福建寧德市2024屆數學高二下期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題含解析

福建寧德市2024屆數學高二下期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．用數學歸納法證明某命題時，左式為在驗證時，左邊所得的代數式為（）A．B．C．D．2．已知集合,,則（）A． B． C． D．3．設，，則A． B．C． D．4．已知雙曲線C:x216-yA．6x±y=0 B．C．x±2y=0 D．2x±y=05．某商場要從某品牌手機a、b、c、d、e五種型號中，選出三種型號的手機進行促銷活動，則在型號a被選中的條件下，型號b也被選中的概率是（）A． B． C． D．6．某中學有高中生3500人，初中生1500人，為了解學生的學習情況，用分層抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為n的樣本，已知從高中生中抽取70人，則n為()A．100 B．150C．200 D．2507．在棱長為的正方體中，如果、分別為和的中點，那么直線與所成角的大小為（）A． B． C． D．8．已知全集U＝Z，，B＝{－1,0,1,2}，則圖中的陰影部分所表示的集合等于（）A．{－1,2} B．{－1,0} C．{0,1} D．{1,2}9．二項式的展開式中項的系數為，則（）A．4 B．5 C．6 D．710．設，若，則實數是（）A．1 B．-1 C． D．011．已知函數,則下面對函數的描述正確的是（）A． B．C． D．12．一個幾何體的三視圖如圖所示，正視圖、側視圖和俯視圖都是由一個邊長為的正方形及正方形內一段圓弧組成，則這個幾何體的表面積是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將4個相同的白球、5個相同的黑球、6個相同的紅球放入4個不同盒子中的3個中，使得有1個空盒且其他3個盒子中球的顏色齊全的不同放法共有種.（用數字作答）14．已知復數，則復數______.15．已知是橢圓的左、右焦點，過左焦點的直線與橢圓交于兩點，且，，則橢圓的離心率為________16．函數的定義域是_____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，為的導數．（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）證明：在區(qū)間上存在唯一零點；（Ⅲ）設，若對任意，均存在，使得，求實數的取值范圍.18．（12分）已知函數的定義域為.（1）求實數的取值范圍；（2）設實數為的最大值，若實數滿足，求的最小值.19．（12分）某同學在研究性學習中，收集到某制藥廠今年前5個月甲膠囊生產產量（單位：萬盒）的數據如下表所示：月份x12345y（萬盒）44566（1）該同學為了求出關于的線性回歸方程，根據表中數據已經正確計算出=0.6，試求出的值，并估計該廠6月份生產的甲膠囊產量數；（2）若某藥店現有該制藥廠今年二月份生產的甲膠囊4盒和三月份生產的甲膠囊5盒，小紅同學從中隨機購買了3盒甲膠囊，后經了解發(fā)現該制藥廠今年二月份生產的所有甲膠囊均存在質量問題，記小紅同學所購買的3盒甲膠囊中存在質量問題的盒數為ξ，求ξ的分布列和數學期望．20．（12分）按照國家質量標準：某種工業(yè)產品的質量指標值落在內，則為合格品，否則為不合格品．某企業(yè)有甲乙兩套設備生產這種產品，為了檢測這兩套設備的生產質量情況，隨機從兩套設備生產的大量產品中各抽取了50件產品作為樣本對規(guī)定的質量指標值進行檢測．表1是甲套設備的樣本頻數分布表，圖1是乙套設備的樣本頻率分布直方圖．表1：甲套設備的樣本頻數分布表（1）將頻率視為概率，若乙套設備生產了5000件產品，則其中合格品約有多少件？（2）填寫下面2×2列聯表，并根據列聯表判斷是否有95%的把握認為這種產品的質量指標值與甲乙兩套設備的選擇有關：21．（12分）“DD共享單車”是為城市人群提供便捷經濟、綠色低碳的環(huán)保出行方式，根據目前在三明市的投放量與使用的情況，有人作了抽樣調查，抽取年齡在二十至五十歲的不同性別的騎行者，統計數據如下表所示：男性女性合計20～35歲4010036～50歲4090合計10090190(1)求統計數據表中的值；(2)假設用抽到的100名20～35歲年齡的騎行者作為樣本估計全市的該年齡段男女使用“DD共享單車”情況，現從全市的該年齡段騎行者中隨機抽取3人，求恰有一名女性的概率；(3)根據以上列聯表，判斷使用“DD共享單車”的人群中，能否有的把握認為“性別”與“年齡”有關，并說明理由.參考數表：參考公式：，.22．（10分）已知定義在上的函數．求函數的單調減區(qū)間；Ⅱ若關于的方程有兩個不同的解，求實數的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】試題分析：用數學歸納法證明某命題時，左式為在驗證時，左邊所得的代數式應為；故選B考點：數學歸納法．2、D【解題分析】分析：先化簡集合P,Q，再求.詳解：由題得，，所以.故答案為：D.點睛：本題主要考查集合的化簡與交集運算，意在考查學生對這些知識的掌握水平，屬于基礎題.3、B【解題分析】

分析：求出，得到的范圍，進而可得結果．詳解：.,即又即故選B.點睛：本題主要考查對數的運算和不等式，屬于中檔題．4、C【解題分析】

根據雙曲線的性質，即可求出?！绢}目詳解】令x216雙曲線C的漸近線方程為x±2y=0，故選C?！绢}目點撥】本題主要考查雙曲線漸近線方程的求法。5、B【解題分析】

設事件表示“在型號被選中”，事件表示“型號被選中”，則，，由此利用條件概率能求出在型號被選中的條件下，型號也被選中的概率.【題目詳解】解從、、、、5種型號中，選出3種型號的手機進行促銷活動．設事件表示“在型號被選中”，事件表示“型號被選中”，，，∴在型號被選中的條件下，型號也被選中的概率：，故選：B.【題目點撥】本題考查條件概率的求法，考查運算求解能力，屬于基礎題.6、A【解題分析】試題分析：根據已知可得：，故選擇A考點：分層抽樣7、B【解題分析】

作出圖形，取的中點，連接、，證明四邊形為平行四邊形，計算出的三邊邊長，然后利用余弦定理計算出，即可得出異面直線與所成角的大小.【題目詳解】如下圖所示：取的中點，連接、，、分別為、的中點，則，且，在正方體中，，為的中點，且，則，所以，四邊形為平行四邊形，，則異面直線與所成的角為或其補角.在中，，，.由余弦定理得.因此，異面直線與所成角的大小為.故選B.【題目點撥】本題考查異面直線所成角的計算，一般利用定義法或空間向量法計算，考查計算能力，屬于中等題.8、A【解題分析】

試題分析：圖中的陰影部分所表示的集合為,故選A．考點：集合的運算9、C【解題分析】二項式的展開式的通項是，令得的系數是，因為的系數為，所以，即，解得：或，因為，所以，故選C．【考點定位】二項式定理．10、B【解題分析】

根據自變量所在的范圍代入相應的解析式計算即可得到答案.【題目詳解】解得a=-1,故選B【題目點撥】本題考查分段函數函數值的計算，解決策略:(1)在求分段函數的值f(x0)時，一定要判斷x0屬于定義域的哪個子集，然后再代入相應的關系式;(2)求f(f(f(a)))的值時，一般要遵循由里向外逐層計算的原則.11、B【解題分析】分析：首先對函數求導，可以得到其導函數是增函數，利用零點存在性定理，可以將其零點限定在某個區(qū)間上，結合函數的單調性，求得函數的最小值所滿足的條件，利用不等式的傳遞性求得結果.詳解：因為，所以，導函數在上是增函數，又，，所以在上有唯一的實根，設為，且，則為的最小值點，且，即，故，故選B.點睛：該題考查的是有關函數最值的范圍，首先應用導數的符號確定函數的單調區(qū)間，而此時導數的零點是無法求出確切值的，應用零點存在性定理，將導數的零點限定在某個范圍內，再根據不等式的傳遞性求得結果.12、C【解題分析】

畫出直觀圖，由球的表面積公式求解即可【題目詳解】這個幾何體的直觀圖如圖所示，它是由一個正方體中挖掉個球而形成的，所以它的表面積為.故選：C【題目點撥】本題考查三視圖以及幾何體的表面積的計算，考查空間想象能力和運算求解能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、720【解題分析】試題分析：本題可以分步來做：第一步：首先從4個盒子中選取3個，共有4種取法；第二步：假定選取了前三個盒子，則第四個為空，不予考慮．由于前三個盒子中的球必須同時包含黑白紅三色，所以我們知道，每個盒子中至少有一個白球，一個黑球和一個紅球．第三步：①這樣，白球還剩一個可以自由支配，它可以放在三個盒子中任意一個，共3種放法．②黑球還剩兩個可以自由支配，這兩個球可以分別放入三個盒子中的任意一個，這里有兩種情況：一是兩個球放入同一個盒子，有3種放法；二是兩個球放入不同的兩個盒子，有3種放法．綜上，黑球共6種放法．③紅球還剩三個可以自由支配，分三種情況：一是三個球放入同一個盒子，有3中放法．二是兩個球放入同一個盒子，另外一個球放入另一個盒子，有6種放法．三是每個盒子一個球，只有1種放法．綜上，紅球共10種放法．所以總共有4×3×6×10=720種不同的放法．考點：排列、組合；分布乘法原理；分類加法原理．點評：本題考查排列、組合的運用，注意本題中同色的球是相同的．對于較難問題，我們可以采取分步來做．14、【解題分析】

根據共軛復數的表示方法算出即可.【題目詳解】由,則,所以故答案為：【題目點撥】本題主要考查共軛復數的概念,屬于基礎題型.15、【解題分析】

連接,設,利用橢圓性質,得到長度,分別在△和中利用余弦定理,得到c的長度，根據離心率的定義計算得到答案.【題目詳解】設，則，，由，得，，在△中，，又在中，，得故離心率【題目點撥】本題考察了離心率的計算,涉及到橢圓的性質,正余弦定理,綜合性強,屬于難題.16、【解題分析】

對數函數的定義域滿足真數要大于零【題目詳解】由，解得，故定義域為.【題目點撥】本題考查了對數的定義域，只需滿足真數大于零即可，然后解不等式，較為簡單三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.【解題分析】

（Ⅰ）將代入求出切點坐標，由題可得，將代入求出切線斜率，進而求出切線方程．（Ⅱ）設，則，由導函數研究的單調性進，而得出答案．（Ⅲ）題目等價于，易求得，利用單調性求出的最小值，列不等式求解．【題目詳解】（Ⅰ），所以，即切線的斜率，且，從而曲線在點處的切線方程為.（Ⅱ）設，則.當時，；當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.又，故在存在唯一零點.所以在存在唯一零點.（Ⅲ）由已知，轉化為，且的對稱軸所以.由(Ⅱ)知，在只有一個零點，設為，且當時，；當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.又，所以當時，.所以，即，因此，的取值范圍是.【題目點撥】導數是高考的重要考點，本題考查導數的幾何意義，利用單調性解決函數的恒成立問題，存在性問題等，屬于一般題．18、（1）（2）【解題分析】

（1）由定義域為，只需求解的最小值，即可得實數的取值范圍；（2）根據（1）求得實數的值，利用基本不等式即可求解最小值．【題目詳解】（1）函數的定義域為.對任意的恒成立，令，則，結合的圖像易知的最小值為，所以實數的取值范圍.（2）由（1）得，則，所以，，當且僅當，即，，時等號成立，的最小值為.【題目點撥】本題主要考查了含絕對值函數的最值，轉化思想和基本不等式的應用，考查了分析能力和計算能力，屬于難題.19、（1），6.1（2）見解析【解題分析】試題分析：（1）由線性回歸方程過點（，）,可得,再求x=6時對應函數值即為6月份生產的甲膠囊產量數（2）先確定隨機變量取法：ξ=0，1，2，3，再利用組合數求對應概率，列表可得分布列，最后根據公式求數學期望試題解析：解：（1）==3，（4+4+5+6+6）=5，因線性回歸方程=x+過點（，），∴=﹣=5﹣0.6×3=3.2，∴6月份的生產甲膠囊的產量數：=0.6×6+3.2=6.1．（2）ξ=0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，其分布列為ξ0123P所以Eξ==．20、（1）800件；（2）見解析；【解題分析】

（1）結合頻數分布表，求出滿足條件的概率,再乘以5000即可；（2）求出2×2列聯表，計算K2值，判斷即可【題目詳解】（1）由圖知，乙套設備生產的不合格品率約為；∴乙套設備生產的5000件產品中不合格品約為（件）；（2）由表1和圖得到列聯表：甲套設備乙套設備合計合格品484290不合格品2810合計5050100將列聯表中的數據代入公式計算得；∴有95%的把握認為產品的質量指標值與甲、乙兩套設備的選擇有關；【題目點撥】本題考查了頻率分布直方圖與獨立性檢驗的應用問題，準確計算是關鍵，是基礎題．21、(1)，.(2)；(3)答案見解析.【解題分析】試題分析：(1)由題意結合題中所給的列聯表可得，.(2)由題意結合二項分布的概率公式可得恰有一名女性的概率是；(3)利用獨立性檢驗的結論求得.所以在使用共享單車的人群中，有的把握認為“性別”與“年齡”有關.試題解析：(1)，.(2)依題意得，每一次抽到女性的概率，故抽取的3人中恰有一名女性的概率.(3).所以在使用共享單車的人群中，有的把握認為“性別