2024屆江西省宜春市上高縣二中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題含解析

2024屆江西省宜春市上高縣二中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，且4≤S2≤6，15≤S4≤21，則a2的取值范圍為（）A． B． C． D．2．“干支紀(jì)年法”是中國(guó)歷法上自古以來(lái)使用的紀(jì)年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱(chēng)為“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”?！疤旄伞币浴凹住弊珠_(kāi)始，“地支”以“子”字開(kāi)始，兩者按干支順序相配，組成了干支紀(jì)年法，其相配順序?yàn)椋杭鬃?、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得?0個(gè)組合，稱(chēng)六十甲子，周而復(fù)始，無(wú)窮無(wú)盡。2019年是“干支紀(jì)年法”中的己亥年，那么2026年是“干支紀(jì)年法”中的A．甲辰年 B．乙巳年 C．丙午年 D．丁未年3．讀下面的程序：上面的程序在執(zhí)行時(shí)如果輸入6，那么輸出的結(jié)果為()A．6 B．720 C．120 D．50404．若且；則的展開(kāi)式的系數(shù)是（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)的圖象如圖所示，若，且，則的值為（）A． B． C．1 D．06．一只袋內(nèi)裝有個(gè)白球，個(gè)黑球，所有的球除顏色外完全相同，連續(xù)不放回地從袋中取球，直到取出黑球?yàn)橹梗O(shè)此時(shí)取出了個(gè)白球，則下列概率等于的是（）A． B． C． D．7．設(shè)非零向量，，滿足，，則與的夾角為（）A． B． C． D．8．已知空間不重合的三條直線、、及一個(gè)平面，下列命題中的假命題是（）．A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則9．函數(shù)（）的圖象的大致形狀是（）A． B． C． D．10．函數(shù)的定義域（）A． B．C． D．11．已知m，n是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若m，n沒(méi)有公共點(diǎn)，則B．若，，則C．若，則D．若，則12．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則等于（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．人并排站成一行，其中甲、乙兩人必須相鄰，那么不同的排法有__________種.（用數(shù)學(xué)作答）14．從湖中打一網(wǎng)魚(yú)，共條，做上記號(hào)再放回湖中；數(shù)天后再打一網(wǎng)魚(yú)共有條，其中有條有記號(hào)，則能估計(jì)湖中有魚(yú)____________條.15．《孫子算經(jīng)》是我國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，約成書(shū)于四、五世紀(jì)，傳本的《孫子算經(jīng)》共三卷，其中下卷“物不知數(shù)”中有如下問(wèn)題：“今有物，不知其數(shù).三三數(shù)之，剩二；五五數(shù)之，剩三；七七數(shù)之，剩二.問(wèn)：物幾何？”其意思為：“現(xiàn)有一堆物品，不知它的數(shù)目.3個(gè)3個(gè)數(shù)，剩2個(gè)；5個(gè)5個(gè)數(shù)，剩3個(gè)；7個(gè)7個(gè)數(shù)，剩2個(gè).問(wèn)這堆物品共有多少個(gè)？”試計(jì)算這堆物品至少有__________個(gè)．16．設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且，，則該橢圓的離心率為．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，．(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，證明：；(Ⅱ)的圖象與的圖象是否存在公切線（公切線：同時(shí)與兩條曲線相切的直線）？如果存在，有幾條公切線，請(qǐng)證明你的結(jié)論．18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線的極坐標(biāo)方程是．（1）寫(xiě)出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；（2）設(shè)直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求的面積．19．（12分）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）若，求的最小值；（2）若，證明：.20．（12分）已知，且滿足.（1）求；（2）若，，求的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù)().(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(Ⅱ)若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）[選修4-5：不等式選講]設(shè)函數(shù).（1）若不等式的解集為，求的值；（2）在（1）的條件下，若不等式恒成立，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

首先設(shè)公差為，由題中的條件可得和，利用待定系數(shù)法可得，結(jié)合所求的范圍及不等式的性質(zhì)可得.【題目詳解】設(shè)公差為，由，得，即；同理由可得.故可設(shè)，所以有，所以有，解得，即，因?yàn)椋?所以，即.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查不等式的性質(zhì)及等差數(shù)列的運(yùn)算，利用不等式求解范圍時(shí)注意放縮的尺度，運(yùn)算次數(shù)越少，范圍越準(zhǔn)確.2、C【解題分析】

按照題中規(guī)則依次從2019年列舉到2026年，可得出答案?！绢}目詳解】根據(jù)規(guī)則，2019年是己亥年，2020年是庚子年，2021年是辛丑年，2022年是壬寅年，2023年是癸卯年，2024年是甲辰年，2025年是乙巳年，2026年是丙午年，故選：C?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查合情推理的應(yīng)用，理解題中“干支紀(jì)年法”的定義，并找出相應(yīng)的規(guī)律，是解本題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力，屬于中等題。3、B【解題分析】

執(zhí)行程序，逐次計(jì)算，根據(jù)判斷條件終止循環(huán)，即可求解輸出的結(jié)果，得到答案.【題目詳解】由題意，執(zhí)行程序，可得：第1次循環(huán)：滿足判斷條件，；第2次循環(huán)：滿足判斷條件，；第3次循環(huán)：滿足判斷條件，；第4次循環(huán)：滿足判斷條件，；第5次循環(huán)：滿足判斷條件，；第6次循環(huán)：滿足判斷條件，；不滿足判斷條件，終止循環(huán)，輸出，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計(jì)算輸出，其中解答中正確理解循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計(jì)算功能，逐次計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】

先根據(jù)求出，再代入，直接根據(jù)的展開(kāi)式的第項(xiàng)為，即可求出展開(kāi)式的系數(shù)?！绢}目詳解】因?yàn)榍宜哉归_(kāi)式的第項(xiàng)為展開(kāi)式中的系數(shù)為故選C【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式展開(kāi)式，屬于基礎(chǔ)題。5、C【解題分析】由題意得，，則，又，即，解得，所以，令，即，，解得該函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，則，即，所以，故選C.6、D【解題分析】

當(dāng)時(shí)，前2個(gè)拿出白球的取法有種，再任意拿出1個(gè)黑球即可，有種取法，在這3次拿球中可以認(rèn)為按順序排列，由此能求出結(jié)果．【題目詳解】當(dāng)時(shí)，即前2個(gè)拿出的是白球，第3個(gè)是黑球，前2個(gè)拿出白球，有種取法，再任意拿出1個(gè)黑球即可，有種取法，而在這3次拿球中可以認(rèn)為按順序排列，此排列順序即可認(rèn)為是依次拿出的球的順序，即，．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查超幾何分布概率模型，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解題分析】

由，且，可得，展開(kāi)并結(jié)合向量的數(shù)量積公式，可求出的值，進(jìn)而求出夾角.【題目詳解】由，且，得，則，即，故，則，故.又，所以.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查向量夾角的求法，考查向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】

根據(jù)線線、線面有關(guān)定理對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定是假命題的選項(xiàng).【題目詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)平行公理可知，A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng)，兩條直線平行與同一個(gè)平面，這兩條直線可以相交、平行或異面，故B選項(xiàng)是假命題.對(duì)于C選項(xiàng)，由于，，根據(jù)空間角的定義可知，，C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)，由于，所以平行于平面內(nèi)一條直線，而，所以，所以，即D選項(xiàng)正確.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查空間線線、線面有關(guān)命題真假性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】

對(duì)x分類(lèi)討論，去掉絕對(duì)值，即可作出圖象.【題目詳解】故選C．【題目點(diǎn)撥】識(shí)圖常用的方法(1)定性分析法：通過(guò)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢(shì)，利用這一特征分析解決問(wèn)題；(2)定量計(jì)算法：通過(guò)定量的計(jì)算來(lái)分析解決問(wèn)題；(3)函數(shù)模型法：由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來(lái)分析解決問(wèn)題．10、A【解題分析】

解不等式即得函數(shù)的定義域.【題目詳解】由題得所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的定義域的求法，考查對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的定義域，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.11、D【解題分析】

由空間中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)依次對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，由此得到答案?！绢}目詳解】?jī)蓷l直線沒(méi)有公共點(diǎn)有平行和異面兩種情形，故A，B錯(cuò)；對(duì)于C，還存在的情形：由線面垂直的性質(zhì)可得D對(duì)，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查學(xué)生對(duì)空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的理解與掌握，重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題。12、D【解題分析】

根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求解.【題目詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以分布列關(guān)于對(duì)稱(chēng)，又所有概率和為1，所以.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查正態(tài)分布的性質(zhì).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、240【解題分析】分析：甲、乙兩人必須相鄰，利用捆綁法與其余的人全排即可.詳解：甲乙相鄰全排列種排法，利用捆綁法與其余的人全排有種排法，共有，故答案為.點(diǎn)睛：常見(jiàn)排列數(shù)的求法為：（1）相鄰問(wèn)題采取“捆綁法”；（2）不相鄰問(wèn)題采取“插空法”；（3）有限制元素采取“優(yōu)先法”；（4）特殊順序問(wèn)題，先讓所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列數(shù).14、【解題分析】

按比例計(jì)算．【題目詳解】估計(jì)湖中有魚(yú)條，則，．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查用樣本數(shù)據(jù)特征估計(jì)總體，解題時(shí)把樣本的頻率作為總體頻率計(jì)算即可．15、23【解題分析】除以余且除以余的數(shù)是除以余的數(shù).和的最小公倍數(shù)是.的倍數(shù)有除以余且除以余的數(shù)有，…其中除以余的數(shù)最小數(shù)為，這些東西有個(gè)，故答案為.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查閱讀能力及建模能力，屬于難題.弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動(dòng)向，這類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)是通過(guò)中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著及現(xiàn)實(shí)生活的事例考查書(shū)本知識(shí)，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題，只有吃透題意，才能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.16、【解題分析】試題分析：在中，，，設(shè)，則.考點(diǎn)：橢圓的定義.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題的考點(diǎn)是橢圓定義的考查，即的等式關(guān)系和幾何意義.由給定的條件可知三角形不僅是直角三角形，也可以得到其中一個(gè)銳角，由此可用來(lái)表示直角三角形的三個(gè)邊，再根據(jù)橢圓的定義便可建立等式關(guān)系，求得橢圓的離心率.橢圓中研究的關(guān)系不僅選擇填空會(huì)考有時(shí)解答題也會(huì)出，它是研究橢圓基礎(chǔ).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）曲線y＝f（x），y＝g（x）公切線的條數(shù)是2條，證明見(jiàn)解析【解題分析】

（Ⅰ）當(dāng)x＞0時(shí)，設(shè)h（x）＝g（x）﹣x＝lnx﹣x，設(shè)l（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣x，分別求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性、最值，即可得證；（Ⅱ）先確定曲線y＝f（x），y＝g（x）公切線的條數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)并求出兩個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程組，先化簡(jiǎn)方程得lnm﹣1．分別作出y＝lnx﹣1和y的函數(shù)圖象，通過(guò)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)判斷方程的解的個(gè)數(shù)，即可得到所求結(jié)論．【題目詳解】（Ⅰ）當(dāng)x＞0時(shí)，設(shè)h（x）＝g（x）﹣x＝lnx﹣x，h′（x）1，當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減；0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增；可得h（x）在x＝1處取得最大值﹣1，可得h（x）≤﹣1＜0；設(shè)l（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣x，l′（x）＝ex﹣1，當(dāng)x＞0時(shí)，l′（x）＞0，l（x）遞增；可得l（x）＞l（0）＝1＞0，綜上可得當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＜x＜f（x）；（Ⅱ）曲線y＝f（x），y＝g（x）公切線的條數(shù)是2，證明如下：設(shè)公切線與g（x）＝lnx，f（x）＝ex的切點(diǎn)分別為（m，lnm），（n，en），m≠n，∵g′（x），f′（x）＝ex，可得，化簡(jiǎn)得（m﹣1）lnm＝m+1，當(dāng)m＝1時(shí)，（m﹣1）lnm＝m+1不成立；當(dāng)m≠1時(shí)，（m﹣1）lnm＝m+1化為lnm，由lnx1，即lnx﹣1．分別作出y＝lnx﹣1和y的函數(shù)圖象，由圖象可知：y＝lnx﹣1和y的函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，可得方程lnm有兩個(gè)實(shí)根，則曲線y＝f（x），y＝g（x）公切線的條數(shù)是2條．【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)性、極值和最值，考查方程與構(gòu)造函數(shù)法和數(shù)形結(jié)合思想，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于較難題．18、（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為；直線的普通方程為；（2）.【解題分析】

（1）由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，即可得出曲線的直角坐標(biāo)方程；根據(jù)直線的參數(shù)方程，消去參數(shù)，即可得到普通方程；（2）先由題意，先設(shè)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，將直線的參數(shù)方程化為，代入，根據(jù)參數(shù)下的弦長(zhǎng)公式求出，再由點(diǎn)到直線距離公式，求出點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而可求出三角形的面積.【題目詳解】（1）由得，即，即曲線的直角坐標(biāo)方程為；由消去可得：，即直線的普通方程為；（2）因?yàn)橹本€與曲線交于，兩點(diǎn)，設(shè)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，由可化為，代入得，，則有，，因此，又點(diǎn)到直線的距離為，因此的面積為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，以及參數(shù)下的弦長(zhǎng)問(wèn)題，屬于?？碱}型.19、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解題分析】分析：（1）先利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求的最小值.(2)先求的最小值為,再證明＞0.詳解：（1）若，,所以,設(shè)，則所以在上為增函數(shù)，又，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以的最小值為.（2）由題意知當(dāng)時(shí)，顯然成立.當(dāng)時(shí)，由（1）知在上為增函數(shù)，因?yàn)?所以存在唯一的使得，即,所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以的最小值為,,,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).代入得，矛盾，所以等號(hào)不能成立.所以，所以.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理轉(zhuǎn)化能力.(2)解答本題有兩個(gè)難點(diǎn)，其一是求得的最小值為,其二是證明＞0，用到了基本不等式，同時(shí)要注意取等的問(wèn)題.20、（1）；（2）.【解題分析】

分析：（1）利用復(fù)數(shù)模的定義、互為共軛復(fù)數(shù)的意義及復(fù)數(shù)相等的定義即可解出；

（2）利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式即可證明