāng)函數(shù)表達(dá)式為$y=frac{k}{x}+b$（$kneq0$，$b$為常數(shù)）時(shí)，圖像會(huì)沿著y軸上下平移$|b|$個(gè)單位。當(dāng)$b>0$時(shí)，圖像上移；當(dāng)$b<0$時(shí)，圖像下移。平移變換不會(huì)改變反比例函數(shù)的基本性質(zhì)，如漸近線、對(duì)稱性等。平移變換0102反比例函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。即，如果點(diǎn)$(x,y)$在反比例函數(shù)圖像上，那么點(diǎn)$(-x,-y)$也在圖像上。反比例函數(shù)圖像還關(guān)于直線$y=x$和$y=-x$對(duì)稱。這意味著，如果點(diǎn)$(x,y)$在反比例函數(shù)圖像上，那么點(diǎn)$(y,x)$和$(-y,-x)$也在圖像上。對(duì)稱變換0102伸縮變換伸縮變換會(huì)改變反比例函數(shù)圖像的形狀和大小，但不會(huì)影響其對(duì)稱性和漸近線等基本性質(zhì)。通過(guò)改變反比例函數(shù)表達(dá)式中的$k$值，可以實(shí)現(xiàn)圖像的伸縮變換。具體來(lái)說(shuō)，當(dāng)$k>1$時(shí)，圖像相對(duì)于原點(diǎn)進(jìn)行放大；當(dāng)$0<k<1$時(shí)，圖像相對(duì)于原點(diǎn)進(jìn)行縮小。反比例函數(shù)性質(zhì)分析03在各自象限內(nèi)，反比例函數(shù)圖像是單調(diào)的。具體來(lái)說(shuō)，在第一象限和第三象限內(nèi)，函數(shù)是單調(diào)遞減的；在第二象限和第四象限內(nèi)，函數(shù)是單調(diào)遞增的。反比例函數(shù)的單調(diào)性可以通過(guò)求導(dǎo)進(jìn)行證明。對(duì)于函數(shù)$f(x)=frac{k}{x}$（$k>0$），其導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=-frac{k}{x^2}$。可以看出，當(dāng)$x>0$時(shí)，$f'(x)<0$，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)$x<0$時(shí)，$f'(x)>0$，函數(shù)單調(diào)遞增。單調(diào)性奇偶性反比例函數(shù)是奇函數(shù)。即對(duì)于任意實(shí)數(shù)$x$，都有$f(-x)=-f(x)$。奇函數(shù)的性質(zhì)包括圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱、在原點(diǎn)處沒(méi)有定義等。反比例函數(shù)的圖像也符合這些性質(zhì)。反比例函數(shù)不是周期函數(shù)。即不存在一個(gè)正數(shù)$T$，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)$x$，都有$f(x+T)=f(x)$。雖然反比例函數(shù)不是周期函數(shù)，但在某些特定區(qū)間內(nèi)，其圖像可能會(huì)呈現(xiàn)出類似周期性的變化。例如，在$x>0$的區(qū)間內(nèi)，隨著$x$的增大，函數(shù)值逐漸減小并趨近于零；而在$x<0$的區(qū)間內(nèi)，隨著$x$的減小，函數(shù)值逐漸增大并趨近于零。這種變化可能會(huì)給人一種周期性的錯(cuò)覺(jué)，但實(shí)際上反比例函數(shù)并不是周期函數(shù)。周期性反比例函數(shù)與方程、不等式關(guān)系04與一元二次方程關(guān)系反比例函數(shù)的圖像與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即為一元二次方程的根。反比例函數(shù)與一元二次方程的根的關(guān)系當(dāng)反比例函數(shù)圖像在第一、三象限時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；當(dāng)反比例函數(shù)圖像在第二、四象限時(shí)，一元二次方程無(wú)實(shí)根。通過(guò)反比例函數(shù)圖像判斷一元二次方程的根的個(gè)數(shù)和位置反比例函數(shù)與不等式的解的關(guān)系通過(guò)反比例函數(shù)的圖像可以直觀地找到不等式的解集。利用反比例函數(shù)圖像解不等式根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合反比例函數(shù)的圖像，可以確定不等式的解集。與不等式關(guān)系通過(guò)反比例函數(shù)可以表示兩個(gè)量之間的反比關(guān)系，如面積一定時(shí)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬之間的關(guān)系可以用反比例函數(shù)表示。面積問(wèn)題在速度一定的情況下，時(shí)間和路程之間的關(guān)系也可以用反比例函數(shù)表示。通過(guò)反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可以解決速度、時(shí)間、路程之間的實(shí)際問(wèn)題。速度、時(shí)間、路程問(wèn)題反比例函數(shù)也可以用來(lái)描述一些經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，如成本、收益、價(jià)格等之間的反比關(guān)系。通過(guò)反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可以對(duì)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題進(jìn)行建模和分析。經(jīng)濟(jì)問(wèn)題實(shí)際應(yīng)用舉例解題方法與技巧0501待定系數(shù)法通過(guò)設(shè)定反比例函數(shù)中的未知系數(shù)，利用已知條件求解系數(shù)，從而確定函數(shù)表達(dá)式。02圖像法根據(jù)反比例函數(shù)的圖像特征（如雙曲線），結(jié)合題目給出的條件，通過(guò)圖像分析求解相關(guān)問(wèn)題。03方程法通過(guò)建立與反比例函數(shù)相關(guān)的方程（組），解方程（組）求得未知數(shù)，進(jìn)而解決問(wèn)題。求解反比例函數(shù)問(wèn)題常用方法01020304已知反比例函數(shù)$y=frac{k}{x}$的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)$(2,3)$，求$k$的值。例1將點(diǎn)$(2,3)$代入$y=frac{k}{x}$，得$3=frac{k}{2}$，解得$k=6$。解析已知反比例函數(shù)$y=frac{m}{x}$和一次函數(shù)$y=nx+b$的圖像交于點(diǎn)$A(-3,1)$和$B(1,-3)$，求這兩個(gè)函數(shù)的解析式。例2將點(diǎn)$A(-3,1)$和$B(1,-3)$分別代入兩個(gè)函數(shù)中，得到關(guān)于$m,n,b$的方程組，解得$m=-3,n=-1,b=-2$。因此，兩個(gè)函數(shù)的解析式分別為$y=-frac{3}{x}$和$y=-x-2$。解析典型例題解析混淆圖像特征反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，容易與正比例函數(shù)或其他函數(shù)的圖像混淆。在解題時(shí)，要仔細(xì)分析題目給出的條件，正確識(shí)別圖像特征。忽略定義域反比例函數(shù)的定義域是$xneq0$，在解題過(guò)程中需要注意這一點(diǎn)，避免將$x=0$代入函數(shù)中。計(jì)算錯(cuò)誤在求解反比例函數(shù)問(wèn)題時(shí)，涉及到方程求解、待定系數(shù)法等計(jì)算過(guò)程，容易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤。因此，在解題時(shí)要細(xì)心計(jì)算，確保結(jié)果的準(zhǔn)確性。易錯(cuò)點(diǎn)提示及避免方法知識(shí)拓展與延伸06復(fù)合反比例函數(shù)定義性質(zhì)一性質(zhì)二性質(zhì)三復(fù)合反比例函數(shù)及其性質(zhì)探討形如y=k/x+b（k≠0）的函數(shù)，稱為復(fù)合反比例函數(shù)。在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小。圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。當(dāng)k>0時(shí)，圖像位于一、三象限；當(dāng)k<0時(shí)，圖像位于二、四象限。與坐標(biāo)軸無(wú)交點(diǎn)，即圖像不會(huì)與x軸或y軸相交。在給定矩形面積的情況下，反比例函數(shù)可以描述矩形的一邊與另一邊之間的關(guān)系。面積問(wèn)題速度問(wèn)題電阻問(wèn)題當(dāng)物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其速度與時(shí)間成反比關(guān)系，可以用反比例函數(shù)來(lái)描述。在電路中，電阻與電流成反比關(guān)系，可以用反比例函數(shù)來(lái)表示。030201反比例函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用舉例

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