2024屆河南天一大聯(lián)考高二數(shù)學第二學期期末達標檢測模擬試題含解析

2024屆河南天一大聯(lián)考高二數(shù)學第二學期期末達標檢測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若某校研究性學習小組共6人，計劃同時參觀科普展，該科普展共有甲，乙，丙三個展廳，6人各自隨機地確定參觀順序，在每個展廳參觀一小時后去其他展廳，所有展廳參觀結束后集合返回，設事件A為：在參觀的第一小時時間內，甲，乙，丙三個展廳恰好分別有該小組的2個人；事件B為：在參觀的第二個小時時間內，該小組在甲展廳人數(shù)恰好為2人，則（）．A． B． C． D．2．在體育選修課排球模塊基本功發(fā)球測試中，計分規(guī)則如下滿分為10分：①每人可發(fā)球7次，每成功一次記1分；②若連續(xù)兩次發(fā)球成功加分，連續(xù)三次發(fā)球成功加1分，連續(xù)四次發(fā)球成功加分，以此類推，，連續(xù)七次發(fā)球成功加3分假設某同學每次發(fā)球成功的概率為，且各次發(fā)球之間相互獨立，則該同學在測試中恰好得5分的概率是(

)A． B． C． D．3．命題“，使得”的否定形式是（）A．，使得 B．，使得C．，使得 D．，使得4．若是虛數(shù)單位，，則實數(shù)（）A． B． C．2 D．35．已知復數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．6．設命題，則為（）A． B．C． D．7．已知是空間中兩條不同的直線，是兩個不同的平面，有以下結論：①②③④.其中正確結論的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．38．已知集合，，則如圖中陰影部分所表示的集合為（）A． B．C． D．9．如下圖所示的圖形中，每個三角形上各有一個數(shù)字，若六個三角形上的數(shù)字之和為36，則稱該圖形是“和諧圖形”，已知其中四個三角形上的數(shù)字之和為二項式的展開式的各項系數(shù)之和.現(xiàn)從0，1，2，3，4，5中任取兩個不同的數(shù)字標在另外兩個三角形上，則恰好使該圖形為“和諧圖形”的概率為（）A． B． C． D．10．中，，且，點滿足，則A． B． C． D．11．分形幾何學是美籍法國數(shù)學家伯努瓦??曼德爾布羅特()在20世紀70年代創(chuàng)立的一門新學科,它的創(chuàng)立，為解決傳統(tǒng)科學眾多領域的難題提供了全新的思路．下圖按照的分形規(guī)律生長成一個樹形圖,則第13行的實心圓點的個數(shù)是()A．55個 B．89個 C．144個 D．233個12．設隨機變量X的分布列如下：則方差D(X)＝（）．A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．甲、乙、丙、丁四位同學中僅有一人申請了北京大學的自主招生考試，當他們被問到誰申請了北京大學的自主招生考試時，甲說：“丙或丁申請了”；乙說：“丙申請了”；丙說：“甲和丁都沒有申請”；丁說：“乙申請了”，如果這四位同學中只有兩人說的是對的，那么申請了北京大學的自主招生考試的同學是______．14．已知函數(shù)f(x)=ex+x3，若f(15．的展開式中，的系數(shù)為______．16．lg5+1g20+e0的值為_____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，且，，，，，，.（1）證明：平面；（2）求四棱錐的體積.18．（12分）已知．（1）證明：；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．19．（12分）已知函數(shù)，曲線在點處切線與直線垂直.（1）試比較與的大小，并說明理由；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，，證明：.20．（12分）如圖所示，在直角坐標系中，曲線C由以原點為圓心，半徑為2的半圓和中心在原點，焦點在x軸上的半橢圓構成，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.（1）寫出曲線C的極坐標方程；（2）已知射線與曲線C交于點M，點N為曲線C上的動點，求面積的最大值.21．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)（1）若的解集為，求實數(shù)的值；（2）若，若存在，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）現(xiàn)將甲、乙兩個學生在高二的6次數(shù)學測試的成績（百分制）制成如圖所示的莖葉圖，進人高三后，由于改進了學習方法，甲、乙這兩個學生的考試數(shù)學成績預計同時有了大的提升.若甲（乙）的高二任意一次考試成績?yōu)椋瑒t甲（乙）的高三對應的考試成績預計為（若>100.則取為100）.若已知甲、乙兩個學生的高二6次考試成績分別都是由低到高進步的，定義為高三的任意一次考試后甲、乙兩個學生的當次成績之差的絕對值.（I）試預測：在將要進行的高三6次測試中，甲、乙兩個學生的平均成績分別為多少？（計算結果四舍五入，取整數(shù)值）（Ⅱ）求的分布列和數(shù)學期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

先求事件A包含的基本事件，再求事件AB包含的基本事件，利用公式可得.【題目詳解】由于6人各自隨機地確定參觀順序，在參觀的第一小時時間內，總的基本事件有個；事件A包含的基本事件有個；在事件A發(fā)生的條件下，在參觀的第二個小時時間內，該小組在甲展廳人數(shù)恰好為2人的基本事件為個，而總的基本事件為，故所求概率為,故選A.【題目點撥】本題主要考查條件概率的求解，注意使用縮小事件空間的方法求解.2、B【解題分析】

明確恰好得5分的所有情況：發(fā)球四次得分，有兩個連續(xù)得分和發(fā)球四次得分，有三個連續(xù)得分，分別求解可得.【題目詳解】該同學在測試中恰好得5分有兩種情況：四次發(fā)球成功，有兩個連續(xù)得分，此時概率；四次發(fā)球成功，有三個連續(xù)得分，分為連續(xù)得分在首尾和不在首尾兩類，此時概率，所求概率；故選B.【題目點撥】本題主要考查相互獨立事件的概率，題目稍有難度，側重考查數(shù)學建模和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).3、D【解題分析】試題分析：的否定是，的否定是，的否定是．故選D．【考點】全稱命題與特稱命題的否定．【方法點睛】全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題．對含有存在（全稱）量詞的命題進行否定需要兩步操作：①將存在（全稱）量詞改成全稱（存在）量詞；②將結論加以否定．4、B【解題分析】

先利用復數(shù)的模長公式得到，再根據(jù)復數(shù)相等的定義，即得解.【題目詳解】由于由復數(shù)相等的定義，故選：B【題目點撥】本題考查了復數(shù)的模長和復數(shù)相等的概念，考查了學生概念理解，數(shù)學運算的能力，屬于基礎題.5、D【解題分析】

利用復數(shù)的運算法則、模的計算公式即可得出結果.【題目詳解】解：，則.故選：D.【題目點撥】本題考查復數(shù)的運算法則，模的計算公式，考查計算能力，屬于基礎題.6、D【解題分析】分析：根據(jù)全稱命題的否定解答.詳解：由全稱命題的否定得為：，故答案為D.點睛：（1）本題主要考查全稱命題的否定，意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2)全稱命題：,全稱命題的否定（）：.7、B【解題分析】分析：根據(jù)直線與平面的位置關系的判定定理和性質定理，即可作出判定得到結論.詳解：由題意，對于①中，若，則兩平面可能是平行的，所以不正確；對于②中，若，只有當與相交時，才能得到，所以不正確；對于③中，若，根據(jù)線面垂直和面面垂直的判定定理，可得，所以是正確的；對于④中，若，所以是不正確的，綜上可知，正確命題的個數(shù)只有一個，故選B.點睛：本題考查線面位置關系的判定與證明，熟練掌握空間中線面位置關系的定義、判定、幾何特征是解答的關鍵，其中垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型：(1)證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行；(2)證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直；(3)證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直．8、D【解題分析】

由圖象可知陰影部分對應的集合為，然后根據(jù)集合的基本運算求解即可.【題目詳解】由Venn圖可知陰影部分對應的集合為，或，，，即，故選D.【題目點撥】本題主要考查集合的計算，利用圖象確定集合關系是解題的關鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于基礎題.9、B【解題分析】

先求得二項式的展開式的各項系數(shù)之和為.然后利用列舉法求得在一共個數(shù)字中任選兩個，和為的概率，由此得出正確選項.【題目詳解】令代入得，即二項式的展開式的各項系數(shù)之和為.從0，1，2，3，4，5中任取兩個不同的數(shù)字方法有：共種，其中和為的有共兩種，所以恰好使該圖形為“和諧圖形”的概率為，故選B.【題目點撥】本小題主要考查二項式展開式各項系數(shù)之和，考查列舉法求古典概型概率問題，屬于基礎題.10、D【解題分析】分析：以點為原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標系，求得點的坐標，利用向量的坐標運算即可求解．詳解：由題意，以點為原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標系，則，設點，則，又由，所以，即，所以，所以，故選D．點睛：本題主要考查了向量的坐標表示與向量的坐標運算問題，其中恰當?shù)慕⒅苯亲鴺讼?，求得向量的坐標，利用向量的?shù)量積的運算公式求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與計算能力．11、C【解題分析】分析：一一的列舉出每行的實心圓點的個數(shù)，觀察其規(guī)律，猜想：，得出結論即可，選擇題我們可以不需要完整的理論證明．詳解：行數(shù)12345678910111213球數(shù)01123581321345589144，由此猜想：，故選C．點睛：觀察規(guī)律，把行數(shù)看成數(shù)列的項數(shù)，個數(shù)看作數(shù)列的項，盡可能的多推導前面有限項看出規(guī)律．12、B【解題分析】分析：先求出的值，然后求出，利用公式求出詳解：故選點睛：本題考查了隨機變量的分布列的相關計算，解答本題的關鍵是熟練掌握隨機變量的期望與方差的計算方法二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、乙【解題分析】

先假設甲乙丙丁中一個人說的是對的.然后再逐個去判斷其他三個人的說法.最后看是否滿足題意，不滿足排除．【題目詳解】解：先假設甲說的對，即甲或乙申請了.但申請人只有一個，(1)如果是甲，則乙說“丙申請了”就是錯的，丙說“甲和丁都沒申請”就是錯的，丁說“乙申請了”也是錯的，這樣三個錯的，不能滿足題意，故甲沒申請.(2)如果是乙，則乙說“丙申請了”就是錯的，丙說“甲和丁都沒申請”可以理解為申請人有可能是乙，丙，戊，但是不一定是乙，故說法不對，丁說“乙申請了”也是對的，這樣說的對的就是兩個是甲和丁.滿足題意．故答案為：乙．【題目點撥】本題考查了合情推理的應用，屬于中檔題．14、(1,2)【解題分析】因為f'(x)=ex+3x2>0，所以函數(shù)f(x)為增函數(shù)，所以不等式15、【解題分析】

首先求出的展開式的通項，再令，即可求出含的項及系數(shù).【題目詳解】設的展開式的通項為令，.令，.所以的展開式中，含的項為.所以的系數(shù)為.故答案為：【題目點撥】本題主要考查根據(jù)二項式定理求指定項系數(shù)，熟練掌握二項式展開式的通項為解題的關鍵，屬于中檔題.16、【解題分析】

利用對數(shù)與指數(shù)的運算性質，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，可得，故答案為3.【題目點撥】本題主要考查了對數(shù)的運算性質，以及指數(shù)的運算性質的應用，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）先證明，，再證明平面；（2）連接，求出AC,CB的長，再求四棱錐的體積.【題目詳解】（1）證明：因為，，所以，即，同理可得，因為，所以平面.（2）解：連接，，，..【題目點撥】本題主要考查線面垂直關系的證明，考查錐體的體積是計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.18、（1）證明見解析；（2）．【解題分析】

(1)根據(jù)絕對值三角不等式得到;(2)，則，故，分情況去掉絕對值解出不等式即可.【題目詳解】（1）證明：．（2）解：若，則，故∴或，解得：．∴實數(shù)的取值范圍為．【題目點撥】這個題目考查了含有絕對值的不等式的解法，絕對值三角不等式的應用，以及函數(shù)的最值問題；一般對于解含有多個絕對值的不等式，根據(jù)零點分區(qū)間，將絕對值去掉，分段解不等式即可.19、（1），理由見解析（2）詳見解析【解題分析】

（1）求出的導數(shù)，由兩直線垂直的條件，即可得切線的斜率和切點坐標，進而可知的解析式和導數(shù)，求解單調區(qū)間，可得，即可得到與的大小；（2）運用分析法證明，不妨設，由根的定義化簡可得，，要證：只需要證：，求出，即證，令，即證，令，求出導數(shù)，判斷單調性，即可得證.【題目詳解】（1）函數(shù)，，所以，又由切線與直線垂直，可得，即，解得，此時，令，即，解得，令，即，解得，即有在上單調遞增，在單調遞減所以即（2）不妨設，由條件：，要證：只需要證：，也即為，由只需要證：，設即證：，設，則在上是增函數(shù)，故，即得證，所以.【題目點撥】本題主要考查了導數(shù)的運用，求切線的斜率和單調區(qū)間，構造函數(shù)，運用單調性解題是解題的關鍵，考查了化簡運算整理的能力，屬于難題.20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)題意，分別求出曲線上半部分和下半部分直角坐標方程，利用直角坐標系與極坐標的轉化公式，即可得到曲線的極坐標方程；（2）由題可知要使面積最大，則點在半圓上，且，利用極坐標方程求出，由三角形面積公式即可得到答案。【題目詳解】（1）由題設可得，曲線上半部分的直角坐標方程為，所以曲線上半部分的極坐標方程為.又因為曲線下半部分的標準方程為，所以曲線下半部分極坐標方程為，故曲線的極坐標方程為.（2）由題設，將代入曲線的極坐標方程可得：.又點是曲線上的動點，所以．由面積公式得：當且僅當，時等號成立，故面積的最大值為