湖南省永州一中2024屆高二數(shù)學第二學期期末綜合測試試題含解析

湖南省永州一中2024屆高二數(shù)學第二學期期末綜合測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如果，則的解析式為（）A． B．C． D．2．已知函數(shù)f(x)=13x3-12A．(0,1) B．(3,+∞) C．(0,2) D．(1,+∞)3．已知平面向量，則（）A． B．3 C． D．54．已知函數(shù)和都是定義在上的偶函數(shù)，當時，，則（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，則關于的不等式解集為（）A． B． C． D．6．已知曲線在點處的切線的傾斜角為，則的值為（）A． B． C． D．7．歐拉公式(為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，它在復變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學中的天橋”，根據(jù)歐拉公式可知，表示的復數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．8．設是等差數(shù)列.下列結(jié)論中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則9．已知直線與雙曲線分別交于點，若兩點在軸上的射影恰好是雙曲線的兩個焦點，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．4 D．10．已知函數(shù)的圖象上，有且只有三個不同的點，它們關于直線的對稱點落在直線上，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．11．某物體的位移（米）與時間（秒）的關系為，則該物體在時的瞬時速度是（）A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒12．若全集U={1，2，3，4}且?UA={2，3}，則集合A的真子集共有（）A．3個 B．5個 C．7個 D．8個二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知命題，，則是_________________14．，，則__________.15．矩陣的逆矩陣為__________.16．已知曲線F（x，y）=0關于x軸、y軸和直線y=x均對稱，設集合S={（x，y）|F（x，y）=0，x∈Z，y∈Z}．下列命題：①若（1，2）∈S，則（-2，-1）∈S；②若（0，2）∈S，則S中至少有4個元素；③S中元素的個數(shù)一定為偶數(shù)；④若{（x，y）|y2=4x，x∈Z，y∈Z}?S，則{（x，y）|x2=-4y，x∈Z，y∈Z}?S．其中正確命題的序號為______．（寫出所有正確命題的序號）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數(shù)的最大值為.（1）求的值；（2）若正實數(shù)，滿足，求的最小值.18．（12分）的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．向量與平行．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面積．19．（12分）某中學為研究學生的身體素質(zhì)與課外體育鍛煉時間的關系，對該校200名高三學生平均每天課外體育鍛煉時間進行調(diào)查，如表：（平均每天鍛煉的時間單位：分鐘）平均每天鍛煉的時間/分鐘總?cè)藬?shù)203644504010將學生日均課外體育鍛煉時間在的學生評價為“課外體育達標”.（Ⅰ）請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表；課外體育不達標課外體育達標合計男女20110合計（Ⅱ）通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“課外體育達標”與性別有關？參考公式，其中.0.250.150.100.050.0250.0100.0050.0011.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）集合A={x|-3≤x＜5}，B={x|-2＜x＜7}（1）求A∩B,A∪B（2）（?RA）∩B．21．（12分）數(shù)列滿足，等比數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.22．（10分）已知命題：.（Ⅰ）若為真命題，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）設命題：；若“”為真命題且“”為假命題，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據(jù)配湊法，即可求得的解析式，注意定義域的范圍即可．【題目詳解】因為，即令，則，即所以選C【題目點撥】本題考查了配湊法在求函數(shù)解析式中的應用，注意定義域的范圍，屬于基礎題．2、B【解題分析】

由三次函數(shù)的性質(zhì)，求出導函數(shù)，確定函數(shù)的極值，最后由極大值大于0，極小值小于0可得a的范圍．【題目詳解】f'(x)=x易知x<-a或x>1時f'(x)>0，當-a<x<1時，f'(x)<0，∴f(x)極大值=f(-a)=∴16a3故選B．【題目點撥】本題考查函數(shù)的零點，考查用導數(shù)研究函數(shù)的極值．求極值時要注意在極值點的兩側(cè)，f'(x)的符號要相反．3、A【解題分析】

先由的坐標，得到的坐標，進而可得向量的模.【題目詳解】因為，所以，因此.故選A【題目點撥】本題主要考查向量的模，熟記向量的坐標表示即可，屬于?？碱}型.4、B【解題分析】

由和都是定義在上的偶函數(shù)，可推導出周期為4，而，即可計算.【題目詳解】因為都是定義在上的偶函數(shù)，所以，即，又為偶函數(shù)，所以，所以函數(shù)周期，所以，故選B.【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，周期性，利用周期求函數(shù)值，屬于中檔題.5、A【解題分析】

由題可得為偶函數(shù)，利用導數(shù)可得的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式求解即可。【題目詳解】函數(shù)的定義域為，，所以在上為偶函數(shù)；當時，，則，由于當時，，，則在上恒大于零，即在單調(diào)遞增；由在上為偶函數(shù)，則在單調(diào)遞減；故不等式等價于，解得;;所以不等式解集為；故答案選A【題目點撥】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解函數(shù)不等式，考查學生轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題。6、D【解題分析】

利用導數(shù)求出，由可求出的值．【題目詳解】，，由題意可得，因此，，故選D．【題目點撥】本題考查導數(shù)的幾何意義，考查導數(shù)的運算、直線的傾斜角和斜率之間的關系，意在考查函數(shù)的切線斜率與導數(shù)之間的關系，考查計算能力，屬于中等題．7、C【解題分析】

先由題意得到，進而可求出結(jié)果.【題目詳解】由題意可得：，所以虛部為.故選C【題目點撥】本題主要考查復數(shù)的應用，熟記復數(shù)的概念即可，屬于常考題型.8、C【解題分析】

先分析四個答案，A舉一反例，而，A錯誤，B舉同樣反例，，而，B錯誤，D選項，故D錯，下面針對C進行研究，是等差數(shù)列，若，則設公差為，則，數(shù)列各項均為正，由于，則，故選C.考點：本題考點為等差數(shù)列及作差比較法，以等差數(shù)列為載體，考查不等關系問題，重點是對知識本質(zhì)的考查.9、A【解題分析】

由直線與雙曲線聯(lián)立，可知x=為其根，整理可得.【題目詳解】解：由．，兩點在軸上的射影恰好是雙曲線的兩個焦點，．．故選：．【題目點撥】本題考查雙曲線的離心率，雙曲線的有關性質(zhì)和雙曲線定義的應用，屬于中檔題．10、D【解題分析】

可先求關于的對稱直線，聯(lián)立對稱直線和可得關于x的函數(shù)方程，采用分離參數(shù)法以及數(shù)形結(jié)合的方式進行求解即可【題目詳解】設直線關于的對稱函數(shù)為，則，因為與有三個不同交點，聯(lián)立，可得，當時顯然為一解，當時，有，畫出的圖像，可知滿足與有兩交點需滿足綜上所述，實數(shù)的取值范圍是答案選D【題目點撥】本題考察了直線關于對稱直線的求法，函數(shù)零點中分離參數(shù)、數(shù)形結(jié)合、分類討論等基本知識，對數(shù)學思維轉(zhuǎn)化能力要求較高，特別是分離參數(shù)與數(shù)形結(jié)合求零點問題，是考察重點11、B【解題分析】

根據(jù)導數(shù)的物理意義，求導后代入即可.【題目詳解】由得：當時，即該物體在時的瞬時速度為：米/秒本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查導數(shù)的物理意義，屬于基礎題.12、A【解題分析】

由題意首先確定集合A，然后由子集個數(shù)公式求解其真子集的個數(shù)即可.【題目詳解】由題意可得：，則集合A的真子集共有個.本題選擇A選項.【題目點撥】本題主要考查補集的定義，子集個數(shù)公式及其應用等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、，【解題分析】

根據(jù)的否定為寫結(jié)果.【題目詳解】因為的否定為，所以是，.【題目點撥】(1)對全稱(存在性)命題進行否定的兩步操作：①找到命題所含的量詞，沒有量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再進行否定；②對原命題的結(jié)論進行否定.的否定為，的否定為.14、2【解題分析】分析：由，可得，直接利用對數(shù)運算法則求解即可得，計算過程注意避免計算錯誤.詳解：由，可得，則，故答案為.點睛：本題主要考查指數(shù)與對數(shù)的互化以及對數(shù)的運算法則，意在考查對基本概念與基本運算掌握的熟練程度.15、【解題分析】

通過逆矩陣的定義構(gòu)建方程組即可得到答案.【題目詳解】由逆矩陣的定義知：,設，由題意可得：，即解得，因此.【題目點撥】本題主要考查逆矩陣的相關計算，難度不大.16、①②④【解題分析】

結(jié)合曲線F（x，y）=0關于x軸、y軸和直線y=x均對稱，利用對稱性分別進行判斷即可．【題目詳解】①若（1，2）∈S，則（1，2）關于y=x對稱的點（2，1）∈S，關于x軸對稱的點（2，-1）∈S，關于y軸對稱的點（-2，-1）∈S；故①正確，②若（0，2）∈S，關于x軸對稱的點（0，-2）∈S，關于y=x對稱的點（2，0）∈S，（-2，0）∈S，此時S中至少有4個元素；故②正確，③若（0，0）∈S，則（0，0）關于x軸，y軸，y=x對稱的點是自身，此時S中元素的個數(shù)為奇數(shù)個，故③錯誤；④若{（x，y）|y2=4x，x∈Z，y∈Z}?S，則關于y對稱的集合為{（x，y）|y2=-4x，x∈Z，y∈Z}?S，從而{（x，y）|y2=-4x，x∈Z，y∈Z}?S關于y=x對稱的集合{（x，y）|x2=-4y，x∈Z，y∈Z}?S，故④正確，故答案為：①②④【題目點撥】本題主要考查命題的真假判斷，結(jié)合函數(shù)圖象的對稱性分別進行驗證是解決本題的關鍵，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)m＝1(2)【解題分析】

試題分析：（1）零點分區(qū)間去掉絕對值，得到分段函數(shù)的表達式，根據(jù)圖像即可得到函數(shù)最值；（2）將要求的式子兩邊乘以(b＋1)＋(a＋1)，再利用均值不等式求解即可.解析：（1）f(x)＝|x＋1|－|x|＝由f(x)的單調(diào)性可知，當x≥1時，f(x)有最大值1．所以m＝1．（2）由（Ⅰ）可知，a＋b＝1，＋＝(＋)[(b＋1)＋(a＋1)]＝[a2＋b2＋＋]≥(a2＋b2＋2)＝(a＋b)2＝．當且僅當a＝b＝時取等號．即＋的最小值為．18、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解題分析】

試題分析：（1）根據(jù)平面向量，列出方程，在利用正弦定理求出的值，即可求解角的大??；（2）由余弦定理，結(jié)合基本不等式求出的最大值，即得的面積的最大值.試題解析：（1）因為向量與平行，所以，由正弦定理得，又，從而tanA＝，由于0<A<π，所以A＝.（2）由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝，b＝2，A＝，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，因為c>0，所以c＝3.故△ABC的面積為bcsinA＝.考點：平面向量的共線應用；正弦定理與余弦定理.19、(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下不能判斷“課外體育達標”與性別有關.【解題分析】【試題分析】（1）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)可填寫好表格.（2）通過公式計算，所以在犯錯誤的概率不超過的前提下不能判斷“課外體育達標”與性別有關.【試題解析】(1)課外體育不達標課外體育達標合計男603090女9020110合計15050200(2)所以在犯錯誤的概率不超過的前提下不能判斷“課外體育達標”與性別有關.20、（1）A∪B={x|-3≤x＜7}；（2）（?RA）∩B={x|5≤x＜7}【解題分析】試題分析：利用數(shù)軸進行集合間的交并補運算.試題解析：（1）∵A={x|-3≤x＜5}，B={x|-2＜x＜7}，∴A∪B={x|-3≤x＜7}；（2）∵A={x|-3≤x＜5}，B={x|-2＜x＜7}，∴?RA={x|x＜-3或x≥5}則（?RA）∩B={x|5≤x＜7}點睛：求集合的交、并、補時，一般先化簡集合，再由交、并、補的定義求解．在進行集合的運算時要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化．一般地，集合元素離散時用Venn圖表示；集合元素連續(xù)時用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時要注意端點值的取舍．21、（1）,；（2）.【解題分析】分析：（1）由已知可得數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求得；再求出和，進而求出公比，代入等比數(shù)列的通項公式，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）利用錯位相減法即可求出數(shù)列的前項和.詳解：解：（1），所以數(shù)列為等差數(shù)列，則；，所以，則.（2），則兩式相減得整理得.點睛：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義與通項公式，考查錯位相減法求數(shù)列前項和，考查學生運算求解能力.錯位相減法是必須掌握的求和方法之一：若，其中是公差為d的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列.具體運算步驟如下：1、寫出新數(shù)列的和.……（1）2、等式左右同時乘以等比數(shù)列部分的公比.……（2）3、兩式相減.（1）-（2）整